數學參考

線性代數術語和計算指南

通過例題學習向量、矩陣、仿射和空間幾何、格、線性系統、變換、分解、最小二乘法和 PCA。

點、平面和範向量

從一個點到平面的最短位移與平面的法向量平行。

格基和基本區域

兩個基向量的整數組合將平面用面積相等的基本平行四邊形填充。

97 個術語

對象和形狀

標量

Scalar

符號a

意思

一個用於縮放向量或矩陣的單個數值。

使用時機

將標量用於權重、係數、學習率、溫度和幅度。

計算範例

3[2, -1] = [6, -3].

對象和形狀

向量

Vector

符號v ∈ ℝⁿ

意思

一個可以表示方向、位置、特徵或狀態的組件有序列表。

使用時機

使用向量來表示坐標、信號、特徵、嵌入和模型參數。

計算範例

v = [3, 4] has two components.

對象和形狀

矩陣

Matrix

符號A ∈ ℝᵐˣⁿ

意思

一個以行和列排列的數字矩陣。

使用時機

將矩陣用於存儲數據集、線性系統、變換、圖像和權重。

計算範例

A = [[1, 2], [3, 4]].

對象和形狀

張量

Tensor

符號T ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏ

意思

一個概括了標量、向量和矩陣的多維數組。

使用時機

將張量用於批次、圖像、視頻、模型激活和多軸科學數據。

計算範例

一批 32 個 RGB 圖像，尺寸為 224×224，其形狀為 32×3×224×224。

對象和形狀

形狀

Shape

符號m × n

意思

數組的軸的有序大小。

使用時機

在加法、乘法、廣播、重塑和模型輸入之前，檢查形狀。

注意

大部分矩陣乘法錯誤來自不相容的內維度。

計算範例

一個 3×4 矩陣有 3 行和 4 列。

向量運算

向量加法

Vector addition

符號u + v

意思

向量的逐組元素加法，具有相同的維度。

使用時機

將其用於組合位移、力、信號、更新或特徵貢獻。

計算範例

[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].

向量運算

標量乘法

Scalar multiplication

符號cv

意思

將每個向量的分量乘以相同的標量。

使用時機

將其用於縮放幅度、反轉方向或應用加權更新。

計算範例

-2[3, 1] = [-6, -2].

向量運算

點積

Dot product

符號u · v

意思

對應向量分量的乘積之和，產生一個標量。

使用時機

將其用於相似性、投影、工作量、注意力分數和線性模型輸出。

計算範例

[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.

向量運算

叉積

Cross product

符號u × v

意思

一個垂直於兩個輸入向量的三維向量，其大小等於它們的平行四邊形面積。

使用時機

將其用於表面法線、扭矩、方向和 3D 幾何。

注意

標準叉積特定於三維空間，除了少見的七維類比。

計算範例

[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].

向量運算

向量範數

Vector norm

符號‖v‖

意思

一個向量大小的非負度量，它滿足範數公理。

使用時機

使用範數來測量幅度、距離、誤差、正則化和收斂性。

計算範例

For v=[3,4], ‖v‖₂=5.

向量運算

單位向量

Unit vector

符號v/‖v‖

意思

一個範數為 1 的向量。

使用時機

將其用於在去除幅度同時保持方向，以及構建正交基。

計算範例

[3,4]/5 = [0.6,0.8].

向量運算

歐幾里得距離

Euclidean distance

符號‖u-v‖₂

意思

兩個點之間的直線距離，表示為向量。

使用時機

將其用於幾何、最近鄰搜索、聚類以及在尺度可比的情況下進行誤差測量。

計算範例

從 [1,1] 到 [4,5] 的距離是 5。

向量運算

餘弦相似度

Cosine similarity

符號u·v/(‖u‖‖v‖)

意思

兩個非零向量之間的夾角的餘弦，用於測量方向相似性。

使用時機

將其用於比較文本嵌入或高維特徵，當幅度不應過於重要時。

注意

餘弦相似度對於零向量是未定義的，並且可能會掩蓋有意義的幅度差異。

計算範例

[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.

向量運算

垂直向量

Orthogonal vectors

符號u·v=0

意思

具有零點積的向量。

使用時機

將正交性用於分離獨立方向、簡化投影和構建穩定基。

計算範例

[1,2] · [2,-1] = 0，因此這些向量是正交的。

向量運算

向量投影

Vector projection

符號projᵤ(v)

意思

向量的一個分量，該分量位於另一個向量或子空間的方向上。

使用時機

將其用於分解、最小二乘法、陰影和去除方向分量。

計算範例

proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].

矩陣運算

矩陣加法

Matrix addition

符號A+B

意思

矩陣的逐組元素加法，具有相同的形狀。

使用時機

將其用於組合線性效應、殘差更新、圖像或累積數據。

計算範例

[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].

矩陣運算

矩陣乘法

Matrix multiplication

符號AB

意思

一種由線性變換組成的行-列操作，當內維度匹配時。

使用時機

將其用於坐標變換、神經網路層、圖傳播和求解系統。

注意

矩陣乘法通常不滿足交換律：AB 可能與 BA 不同，或者其中一個乘法可能未定義。

計算範例

A₂ˣ₃B₃ˣ₄ 產生 C₂ˣ₄。

矩陣運算

轉置

Transpose

符號Aᵀ

意思

一個通過交換行和列形成的矩陣。

使用時機

將其用於點積、協方差、正交方程、對稱性檢查和改變方向。

計算範例

If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].

矩陣運算

單位矩陣

Identity matrix

符號I

意思

一個主對角線上為 1，其他位置為 0 的方形矩陣。

使用時機

將其用作乘法單位元，以及用於描述不變的坐標。

計算範例

AI = IA = A.

矩陣運算

逆矩陣

Inverse matrix

符號A⁻¹

意思

一個滿足 AA⁻¹=A⁻¹A=I 的矩陣，其中 A 是一個可逆的方形矩陣。

使用時機

概念上，將其用於反轉變換並求解 Ax=b。

注意

數值軟件通常應該直接求解 Ax=b，而不是顯式地計算 A⁻¹。

計算範例

For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].

矩陣運算

行列式

Determinant

符號det(A)

意思

一個用於方形矩陣的標量，用於測量帶符號的體積縮放，並指示可逆性。

使用時機

將其用於測試奇異性以及分析變換下的方向或體積變化。

計算範例

det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.

矩陣運算

跡

Trace

符號tr(A)

意思

矩陣主對角線元素的和。

使用時機

將其用於特徵值恆等式、協方差分析、矩陣微積分和優化。

計算範例

tr([[2,1],[3,4]]) = 6.

矩陣運算

矩陣秩

Matrix rank

符號rank(A)

意思

矩陣中線性獨立的行或列的數量。

使用時機

將其用於測量信息維度、確定解結構和檢測冗餘特徵。

計算範例

rank([[1,2],[2,4]]) = 1.

矩陣運算

對稱矩陣

Symmetric matrix

符號A=Aᵀ

意思

一個等於其轉置的方形矩陣。

使用時機

將其用於協方差、二次形式、無向圖和實數正交分解。

計算範例

[[2,3],[3,5]] is symmetric.

矩陣運算

矩陣

Orthogonal matrix

符號QᵀQ=I

意思

一個實數方形矩陣，其列和行形成正交集合。

使用時機

將其用於旋轉、反射、穩定分解和保持範數的變換。

計算範例

對於矩陣，Q⁻¹ = Qᵀ。

矩陣運算

對角矩陣

Diagonal matrix

符號D

意思

一個主對角線之外的元素為零的矩陣。

使用時機

將其用於獨立縮放以及高效的冪、逆和變換。

計算範例

diag(2,3)^4 = diag(16,81).

線性系統

線性方程組

System of linear equations

符號Ax=b

意思

一組必須同時滿足的線性方程式。

使用時機

將其用於平衡、擬合、網路、電路、約束和重構。

計算範例

x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.

線性系統

增廣矩陣

Augmented matrix

符號[A|b]

意思

一種緊湊的矩陣表示方法，它將右側項附加到線性系統的係數矩陣。

使用時機

將其用於在不重複編寫變數的情況下進行行簡化。

計算範例

x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].

線性系統

初等列運算

Elementary row operation

意思

交換行、通過非零值縮放行，或向另一行添加多數。

使用時機

將這些保留解的操作用於簡化線性系統。

計算範例

R₂ ← R₂ - 3R₁.

線性系統

行階元形式

Row echelon form

符號REF

意思

一種矩陣形式，其支點向右移動，並且每個支點下方都是零。

使用時機

將其用於反向代入、秩計算以及識別自由變數。

計算範例

[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]] 處於行階梯形式。

線性系統

簡化行階元形式

Reduced row echelon form

符號RREF

意思

一種行階梯形式，其中每個支點都是 1，並且是其列中唯一的非零元素。

使用時機

將其用於直接讀取唯一解、自由變數、秩和零空間基。

計算範例

RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].

線性系統

高斯消元法

Gaussian elimination

意思

執行行運算，將系統轉換為行階元形式，然後進行回代。

使用時機

將其用作解決中等密度線性系統的一般方法，可手動或在軟體中進行。

計算範例

從下方的行中消去 x，然後從最後一個支點向上求解。

線性系統

高斯-喬丹消元法

Gauss-Jordan elimination

意思

執行行運算，直到增廣矩陣達到簡化行階元形式。

使用時機

將其用於需要明確的完整解結構或逆的情況。

計算範例

將 [A|I] 簡化為 [I|A⁻¹]，當 A 可逆時。

線性系統

一致系統

Consistent system

意思

一個至少有一個解的線性系統。

使用時機

將秩或行簡化用於區分唯一解、無窮解和無解。

計算範例

一個行 [0 0 | 1] 證明了一個系統是不一致的。

向量空間

Vector space

符號V

意思

一個其元素可以相加和縮放，同時滿足向量空間公理的集合。

使用時機

將其用於在一個框架中處理坐標、多項式、函數、信號和矩陣。

計算範例

ℝ³ 和多項式集合，其最高次數為 2，是向量空間。

向量空間

子空間

Subspace

符號W ⊆ V

意思

一個向量空間的子集，它本身在向量加法和標量乘法下是閉合的。

使用時機

將其用於描述受約束的方向、解集、特徵空間和不變結構。

計算範例

平面 x+y+z=0 穿過原點，是 ℝ³ 的子空間。

向量空間

張成的空間

Span

符號span{v₁,…,vₖ}

意思

給定向量集合的線性組合的集合。

使用時機

將其用於描述從生成器可達的所有方向或輸出。

計算範例

span{[1,0],[0,1]} = ℝ².

向量空間

線性獨立性

Linear independence

意思

一組向量是線性獨立的，當且僅當只有所有係數都為零時，才會產生零向量。

使用時機

將其用於檢測冗餘方向並選擇一個基。

計算範例

[1,0] 和 [0,1] 彼此線性獨立。

向量空間

基

Basis

意思

一個張成向量空間的線性獨立集合。

使用時機

將其用於分配坐標和唯一表示每個向量。

計算範例

{[1,0],[0,1]} 是 ℝ² 的標準基。

向量空間

维度

Dimension

符號dim(V)

意思

有限維向量空間的任何基中的向量數量。

使用時機

將其用於測量獨立的自由度。

計算範例

dim(ℝ⁴)=4.

向量空間

列空間

Column space

符號Col(A)

意思

矩陣的列的張成的空間，等於所有 Ax 的輸出。

使用時機

將其用於確定 Ax=b 是否可解，以及變換可以產生哪些輸出。

計算範例

Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).

向量空間

零空間

Null space

符號Null(A)

意思

滿足 Ax=0 的向量集合。

使用時機

將其用於描述不可達的方向、齊次解、參數冗餘和約束。

計算範例

如果 A=[1 2]，那麼 Null(A)=span{[-2,1]}。

向量空間

秩-可約性定理

Rank-nullity theorem

符號rank(A)+nullity(A)=n

意思

對於一個有 n 列的矩陣，列空間維度和零空間維度之和等於 n。

使用時機

將其用於連接獨立的輸出，以恢復丟失的輸入自由度。

計算範例

一個秩為 3 的 3×5 矩陣，其零化度為 2。

線性變換

Linear transformation

符號T(u+v)=T(u)+T(v)

意思

一個保持向量加法和標量乘法的映射。

使用時機

將其用於建模旋轉、縮放、投影、濾波和線性層。

計算範例

T([x,y])=[2x,y] 將 x 方向縮放 2 倍。

線性變換

核

Kernel

符號ker(T)

意思

線性變換將其映射到零向量的輸入集合。

使用時機

將其用於檢測變換所丟失的信息，並測試單射性。

計算範例

T 是一對一函數，當且僅當 ker(T)={0}。

線性變換

圖像

Image

符號im(T)

意思

變換產生的所有輸出集合。

使用時機

將其用於描述可達的輸出，並測試全射性。

計算範例

對於矩陣變換 T(x)=Ax，im(T)=Col(A)。

線性變換

基變換

Change of basis

意思

使用不同的坐標基重新表示相同的向量或變換。

使用時機

將其用於對齊坐標與幾何、簡化算子或在局部和全局框架之間轉換。

計算範例

If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.

空間和仿射幾何

點

Point

符號P

意思

在仿射空間中的一個位置，本身不具有大小或方向。

使用時機

使用點來表示位置，並從兩個點的差值得到一個位移向量。

注意

兩個點的相加在沒有選擇原點或仿射組合的情況下，沒有內在的定義。

計算範例

對於 P=(1,2) 和 Q=(4,6)，位移向量 Q-P=[3,4]。

空間和仿射幾何

位置向量

Position vector

符號OP

意思

從一個選擇的原點 O 到一個點 P 的向量。

使用時機

用於在固定原點和基之後表示具有坐標的點。

計算範例

If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].

空間和仿射幾何

仿射空間

Affine space

意思

一個空間，其中的點的差是向量，但沒有優先的起點。

使用時機

用於獨立於任意坐標原點的建模幾何。

計算範例

一個平移的平面仍然是仿射空間，即使它不經過原點。

空間和仿射幾何

仿射組合

Affine combination

符號ΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1

意思

一個點的加權組合，其係數之和為 1。

使用時機

用於插值、質心、質心坐標和仿射變換。

計算範例

P 和 Q 的中點是 0.5P + 0.5Q。

空間和仿射幾何

線的參數方程

Parametric equation of a line

符號x=p+tv

意思

一條由一個點 p 和一個非零方向向量 v 表示的直線。

使用時機

用於生成直線點和解決與平面或其他直線的交點。

計算範例

Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).

空間和仿射幾何

平面的方程

Equation of a plane

符號n·(x-p)=0

意思

一個由一個點 p 和一個非零的法向量 n 描述的平面。

使用時機

用於分類邊界、裁剪、碰撞測試和幾何約束。

計算範例

如果 n=[1,2,3] 且 p=(1,0,0)，則平面為 x+2y+3z=1。

空間和仿射幾何

超平面

Hyperplane

符號w·x=b

意思

在 n 维空间中，一个维度为 n-1 的仿射子空間。

使用時機

將其用作決策邊界、約束表面或更高維的平面。

計算範例

在 ℝ⁴ 中，w·x=b 定義了一個三維超平面。

空間和仿射幾何

範向量

Normal vector

符號n

意思

一個垂直於一條線、一個平面、一個曲面切空間或一個超平面的向量。

使用時機

用於定義平面、計算距離、反射向量和確定表面方向。

計算範例

對於 2x-y+3z=4，一個法向量是 [2,-1,3]。

空間和仿射幾何

線與平面的交點

Line-plane intersection

意思

一個點，通過將參數線代入平面方程並求解其參數而得到。

使用時機

用於光線投射、渲染、碰撞檢測和幾何構造。

注意

如果 n·v=0，則直線與平面平行或完全位於平面內。

計算範例

Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).

空間和仿射幾何

從一個點到一條線的距離

Distance from a point to a line

意思

從一個點到一條線的最短垂直線段的長度。

使用時機

用於最近路徑查詢、擬合、碰撞邊距和幾何誤差。

計算範例

對於直線 p+tv，點 P 到直線的距離為：distance(P,line)=‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖。

空間和仿射幾何

從一個點到一個平面的距離

Distance from a point to a plane

符號|n·P-d|/‖n‖

意思

在一個點上的絕對有符號平面方程，已通過法向量長度進行歸一化。

使用時機

用於邊距、裁剪、碰撞檢測和點雲處理。

計算範例

從 (1,2,3) 到 z=0 的距離是 3。

空間和仿射幾何

向平面投影

Projection onto a plane

意思

通過移除一個位移的法向分量而獲得的平面上的最近點。

使用時機

用於將點映射到表面、解析約束和分解運動。

計算範例

For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.

空間和仿射幾何

在平面上反射

Reflection across a plane

意思

一個將法向分量反轉，同時保持與平面平行的分量的變換。

使用時機

用於鏡面幾何、反彈方向、對稱性和圖形。

計算範例

對於一個經過原點的平面，反射向量為 vrefl=v-2projₙ(v)。

空間和仿射幾何

質心坐標

Barycentric coordinates

符號α+β+γ=1

意思

表示一個點為多面體的頂點的仿射組合的權重。

使用時機

用於三角形插值、點在三角形測試、網格和有限元素。

計算範例

P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.

空間和仿射幾何

從行列式計算出的面積

Area from a determinant

符號|det([u v])|

意思

兩個平面邊向量的絕對行列式，等於它們的平行四邊形面積。

使用時機

用於多邊形面積、方向測試、雅可比行列式和坐標變換。

計算範例

u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.

空間和仿射幾何

標量三重積

Scalar triple product

符號u·(v×w)

意思

對於由三個三維向量組成的平行六面體的體積測量。

使用時機

用於體積、共面性和三維方向測試。

計算範例

体积是 |u·(v×w)|。

空間和仿射幾何

方向

Orientation

符號sign(det)

意思

一個符號，表示一個基或點序列的順時針或逆時針順序（即手性）。

使用時機

用於多邊形算法、旋轉、法向量和坐標系統一致性。

計算範例

在 ℝ² 中，det([B-A,C-A])>0 表示 A、B、C 逆時針排列。

空間和仿射幾何

同質坐標

Homogeneous coordinates

符號[x,y,z,w]

意思

具有額外比例分量的坐標，用於表示仿射點和投影方向。

使用時機

用於以矩陣形式組合平移、旋轉、縮放、透視和投影。

注意

同一個向心向量，當其最終分量為非零時，必須小心歸一化；零最終分量表示在無窮遠處的方向。

計算範例

2D 點 (x,y) 變為 [x,y,1]，而方向變為 [vx,vy,0]。

格幾何

格

Lattice

符號L=Bℤᵏ

意思

一個由所有線性無關的基向量的整數組合形成的離散點集。

使用時機

在離散幾何、編碼、密碼學、優化和晶體學中使用晶格。

計算範例

For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.

格幾何

整數格

Integer lattice

符號ℤⁿ

意思

所有具有整數坐標的 n 维向量的晶格。

使用時機

將其用作標準坐標晶格，以及子晶格和整數優化的參考。

計算範例

ℤ² 包含每個點 (m,n)，其中 m,n∈ℤ。

格幾何

格基

Lattice basis

符號B=[b₁ … bₖ]

意思

一個線性無關的集合，其整數組合生成一個格。

使用時機

用於編碼、枚舉、轉換和計算晶格的屬性。

注意

一個格有無限多種可能的基，通常具有非常不同的向量長度和角度。

計算範例

矩陣 [2,0] 和 [1,3] 組成了二維格的基。

格幾何

格秩

Lattice rank

符號rank(L)

意思

晶格基中的向量數量，等於其實數空間的維度。

使用時機

用於區分滿秩和低維晶格，這些晶格位於一個包圍空間中。

計算範例

由 [1,0,0] 和 [0,1,0] 生成的晶格在 ℝ³ 中具有秩 2。

格幾何

格點

Lattice point

符號Bz

意思

一個點，由將格基矩陣乘以一個整數向量而得到。

使用時機

將其用作最近點、填充、編碼和整數約束問題中的離散候選值。

計算範例

如果 B=[[2,1],[0,3]] 且 z=[2,-1]，則 Bz=[3,-3]。

格幾何

基本平行六面體

Fundamental parallelepiped

符號P(B)

意思

由基數係數形成的半開區域，介於包含 0 和不包含 1 之間。

使用時機

將其用作一個重複的單元格，其中包含每個陪集模晶格的一個代表。

計算範例

P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.

格幾何

格行列式

Lattice determinant

符號det(L)

意思

基本區域的體積，也稱為晶格體積。

使用時機

用於測量晶格密度並比較滿秩晶格的間距。

計算範例

For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.

格幾何

子格

Sublattice

符號L'⊆L

意思

一個格的子群，它本身也是在相同的實數空間或較低維數空間中的一個格。

使用時機

用於施加額外的同餘條件或比較嵌套的離散結構。

計算範例

2ℤ² 是 ℤ² 的一個子格。

格幾何

格指數

Lattice index

符號[L:L']

意思

在 L 中的一個滿秩子晶格 L' 的陪集數。

使用時機

用於測量子晶格的稀疏程度以及嵌套晶格的行列式之間的關係。

計算範例

[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).

格幾何

單模矩陣

Unimodular matrix

符號U∈GLₙ(ℤ)

意思

一個整數平方矩陣，其行列式為 1 或 -1，其逆矩陣也是整數矩陣。

使用時機

用於更改晶格基，而不更改晶格本身。

計算範例

如果 B'=BU 且 det(U)=±1，則 B 和 B' 生成相同的格。

格幾何

等價的格基

Equivalent lattice bases

符號B'=BU

意思

兩個基由一個單模矩陣相關聯，它們生成完全相同的晶格。

使用時機

用於將長、傾斜的基替換為更短、更正交的基。

計算範例

B 和 B'=B[[1,1],[0,1]] 是等價的基。

格幾何

格基的 Gram 矩陣

Gram matrix of a lattice basis

符號G=BᵀB

意思

一個矩陣，包含所有基向量的兩兩內積。

使用時機

用於計算基座標中的長度、角度、體積和二次形式。

計算範例

對於整數向量 z，‖Bz‖²=zᵀGz。

格幾何

對於格基的 Gram-Schmidt 方法

Gram-Schmidt for lattice bases

符號bᵢ*

意思

一個正交化方法，用於分析格基，但不一定產生另一個格基。

使用時機

用於計算投影係數、基質量和 LLL 簡化步驟。

注意

Gram-Schmidt 向量是分析輔助，不必是格點。

計算範例

b₂*=b₂-μ₂₁b₁*，其中 μ₂₁=⟨b₂,b₁*⟩/‖b₁*‖²。

格幾何

正交性缺陷

Orthogonality defect

符號∏‖bᵢ‖/det(L)

意思

一個衡量滿秩基與正交性之間距離的指標。

使用時機

用於比較基質量並預測數值或枚舉困難程度。

計算範例

對於正交基，缺陷等於 1，否則大於或等於 1。

格幾何

對偶格

Dual lattice

符號L*

意思

具有與 L 中每個向量具有整數內積的向量的集合。

使用時機

用於傅里葉分析、編碼理論、互惠幾何和傳輸界限。

計算範例

對於滿秩基 B，一個對偶基是 B⁻ᵀ。

格幾何

最短向量問題

Shortest vector problem

符號SVP

意思

在一個選擇的範數下，尋找格中的最短非零向量。

使用時機

用於理解晶格幾何、簡化質量和基於晶格的密碼學難度。

計算範例

Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.

格幾何

逐個最小值

Successive minima

符號λᵢ(L)

意思

包含越來越多線性獨立格向量所需的半徑。

使用時機

用於描述晶格形狀，而不僅僅是單個最短向量。

計算範例

λ₁(L) 是最短向量的長度，而 λₖ(L) 達到 k 個線性獨立的向量。

格幾何

Minkowski 的凸體定理

Minkowski's convex body theorem

意思

一個體積條件，確保一個對稱凸體包含一個非零的格點。

使用時機

用於證明關於短晶格向量的界限以及代數數論中的結果。

計算範例

足夠大的、具有中心對稱性的凸體必須包含一個非零點 L。

格幾何

格球填充

Lattice sphere packing

意思

在格點上放置相等的、不重疊的球體，並測量佔用空間的比例。

使用時機

用於編碼理論、通信、離散幾何和高維優化。

計算範例

填充半徑是最短非零晶格向量長度的二分之一。

格幾何

晶格的沃羅諾伊胞。

Voronoi cell of a lattice

意思

離一個晶格點至少與任何其他晶格點一樣近的點的區域。

使用時機

運用它來理解最近格點解碼以及 CVP 區域的幾何形狀。

計算範例

Voronoi 單胞在 0 處，通過格平移填充空間。

格幾何

格基約化

Lattice basis reduction

意思

用更短且更接近正交的向量替換格基，得到一個等效的基。

使用時機

用於改進枚舉、整數關係搜索、密碼分析和數值行為。

計算範例

一個簡化的基生成相同的格，但更清楚地展現了其幾何結構。

格幾何

LLL 算法

LLL algorithm

符號LLL

意思

一個多項式時間演算法，產生一個滿足大小縮減和 Lovász 條件的基。

使用時機

用於實用的近似短向量、多項式分解、密碼分析和整數關係。

注意

LLL 提供了一個近似短向量的質量保證，但不一定得到確切的 SVP 解。

計算範例

LLL 反覆地縮小 Gram-Schmidt 係數，並且在 Lovász 条件不成立時交換基向量。

特徵值和分解

特徵值

Eigenvalue

符號Av=λv

意思

一個標量 λ，它使線性變換對非零的特徵向量進行縮放，而不會改變其方向。

使用時機

使用特徵值來研究穩定性、長期動態、協方差、圖和微分方程。

計算範例

對於 A=diag(2,3)，特徵值是 2 和 3。

特徵值和分解

特徵向量

Eigenvector

符號Av=λv, v≠0

意思

一個由線性變換在標量縮放下保持的非零方向。

使用時機

將其用於識別自然軸、主模、穩態和主要方向。

計算範例

對於 A=diag(2,3)，[1,0] 是對於 λ=2 的一個特徵向量。

特徵值和分解

特徵多項式

Characteristic polynomial

符號det(A-λI)

意思

一個其根是方形矩陣的特徵值的多項式。

使用時機

將其用於符號特徵值計算以及小矩陣的理論分析。

計算範例

對於 A=[[2,0],[0,3]]，det(A-λI)=(2-λ)(3-λ)。

特徵值和分解

對角化

Diagonalization

符號A=PDP⁻¹

意思

使用對角矩陣的特徵值和特徵向量的基來表示矩陣。

使用時機

將其用於簡化矩陣冪、遞迴關係和線性動態系統。

注意

並非每個方形矩陣都有足夠的線性獨立特徵向量才能被對角化。

計算範例

A^k=PD^kP⁻¹，當 A 可以對角化時。

特徵值和分解

LU 分解

LU decomposition

符號PA=LU

意思

將矩陣分解為下三角因子和上三角因子，有時會進行行置換。

使用時機

將其用於高效地求解具有相同係數矩陣的幾個系統。

計算範例

Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.

特徵值和分解

QR 分解

QR decomposition

符號A=QR

意思

將矩陣分解為一個正交矩陣 Q 和一個上三角矩陣 R。

使用時機

將其用於數值穩定最小二乘法、正交基和特徵值演算法。

計算範例

使用 A=QR 後，通過 Rx=Qᵀb 求解最小二乘問題。

特徵值和分解

辛格值分解

Singular value decomposition

符號A=UΣVᵀ

意思

將任何矩陣分解為正交的特徵向量矩陣和非負的特徵值。

使用時機

將其用於壓縮、降噪、偽逆、低秩逼近和潛在結構。

注意

較小的辛格值在用於逆或偽逆時可能會放大噪聲。

計算範例

保持最大的 k 個奇異值可以得到在 2-範數和 Frobenius 範數下最佳的秩 k 近似。

特徵值和分解

最小二乘法

Least squares

符號min ‖Ax-b‖₂

意思

找到可以使平方殘差最小化的參數，當線性系統沒有精確解或過定時。

使用時機

將其用於迴歸、校準、重構以及擬合噪聲測量。

計算範例

使用最小化平方垂直殘差之和來擬合 y≈mx+c。

特徵值和分解

主成分分析

Principal component analysis

符號X≈UₖΣₖVₖᵀ

意思

一種降維方法，它在中心化數據中找到最大方差的正交方向。

使用時機

將其用於可視化、壓縮、降噪或總結相關的數值特徵。

注意

PCA 對特徵尺度、異常值以及高方差具有信息性的假設很敏感。

計算範例

計算中心 X 的 SVD，並將其投影到前 k 個右特徵向量上。