集合和基础。
集合
Set
符号
A含义
一组不同的对象，它们被视为单个数学对象。
使用场景
使用集合来指定集合、域、解空间、事件以及数学结构的底层对象。
计算示例
集合 A={2,4,6} 包含三个偶数。数学参考
集合论术语和基础
学习集合、运算、关系、函数、无限基数、公理基础以及实际应用，包括符号和例题。
维恩图中的并集和交集
并集包含任一集合，而交集仅保留共享区域。
注入和满射映射
箭头显示输入是否保持不同，以及是否到达每个陪域元素。
99 个术语
集合和基础。
集合元素
Set element
符号
x含义
包含在集合中的单个对象。
使用场景
在对集合的成员进行陈述时，使用元素。
计算示例
数字 4 是集合 A={2,4,6} 的一个元素。集合和基础。
成员关系。
Membership
符号
x∈A含义
声明一个对象是集合的元素的那个关系。
使用场景
使用成员符号来区分元素和子集。
计算示例
4∈{2,4,6}.集合和基础。
非成员关系。
Non-membership
符号
x∉A含义
声明一个对象不是集合元素的那个关系。
使用场景
用于从域、事件或解集中排除值。
计算示例
5∉{2,4,6}.集合和基础。
罗列法。
Roster notation
符号
A={a,b,c}含义
一种通过在花括号内列出其元素的来定义集合的记号。
使用场景
用于可以清晰列出的有限集合。
计算示例
元音集合可以写成 V={a,e,i,o,u}。集合和基础。
集合构造法。
Set-builder notation
符号
{x∈U:P(x)}含义
一种定义集合的记号，该记号通过其元素的必须满足的属性来定义集合。
使用场景
当列出每个元素时，如果列出每个元素在实践中是不可能或是不切实际的。
计算示例
偶数是 {n∈ℤ:n=2k for some k∈ℤ}。集合和基础。
空集
Empty set
符号
∅含义
包含零个元素的唯一集合。
使用场景
用于不可能的事件、不一致的解集或空交集的情况。
注意
空集是每个集合的子集，但它不一定是每个集合的元素。
计算示例
x²+1=0 的实数解集是 ∅。集合和基础。
单元素集合。
Singleton set
符号
{x}含义
包含正好一个元素的集合。
使用场景
当集合有一个可能的值或解是唯一的时使用。
计算示例
方程 x-3=0 的解集是 {3}。集合和基础。
全集
Universal set
符号
U含义
当前正在考虑的所有对象的集合。
使用场景
在使用补集或对固定宇宙进行量化之前，请说明这一点。
注意
普适集合取决于上下文；它不是所有元素的绝对集合。
计算示例
如果 U=ℤ，那么偶数的补集是奇数。集合和基础。
集合相等。
Set equality
符号
A=B含义
两个集合相等当且仅当它们包含完全相同的元素。
使用场景
使用扩展相等，而不考虑书写列表中的元素顺序或重复。
计算示例
集合 {1,2,2,3} 和 {3,2,1} 是相等的。集合和基础。
子集。
Subset
符号
A⊆B含义
如果 A 中的每个元素也是 B 中的元素，则集合 A 是集合 B 的子集。
使用场景
用于表达包含关系，并通过双重包含证明集合相等。
计算示例
{1,3}⊆{1,2,3}.集合和基础。
专有子集
Proper subset
符号
A⊊B含义
一个不等于包含集合的子集。
使用场景
当包含关系是严格的时使用。
注意
有些书籍使用 ⊂ 表示真子集，而另一些书籍使用它表示任何子集；请定义约定。
计算示例
{1,3}⊊{1,2,3}.集合和基础。
超集。
Superset
符号
B⊇A含义
包含另一个集合中所有元素的集合。
使用场景
将其用作子集关系的逆形式。
计算示例
{1,2,3}⊇{1,3}.集合和基础。
基数
Cardinality
符号
|A|含义
集合中元素的数量的度量。
使用场景
用于比较有限大小，以及通过双射，比较无穷集合的大小。
计算示例
如果 A={a,b,c}, 那么 |A|=3.集合和基础。
有限集
Finite set
含义
集合中的每个元素都可以与 {1,...,n} 建立双射，其中 n 是一个非负整数。
使用场景
当集合具有明确的整数大小时使用。
计算示例
星期几构成一个基数为 7 的有限集合。集合和基础。
无限集
Infinite set
含义
一个无限集合。
使用场景
用于无界集合，例如整数、序列和直线上的点。
计算示例
整数集 ℤ 是无穷集。集合和基础。
幂集。
Power set
符号
𝒫(A)含义
包含 A 的所有子集的集合。
使用场景
用于描述所有可能的选择、事件和二进制特征组合。
计算示例
如果 A={a,b}, 那么 𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}.集合和基础。
集合的索引族
Indexed family of sets
符号
{Aᵢ}ᵢ∈I含义
一组由索引集合中的元素标记的集合。
使用场景
用于集合序列以及在任意索引集合上的并集或交集。
计算示例
集合 {Aₙ}ₙ∈ℕ 可以定义为 Aₙ={1,...,n}。集合运算。
联合
Union
符号
A∪B含义
属于 A、B 或两者都的元素的集合。
使用场景
用于组合备选项、事件、类别或结果集。
计算示例
如果 A={1,2} 且 B={2,3}, 那么 A∪B={1,2,3}.集合运算。
交集
Intersection
符号
A∩B含义
属于 A 和 B 的元素的集合。
使用场景
用于应用同时条件或查找公共成员。
计算示例
如果 A={1,2} 且 B={2,3}, 那么 A∩B={2}.集合运算。
集合差。
Set difference
符号
A∖B含义
属于 A 但不属于 B 的元素的集合。
使用场景
用于删除排除项或比较剩余的、对一个集合独特的元素。
计算示例
如果 A={1,2,3} 且 B={2,4}, 那么 A∖B={1,3}.集合运算。
补集
Complement
符号
Aᶜ含义
属于全集但不在 A 中的元素的集合。
使用场景
用于否定条件和互补概率事件。
计算示例
如果 U={1,2,3,4} 且 A={1,3}, 那么 Aᶜ={2,4}.集合运算。
对称差。
Symmetric difference
符号
A△B含义
属于 A 和 B 中 *正好* 一个的元素的集合。
使用场景
用于测量集合之间的不一致性或切换成员关系。
计算示例
如果 A={1,2} 且 B={2,3}, 那么 A△B={1,3}.集合运算。
不相交集合
Disjoint sets
符号
A∩B=∅含义
没有共同元素的集合。
使用场景
用于互斥事件和不重叠的分区。
计算示例
偶数和奇数是不相交的。集合运算。
集合的划分。
Partition of a set
含义
一组非空、两两不相交的子集，其并集是原始集合。
使用场景
用于将每个元素分组到恰好一个类中。
计算示例
同余类模 3 将 ℤ 分割。集合运算。
笛卡尔积
Cartesian product
符号
A×B含义
所有第一个分量在 A 中，第二个分量在 B 中的有序对的集合。
使用场景
用于构建坐标、关系、表格和积空间。
计算示例
如果 A={1,2} 且 B={x,y}, 那么 A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.集合运算。
有序对。
Ordered pair
符号
(a,b)含义
一对，其中每个分量的位置都重要。
使用场景
用于坐标以及笛卡尔积或关系的基本元素。
计算示例
一个有序对通常在它的组成部分交换时会发生变化，因此 (1,2)≠(2,1)。集合运算。
集合的德摩根定律
De Morgan's laws for sets
符号
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ含义
交换并集和交集的规则，用于取补集。
使用场景
用于简化否定集合条件和概率事件。
计算示例
第二定律是 (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ。集合运算。
集合的分配律
Distributive laws for sets
符号
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)含义
描述并集和交集相互分布的规则。
使用场景
用于重写集合表达式并证明恒等式。
计算示例
此外，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 成立。集合运算。
吸收定律
Absorption laws
符号
A∪(A∩B)=A含义
恒等式，其中将集合与包含的交集或并集结合，返回原始集合。
使用场景
用于删除集合表达式的冗余部分。
计算示例
对偶定律是 A∩(A∪B)=A。集合运算。
广义并集和交集
Generalized union and intersection
符号
⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢ含义
对一组索引集合进行并集或交集运算。
使用场景
用于无限个集合或变量条件的集合。
计算示例
对于 Aₙ={n,n+1,...}, 交叉集 ⋂ₙ∈ℕAₙ 是空集。关系和序。
二元关系
Binary relation
符号
R⊆A×B含义
一组有序对，它指定 A 中的哪些元素与 B 中的哪些元素相关。
使用场景
用于建模比较、连接、数据库链接和函数图。
计算示例
由 x≤y 定义的关系 xRy 是 ℤ×ℤ 的一个子集。关系和序。
关系域和范围
Domain and range of a relation
符号
dom(R), ran(R)含义
定义域包含关系中的第一个元素，而值域包含关系中的第二个元素。
使用场景
用于确定哪些输入和输出实际上参与关系。
计算示例
如果 R={(1,a),(2,a),(2,b)}, 那么 dom(R)={1,2} 且 ran(R)={a,b}.关系和序。
逆关系
Inverse relation
符号
R⁻¹含义
通过反转 R 中每个有序对得到的关系。
使用场景
用于反转方向关系。
计算示例
如果 R={(1,a),(2,b)}, 那么 R⁻¹={(a,1),(b,2)}.关系和序。
自反关系。
Reflexive relation
符号
xRx含义
A 上的一个关系，其中每个元素都与自身相关。
使用场景
当自比较必须始终成立时，例如在相等和非严格顺序中。
计算示例
关系 ≤ 是自反的，因为对于每个实数 x，都有 x≤x。关系和序。
反自反关系
Irreflexive relation
含义
A 上的一个关系，其中没有元素与自身相关。
使用场景
用于严格比较，例如小于。
计算示例
关系 < 是不可自反的，因为 x<x 总是错误的。关系和序。
对称关系。
Symmetric relation
符号
xRy⇒yRx含义
一种可以反转其方向的，对于每对相关元素都成立的关系。
使用场景
用于平等或共享属性等相互关系。
计算示例
在 ℤ 上，具有相同奇偶性的关系是对称的。关系和序。
反对称关系
Antisymmetric relation
符号
xRy∧yRx⇒x=y含义
一种两个不同的元素之间不可能存在双向相关性的关系。
使用场景
将其用作偏序的公理。
注意
反对称并不意味着关系缺乏对称对；相等的元素可能以两种方式相关。
计算示例
子集关系 ⊆ 是反对称的。关系和序。
非对称关系
Asymmetric relation
符号
xRy⇒¬(yRx)含义
一种相关对永远不能以相反方向出现的关系。
使用场景
用于严格的定向比较。
计算示例
严格的序关系 < 是非对称的。关系和序。
传递关系
Transitive relation
符号
xRy∧yRz⇒xRz含义
一种通过中间相关元素传递的关系。
使用场景
用于排序、等价关系、可达性和蕴含链。
计算示例
可除性具有传递性：如果 a 能整除 b，并且 b 能整除 c，那么 a 能整除 c。关系和序。
等价关系
Equivalence relation
符号
∼含义
一种自反的、对称的和传递的关系。
使用场景
用于将应根据所选标准视为相同的对象分组。
计算示例
同余模 n 是 ℤ 上的等价关系。关系和序。
等价类
Equivalence class
符号
[x]含义
包含所有与给定元素等价的元素的集合。
使用场景
将其用作由等价关系诱导的分区的块之一。
计算示例
对于模 3 同余，1 的等价类是 [1]={...,−5,−2,1,4,7,...}。关系和序。
商集。
Quotient set
符号
A/∼含义
A 在某个等价关系下的所有等价类的集合。
使用场景
用于将等效元素替换为单个抽象类。
计算示例
集合 ℤ/3ℤ 有三个类：[0]、[1] 和 [2]。关系和序。
偏序。
Partial order
符号
≼含义
一种自反的、反对称的和传递的关系。
使用场景
当某些元素可以比较，而其他元素可能无法比较时使用。
计算示例
子集包含关系部分地对幂集进行排序。关系和序。
偏序集。
Partially ordered set
符号
(P,≼)含义
集合及其指定的偏序。
使用场景
将其用作序理论和依赖性分析研究的对象。
计算示例
12 的因子构成一个在可除性下的偏序集。关系和序。
全序
Total order
符号
≤含义
一种偏序，其中每对元素都是可比的。
使用场景
用于排序和线性排名。
计算示例
常用序 ≤ 是 ℝ 上的一个全序。关系和序。
哈斯图
Hasse diagram
含义
一个有限偏序集合的简化图，它显示了覆盖关系，并省略了传递边。
使用场景
用于可视化层次结构、可除性、子集包含和依赖关系。
计算示例
对于数字 6 的约数，哈斯图显示 1 在 2 和 3 的下方，而 6 在 2 和 3 的上方。关系和序。
良序
Well-order
含义
一种完全序，其中每个非空子集都有一个最小元素。
使用场景
用于归纳、递归定义和序数理论。
计算示例
ℕ 上的常用序是一种良序。关系和序。
最小值和最大值。
Minimal and maximal elements
含义
偏序集中，没有严格小于或严格大于的比较元素。
使用场景
当部分序可能具有多个局部边界元素时使用。
计算示例
一个有限的偏序集合可以有多个极大元素。关系和序。
最小元素和最大元素。
Least and greatest elements
符号
⊥, ⊤含义
偏序集中，每个元素之上的或之下的元素。
使用场景
用于全局边界和晶格端点。
注意
最小值并不总是指最小，最大值也不总是指最大。
计算示例
如果存在最小元素，则该元素是唯一的。关系和序。
上界和下界
Upper and lower bounds
含义
位于排序集合中，在所选子集中，高于或低于每个元素的元素。
使用场景
用于定义上确界、下确界、有界集合和优化限制。
计算示例
数字 10 是 {1,4,7} 的上界。关系和序。
上确界和下确界。
Supremum and infimum
符号
sup(S), inf(S)含义
子集的上确界和下确界，如果它们存在。
使用场景
用于分析、优化和完备晶格理论。
计算示例
对于 S=(0,1), sup(S)=1 且 inf(S)=0，即使两者都不属于 S。函数和映射
函数
Function
符号
f:A→B含义
一种将 A 中的每个元素映射到 B 中的恰好一个元素的二元关系。
使用场景
使用函数来建模确定性映射、变换和计算。
计算示例
规则 f(n)=n² 定义了一个从 ℤ 到 ℕ 的函数。函数和映射
函数的定义域
Domain of a function
符号
dom(f)含义
函数的允许输入值的集合。
使用场景
说明这一点，因为相同的公式可以定义在不同定义域上不同的函数。
计算示例
对于 f:ℝ→ℝ 且 f(x)=x²，定义域是 ℝ。函数和映射
陪域
Codomain
符号
B含义
函数 f:A→B 的目标集合。
使用场景
用于定义满射，并区分预期的输出和实际达到的输出。
计算示例
对于 f:ℝ→ℝ 且 f(x)=x²，陪域是 ℝ。函数和映射
函数的定义域。
Range of a function
符号
f(A)含义
函数实际达到的输出值的集合。
使用场景
用于测试满射，并确定可行输出。
注意
值域可能小于陪域。
计算示例
对于 f:ℝ→ℝ 且 f(x)=x²，值域是 [0,∞)。函数和映射
子集的像
Image of a subset
符号
f(S)含义
从域的子集 S 的元素获得的函数值的集合。
使用场景
用于跟踪映射如何转换选定的区域或集合。
计算示例
对于 f(x)=x² 且 S={−2,1,3}, f(S)={1,4,9}.函数和映射
子集的逆像。
Preimage of a subset
符号
f⁻¹(T)含义
函数值位于所选目标子集 T 中的域元素的集合。
使用场景
用于将条件和事件反向传递到函数中。
计算示例
对于 f(x)=x²，{4} 的原像是 {−2,2}。函数和映射
注入函数
Injective function
符号
f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂含义
一个永不将两个不同的输入映射到相同输出的函数。
使用场景
当输入必须在映射后保持可区分时使用。
计算示例
定义为 f(n)=2n 的函数 f:ℤ→ℤ 是单射的。函数和映射
全射函数。
Surjective function
符号
f(A)=B含义
一个其值域等于其陪域的函数。
使用场景
当每个声明的目标必须至少由一个输入到达时使用。
计算示例
定义为 f(x)=x² 的函数 f:ℝ→[0,∞) 是全射的。函数和映射
双射函数
Bijective function
符号
A↔B含义
既是单射又是满射的函数。
使用场景
用于按元素对两个集合进行配对、比较基数和定义反函数。
计算示例
定义为 f(n)=n+1 的函数 f:ℤ→ℤ 是双射的。函数和映射
逆函数
Inverse function
符号
f⁻¹:B→A含义
一个通过将每个输出映射回其唯一输入来反转双射的函数。
使用场景
用于撤销可逆映射。
注意
对于子集，即使不存在反函数，也可以定义逆像记号 f⁻¹(T)。
计算示例
如果 f(x)=2x+1 on ℝ，那么 f⁻¹(y)=(y−1)/2.函数和映射
函数复合
Function composition
符号
g∘f含义
通过首先应用 f，然后应用 g 形成的函数。
使用场景
用于从更简单的步骤构建复杂的转换。
计算示例
如果 f(x)=x+1 且 g(x)=2x，那么 (g∘f)(x)=2x+2.函数和映射
恒等函数
Identity function
符号
id_A含义
将集合中的每个元素映射到自身的函数。
使用场景
将其用作函数复合的零元。
计算示例
对于每个函数 f:A→B, f∘id_A=f 且 id_B∘f=f。函数和映射
函数的限制。
Restriction of a function
符号
f|_S含义
通过将 f 的定义域限制到子集 S 而获得的函数。
使用场景
用于研究局部行为或使函数在较小的域上成为单射。
计算示例
将平方函数限制到 [0,∞) 上的函数是单射的。函数和映射
指示函数
Indicator function
符号
1_A(x)含义
一个将 A 中的元素映射到 1，将 A 之外的元素映射到 0 的函数。
使用场景
用于在概率、积分和数据处理中，通过代数方式编码成员关系。
计算示例
对于 A={2,4}, 1_A(2)=1 且 1_A(3)=0.无限集合和基数
基数相同的集合
Equinumerous sets
符号
|A|=|B|含义
通过双射连接的集合，意味着它们具有相同的基数。
使用场景
使用双射来比较大小，尤其是在处理无限集合时，而无需直接计数。
计算示例
自然数 ℕ 和偶自然数通过 f(n)=2n 是等基数的。无限集合和基数
可数集
Countable set
含义
一个有限集合或一个可以注入到自然数集合中的集合。
使用场景
用于可以按序列列出的集合，可能包含间隙。
计算示例
ℕ 的任何子集都是可数的。无限集合和基数
countably infinite 集合
Countably infinite set
符号
|A|=ℵ₀含义
一个可以与自然数建立双射的无限集合。
使用场景
用于区分序列大小的无穷大和更大的基数。
计算示例
整数集 ℤ 和有理数集 ℚ 是可数无穷集。无限集合和基数
不可数集合
Uncountable set
含义
无法与自然数集合的任何子集建立双射的集合。
使用场景
用于更大的无穷，例如实数和函数空间。
计算示例
区间 [0,1] 是不可数的。无限集合和基数
阿列夫零
Aleph-null
符号
ℵ₀含义
自然数的基数以及每个可数无穷集的基数。
使用场景
将其用作最小的无限基数。
计算示例
|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.无限集合和基数
连续统的基数
Cardinality of the continuum
符号
𝔠含义
实数的基数，等于 ℕ 的幂集的基数。
使用场景
用于区间大小、实值序列和连续几何集合。
计算示例
|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.无限集合和基数
康托尔的对角线论证
Cantor's diagonal argument
含义
一种构造对象的方法，该对象在它的第 n 个分量上与第 n 个列出的对象不同。
使用场景
用于证明提出的列表是不完整的，尤其是在实数或无限序列的情况下。
计算示例
对角线论证证明二进制序列不能由 ℕ 列出。无限集合和基数
康托尔定理
Cantor's theorem
符号
|A|<|𝒫(A)|含义
任何集合的幂集的基数严格大于原始集合的基数。
使用场景
用于证明不存在最大的基数，并生成更大的无穷大。
计算示例
任何从集合 A 到其幂集 𝒫(A) 的函数都不能是全射。无限集合和基数
基数算术
Cardinal arithmetic
符号
κ+λ, κλ, κ^λ含义
通过不相交并集、笛卡尔积和函数集合在基数上定义的算术运算。
使用场景
用于比较组合的无穷集合的大小。
计算示例
对于无限可数集合，ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ 且 ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀。无限集合和基数
Dedekind 无穷集合
Dedekind-infinite set
含义
与其自身的真子集具有相同基数的集合。
使用场景
在标准集合论中，将其用作无穷大的结构特征。
计算示例
n↦n+1 是从 ℕ 到真子集 ℕ∖{0} 的双射。公理和基础
朴素集合论。
Naive set theory
含义
一种将集合视为由可理解属性描述的任意集合的非正式方法。
使用场景
用于普通数学，当基本悖论不涉及时。
注意
无限制的按属性进行收集会导致悖论，因此形式化的基础使用公理。
计算示例
基本的并集和交集计算通常只需要朴素集合论。公理和基础
罗素悖论。
Russell's paradox
符号
R={x:x∉x}含义
通过询问“所有不是自身成员的集合的集合是否是自身成员”而产生的矛盾。
使用场景
用于理解为什么无限制的集合公理无效。
计算示例
如果 R∈R，则 R∉R；如果 R∉R，则 R∈R。公理和基础
公理集合论
Axiomatic set theory
含义
一种形式理论，它只允许通过指定的公理来定义集合和构造。
使用场景
用于为数学提供一个一致的基础，并避免已知的悖论。
计算示例
ZF 和 ZFC 是集合论的标准公理系统。公理和基础
扩展性公理
Axiom of extensionality
含义
两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素。
使用场景
用于使成员关系完全确定集合的身份。
计算示例
要证明 A=B，只需证明对于每个 x，如果 x∈A 并且 x∈B 即可。公理和基础
构造公理
Axiom of pairing
含义
对于任何对象 a 和 b，存在一个集合 {a,b}。
使用场景
用于构造对和单元素集合。
计算示例
如果 a=b，则得到单元素集合 {a}。公理和基础
并集公理
Axiom of union
符号
⋃A含义
对于任何集合的集合 A，存在一个包含其成员集合的元素的集合。
使用场景
用于扁平化嵌套集合的一层，并构造并集。
计算示例
对于集合 A={{1,2},{2,3}}，应用并集公理得到 ⋃A={1,2,3}。公理和基础
幂集公理
Axiom of power set
含义
对于任何集合 A，存在一个包含 A 的所有子集的集合。
使用场景
用于构造函数空间、拓扑和更大的基数。
计算示例
该公理保证了 𝒫(A) 的存在。公理和基础
无穷公理
Axiom of infinity
含义
一个公理，它断言存在一个具有归纳性的集合，该集合支持自然数的构造。
使用场景
用于确保集合论至少包含一个无穷集合。
计算示例
自然数可以在一个归纳集合中构造。公理和基础
分离公理模式
Axiom schema of separation
含义
一种允许从已存在的集合中选择满足特定属性的元素的模式。
使用场景
用于定义子集，但不允许对所有满足某个属性的元素进行无限制的集合。
计算示例
给定 A 和属性 P，分离形成 {x∈A:P(x)}。公理和基础
替换公理模式
Axiom schema of replacement
含义
一种声明，在可定义函数规则的作用下，集合的像也是一个集合的模式。
使用场景
用于无穷构造和由大序数索引的图像。
计算示例
一个可定义的规则 F 将一个集合 A 映射到集合 {F(x): x∈A}。公理和基础
基础公理
Axiom of foundation
含义
任何非空集合都包含一个与该集合不相交的元素，从而防止无限下降的成员链。
使用场景
用于排除普通集合，例如 x∈x 和循环成员链。
计算示例
公理体系排除具有 a∈b 和 b∈a 的双集合循环。公理和基础
选择公理
Axiom of choice
含义
对于每个非空集合的集合，存在一个函数，该函数从每个集合中选择一个元素。
使用场景
用于诸如良序定理、佐恩引理和向量空间基的存在性等结果。
计算示例
该公理提供了一种选择函数，即使在没有明确的选择规则的情况下。公理和基础
ZF 集合论
ZF set theory
符号
ZF含义
不包含选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论。
使用场景
在选择公理的状态与否分开的情况下，将其用作标准的正式基础。
计算示例
ZF 包含扩张性、配对、并集、幂集、无穷性、分离、替换和基础性。公理和基础
ZFC 集合论
ZFC set theory
符号
ZFC含义
ZF 集合论以及选择公理。
使用场景
将其用作主流数学最常见的框架。
计算示例
大多数普通的数学结果都可以用 ZFC 进行形式化。公理和基础
传递集合
Transitive set
含义
集合中的每个元素也是该集合的子集。
使用场景
用于序理论、集合层次结构和集合论模型。
计算示例
集合 {∅,{∅}} 是传递的。公理和基础
序数。
Ordinal number
符号
α,β,ω含义
表示一个良序集合的序类型的规范集合。
使用场景
用于描述位置、无穷递推和超越有限序的阶段。
计算示例
第一个无限序数是 ω，它排在所有有限序数之后。公理和基础
基数
Cardinal number
符号
κ,λ含义
具有相同基数的集合的规范代表。
使用场景
用于比较集合大小，而不考虑顺序或内部结构。
计算示例
有限基数 3 表示每个包含三个元素的集合。应用程序
样本空间和事件。
Sample space and event
符号
Ω, E⊆Ω含义
在概率中，样本空间是所有可能结果的集合，而事件是其子集之一。
使用场景
使用集合运算来组合事件和补集，以表达失败。
计算示例
对于一个骰子，Ω={1,2,3,4,5,6}，偶数事件是 E={2,4,6}。应用程序
解集。
Solution set
含义
满足方程、不等式或约束条件的集合。
使用场景
用于统一地表达零、一、几个或无限多个解。
计算示例
x²=4 的实数解集是 {−2,2}。应用程序
载集
Carrier set
含义
定义代数或逻辑结构的底层元素的集合。
使用场景
用于将原始元素与添加到其中的操作和关系分开。
计算示例
一个群 (G,*) 具有载集 G 和运算 *。应用程序
数据库集合操作
Database set operations
含义
诸如 UNION、INTERSECT 和 EXCEPT 的操作，它们使用集合语义组合兼容的查询结果。
使用场景
用于合并、比较或减去结果行。
注意
数据库表可以包含重复值和空值，因此 SQL 语义与纯集合论不完全相同。
计算示例
UNION 会删除重复的行，除非使用 UNION ALL。应用程序
集合数据结构。
Set data structure
含义
一种编程集合，它存储唯一值，并且通常支持快速成员测试。
使用场景
用于去重、跟踪已访问状态和成员查找。
计算示例
集合可以将列表 [3,1,3,2] 简化为唯一的元素 {1,2,3}。应用程序
类型解释为一个集合
Type interpreted as a set
含义
一种将类型视为允许值的集合的观点。
使用场景
用于推理验证、并集、交集、子类型和穷尽情况。
计算示例
布尔类型可以由集合 {true, false} 来建模。