运算和公理
集合
Set
符号
S含义
一组不同的对象，被视为一个数学对象。
使用场景
使用集合来指定定义代数运算的载体。
计算示例
ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.数学参考
群、环、域以及抽象代数术语
通过环、域、有限域、模和向量空间，学习代数结构，其中包含定义和示例。
从运算到群、环和域
每个结构都添加了特定的公理；域支持除以每个非零元素。
当模算术形成一个域时
只有当 n 是素数时，ℤ/nℤ 才是域；合数模数可能包含零因子。
63 个术语
运算和公理
二元运算
Binary operation
符号
*:S×S→S含义
一个规则，它将集合中的两个元素组合起来，并返回集合中的一个元素。
使用场景
将其用作 magma、semigroup、group、ring 和 field 的底层运算。
计算示例
加法是 ℤ 上的一个二元运算，因为 a+b∈ℤ 对于所有整数 a 和 b。运算和公理
封闭性
Closure
含义
封闭性：将一个运算应用于允许的元素总是产生另一个允许的元素。
使用场景
在声称一个子集继承了代数结构之前，请检查其封闭性。
计算示例
正整数在加法运算下是封闭的，但在减法运算下不是封闭的。运算和公理
结合律
Associativity
符号
(a*b)*c=a*(b*c)含义
结合律：重新组合三个运算元不会改变结果。
使用场景
用于省略重复乘积或和中的括号，并一致地定义幂。
计算示例
矩阵乘法是结合律的，但通常不满足交换律。运算和公理
交换性
Commutativity
符号
a*b=b*a含义
交换律：交换两个运算元的顺序不会改变结果。
使用场景
用于区分阿贝尔群和可交换环与非交换结构。
计算示例
整数乘法是可交换的，而矩阵乘法通常不可交换。运算和公理
单位元
Identity element
符号
e含义
一个在运算中使用时，保持所有元素不变的元素。
使用场景
用于定义逆元、幂、单项群、群和具有单位元的环。
计算示例
在 ℤ 中，0 是加法单位元，1 是乘法单位元。运算和公理
逆元
Inverse element
符号
a⁻¹含义
一个与给定元素组合产生单位元的元素。
使用场景
用于反转群运算，并确定哪些环元素是单位元。
计算示例
5 的加法逆元是 -5；3 在 ℚ 中的乘法逆元是 1/3。运算和公理
群
Magma
符号
(M,*)含义
一个配备了一个封闭二元运算的集合，但不要求结合律或单位元。
使用场景
将其用作单操作结构层次中的最宽松的起点。
计算示例
每个半群都是一个集合，但集合不一定满足结合律。运算和公理
半群
Semigroup
符号
(S,*)含义
一个运算满足结合律的集合。
使用场景
用于建模不一定具有单位元或逆元的可组合过程。
计算示例
所有非空字符串在连接运算下构成一个半群。运算和公理
单群
Monoid
符号
(M,*,e)含义
一个具有单位元的半群。
使用场景
用于序列、变换、内同态和从中性值组合而成的计算。
计算示例
所有字符串，包括空字符串，在连接运算下形成一个单体。群
群
Group
符号
(G,*)含义
一个单体，其中每个元素都有一个逆元。
使用场景
使用群来描述对称性和可逆运算。
计算示例
整数在加法运算下构成一个群。群
阿贝尔群
Abelian group
符号
a*b=b*a含义
一个运算满足交换律的群。
使用场景
用于加性结构，例如整数、向量和环的加性部分。
计算示例
每个向量空间都是一个在向量加法下的阿贝尔群。群
子群
Subgroup
符号
H≤G含义
一个群的子集，它本身也是一个群，并且在限制的运算下成立。
使用场景
用于隔离群中的对称性、生成元素、稳定子和解集。
计算示例
2ℤ 是 (ℤ,+) 的一个子群。群
循环群
Cyclic group
符号
G=⟨g⟩含义
一个由一个元素生成的群。
使用场景
用于将每个群元素表示为一个生成元的幂或整数倍数。
计算示例
(ℤ/nℤ,+) 是一个循环群，由 [1] 生成。群
群生成元
Group generator
符号
⟨g⟩含义
一个元素或元素的集合，其重复运算和逆运算产生整个群。
使用场景
用于提供紧凑表示，并测试群是否是循环群。
计算示例
元素 [1] 生成了加法群 ℤ/5ℤ。群
群元素的阶
Order of a group element
符号
ord(g)含义
将元素映射到单位元的最小正指数。
使用场景
用于确定循环长度和生成子群的大小。
计算示例
在加法群 ℤ/6ℤ 中，元素 [2] 的阶数为 3。群
群的阶
Order of a group
符号
|G|含义
有限群中的元素个数。
使用场景
用于拉格朗日定理、计数论和有限群的分类。
计算示例
等边三角形的对称群的阶数为 6。群
陪集
Coset
符号
gH or Hg含义
一个子群的平移，通过将子群中的每个元素乘以一个固定的群元素得到。
使用场景
使用陪集来划分群，并构造商群。
计算示例
3ℤ 在 ℤ 中的陪集是 3ℤ、1+3ℤ 和 2+3ℤ。群
拉格朗日定理
Lagrange's theorem
符号
|G|=[G:H]|H|含义
对于一个有限群，每个子群的阶都整除群的阶。
使用场景
用于限制可能的子群和元素阶数。
计算示例
一个群的阶数为 12 的有限群，不能包含一个群的阶数为 5 的子群。群
正规子群
Normal subgroup
符号
N◁G含义
一个子群，其左陪集和右陪集对于每个群元素都相同。
使用场景
将其用作陪集形成商群的条件。
计算示例
任何群同态的核都是一个正规子群。群
商群
Quotient group
符号
G/N含义
一个由群和正规子群组成的陪集群。
使用场景
用于将正规子群坍缩到单位元，并在更粗糙的尺度上研究群结构。
计算示例
ℤ/nℤ 是在加法运算下定义的 ℤ/nℤ 的商群。群
群同态
Group homomorphism
符号
φ(ab)=φ(a)φ(b)含义
一个在群之间定义的映射，它保持群运算。
使用场景
用于比较群，同时保留其代数运算。
计算示例
映射 φ:ℤ→ℤ/nℤ 由 φ(k)=[k] 定义，它保持加法运算。群
群同构
Group isomorphism
符号
G≅H含义
一个双射群同态，表明两个群具有相同的抽象结构。
使用场景
用于将结构上相同的群视为相同。
计算示例
每个无限循环群都与 (ℤ,+) 同构。群
群同态的核
Kernel of a group homomorphism
符号
ker(φ)含义
被映射到目标群单位元的子群。
使用场景
用于测量同态丢失的信息，并测试是否是单射。
计算示例
一个群同态是单射的，当且仅当它的核是单位子群。群
群同态的像
Image of a group homomorphism
符号
im(φ)含义
同态实际到达的目标元素子群。
使用场景
用于确定有效的输出结构，并测试是否是满射。
计算示例
一个同态是满射的，当且仅当其像等于目标群。群
群的同构定理
First isomorphism theorem for groups
符号
G/ker(φ)≅im(φ)含义
一个定理，它将由同态的核定义的商与它的像联系起来。
使用场景
用于连接核、像和商结构。
计算示例
对于 φ:ℤ→ℤ/nℤ，有 ℤ/nℤ≅im(φ)。群
群的直积
Direct product of groups
符号
G×H含义
一个由有序对以及逐个分量的运算组成的群。
使用场景
用于组合独立的群结构，并分解有限阿贝尔群。
计算示例
ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ 与 ℤ/6ℤ 同构。环
环
Ring
符号
(R,+,×)含义
一个集合，其加法形成一个阿贝尔群，其结合乘法在加法上满足分配律。
使用场景
使用环来研究整数、多项式、矩阵和具有加法和乘法的模算术。
计算示例
ℤ 是一个具有单位元的交换环。环
交换环
Commutative ring
符号
ab=ba含义
一个乘法交换的环。
使用场景
用于数论和代数几何，其中类似于乘法的运算是可交换的。
计算示例
当 F 是一个域时，ℤ 和 F[x] 是交换环。环
具有单位元的环
Ring with identity
符号
1_R含义
一个包含乘法单位元的环。
使用场景
用于定义单位元、具有标量单位元的模，以及保持 1 的同态。
计算示例
偶数构成一个环，但它没有自己的乘法单位元，而是继承了运算。环
子环
Subring
符号
S⊆R含义
一个子集，它本身是一个环，并且在从一个更大的环继承的运算下成立。
使用场景
用于识别环中的较小算术系统。
计算示例
整数 ℤ 构成有理数 ℚ 的一个子环。环
环的单位元
Unit of a ring
符号
R×含义
一个具有乘法逆元的元素。
使用场景
使用单位元来识别可逆乘法，并形成环的乘法群。
计算示例
ℤ 的单位元是 1 和 -1。环
零因子
Zero divisor
符号
ab=0含义
一个非零的环元素，与另一个非零元素相乘得到零。
使用场景
用于检测约数失效，并区分整环和一般环。
计算示例
在 ℤ/6ℤ 中，[2][3]=[0]；因此，[2] 和 [3] 是零因子。环
幂零元
Nilpotent element
符号
a^k=0含义
一个正幂等于零的元素。
使用场景
用于研究非约化环、矩阵结构和无穷小代数行为。
计算示例
矩阵 [[0,1],[0,0]] 是非零的，但它的平方是零。环
整环
Integral domain
含义
一个非零的交换环，具有单位元且没有零因子。
使用场景
用于在约数成立且可以一致地构造分数的场景。
计算示例
ℤ 是一个整环，但不是一个域。环
除环
Division ring
含义
一个环，其中每个非零元素都有一个乘法逆元，但不要求乘法交换。
使用场景
用于区分非交换除环与域。
计算示例
四元数构成一个除环，但不是一个域。环
理想
Ideal
符号
I◁R含义
一个加法子群，它可以吸收来自环的任意元素的乘法，从所需的一侧或两侧。
使用场景
使用理想作为环同态的核，并构造商环。
计算示例
nℤ 是 ℤ 的一个理想。环
主理想
Principal ideal
符号
(a)含义
一个由一个元素生成的理想。
使用场景
用于表达可除性，并比较主理想域与更一般的环。
计算示例
在 ℤ 中，由 6 生成的理想是 (6)=6ℤ。环
商环
Quotient ring
符号
R/I含义
一个由将理想中的每个元素与零等同而形成的陪集环。
使用场景
用于施加代数关系，并模拟模算术。
计算示例
ℤ/nℤ 是 ℤ/(n) 的商环。环
多项式环
Polynomial ring
符号
R[x]含义
具有环 R 中系数的多项式环。
使用场景
用于方程、因式分解、理想、域扩张和代数几何。
计算示例
当 F 是一个域时，多项式环 F[x] 是一个欧几里得域。环
矩阵环
Matrix ring
符号
Mₙ(R)含义
在环上的方阵环，使用矩阵加法和乘法。
使用场景
用于线性变换，以及非交换环的典型示例。
计算示例
M₂(ℝ) 是一个环，但矩阵乘法不满足交换律。环
环同态
Ring homomorphism
符号
φ(a+b), φ(ab)含义
一个保持环加法和乘法的映射，其单位元是否保持取决于约定。
使用场景
用于比较环，并获得理想作为核。
注意
说明环同态是否需要保持乘法单位元。
计算示例
评估 f(x)↦f(0) 是从 R[x] 到 R 的一个环同态。环
环同构
Ring isomorphism
符号
R≅S含义
一个双射环同态，表明两个环具有相同的环结构。
使用场景
用于将环替换为更简单但结构上等效的表示。
计算示例
中国剩余定理可以给出 ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ。域
域
Field
符号
(F,+,×)含义
一个交换环，其 1 不等于 0，并且每个非零元素都有一个乘法逆元。
使用场景
使用域作为精确除法、向量空间、多项式和线性代数的标量系统。
计算示例
ℚ、ℝ 和 ℂ 是域，而 ℤ 不是。域
子域
Subfield
符号
K⊆F含义
一个域的子集，它本身也是一个域，并且在继承的运算下成立。
使用场景
用于比较标量系统，并定义域扩张。
计算示例
ℚ 是 ℝ 的子域，而 ℝ 是 ℂ 的子域。域
域的特征
Characteristic of a field
符号
char(F)含义
使得 1 的若干个副本之和为零的最小正整数，如果不存在则为 0。
使用场景
用于区分具有零特征的域与有限特征算术。
计算示例
有理数域的特征为 char(ℚ)=0，而有限素数域的特征为 char(𝔽ₚ)=p。域
素域
Prime field
含义
包含在域中的最小子域，与 ℚ 或 𝔽ₚ 同构。
使用场景
将其用作由乘法单位元生成的算术基础。
计算示例
每个具有特征 p 的域都包含 𝔽ₚ 的一个副本。域
有限域
Finite field
符号
𝔽_q含义
包含有限个元素的域。
使用场景
用于编码理论、密码学、校验和和有限几何。
计算示例
域 𝔽₅={0,1,2,3,4} 使用模 5 算术进行加法和乘法运算。域
有限域的素数阶
Prime-power order of a finite field
符号
q=pⁿ含义
存在一个有限域，其元素个数为 q，当且仅当 q 是素数的幂。
使用场景
用于在构造有限域之前，确定有效的有限域大小。
计算示例
存在一个具有 8 个元素的域，但不存在一个具有 6 个元素的域。域
伽罗域
Galois field
符号
GF(pⁿ)含义
有限域（具有 pⁿ 个元素）的另一个名称，在同构意义下是唯一的。
使用场景
用于纠错码和密码系统的域算术扩展。
计算示例
GF(2⁸) 广泛用于面向字节的有限域算术。域
域扩张
Field extension
符号
L/K含义
一个包含子域 K 的域 L。
使用场景
用于附加根、扩大标量系统和构造有限域。
计算示例
ℂ/ℝ 是通过附加 i 得到的域扩张。域
域扩张的次数
Degree of a field extension
符号
[L:K]含义
将 L 视为 K 上的向量空间时，其向量空间维度。
使用场景
用于测量扩张大小，并应用塔定理。
计算示例
扩张次数为 [ℂ:ℝ]=2，其基为 {1,i}，在 ℝ 上的定义。域
代数元素
Algebraic element
含义
一个基本域上非零多项式的根的扩张域元素。
使用场景
用于构造有限次数的扩张，并对域上的数进行分类。
计算示例
√2 在 ℚ 域上是代数数，因为它满足 x²-2=0。域
代数元素
Transcendental element
含义
一个满足基本域上无零多项式条件的扩张域元素。
使用场景
用于区分超越扩张与代数扩张。
计算示例
π 和 e 在 ℚ 域上是超越数。域
最小多项式
Minimal polynomial
符号
m_α(x)含义
在基域上，具有最小次数的、且具有代数元素为根的唯一单项式不可约多项式。
使用场景
用于确定代数元素的扩张次数和算术关系。
计算示例
√2 在 ℚ 上的最小多项式是 x²-2。域
分裂域
Splitting field
含义
多项式完全分解为线性因子的最小域扩张。
使用场景
用于包含所有多项式根，并研究它们的对称性。
计算示例
x²+1 在 ℝ 上的分裂域是 ℂ。域
代数闭包
Algebraic closure
含义
一个代数扩张，它是代数闭包的，因此每个非常数多项式都有根。
使用场景
将其用作多项式方程完全分解的场景。
计算示例
ℂ 是代数封闭的，并且是 ℝ 的一个代数闭包，但前提是需要指出 ℂ/ℝ 是代数的。连接和示例
模
Module
符号
M over R含义
一个具有环元素的标量乘法的阿贝尔群。
使用场景
使用模来推广向量空间，当标量来自环而不是域时。
计算示例
每一个阿贝尔群天然地构成一个关于整数环 ℤ 的模。连接和示例
域上的向量空间
Vector space over a field
符号
V over F含义
一个具有标量乘法的阿贝尔群，它满足向量空间公理。
使用场景
用于连接域结构与线性代数、基、维度和线性变换。
计算示例
ℂ 是一个关于 ℝ 的二维向量空间。连接和示例
域上的代数
Algebra over a field
符号
A over F含义
一个配备了兼容的双线性乘法的域上的向量空间。
使用场景
用于将线性代数与环乘法结合。
计算示例
Mₙ(F) 是一个关于 F 的代数。连接和示例
当 ℤ/nℤ 是一个域时
When ℤ/nℤ is a field
含义
商环 ℤ/nℤ 是一个域，当且仅当 n 是素数。
使用场景
用于区分模素数算术与模合数算术，以及具有零因子的情况。
计算示例
ℤ/5ℤ 是一个域，但 ℤ/6ℤ 不是，因为 [2][3]=[0]。连接和示例
环的单位群
Unit group of a ring
符号
R×含义
由环中所有可逆元素组成的群。
使用场景
用于连接环乘法与群论和模算术。
计算示例
(ℤ/nℤ)× 包含所有与 n 互质的余数类。连接和示例
标量域
Scalar field
符号
F含义
向量空间系数和矩阵元素的取值域。
使用场景
说明这一点，因为秩、特征值、分解和可解性会随着标量域的变化而变化。
计算示例
矩阵 [[0,-1],[1,0]] 没有实数特征值，但在 ℂ 域中，它具有特征值 i 和 -i。