数学参考

线性代数术语和计算指南

通过实例学习向量、矩阵、仿射和空间几何、格、线性系统、变换、分解、最小二乘法和 PCA。

点、平面和范向量

从一个点到平面的最短位移与平面的法向量平行。

格基和基本区域

两个基向量的整数组合将平面用面积相等的基本平行四边形填充。

97 个术语

对象和形状

标量

Scalar

符号a

含义

用于缩放向量或矩阵的单个数值。

使用场景

使用标量进行加权、系数、学习率、温度和幅度。

计算示例

3[2, -1] = [6, -3].

对象和形状

向量

Vector

符号v ∈ ℝⁿ

含义

一个可以表示方向、位置、特征或状态的有序组件列表。

使用场景

使用向量来表示坐标、信号、特征、嵌入和模型参数。

计算示例

v = [3, 4] has two components.

对象和形状

矩阵

Matrix

符号A ∈ ℝᵐˣⁿ

含义

一个由行和列排列的数字矩形数组。

使用场景

使用矩阵来存储数据集、线性系统、变换、图像和权重。

计算示例

A = [[1, 2], [3, 4]].

对象和形状

张量

Tensor

符号T ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏ

含义

一个推广了标量、向量和矩阵的多维数组。

使用场景

使用张量进行批处理、图像、视频、模型激活和多轴科学数据。

计算示例

一批 32 个 RGB 图像，大小为 224×224，其形状为 32×3×224×224。

对象和形状

形状

Shape

符号m × n

含义

数组轴的有序大小。

使用场景

在加法、乘法、广播、重塑和模型输入之前，检查形状。

注意

大多数矩阵乘法错误来自不兼容的内径。

计算示例

一个 3×4 矩阵有 3 行和 4 列。

向量运算

向量加法

Vector addition

符号u + v

含义

向量的逐元素加法，具有相同的维度。

使用场景

将其用于组合位移、力、信号、更新或特征贡献。

计算示例

[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].

向量运算

标量乘法

Scalar multiplication

符号cv

含义

将每个向量分量乘以相同的标量。

使用场景

将其用于缩放幅度、反转方向或应用加权更新。

计算示例

-2[3, 1] = [-6, -2].

向量运算

点积

Dot product

符号u · v

含义

对应向量分量的乘积之和，产生一个标量。

使用场景

将其用于相似性、投影、工作量、注意力分数和线性模型输出。

计算示例

[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.

向量运算

叉积

Cross product

符号u × v

含义

一个垂直于两个输入向量的三维向量，其大小等于它们的平行四边形面积。

使用场景

将其用于表面法线、扭矩、方向和三维几何。

注意

标准叉积仅适用于三维空间，除了一个不太常见的七维类比。

计算示例

[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].

向量运算

向量范数

Vector norm

符号‖v‖

含义

向量大小的一个非负度量，它满足范数公理。

使用场景

使用范数来衡量大小、距离、误差、正则化和收敛性。

计算示例

For v=[3,4], ‖v‖₂=5.

向量运算

单位向量

Unit vector

符号v/‖v‖

含义

范数为 1 的向量。

使用场景

将其用于在去除幅度的同时保持方向，并构建正交基。

计算示例

[3,4]/5 = [0.6,0.8].

向量运算

欧几里得距离

Euclidean distance

符号‖u-v‖₂

含义

两个表示为向量的点的直线距离。

使用场景

将其用于几何、最近邻搜索、聚类以及在比例可比的情况下进行误差测量。

计算示例

从 [1,1] 到 [4,5] 的距离是 5。

向量运算

余弦相似度

Cosine similarity

符号u·v/(‖u‖‖v‖)

含义

两个非零向量之间的角度的余弦，用于衡量方向相似性。

使用场景

将其用于比较文本嵌入或高维特征，当幅度应该不太重要时。

注意

余弦相似度对于零向量是未定义的，并且可能会掩盖有意义的幅度差异。

计算示例

[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.

向量运算

线性向量

Orthogonal vectors

符号u·v=0

含义

具有零点积的向量。

使用场景

使用正交性来分离独立的方向、简化投影和构建稳定的基。

计算示例

[1,2] · [2,-1] = 0，因此这些向量是正交的。

向量运算

向量投影

Vector projection

符号projᵤ(v)

含义

向量的一个分量，该分量位于另一个向量或子空间的方向上。

使用场景

将其用于分解、最小二乘法、阴影和去除方向分量。

计算示例

proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].

矩阵运算

矩阵加法

Matrix addition

符号A+B

含义

矩阵的逐元素加法，具有相同的形状。

使用场景

将其用于组合线性效应、残差更新、图像或累积数据。

计算示例

[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].

矩阵运算

矩阵乘法

Matrix multiplication

符号AB

含义

一种行-列操作，当内维度匹配时，它组合线性变换。

使用场景

将其用于坐标变换、神经网络层、图传播和求解系统。

注意

矩阵乘法通常不满足交换律：AB 可能与 BA 不同，或者其中一个运算可能未定义。

计算示例

A₂ˣ₃B₃ˣ₄ 产生 C₂ˣ₄。

矩阵运算

转置

Transpose

符号Aᵀ

含义

一个通过交换行和列形成的矩阵。

使用场景

将其用于点积、协方差、正规方程、对称性检查和改变方向。

计算示例

If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].

矩阵运算

单位矩阵

Identity matrix

符号I

含义

一个主对角线上为 1，其他位置为 0 的方阵。

使用场景

将其用作乘法单位元，并用于描述不变的坐标。

计算示例

AI = IA = A.

矩阵运算

逆矩阵

Inverse matrix

符号A⁻¹

含义

一个满足 AA⁻¹=A⁻¹A=I 的矩阵，其中 A 是一个可逆的方阵。

使用场景

从概念上讲，将其用于反转变换并求解 Ax=b。

注意

数值软件通常应直接求解 Ax=b，而不是显式计算 A⁻¹。

计算示例

For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].

矩阵运算

行列式

Determinant

符号det(A)

含义

一个用于方阵的标量，它测量有符号体积缩放，并指示可逆性。

使用场景

将其用于测试奇异性以及分析变换下方向或体积的变化。

计算示例

det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.

矩阵运算

迹

Trace

符号tr(A)

含义

矩阵主对角线元素的和。

使用场景

将其用于特征值恒等式、协方差分析、矩阵微积分和优化。

计算示例

tr([[2,1],[3,4]]) = 6.

矩阵运算

矩阵秩

Matrix rank

符号rank(A)

含义

矩阵中线性无关的行或列的个数。

使用场景

将其用于测量信息维度、确定解结构和检测冗余特征。

计算示例

rank([[1,2],[2,4]]) = 1.

矩阵运算

对称矩阵

Symmetric matrix

符号A=Aᵀ

含义

一个等于其转置的方阵。

使用场景

将其用于协方差、二次形式、无向图和实数正交特征分解。

计算示例

[[2,3],[3,5]] is symmetric.

矩阵运算

线性矩阵

Orthogonal matrix

符号QᵀQ=I

含义

一个实数方阵，其列和行形成正交集合。

使用场景

将其用于旋转、反射、稳定分解和保持范数的变换。

计算示例

对于线性矩阵，Q⁻¹ = Qᵀ。

矩阵运算

对角矩阵

Diagonal matrix

符号D

含义

一个主对角线之外的元素都为零的矩阵。

使用场景

将其用于独立缩放以及高效的幂、逆和变换。

计算示例

diag(2,3)^4 = diag(16,81).

线性系统

线性方程组

System of linear equations

符号Ax=b

含义

一组必须同时满足的线性方程。

使用场景

将其用于平衡、拟合、网络、电路、约束和重构。

计算示例

x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.

线性系统

增广矩阵

Augmented matrix

符号[A|b]

含义

一种紧凑的矩阵表示，它将右侧项附加到线性系统的系数矩阵。

使用场景

将其用于在不重复编写变量的情况下进行行简化。

计算示例

x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].

线性系统

初等行变换

Elementary row operation

含义

交换行、通过非零值缩放行，或将一行的一个倍数加到另一行。

使用场景

使用这些保留解的操作来简化线性系统。

计算示例

R₂ ← R₂ - 3R₁.

线性系统

行阶梯形式

Row echelon form

符号REF

含义

一种矩阵形式，其主元向右移动，并且每个主元下方都是零。

使用场景

将其用于反向替换、秩计算以及识别自由变量。

计算示例

[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]] 处于行阶梯形式。

线性系统

简化行阶梯形式

Reduced row echelon form

符号RREF

含义

一种行阶梯形式，其中每个主元都是 1，并且是其列中唯一的非零元素。

使用场景

将其用于直接读取唯一解、自由变量、秩和零空间基。

计算示例

RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].

线性系统

高斯消元法

Gaussian elimination

含义

进行行运算，将系统转换为行阶梯形式，然后进行回代。

使用场景

将其用作解决中等密度线性系统的一般方法，可手动或在软件中进行。

计算示例

从下行消除 x，然后从最后一个支点向上求解。

线性系统

高斯-约旦消元法

Gauss-Jordan elimination

含义

进行行运算，直到增广矩阵达到简化行阶梯形式。

使用场景

当需要显式地获得完整的解结构或逆时，请使用它。

计算示例

当 A 可逆时，将 [A|I] 转换为 [I|A⁻¹]。

线性系统

一致系统

Consistent system

含义

一个至少有一个解的线性系统。

使用场景

使用秩或行简化来区分唯一解、无限解和无解。

计算示例

一行 [0 0 | 1] 证明了一个系统是不一致的。

向量空间

Vector space

符号V

含义

一组元素可以相加和缩放，同时满足向量空间公理的集合。

使用场景

将其用于在统一框架中处理坐标、多项式、函数、信号和矩阵。

计算示例

ℝ³ 和多项式集合，其次数最多为 2，是向量空间。

向量空间

子空间

Subspace

符号W ⊆ V

含义

向量空间的一个子集，它本身在向量加法和标量乘法下是封闭的。

使用场景

将其用于描述受约束的方向、解集、特征空间和不变结构。

计算示例

平面 x+y+z=0 通过原点，是 ℝ³ 的一个子空间。

向量空间

线性包

Span

符号span{v₁,…,vₖ}

含义

给定一组向量的每一个线性组合的集合。

使用场景

将其用于描述从生成器可达的所有方向或输出。

计算示例

span{[1,0],[0,1]} = ℝ².

向量空间

线性独立性

Linear independence

含义

一组向量是线性无关的，当且仅当只有所有系数都为零时，才能产生零向量。

使用场景

将其用于检测冗余方向并选择一个基。

计算示例

[1,0] 和 [0,1] 线性无关。

向量空间

基

Basis

含义

一组线性无关的向量，它们张成一个向量空间。

使用场景

将其用于分配坐标并唯一表示每个向量。

计算示例

{[1,0],[0,1]} 是 ℝ² 的标准基。

向量空间

维度

Dimension

符号dim(V)

含义

有限维向量空间的任何基中的向量个数。

使用场景

将其用于测量独立的自由度。

计算示例

dim(ℝ⁴)=4.

向量空间

列空间

Column space

符号Col(A)

含义

矩阵列的线性包，等于所有 Ax 的输出。

使用场景

将其用于确定 Ax=b 是否可解，以及变换可以产生哪些输出。

计算示例

Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).

向量空间

零空间

Null space

符号Null(A)

含义

满足 Ax=0 的向量集合。

使用场景

将其用于描述不可见的方向、齐次解、参数冗余和约束。

计算示例

如果 A=[1 2]，那么 Null(A)=span{[-2,1]}。

向量空间

秩-可零性定理

Rank-nullity theorem

符号rank(A)+nullity(A)=n

含义

对于一个有 n 列的矩阵，列空间维数加上零空间维数等于 n。

使用场景

将其用于连接独立的输出，并恢复丢失的输入自由度。

计算示例

一个秩为 3 的 3×5 矩阵，其零化度为 2。

线性变换

Linear transformation

符号T(u+v)=T(u)+T(v)

含义

一个保持向量加法和标量乘法的映射。

使用场景

将其用于建模旋转、缩放、投影、滤波和线性层。

计算示例

T([x,y])=[2x,y] 将 x 方向缩放 2 倍。

线性变换

核

Kernel

符号ker(T)

含义

被线性变换映射到零向量的输入集合。

使用场景

将其用于检测由变换丢失的信息，并测试单射性。

计算示例

T 是一个一一对应，当且仅当 ker(T)={0}。

线性变换

图像

Image

符号im(T)

含义

变换产生的全部输出集合。

使用场景

将其用于描述可达的输出并测试单射性。

计算示例

对于矩阵变换 T(x)=Ax，im(T)=Col(A)。

线性变换

基变换

Change of basis

含义

使用不同的坐标基重新表达相同的向量或变换。

使用场景

将其用于将坐标与几何图形对齐，简化运算符，或在局部和全局框架之间进行转换。

计算示例

If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.

空间和仿射几何

点

Point

符号P

含义

在仿射空间中的一个位置，本身不具有大小或方向。

使用场景

使用点来表示位置，并减去两个点以获得一个位移向量。

注意

在没有选择原点或仿射组合的情况下，添加两个点本身没有明确的定义。

计算示例

对于 P=(1,2) 和 Q=(4,6)，位移 Q-P=[3,4]。

空间和仿射几何

位置向量

Position vector

符号OP

含义

从选定的原点 O 到点 P 的向量。

使用场景

将其用于在固定原点和基之后表示具有坐标的点。

计算示例

If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].

空间和仿射几何

仿射空间

Affine space

含义

一个点空间，其中点的差是向量，但没有优先的原点。

使用场景

将其用于独立于任意坐标原点的建模几何。

计算示例

一个平移后的平面仍然是仿射空间，即使它不经过原点。

空间和仿射几何

仿射组合

Affine combination

符号ΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1

含义

一组点的加权组合，其系数之和为 1。

使用场景

将其用于插值、质心、质心坐标和仿射变换。

计算示例

P 和 Q 的中点是 0.5P + 0.5Q。

空间和仿射几何

直线的参数方程

Parametric equation of a line

符号x=p+tv

含义

由一个点 p 和一个非零方向向量 v 表示的直线。

使用场景

将其用于生成直线上的点，并解决与平面或其他直线的交点。

计算示例

Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).

空间和仿射几何

平面的方程

Equation of a plane

符号n·(x-p)=0

含义

由一个点 p 和一个非零的法向量 n 描述的平面。

使用场景

将其用于分类边界、裁剪、碰撞测试和几何约束。

计算示例

如果 n=[1,2,3] 且 p=(1,0,0)，则平面为 x+2y+3z=1。

空间和仿射几何

超平面

Hyperplane

符号w·x=b

含义

在 n 维空间中，一个维度为 n-1 的仿射子空间。

使用场景

将其用作决策边界、约束表面或更高维的平面。

计算示例

在 ℝ⁴ 中，w·x=b 定义了一个三维超平面。

空间和仿射几何

范向量

Normal vector

符号n

含义

与一条线、平面、曲面切空间或超平面垂直的向量。

使用场景

将其用于定义平面、计算距离、反射向量和确定表面方向。

计算示例

对于 2x-y+3z=4，一个法向量是 [2,-1,3]。

空间和仿射几何

直线与平面的交点

Line-plane intersection

含义

通过将参数线代入平面方程并求解其参数而找到的点。

使用场景

将其用于光线投射、渲染、碰撞检测和几何构造。

注意

如果 n·v=0，则直线与平面平行或完全位于平面内。

计算示例

Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).

空间和仿射几何

从一个点到一条线的距离

Distance from a point to a line

含义

从一个点到一条线的最短垂直线段的长度。

使用场景

将其用于最近路径查询、拟合、碰撞边距和几何误差。

计算示例

对于直线 p+tv，点到直线的距离为：distance(P,line)=‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖。

空间和仿射几何

从一个点到平面的距离

Distance from a point to a plane

符号|n·P-d|/‖n‖

含义

点处的绝对带符号平面方程，已根据法向量长度进行归一化。

使用场景

将其用于边距、裁剪、碰撞检测和点云处理。

计算示例

从 (1,2,3) 到 z=0 的距离是 3。

空间和仿射几何

投影到平面

Projection onto a plane

含义

通过移除一个位移的法向分量，得到的平面上的最近点。

使用场景

将其用于将点映射到表面、解决约束和分解运动。

计算示例

For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.

空间和仿射几何

关于平面的反射

Reflection across a plane

含义

一个变换，它反转法向分量，同时保持平行于平面的分量。

使用场景

将其用于镜像几何、反弹方向、对称性和图形。

计算示例

对于一个经过原点的平面，反射向量为 vrefl=v-2projₙ(v)。

空间和仿射几何

质心坐标

Barycentric coordinates

符号α+β+γ=1

含义

权重，用于将一个点表示为简单体的顶点的仿射组合。

使用场景

用于三角形插值、点在三角形内的测试、网格和有限元。

计算示例

P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.

空间和仿射几何

由行列式得到的面积

Area from a determinant

符号|det([u v])|

含义

两个平面边向量的绝对行列式，等于它们的平行四边形面积。

使用场景

将其用于多边形面积、方向测试、雅可比行列式和坐标变换。

计算示例

u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.

空间和仿射几何

标量三重积

Scalar triple product

符号u·(v×w)

含义

用于平行六面体的符号体积，由三个三维向量组成。

使用场景

将其用于体积、共面性和三维方向测试。

计算示例

体积是 |u·(v×w)|。

空间和仿射几何

方向

Orientation

符号sign(det)

含义

一个符号，指示基或点序列的手性或顺时针与逆时针顺序。

使用场景

将其用于多边形算法、缠绕、法向量和坐标系一致性。

计算示例

在 ℝ² 中，det([B-A,C-A])>0 表示 A、B、C 逆时针排列。

空间和仿射几何

同质坐标

Homogeneous coordinates

符号[x,y,z,w]

含义

具有额外比例分量的坐标，用于均匀地表示仿射点和投影方向。

使用场景

用于以矩阵形式组合平移、旋转、缩放、透视和投影。

注意

同一个向量必须小心地进行归一化，当其最终分量为非零时；零的最终分量表示在无穷远处的方向。

计算示例

2D 点 (x,y) 变为 [x,y,1]，而方向变为 [vx,vy,0]。

格几何

格

Lattice

符号L=Bℤᵏ

含义

由所有线性无关的基向量的整数组合形成的离散点集。

使用场景

在离散几何、编码、密码学、优化和结晶学中使用晶格。

计算示例

For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.

格几何

整数格

Integer lattice

符号ℤⁿ

含义

所有具有整数坐标的 n 维向量的晶格。

使用场景

将其用作标准坐标晶格，以及子晶格和整数优化的参考。

计算示例

ℤ² 包含每个点 (m,n)，其中 m,n∈ℤ。

格几何

格基

Lattice basis

符号B=[b₁ … bₖ]

含义

一组线性无关的向量，其整数组合生成一个格。

使用场景

将其用于编码、枚举、转换和计算晶格的属性。

注意

一个格有无限多个可能的基，通常具有非常不同的向量长度和角度。

计算示例

向量 [2,0] 和 [1,3] 构成一个二维格的基。

格几何

格秩

Lattice rank

符号rank(L)

含义

晶格基中的向量数量，等于其实数空间的维度。

使用场景

将其用于区分嵌入在环境空间中的满秩和低维晶格。

计算示例

由 [1,0,0] 和 [0,1,0] 生成的晶格在 ℝ³ 中具有 rank 2。

格几何

格点

Lattice point

符号Bz

含义

由将格基矩阵乘以一个整数向量而得到的点。

使用场景

将其用作最近点、填充、编码和整数约束问题的离散候选值。

计算示例

如果 B=[[2,1],[0,3]] 且 z=[2,-1]，则 Bz=[3,-3]。

格几何

基本平行多面体

Fundamental parallelepiped

符号P(B)

含义

由基系数形成的半开区域，范围在 0（包含）和 1（不包含）之间。

使用场景

将其用作一个重复的单元格，其中包含每个陪集模晶格的一个代表。

计算示例

P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.

格几何

格行列式

Lattice determinant

符号det(L)

含义

基本区域的体积，也称为晶格共体积。

使用场景

将其用于测量晶格密度，并比较满秩晶格的间距。

计算示例

For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.

格几何

子格

Sublattice

符号L'⊆L

含义

一个格的子群，它本身也是一个格，位于相同的实数空间或较低维度的空间中。

使用场景

将其用于施加额外的同余条件或比较嵌套的离散结构。

计算示例

2ℤ² 是 ℤ² 的一个子格。

格几何

格指数

Lattice index

符号[L:L']

含义

在 L 中，子晶格 L' 的陪集数量。

使用场景

将其用于测量子晶格的稀疏程度，并关联嵌套晶格的行列式。

计算示例

[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).

格几何

Unimodular 矩阵

Unimodular matrix

符号U∈GLₙ(ℤ)

含义

一个整数平方矩阵，其行列式为 1 或 -1，其逆矩阵也是整数。

使用场景

将其用于更改晶格基，而无需更改晶格本身。

计算示例

如果 B'=BU 且 det(U)=±1，则 B 和 B' 生成相同的格。

格几何

等价的格基

Equivalent lattice bases

符号B'=BU

含义

两个由一个 unimodular 整数矩阵关联的基，它们生成完全相同的晶格。

使用场景

将其用于将长、倾斜的基替换为更短、更正交的基。

计算示例

B 和 B'=B[[1,1],[0,1]] 是等价的基。

格几何

格基的 Gram 矩阵

Gram matrix of a lattice basis

符号G=BᵀB

含义

一个矩阵，包含所有基向量的成对内积。

使用场景

将其用于计算基于坐标的长度、角度、体积和二次形式。

计算示例

对于整数向量 z，‖Bz‖²=zᵀGz。

格几何

格基的 Gram-Schmidt 算法

Gram-Schmidt for lattice bases

符号bᵢ*

含义

一种用于分析格基的归一化方法，通常不产生另一个格基。

使用场景

将其用于计算投影系数、基质量和 LLL 约化步骤。

注意

Gram-Schmidt 向量是分析辅助，不必是格点。

计算示例

b₂*=b₂-μ₂₁b₁*，其中 μ₂₁=⟨b₂,b₁*⟩/‖b₁*‖²。

格几何

正交性缺陷

Orthogonality defect

符号∏‖bᵢ‖/det(L)

含义

衡量满秩基与正交性之间的差距。

使用场景

将其用于比较基质量，并预测数值或枚举的难度。

计算示例

对于正交基，缺陷等于 1，否则大于或等于 1。

格几何

对偶格

Dual lattice

符号L*

含义

包含所有与 L 中的每个向量具有整数内积的向量的集合。

使用场景

将其用于傅里叶分析、编码理论、互惠几何和传递界限。

计算示例

对于满秩基 B，对偶基是 B⁻ᵀ。

格几何

最短向量问题

Shortest vector problem

符号SVP

含义

找到格中非零向量的最短向量。

使用场景

将其用于理解晶格几何、约化质量和基于晶格的密码学硬度。

计算示例

Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.

格几何

连续最小值

Successive minima

符号λᵢ(L)

含义

需要的半径以包含越来越多的线性无关的格向量。

使用场景

用于描述晶格形状，而不仅仅是单个最短向量。

计算示例

λ₁(L) 是最短向量的长度，而 λₖ(L) 达到 k 个线性无关的向量。

格几何

Minkowski 的凸体定理

Minkowski's convex body theorem

含义

一个体积条件，确保对称凸体包含一个非零的格点。

使用场景

将其用于证明关于短晶格向量的界限以及代数数论的结果。

计算示例

一个足够大的、原点对称的凸体必须包含一个非零点 L。

格几何

格球填充

Lattice sphere packing

含义

在格点上放置大小相等的非重叠球体，并测量所占空间比例。

使用场景

将其用于编码理论、通信、离散几何和高维优化。

计算示例

填充半径是最短非零晶格向量长度的一半。

格几何

晶格的沃罗诺伊单元。

Voronoi cell of a lattice

含义

离一个晶格点至少与所有其他晶格点一样近的点的区域。

使用场景

使用它来理解最近晶格点解码以及 CVP 区域的几何形状。

计算示例

Voronoi 胞元围绕 0，通过格平移填充空间。

格几何

格基约化

Lattice basis reduction

含义

用更短且更接近正交的向量替换格基，得到一个等价的格基。

使用场景

将其用于改进枚举、整数关系搜索、密码分析和数值行为。

计算示例

一个约简后的基生成相同的格，但更清晰地暴露了其几何结构。

格几何

LLL 算法

LLL algorithm

符号LLL

含义

一种多项式时间算法，产生满足大小缩减和 Lovász 条件的基。

使用场景

将其用于实际的近似短向量、多项式因式分解、密码分析和整数关系。

注意

LLL 算法为近似短向量提供质量保证，但不一定给出精确的 SVP 解决方案。

计算示例

LLL 算法反复对 Gram-Schmidt 系数进行尺寸缩减，并在 Lovász 条件不满足时交换基向量。

特征值和分解

特征值

Eigenvalue

符号Av=λv

含义

一个标量 λ，它使线性变换对非零特征向量进行缩放，而不会改变其方向。

使用场景

使用特征值来研究稳定性、长期动态、协方差、图和微分方程。

计算示例

对于 A=diag(2,3)，特征值是 2 和 3。

特征值和分解

特征向量

Eigenvector

符号Av=λv, v≠0

含义

一个由线性变换在标量缩放下保持不变的方向。

使用场景

将其用于识别自然轴、主模式、稳态和主要方向。

计算示例

对于 A=diag(2,3)，[1,0] 是一个特征值为 λ=2 的特征向量。

特征值和分解

特征多项式

Characteristic polynomial

符号det(A-λI)

含义

一个其根是方阵的特征值的多项式。

使用场景

将其用于符号特征值计算以及小矩阵的理论分析。

计算示例

对于 A=[[2,0],[0,3]]，det(A-λI)=(2-λ)(3-λ)。

特征值和分解

对角化

Diagonalization

符号A=PDP⁻¹

含义

使用特征值的对角矩阵和特征向量的基来表示矩阵。

使用场景

将其用于简化矩阵幂、递归和线性动力系统。

注意

并非每个方阵都有足够的线性无关的特征向量才能进行对角化。

计算示例

当 A 可以对角化时，A^k=PD^kP⁻¹。

特征值和分解

LU 分解

LU decomposition

符号PA=LU

含义

将矩阵分解为下三角因子和上三角因子，有时会进行行置换。

使用场景

将其用于高效地求解具有相同系数矩阵的多个系统。

计算示例

Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.

特征值和分解

QR 分解

QR decomposition

符号A=QR

含义

将矩阵分解为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R。

使用场景

将其用于数值稳定的最小二乘法、正交基和特征值算法。

计算示例

通过 Rx=Qᵀb 来求解最小二乘问题，其中 A=QR。

特征值和分解

奇异值分解

Singular value decomposition

符号A=UΣVᵀ

含义

将任何矩阵分解为正交奇异向量矩阵和非负奇异值的分解。

使用场景

将其用于压缩、去噪、伪逆、低秩逼近和潜在结构。

注意

较小的奇异值在用于逆或伪逆时可能会放大噪声。

计算示例

保留最大的 k 个奇异值可以获得在 2-范数和 Frobenius 范数下最佳的秩 k 近似。

特征值和分解

最小二乘法

Least squares

符号min ‖Ax-b‖₂

含义

找到使平方残差最小化的参数，当线性系统没有精确解或过定时。

使用场景

将其用于回归、校准、重构以及拟合噪声测量值。

计算示例

通过最小化平方垂直残差来拟合 y≈mx+c。

特征值和分解

主成分分析

Principal component analysis

符号X≈UₖΣₖVₖᵀ

含义

一种降维方法，它在中心化数据中找到最大方差的正交方向。

使用场景

将其用于可视化、压缩、去噪或总结相关数值特征。

注意

PCA 对特征尺度、异常值以及高方差具有信息量的假设都比较敏感。

计算示例

计算中心 X 的 SVD，并将结果投影到前 k 个右奇异向量上。