運算和公理
集合
Set
符號
S意思
一組不同的對象，被視為一個數學對象。
使用時機
使用集合來指定定義代數運算的載體。
計算範例
ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.數學參考
群、環、域以及抽象代數術語
從運算和群開始，通過環、域、有限域、模和向量空間，學習代數結構，包含定義和例題。
從運算到群、環和域
每個結構都添加了特定的公理；域支持除以每個非零元素。
當模算術形成一個域時
只有當 n 是質數時，ℤ/nℤ 才是域；合數模數可能包含零因子。
63 個術語
運算和公理
二元運算
Binary operation
符號
*:S×S→S意思
一個規則，它將集合中的兩個元素組合起來，並返回集合中的一個元素。
使用時機
將其用作 magma、semigroup、group、ring 和 field 的基礎操作。
計算範例
加法是 ℤ 上的二元運算，因為對於所有整數 a 和 b，a+b∈ℤ。運算和公理
閉包
Closure
意思
將運算應用到允許的元素總是產生另一個允許的元素。
使用時機
在聲稱一個子集繼承了代數結構之前，請檢查其是否是閉包的。
計算範例
正整數在加法下是閉合的，但在減法下不是。運算和公理
結合律
Associativity
符號
(a*b)*c=a*(b*c)意思
重組三個運算元不會改變結果。
使用時機
將其用於省略重複乘積或和中的括號，以及一致地定義冪。
計算範例
矩陣乘法是結合律的，即使它通常不可交換。運算和公理
交換性
Commutativity
符號
a*b=b*a意思
交換兩個運算元的順序不會改變結果。
使用時機
將其用於區分阿贝尔群和可換環與不可換結構。
計算範例
整數乘法是可交換的，而矩陣乘法通常不可交換。運算和公理
單位元素
Identity element
符號
e意思
一個在運算中使用時，使每個元素不變的元素。
使用時機
將其用於定義逆元、冪、單元群、群和具有單位元的環。
計算範例
在 ℤ 中，0 是加法單位元，1 是乘法單位元。運算和公理
逆元素
Inverse element
符號
a⁻¹意思
一個與給定的元素組合，產生單位元的元素。
使用時機
將其用於反轉群操作，並確定哪些環元素是單位元素。
計算範例
5 的加法逆元是 -5；在 ℚ 中，3 的乘法逆元是 1/3。運算和公理
群
Magma
符號
(M,*)意思
一個帶有一個閉合二元運算的集合，但不要求滿足結合律或具有單位元。
使用時機
將其用作一元結構層級中的最寬鬆的起點。
計算範例
每個半群都是一個集合，但一個集合不一定滿足結合律。運算和公理
半群
Semigroup
符號
(S,*)意思
一個其運算滿足結合律的集合。
使用時機
將其用於模擬不一定具有單位元或逆元的可組成過程。
計算範例
所有非空字串在連接運算下形成一個半群。運算和公理
單元群
Monoid
符號
(M,*,e)意思
一個具有單位元的半群。
使用時機
將其用於序列、變換、內同構和由中性值組成的計算。
計算範例
所有字串，包括空字串，在連接運算下形成一個單體。群
群
Group
符號
(G,*)意思
一個單體，其中每個元素都具有逆元。
使用時機
使用群來描述對稱性和可逆操作。
計算範例
整數在加法下構成一個群。群
阿貝爾群
Abelian group
符號
a*b=b*a意思
一個群，其運算滿足交換律。
使用時機
將其用於整數、向量和環的加法部分的加法結構。
計算範例
每個向量空間都是一個在向量加法下的阿贝尔群。群
子群
Subgroup
符號
H≤G意思
一個群的子集，它本身也是一個群，並且在受限的運算下保持有效。
使用時機
將其用於隔離對稱性、生成的元素、穩定器和解集，位於群中。
計算範例
2ℤ 是 (ℤ,+) 的一個子群。群
循環群
Cyclic group
符號
G=⟨g⟩意思
一個由一個元素生成的群。
使用時機
將其用於將每個群元素表示為一個生成元的冪或整數倍數。
計算範例
(ℤ/nℤ,+) 是循環群，由 [1] 生成。群
群生成元
Group generator
符號
⟨g⟩意思
一個元素或元素的集合，其重複運算和逆運算可以產生整個群。
使用時機
將其用於提供緊湊的表示，並測試群是否是循環群。
計算範例
元素 [1] 生成了加法群 ℤ/5ℤ。群
群元素的階
Order of a group element
符號
ord(g)意思
將元素映射到單位元的最小正指數。
使用時機
將其用於確定循環長度和生成的子群大小。
計算範例
在加法群 ℤ/6ℤ 中，元素 [2] 的階數為 3。群
群的階
Order of a group
符號
|G|意思
有限群中的元素數量。
使用時機
將其與拉格朗日定理、計數論證和有限群的分類結合使用。
計算範例
一個等邊三角形的對稱群的階數為 6。群
陪集
Coset
符號
gH or Hg意思
一個通過將每個子群元素乘以一個固定的群元素而得到的子群的平移。
使用時機
使用陪集來劃分群，並構造商群。
計算範例
3ℤ 在 ℤ 中的陪集是 3ℤ、1+3ℤ 和 2+3ℤ。群
拉格朗日定理
Lagrange's theorem
符號
|G|=[G:H]|H|意思
對於有限群，每個子群的階都整除群的階。
使用時機
將其用於限制可能的子群和元素階數。
計算範例
一個群的階數為 12 的有限群，不能包含一個群的階數為 5 的子群。群
正規子群
Normal subgroup
符號
N◁G意思
一個子群，其左陪集和右陪集對於每個群元素都重合。
使用時機
將其用作陪集形成商群的條件。
計算範例
每個群同態的核都是一個正規子群。群
商群
Quotient group
符號
G/N意思
一個由群和正規子群組形成的陪集群。
使用時機
將其用於將正规子群坍縮到單位元，並在更粗糙的尺度上研究群結構。
計算範例
ℤ/nℤ 是在加法運算下，ℤ/nℤ 的商群。群
群同態
Group homomorphism
符號
φ(ab)=φ(a)φ(b)意思
一個在群之間定義的映射，它保持群運算。
使用時機
將其用於比較群，同時保留其代數操作。
計算範例
映射 φ:ℤ→ℤ/nℤ 由 φ(k)=[k] 定義，它保持加法。群
群同構
Group isomorphism
符號
G≅H意思
一個雙射群同態，表明兩個群具有相同的抽象結構。
使用時機
將其用於將結構上相同的群視為相同。
計算範例
每個無窮循環群都與 (ℤ,+) 同構。群
群同態的核
Kernel of a group homomorphism
符號
ker(φ)意思
被映射到目標群中單位元的子群。
使用時機
將其用於測量同構所丟失的信息，並測試單射性。
計算範例
如果一個群同態是單射的，那麼當且僅當它的核是單位子群。群
群同態的像
Image of a group homomorphism
符號
im(φ)意思
同構真正到達的目標元素的子群。
使用時機
將其用於確定有效的輸出結構，並測試全射性。
計算範例
一個同態是滿射的，當且僅當其像等於目標群。群
群的同構定理
First isomorphism theorem for groups
符號
G/ker(φ)≅im(φ)意思
一個定理，它將由同態的核的商與其像等同起來。
使用時機
將其用於連接核、像和商結構。
計算範例
對於 φ:ℤ→ℤ/nℤ，ℤ/nℤ≅im(φ)。群
群的直積
Direct product of groups
符號
G×H意思
一個由有序對以及逐個元素進行運算的群。
使用時機
將其用於組合獨立的群結構，以及分解有限阿贝尔群。
計算範例
ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ 與 ℤ/6ℤ 同構。環
環
Ring
符號
(R,+,×)意思
一個集合，其加法形成一個阿贝尔群，其結合乘法在加法下是可分配的。
使用時機
使用環來研究整數、多項式、矩陣和具有加法和乘法的模算術。
計算範例
ℤ 是具有單位元的交換環。環
交換環
Commutative ring
符號
ab=ba意思
一個乘法滿足交換律的環。
使用時機
將其用於數論和代數幾何，其中類似於多項式的乘法是可換的。
計算範例
當 F 是域時，ℤ 和 F[x] 都是交換環。環
具有單位元的環
Ring with identity
符號
1_R意思
一個包含乘法單位元的環。
使用時機
將其用於定義單位元素、具有標量單位元的模，以及保持 1 的同構。
計算範例
偶數構成一個環，但它沒有自己的乘法單位元，而是繼承了運算。環
子環
Subring
符號
S⊆R意思
一個子集，它本身是一個環，並且在繼承自較大環的運算下保持有效。
使用時機
將其用於識別環內部的較小算術系統。
計算範例
整数 ℤ 形成有理數 ℚ 的一個子環。環
環的單位元素
Unit of a ring
符號
R×意思
一個具有乘法逆元的元素。
使用時機
使用單位元素來識別可逆乘法，並形成環的乘法群。
計算範例
ℤ 的單位元素是 1 和 -1。環
零因子
Zero divisor
符號
ab=0意思
一個非零的環元素，它與另一個非零元素相乘，得到零。
使用時機
將其用於檢測消去律失敗，以及區分整域和一般的環。
計算範例
在 ℤ/6ℤ 中，[2][3]=[0]；因此，[2] 和 [3] 是零因子。環
冪零元素
Nilpotent element
符號
a^k=0意思
一個正冪等於零的元素。
使用時機
將其用於研究非簡化環、矩陣結構和微小代數行為。
計算範例
矩陣 [[0,1],[0,0]] 非零，但它的平方是零。環
整環
Integral domain
意思
一個非零的交換環，具有單位元且沒有零因子。
使用時機
將其用於取消律有效，並且可以一致地構造分数的環境。
計算範例
ℤ 是整環，但不是域。環
除環
Division ring
意思
一個環，其中每個非零元素都具有乘法逆元，但不要求乘法滿足交換律。
使用時機
將其用於區分不可換除環與域。
計算範例
四元數構成一個除環，但不是一個域。環
理想
Ideal
符號
I◁R意思
一個加法子群，它可以吸收來自環中任意元素的乘法，從所需的側或側面。
使用時機
使用理想作為環同構的核，以及構造商環。
計算範例
nℤ 是 ℤ 的一個理想。環
主理想
Principal ideal
符號
(a)意思
一個由一個元素生成的理想。
使用時機
將其用於表達可除性，並比較主理想域與更一般的環。
計算範例
在 ℤ 中，由 6 生成的理想是 (6)=6ℤ。環
商環
Quotient ring
符號
R/I意思
一個由將理想中的每個元素與零等同而形成的陪集環。
使用時機
將其用於施加代數關係，並模擬模算術。
計算範例
ℤ/nℤ 是 ℤ/(n) 的商環。環
多項式環
Polynomial ring
符號
R[x]意思
具有環 R 中係數的多項式環。
使用時機
將其用於方程、因式分解、理想、域擴展和代數幾何。
計算範例
當 F 是一個域時，多項式環 F[x] 是一個歐幾里得域。環
矩陣環
Matrix ring
符號
Mₙ(R)意思
在環上的方陣環，使用矩陣加法和乘法。
使用時機
將其用於線性變換，以及非對換環的標準示例。
計算範例
M₂(ℝ) 是一個環，但矩陣乘法不可交換。環
環同態
Ring homomorphism
符號
φ(a+b), φ(ab)意思
一個保持環加法和乘法的映射，其單位元是否保持取決於約定。
使用時機
將其用於比較環，並獲得理想作為核。
注意
說明環同態是否需要保持乘法單位元。
計算範例
評估 f(x)↦f(0) 是一個從 R[x] 到 R 的環同態。環
環同構
Ring isomorphism
符號
R≅S意思
一個雙射環同態，表明兩個環具有相同的環結構。
使用時機
將其用於將環替換為更簡單但結構上等效的表示。
計算範例
根據中國剩餘定理，ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ。域
域
Field
符號
(F,+,×)意思
一個交換環，其 1 不等於 0，並且每個非零元素都具有乘法逆元。
使用時機
使用域作為精確除法、向量空間、多項式和線性代數的標量系統。
計算範例
ℚ、ℝ 和 ℂ 都是域，而 ℤ 不是。域
子域
Subfield
符號
K⊆F意思
一個域的子集，它本身也是一個域，並且在繼承的運算下保持有效。
使用時機
將其用於比較標量系統，並定義域擴展。
計算範例
ℚ 是 ℝ 的子域，而 ℝ 是 ℂ 的子域。域
域的特徵
Characteristic of a field
符號
char(F)意思
使得 1 的若干個副本之和為零的最小正數，如果不存在則為 0。
使用時機
將其用於區分具有零特徵的域與具有有限特徵的算術。
計算範例
有理數域的特徵為 char(ℚ)=0，而有限素數域的特徵為 char(𝔽ₚ)=p。域
素域
Prime field
意思
包含在一個域中的最小子域，與 ℚ 或 𝔽ₚ 同構。
使用時機
將其用作由乘法單位元素生成的算術基礎。
計算範例
每個具有特徵 p 的域都包含一個 𝔽ₚ 的副本。域
有限域
Finite field
符號
𝔽_q意思
包含有限個元素的域。
使用時機
將其用於編碼理論、密碼學、校驗和和有限幾何。
計算範例
域 𝔽₅={0,1,2,3,4} 使用模 5 算術進行加法和乘法運算。域
有限域的素數階
Prime-power order of a finite field
符號
q=pⁿ意思
存在一個有限域，其元素個數為 q，當且僅當 q 是素數的冪。
使用時機
將其用於確定構造有限域之前的有效有限域大小。
計算範例
存在一個具有 8 個元素的域，但不存在一個具有 6 個元素的域。域
伽羅華域
Galois field
符號
GF(pⁿ)意思
有限域（具有 pⁿ 個元素的域）的另一個名稱，在同構意義下是唯一的。
使用時機
將其用於錯誤校正碼和密碼系統中的域算術擴展。
計算範例
GF(2⁸) 廣泛用於面向字節的有限域算術。域
域擴展
Field extension
符號
L/K意思
一個包含另一個域 K 作為子域的域 L。
使用時機
將其用於附加根、擴大標量系統和構造有限域。
計算範例
ℂ/ℝ 是通過添加 i 得到的域擴展。域
域擴展的度數
Degree of a field extension
符號
[L:K]意思
將 L 視為 K 上的向量空間時，其向量空間維度。
使用時機
將其用於測量擴展大小，並應用塔規律。
計算範例
擴展的度數為 [ℂ:ℝ]=2，其基底在 ℝ 上的基是 {1, i}。域
代數元素
Algebraic element
意思
一個是基域上非零多項式的根的擴展域元素。
使用時機
將其用於構造有限次數的擴展，以及對域上的數進行分類。
計算範例
√2 在 ℚ 域上是代數數，因為它滿足 x²-2=0。域
代數元素
Transcendental element
意思
一個滿足基域上沒有非零多項式的擴展域元素。
使用時機
將其用於區分超越擴展與代數擴展。
計算範例
π 和 e 在 ℚ 域上是超越數。域
最小多項式
Minimal polynomial
符號
m_α(x)意思
在基礎域上，具有最小次數的唯一單項不可約多項式，其根為一個代數元素。
使用時機
將其用於確定代數元素的擴展度和算術關係。
計算範例
√2 在 ℚ 上的最小多項式是 x²-2。域
分裂域
Splitting field
意思
多項式完全分解為線性因子的最小域擴展。
使用時機
將其用於包含所有多項式根，並研究其對稱性。
計算範例
x²+1 在 ℝ 上的分解域是 ℂ。域
代數閉包
Algebraic closure
意思
一個代數擴展，它是代數閉包的，因此每個非常數多項式都有根。
使用時機
將其用作多項式方程完全分解的環境。
計算範例
ℂ 是代數閉域，並且只有在注意到 ℂ/ℝ 是代數的條件下，才是一個 ℝ 的代數閉包。關聯和範例
模
Module
符號
M over R意思
一個具有阿贝尔群性質，並且通過環中的元素進行乘法的群。
使用時機
使用模來概括向量空間，當標量來自環而不是域時。
計算範例
每個阿贝尔群自然地是一個關於整數環 ℤ 的模。關聯和範例
在域上的向量空間
Vector space over a field
符號
V over F意思
一個具有阿贝尔群性質，並且通過域中的標量進行乘法的群，滿足向量空間的公理。
使用時機
將其用於連接域結構與線性代數、基、維度和線性變換。
計算範例
ℂ 是在 ℝ 域上的一個二維向量空間。關聯和範例
域上的代數
Algebra over a field
符號
A over F意思
一個在域上定義的向量空間，並且具有一個相容的雙線性乘法。
使用時機
將其用於將線性代數與環乘法結合。
計算範例
Mₙ(F) 是一個關於 F 的代數。關聯和範例
當 ℤ/nℤ 是一個域時
When ℤ/nℤ is a field
意思
商環 ℤ/nℤ 是一個域，當且僅當 n 是素數。
使用時機
將其用於區分素模算術與具有零因子和合模算術。
計算範例
ℤ/5ℤ 是域，但 ℤ/6ℤ 不是，因為 [2][3]=[0]。關聯和範例
環的單位群
Unit group of a ring
符號
R×意思
由環中所有可逆乘法元素組成的群。
使用時機
將其用於連接環乘法與群論和模算術。
計算範例
(ℤ/nℤ)× 包含所有與 n 互質的餘數類。關聯和範例
標量域
Scalar field
符號
F意思
向量空間的係數和矩陣元素的取值域。
使用時機
說明原因，因為秩、eigenvalues、分解和可解性會隨著標量域的變化而變化。
計算範例
矩陣 [[0,-1],[1,0]] 沒有實數 eigenvalues，但在 ℂ 中有 eigenvalues i 和 -i。