集合和基礎。
集合
Set
符號
A意思
一組不同的對象，這些對象被視為單個的數學對象。
使用時機
使用集合來指定集合、域、解空間、事件以及數學結構的底層對象。
計算範例
集合 A={2,4,6} 包含三個偶數。數學參考
集合論術語和基礎
學習集合、運算、關係、函數、無限基數、公理基礎以及實際應用，包含符號和範例。
威恩圖中的並集和交集
並集包含任何一個集合，而交集只保留共享的區域。
單射和全射映射
箭頭顯示輸入是否保持不同，以及是否達到每個陪域元素。
99 個術語
集合和基礎。
集合元素
Set element
符號
x意思
包含在集合中的一個個體對象。
使用時機
在對集合的成員做出陳述時，使用元素。
計算範例
數字 4 是集合 A={2,4,6} 的元素。集合和基礎。
集合成員關係。
Membership
符號
x∈A意思
聲明一個對象是集合的元素的關係。
使用時機
使用成員符號來區分元素和子集。
計算範例
4∈{2,4,6}.集合和基礎。
非成員關係。
Non-membership
符號
x∉A意思
聲明一個對象不是集合的元素的關係。
使用時機
用於從域、事件或解集中排除值。
計算範例
5∉{2,4,6}.集合和基礎。
羅斯特符號。
Roster notation
符號
A={a,b,c}意思
一種定義符號，它通過在花括號內列出元素的集合。
使用時機
用於可以清晰列出的有限集合。
計算範例
元音集合可以寫成 V={a,e,i,o,u}。集合和基礎。
集合生成符號。
Set-builder notation
符號
{x∈U:P(x)}意思
一種定義符號，它通過元素的必須滿足的屬性來定義一個集合。
使用時機
當列出每個元素時不切實際或不可能。
計算範例
偶數整數是 {n∈ℤ:n=2k for some k∈ℤ}。集合和基礎。
空集
Empty set
符號
∅意思
包含零個元素的唯一集合。
使用時機
用於不可能的事件、不一致的解集或空交集。
注意
空集是每個集合的子集，但它不一定是每個集合的元素。
計算範例
x²+1=0 的實數解集是 ∅。集合和基礎。
單元素集合。
Singleton set
符號
{x}意思
一個包含正好一個元素的集合。
使用時機
當集合具有一個可能的值或解是唯一的時。
計算範例
方程式 x-3=0 的解集是 {3}。集合和基礎。
通用集合
Universal set
符號
U意思
目前正在考慮的所有對象的集合。
使用時機
在使用補集或對固定宇宙進行量化之前，先說明原因。
注意
通用集合取決於上下文；它不是所有事物的絕對集合。
計算範例
如果 U=ℤ，那麼偶數的補集是奇數。集合和基礎。
集合相等。
Set equality
符號
A=B意思
兩個集合相等當且僅當它們包含完全相同的元素。
使用時機
使用擴展等價性，而不考慮書寫列表中的元素順序或重複。
計算範例
集合 {1,2,2,3} 和 {3,2,1} 是相等的。集合和基礎。
子集。
Subset
符號
A⊆B意思
如果 A 中的每個元素也是 B 中的元素，則集合 A 是集合 B 的子集。
使用時機
用於表達包含關係，並通過雙重包含證明集合相等。
計算範例
{1,3}⊆{1,2,3}.集合和基礎。
專屬子集
Proper subset
符號
A⊊B意思
一個不是包含集合的子集。
使用時機
當包含關係是嚴格的時。
注意
有些書籍使用 ⊂ 表示真子集，而其他書籍使用它表示任何子集；請定義慣例。
計算範例
{1,3}⊊{1,2,3}.集合和基礎。
超集。
Superset
符號
B⊇A意思
一個包含另一個集合中所有元素的集合。
使用時機
將其用作子集關係的反向形式。
計算範例
{1,2,3}⊇{1,3}.集合和基礎。
基數
Cardinality
符號
|A|意思
集合中元素的數量的一個度量。
使用時機
用於比較有限的大小，以及通過雙射，比較無限集合的大小。
計算範例
如果 A={a,b,c}，那麼 |A|=3。集合和基礎。
有限集
Finite set
意思
一個可以將其每個元素與 {1,...,n} 建立雙射的集合，其中 n 是非負整數。
使用時機
當集合具有明確的整數大小時。
計算範例
一週的幾天構成一個基數為 7 的有限集合。集合和基礎。
無限集
Infinite set
意思
一個非有限的集合。
使用時機
用於無界集合，例如整數、序列和直線上的點。
計算範例
整數集合 ℤ 是無限集合。集合和基礎。
冪集。
Power set
符號
𝒫(A)意思
包含 A 的所有子集的集合。
使用時機
用於描述所有可能的選擇、事件以及二元特徵組合。
計算範例
如果 A={a,b}，那麼 𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}。集合和基礎。
集合的索引族
Indexed family of sets
符號
{Aᵢ}ᵢ∈I意思
一組由索引集合中的元素標記的集合。
使用時機
用於集合序列以及在任意索引集合上的並集或交集。
計算範例
集合 {Aₙ}ₙ∈ℕ 可以定義為 Aₙ={1,...,n}。集合運算。
聯集
Union
符號
A∪B意思
屬於 A、B 或兩者的元素的集合。
使用時機
用於組合替代方案、事件、類別或結果集。
計算範例
如果 A={1,2} 且 B={2,3}，那麼 A∪B={1,2,3}。集合運算。
交集
Intersection
符號
A∩B意思
屬於 A 和 B 的元素的集合。
使用時機
用於應用同時條件或查找公共成員。
計算範例
如果 A={1,2} 且 B={2,3}，那麼 A∩B={2}。集合運算。
集合差。
Set difference
符號
A∖B意思
屬於 A 但不屬於 B 的元素的集合。
使用時機
用於移除排除條件或比較在一個集合中獨特的元素。
計算範例
如果 A={1,2,3} 且 B={2,4}，那麼 A∖B={1,3}。集合運算。
補集
Complement
符號
Aᶜ意思
屬於通用集合但不屬於 A 的元素的集合。
使用時機
用於否定條件和互補概率事件。
計算範例
如果 U={1,2,3,4} 且 A={1,3}，那麼 Aᶜ={2,4}。集合運算。
對稱差。
Symmetric difference
符號
A△B意思
屬於 A 和 B 中 *恰好* 一個的元素的集合。
使用時機
用於測量集合之間的 disagreement 或切換成員關係。
計算範例
如果 A={1,2} 且 B={2,3}，那麼 A△B={1,3}。集合運算。
不相交集合
Disjoint sets
符號
A∩B=∅意思
沒有共同元素的集合。
使用時機
用於互斥事件和不重疊的分區。
計算範例
偶數和奇數整數是不相交的。集合運算。
集合的劃分。
Partition of a set
意思
一組非空、兩兩不相交的子集，其並集是原始集合。
使用時機
用於將每個元素放入恰好一個類中。
計算範例
同餘類將 ℤ 分割。集合運算。
笛卡爾積
Cartesian product
符號
A×B意思
所有第一個分量在 A 中，第二個分量在 B 中的有序對的集合。
使用時機
用於構建坐標、關係、表格以及乘積空間。
計算範例
如果 A={1,2} 且 B={x,y}，那麼 A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}。集合運算。
有序對。
Ordered pair
符號
(a,b)意思
一對，其中每個組件的位置都重要。
使用時機
用於坐標，以及笛卡爾積或關係的基本元素。
計算範例
一個有序對通常在它的組成部分交換時會發生變化，因此 (1,2) ≠ (2,1)。集合運算。
集合的德摩根定律
De Morgan's laws for sets
符號
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ意思
在取補集時，交換並集和交集的規則。
使用時機
用於簡化否定集合條件和概率事件。
計算範例
第二定律是 (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ。集合運算。
集合的分配律
Distributive laws for sets
符號
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)意思
描述並集和交集如何相互分佈的規則。
使用時機
用於重寫集合表達式並證明恆等式。
計算範例
此外，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。集合運算。
吸收定律
Absorption laws
符號
A∪(A∩B)=A意思
恆等式，其中將一個集合與其包含的交集或並集結合，會返回原始集合。
使用時機
用於移除集合表達式的冗餘部分。
計算範例
對偶定律是 A∩(A∪B)=A。集合運算。
廣義並集和交集
Generalized union and intersection
符號
⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢ意思
對於集合的索引家族，取並集或交集。
使用時機
用於無限多個集合或變數集合的條件。
計算範例
對於 Aₙ={n,n+1,...}, ⋂ₙ∈ℕAₙ 的交集是空集。關係和序。
二元關係
Binary relation
符號
R⊆A×B意思
一組有序對，它指定 A 中的哪些元素與 B 中的哪些元素相關。
使用時機
用於建模比較、連接、數據庫鏈接以及函數圖。
計算範例
由 x≤y 定義的關係 xRy 是 ℤ×ℤ 的子集。關係和序。
關係的定義域和值域
Domain and range of a relation
符號
dom(R), ran(R)意思
定義域包含關係中的第一個元素，而定義域包含關係中的第二個元素。
使用時機
用於確定哪些輸入和輸出實際上參與關係。
計算範例
如果 R={(1,a),(2,a),(2,b)}，那麼 dom(R)={1,2} 且 ran(R)={a,b}。關係和序。
反關係
Inverse relation
符號
R⁻¹意思
將 R 中的每個有序對反轉後得到的關係。
使用時機
用於反轉方向關係。
計算範例
如果 R={(1,a),(2,b)}，那麼 R⁻¹={(a,1),(b,2)}。關係和序。
自反關係。
Reflexive relation
符號
xRx意思
一個在 A 上的關係，其中每個元素都與其自身相關。
使用時機
當自我比較必須始終成立，例如在相等和非嚴格順序中。
計算範例
關係 ≤ 是反身關係，因為對於任何實數 x，都有 x≤x。關係和序。
反自反關係
Irreflexive relation
意思
一個在 A 上的關係，其中沒有元素與其自身相關。
使用時機
用於嚴格比較，例如小於。
計算範例
關係 < 是不可反身關係，因為 x<x 總是錯誤的。關係和序。
對稱關係。
Symmetric relation
符號
xRy⇒yRx意思
一個關係，其方向可以反轉給定的每對相關元素。
使用時機
用於平等或共享屬性等相互關係。
計算範例
在 ℤ 上，具有相同奇偶性的關係是對稱的。關係和序。
反對稱關係
Antisymmetric relation
符號
xRy∧yRx⇒x=y意思
一個關係，其中兩個不同的元素之間不可能存在雙向的關係。
使用時機
將其用作偏序的公理。
注意
反對稱並不意味著關係缺乏對稱對；相等的元素可能雙向相關。
計算範例
子集關係 ⊆ 是反對稱的。關係和序。
非對稱關係
Asymmetric relation
符號
xRy⇒¬(yRx)意思
一個關係，其中相關的對永遠不會以相反的方向出現。
使用時機
用於嚴格的有向比較。
計算範例
嚴格的順序 < 是非對稱的。關係和序。
遞迴關係
Transitive relation
符號
xRy∧yRz⇒xRz意思
一個通過中間相關元素傳遞的關係。
使用時機
用於排序、等價關係、可達性以及蘊含鏈。
計算範例
可除性具有傳遞性：如果 a 能整除 b，且 b 能整除 c，那麼 a 能整除 c。關係和序。
等價關係
Equivalence relation
符號
∼意思
一個自反的、對稱的和可傳遞的關係。
使用時機
用於將應被視為相同對象分組，基於所選標準。
計算範例
同餘模 n 是一個在 ℤ 上的等價關係。關係和序。
等價類
Equivalence class
符號
[x]意思
包含所有與給定元素等價的元素的集合。
使用時機
將其用作由等價關係誘導的分區的一個塊。
計算範例
對於模 3 同餘，1 的等價類是 [1]={...,−5,−2,1,4,7,...}。關係和序。
商集。
Quotient set
符號
A/∼意思
A 在一個等價關係下的所有等價類的集合。
使用時機
用於將等效元素替換為單一的抽象類。
計算範例
ℤ/3ℤ 的商集有三個類：[0]、[1] 和 [2]。關係和序。
部分序。
Partial order
符號
≼意思
一個自反的、反對稱的和可傳遞的關係。
使用時機
當某些元素是可比較的，而其他元素可能不可比較時。
計算範例
子集包含關係部分地對冪集進行排序。關係和序。
部分排序集合。
Partially ordered set
符號
(P,≼)意思
一個集合以及一個指定的偏序。
使用時機
將其用作序理論和依賴分析研究的對象。
計算範例
12 的因數在可除性下構成一個偏序集。關係和序。
全序
Total order
符號
≤意思
一個偏序，其中每對元素都是可比較的。
使用時機
用於排序和線性排名。
計算範例
常用順序 ≤ 是 ℝ 上的全序。關係和序。
哈斯圖
Hasse diagram
意思
一個有限偏序集的簡化圖，它顯示了覆蓋關係，並省略了可傳遞的邊。
使用時機
用於可視化層次結構、可除性、子集包含以及依賴關係。
計算範例
6 的除數的哈斯圖，1 在 2 和 3 的下方，6 在 2 和 3 的上方。關係和序。
良序
Well-order
意思
一個全序，其中每個非空子集都有最小元素。
使用時機
用於歸納、遞迴定義和序數理論。
計算範例
ℕ 上的常用順序是一個良序。關係和序。
最小值和最大值。
Minimal and maximal elements
意思
存在沒有嚴格較小或嚴格較大的可比元素的偏序集合中的元素。
使用時機
當部分序可能有多個局部邊界元素時。
計算範例
一個有限的偏序集可以有多個最大元素。關係和序。
最小元素和最大元素。
Least and greatest elements
符號
⊥, ⊤意思
每個偏序集合中，每個元素都存在一個位於其上方或下方的元素。
使用時機
用於全局界限和晶格端點。
注意
最小值並不總是表示最小，最大也不總是表示最大。
計算範例
如果存在最小元素，則該元素是唯一的。關係和序。
上限和下限
Upper and lower bounds
意思
存在一個位於所選子集中，且位於每個元素上方或下方的元素。
使用時機
用於定義上確界、下確界、有界集合以及優化極限。
計算範例
數字 10 是 {1,4,7} 的上界。關係和序。
上確界和下確界。
Supremum and infimum
符號
sup(S), inf(S)意思
集合子集存在的上確界和下確界。
使用時機
用於分析、優化和完整晶格理論。
計算範例
對於 S=(0,1), sup(S)=1 且 inf(S)=0，即使它們都不屬於 S。函數和映射
函數
Function
符號
f:A→B意思
一個將 A 中的每個元素映射到 B 中的確切一個元素的關係。
使用時機
使用函數來建模確定性映射、轉換和計算。
計算範例
f(n)=n² 的規則定義了一個從 ℤ 到 ℕ 的函數。函數和映射
函數的定義域
Domain of a function
符號
dom(f)意思
函數的允許輸入值的集合。
使用時機
說明原因，因為相同的公式可以用於在不同的定義域上定義不同的函數。
計算範例
對於 f:ℝ→ℝ 且 f(x)=x²，定義域是 ℝ。函數和映射
陪域
Codomain
符號
B意思
函數 f:A→B 的目標集合。
使用時機
用於定義映射性，並區分預期的輸出和實際達到的輸出。
計算範例
對於 f:ℝ→ℝ 且 f(x)=x²，陪域是 ℝ。函數和映射
函數的定義域。
Range of a function
符號
f(A)意思
函數實際達到的輸出值的集合。
使用時機
用於測試映射性以及確定可行的輸出。
注意
值域可能小於定義域。
計算範例
對於 f:ℝ→ℝ 且 f(x)=x²，值域是 [0,∞)。函數和映射
子集的像
Image of a subset
符號
f(S)意思
從定義域的一個子集 S 的元素獲得的函數值的集合。
使用時機
用於追蹤映射如何轉換選定的區域或集合。
計算範例
對於 f(x)=x² 且 S={−2,1,3}, f(S)={1,4,9}.函數和映射
集合子集的先像。
Preimage of a subset
符號
f⁻¹(T)意思
函數值位於所選目標子集 T 中的定義域元素的集合。
使用時機
用於將條件和事件通過函數反饋。
計算範例
對於 f(x)=x²，{4} 的原像是 {−2,2}。函數和映射
單射函數
Injective function
符號
f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂意思
一個從不將兩個不同的輸入映射到相同輸出的函數。
使用時機
當輸入必須在映射後保持可區分時。
計算範例
由 f(n)=2n 定義的函數 f:ℤ→ℤ 是單射函數。函數和映射
全域函數。
Surjective function
符號
f(A)=B意思
一個其值域等於其陪域的函數。
使用時機
當每個聲明的目標都必須通過至少一個輸入到達時。
計算範例
由 f(x)=x² 定義的函數 f:ℝ→[0,∞) 是全域函數。函數和映射
雙射函數
Bijective function
符號
A↔B意思
一個既是單射又是滿射的函數。
使用時機
用於將兩個集合按元素配對、比較基數以及定義反函數。
計算範例
由 f(n)=n+1 定義的函數 f:ℤ→ℤ 是雙射函數。函數和映射
反函數
Inverse function
符號
f⁻¹:B→A意思
一個通過將每個輸出映射回其唯一的輸入，從而反轉一個雙射的函數。
使用時機
用於撤銷可逆映射。
注意
反像符號 f⁻¹(T) 對於子集是定義的，即使不存在反函數。
計算範例
如果 f(x)=2x+1 在 ℝ 上，那麼 f⁻¹(y)=(y−1)/2。函數和映射
函數合成
Function composition
符號
g∘f意思
一個通過先應用 f 再應用 g 形成的函數。
使用時機
用於構建複雜的轉換，從更簡單的步驟開始。
計算範例
如果 f(x)=x+1 且 g(x)=2x，那麼 (g∘f)(x)=2x+2。函數和映射
恆等函數
Identity function
符號
id_A意思
將集合中的每個元素映射到自身的函數。
使用時機
將其用作函數組成的中性元素。
計算範例
對於每個函數 f:A→B, f∘id_A=f 且 id_B∘f=f。函數和映射
函數的限制。
Restriction of a function
符號
f|_S意思
一個通過將 f 的定義域限制到子集 S 而得到的函數。
使用時機
用於研究局部行為或使函數在較小的域上單調。
計算範例
將平方函數限制到 [0,∞) 是一個單射函數。函數和映射
指示函數
Indicator function
符號
1_A(x)意思
一個將 A 中的元素映射到 1，將 A 之外的元素映射到 0 的函數。
使用時機
用於在概率、積分和數據處理中，通過代數方式編碼成員關係。
計算範例
對於 A={2,4}, 1_A(2)=1 且 1_A(3)=0.無限集合和基數
基數相同的集合
Equinumerous sets
符號
|A|=|B|意思
由雙射連接的集合，表示它們具有相同的基數。
使用時機
使用雙射來比較大小，尤其是在處理無限集合時，而無需直接計數。
計算範例
自然數 ℕ 和偶數自然數是等基數的，通過 f(n)=2n。無限集合和基數
可數集
Countable set
意思
一個有限集合或可以注入到自然數的集合。
使用時機
用於可以按序列列出的集合，可能帶有間隙。
計算範例
ℕ 的每個子集都是可數的。無限集合和基數
無限可數集
Countably infinite set
符號
|A|=ℵ₀意思
一個可以與自然數建立雙射的無限集合。
使用時機
用於區分序列大小的無窮與更大的基數。
計算範例
整數集合 ℤ 和有理數集合 ℚ 是可數無限集合。無限集合和基數
無限集合
Uncountable set
意思
一個不能與自然數的任何子集建立雙射的集合。
使用時機
用於更大的無窮，例如實數和函數空間。
計算範例
區間 [0,1] 是不可數集合。無限集合和基數
無限
Aleph-null
符號
ℵ₀意思
自然數的基數以及每個可數無限集合的基數。
使用時機
將其用作最小的無限基數。
計算範例
|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.無限集合和基數
連續體的基數
Cardinality of the continuum
符號
𝔠意思
實數的基數，等於 ℕ 的冪集的基數。
使用時機
用於區間的大小、實數序列以及連續幾何集合。
計算範例
|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.無限集合和基數
康托爾對角線論證
Cantor's diagonal argument
意思
一種構造方法，它構建一個與列表中第 n 個對象在第 n 個組件上不同的對象。
使用時機
用於證明提出的列表是不完整的，尤其是在實數或無限序列的情況下。
計算範例
對角線論證證明了二元序列無法被 ℕ 列出。無限集合和基數
康托集合論
Cantor's theorem
符號
|A|<|𝒫(A)|意思
任何集合的冪集的大小嚴格大於原始集合。
使用時機
用於證明不存在最大的基數，以及生成更大的無窮。
計算範例
從集合 A 到其冪集 𝒫(A) 的任何函數都不能是全射。無限集合和基數
基數算術
Cardinal arithmetic
符號
κ+λ, κλ, κ^λ意思
基數運算，通過不相交並集、笛卡爾積和函數集在基數上定義。
使用時機
用於比較組合的無限集合的大小。
計算範例
對於無限可數集合，ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ 且 ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀。無限集合和基數
無窮基數集合
Dedekind-infinite set
意思
一個與其自身的真子集具有相同基數的集合。
使用時機
將其用作標準集合論中對無窮的結構描述。
計算範例
n↦n+1 是一個從 ℕ 到真子集 ℕ∖{0} 的雙射。公理和基礎
樸素集合論。
Naive set theory
意思
一種非正式的方法，它將集合視為通過易於理解的屬性描述的任意集合。
使用時機
用於普通數學，當基本悖論不涉及時。
注意
無限制的收集通過屬性可能導致悖論，因此正式的基礎使用公理。
計算範例
基本的並集和交集計算通常只需要樸素集合論。公理和基礎
羅素悖論。
Russell's paradox
符號
R={x:x∉x}意思
由詢問「所有不是自身成員的集合的集合是否是自身成員」而產生的矛盾。
使用時機
用於理解為什麼無限制的集合公理是無效的。
計算範例
如果 R∈R，則 R∉R；如果 R∉R，則 R∈R。公理和基礎
公理集合論
Axiomatic set theory
意思
一個形式理論，它只允許通過指定的公理來定義集合和構造。
使用時機
用於為數學提供穩定的基礎，並避免已知的悖論。
計算範例
ZF 和 ZFC 是集合論的標準公理系統。公理和基礎
擴展性公理
Axiom of extensionality
意思
兩個集合相等當且僅當它們具有相同的元素。
使用時機
用於使成員關係完全決定集合的身份。
計算範例
要證明 A=B，只需證明對於每個 x，如果 x∈A 則 x∈B。公理和基礎
數對公理
Axiom of pairing
意思
對於任何物件 a 和 b，存在一個集合 {a,b}。
使用時機
用於構建對和單元素集合。
計算範例
將 a=b 視為，得到單元素集合 {a}。公理和基礎
集合論公理
Axiom of union
符號
⋃A意思
對於任何集合的集合 A，存在一個包含其成員集合的所有元素的集合。
使用時機
用於扁平化嵌套集合的一層，並構建並集。
計算範例
對於集合 A={{1,2},{2,3}}，應用並集公理得到 ⋃A={1,2,3}。公理和基礎
冪集公理
Axiom of power set
意思
對於每個集合 A，存在一個包含 A 的所有子集的集合。
使用時機
用於構建函數空間、拓撲以及更大的基數。
計算範例
這個公理保證了 𝒫(A) 的存在。公理和基礎
無窮公理
Axiom of infinity
意思
一個公理，它斷言存在一個誘導集，該集合支持自然數的構建。
使用時機
用於確保集合論至少包含一個無限集合。
計算範例
自然數可以在一個誘導集合中構造。公理和基礎
分離公理模式
Axiom schema of separation
意思
一個模式，允許從現有的集合中選擇滿足特定屬性的元素。
使用時機
用於定義子集，但不允許任意滿足某個屬性的集合。
計算範例
給定 A 和屬性 P，分離形成 {x∈A:P(x)}。公理和基礎
替換公理模式
Axiom schema of replacement
意思
一個聲明，該聲明指出，在可定義的函數規則下，一個集合的像也是一個集合。
使用時機
用於無窮構造以及由大序數索引的圖像。
計算範例
一個可定義的規則 F 將一個集合 A 映射到集合 {F(x): x∈A}。公理和基礎
基礎公理
Axiom of foundation
意思
每個非空集合都包含一個與該集合不相交的元素，這可以防止無限遞減的集合成員鏈。
使用時機
用於排除普通集合，例如 x∈x 以及循環成員關係。
計算範例
集合論公理排除了一個包含 a∈b 且 b∈a 的雙集合循環。公理和基礎
選擇公理
Axiom of choice
意思
對於每個非空集合的集合，存在一個函數，該函數從每個集合中選擇一個元素。
使用時機
用於結果，例如良序定理、佐恩引理以及向量空間的基的存在性。
計算範例
這個公理提供了一個選擇函數，即使沒有明確的選擇規則。公理和基礎
ZF 集合論
ZF set theory
符號
ZF意思
不包含選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論。
使用時機
在選擇的狀態與其他狀態分離時，將其用作標準的正式基礎。
計算範例
ZF 包含外延性、配對、並集、冪集、無窮性、分離、替換和基礎。公理和基礎
ZFC 集合論
ZFC set theory
符號
ZFC意思
ZF 集合論以及選擇公理。
使用時機
將其用作主流數學中最常見的基礎框架。
計算範例
絕大多數的普通數學結果都可以用 ZFC 形式化。公理和基礎
遞迴集合
Transitive set
意思
一個其每個元素也是該集合的子集的集合。
使用時機
用於序理論、集合層次結構以及集合論的模型。
計算範例
集合 {∅,{∅}} 是遞迴的。公理和基礎
序數。
Ordinal number
符號
α,β,ω意思
表示良序集合的序类型的標準集合。
使用時機
用於描述位置、無窮遞迴以及超越有限順序的階段。
計算範例
第一個無限序數是 ω，它在所有有限序數之後。公理和基礎
基數
Cardinal number
符號
κ,λ意思
具有相同基數的集合的標準代表。
使用時機
用於比較集合的大小，而不考慮順序或內部結構。
計算範例
有限基數 3 表示每個包含三個元素的集合。應用
樣本空間和事件。
Sample space and event
符號
Ω, E⊆Ω意思
在概率中，樣本空間是所有可能結果的集合，而事件是其子集之一。
使用時機
使用集合操作來組合事件和互補，以表達失敗。
計算範例
對於一個骰子，Ω={1,2,3,4,5,6} 且偶數事件是 E={2,4,6}。應用
解集。
Solution set
意思
滿足方程、不等式或約束系統的所有值的集合。
使用時機
用於表達零、一、幾個或無限多個解，並且表達方式一致。
計算範例
x²=4 的實數解集是 {−2,2}。應用
載集
Carrier set
意思
劃分代數或邏輯結構的基礎集合。
使用時機
用於將原始元素與添加到它們的操作和關係分開。
計算範例
一個群 (G,*) 具有載集 G 和操作 *。應用
資料庫集合操作
Database set operations
意思
像 UNION、INTERSECT 和 EXCEPT 這樣的運算，它們使用集合語義來組合相容的查詢結果。
使用時機
用於合併、比較或減去結果行。
注意
資料庫表格可以包含重複值和空值，因此 SQL 的語義與純粹的集合論不完全相同。
計算範例
UNION 會移除重複的行，除非使用 UNION ALL。應用
集合資料結構。
Set data structure
意思
一個程式集合，它存儲唯一值，並且通常支持快速成員測試。
使用時機
用於去重、跟踪已訪問狀態和成員查找。
計算範例
一個集合可以將列表 [3,1,3,2] 簡化為唯一的數值 {1,2,3}。應用
將類型解釋為一個集合
Type interpreted as a set
意思
一種視角，其中將類型視為允許該類型的值的集合。
使用時機
用於推理驗證、並集、交集、子類型以及詳盡情況。
計算範例
布林類型可以由集合 {true, false} 建模。