AI Engineering Tools

Tham khảo toán học

Các thuật ngữ và nền tảng của lý thuyết tập hợp

Tìm hiểu về tập hợp, các phép toán, quan hệ, hàm số, số vô hạn, nền tảng tiên đề và các ứng dụng thực tế, cùng với ký hiệu và các ví dụ minh họa.

Liên hợp và giao trong biểu đồ Venn

Liên hợp bao gồm một trong hai tập hợp, trong khi giao chỉ giữ lại vùng chung.

Các ánh xạ đơn ánh và toàn ánh

Các mũi tên cho biết liệu các đầu vào có còn khác nhau hay không và liệu mọi phần tử miền xác định có được hay không.

99 thuật ngữ

Tập hợp và nền tảng.

Tập hợp

Set

Ký hiệuA

Ý nghĩa

Một tập hợp các đối tượng riêng biệt được tổ chức thành một đối tượng toán học duy nhất.

Khi dùng

Sử dụng các tập hợp để chỉ định các tập hợp, miền, không gian giải pháp, sự kiện và các đối tượng cơ bản của các cấu trúc toán học.

Ví dụ tính toán

Tập hợp A={2,4,6} chứa ba số chẵn.

Tập hợp và nền tảng.

Phần tử của tập hợp

Set element

Ký hiệux

Ý nghĩa

Một đối tượng riêng lẻ chứa trong một tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng các phần tử khi đưa ra các phát biểu về các thành viên của một tập hợp.

Ví dụ tính toán

Số 4 là một phần tử của A={2,4,6}.

Tập hợp và nền tảng.

Quan hệ thuộc.

Membership

Ký hiệux∈A

Ý nghĩa

Quan hệ chỉ ra rằng một đối tượng là một phần tử của một tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng ký hiệu thuộc về để phân biệt một phần tử với một tập con.

Ví dụ tính toán

4∈{2,4,6}.

Tập hợp và nền tảng.

Quan hệ không thuộc.

Non-membership

Ký hiệux∉A

Ý nghĩa

Quan hệ chỉ ra rằng một đối tượng không phải là một phần tử của một tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng nó để loại trừ các giá trị khỏi một miền, sự kiện hoặc tập hợp giải pháp.

Ví dụ tính toán

5∉{2,4,6}.

Tập hợp và nền tảng.

Ký hiệu liệt kê.

Roster notation

Ký hiệuA={a,b,c}

Ý nghĩa

Một ký hiệu định nghĩa một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó giữa các dấu ngoặc nhọn.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các tập hợp hữu hạn mà các thành viên có thể được liệt kê rõ ràng.

Ví dụ tính toán

Tập các nguyên âm có thể được viết là V={a,e,i,o,u}.

Tập hợp và nền tảng.

Ký hiệu xây dựng tập hợp.

Set-builder notation

Ký hiệu{x∈U:P(x)}

Ý nghĩa

Một ký hiệu định nghĩa một tập hợp bằng một tính chất mà các phần tử của nó phải thỏa mãn.

Khi dùng

Sử dụng nó khi việc liệt kê mọi phần tử sẽ không thực tế hoặc không thể.

Ví dụ tính toán

Các số nguyên chẵn là {n∈ℤ:n=2k cho một số k∈ℤ}.

Tập hợp và nền tảng.

Tập hợp rỗng

Empty set

Ký hiệu∅

Ý nghĩa

Tập hợp duy nhất không chứa bất kỳ phần tử nào.

Khi dùng

Sử dụng nó cho một sự kiện không thể xảy ra, một tập nghiệm không nhất quán hoặc một giao không rỗng trong ngữ cảnh.

Lưu ý

Tập hợp rỗng là một tập con của mọi tập hợp, nhưng nó không nhất thiết là một phần tử của mọi tập hợp.

Ví dụ tính toán

Tập nghiệm thực của phương trình x²+1=0 là ∅.

Tập hợp và nền tảng.

Tập hợp đơn tử.

Singleton set

Ký hiệu{x}

Ý nghĩa

Một tập hợp chứa chính xác một phần tử.

Khi dùng

Sử dụng nó khi một tập hợp có một giá trị có thể hoặc một giải pháp là duy nhất.

Ví dụ tính toán

Phương trình x-3=0 có tập hợp nghiệm là {3}.

Tập hợp và nền tảng.

Tập hợp phổ quát

Universal set

Ký hiệuU

Ý nghĩa

Tập hợp tất cả các đối tượng hiện đang được xem xét.

Khi dùng

Nêu rõ điều này trước khi sử dụng phần bù hoặc lượng tử hóa trên một vũ trụ cố định.

Lưu ý

Một tập hợp phổ quát phụ thuộc vào ngữ cảnh; nó không phải là một tập hợp tuyệt đối của mọi thứ.

Ví dụ tính toán

Nếu U=ℤ, thì tập hợp phần bù của các số chẵn là tập hợp các số lẻ.

Tập hợp và nền tảng.

Tính bằng nhau của hai tập hợp.

Set equality

Ký hiệuA=B

Ý nghĩa

Hai tập hợp bằng nhau khi chúng chứa chính xác cùng các phần tử.

Khi dùng

Sử dụng đẳng thức mở rộng mà không xem xét đến thứ tự hoặc sự lặp lại của các phần tử trong một danh sách được viết.

Ví dụ tính toán

Các tập hợp {1,2,2,3} và {3,2,1} bằng nhau.

Tập hợp và nền tảng.

Tập con.

Subset

Ký hiệuA⊆B

Ý nghĩa

Một tập A là một tập con của B khi mọi phần tử của A cũng là một phần tử của B.

Khi dùng

Sử dụng nó để biểu thị sự chứa và chứng minh sự bằng nhau của các tập hợp bằng cách bao gồm kép.

Ví dụ tính toán

{1,3}⊆{1,2,3}.

Tập hợp và nền tảng.

Tập con thực sự

Proper subset

Ký hiệuA⊊B

Ý nghĩa

Một tập con không bằng với tập chứa nó.

Khi dùng

Sử dụng nó khi sự chứa là nghiêm ngặt.

Lưu ý

Một số sách sử dụng ⊂ cho tập con thực sự, trong khi những cuốn khác sử dụng nó cho bất kỳ tập con nào; hãy xác định quy ước.

Ví dụ tính toán

{1,3}⊊{1,2,3}.

Tập hợp và nền tảng.

Tập con chứa.

Superset

Ký hiệuB⊇A

Ý nghĩa

Một tập hợp chứa mọi phần tử của một tập hợp khác.

Khi dùng

Sử dụng nó như dạng đảo của quan hệ tập con.

Ví dụ tính toán

{1,2,3}⊇{1,3}.

Tập hợp và nền tảng.

Số phần tử

Cardinality

Ký hiệu|A|

Ý nghĩa

Một thước đo số lượng phần tử trong một tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh kích thước hữu hạn và, thông qua các phép song ánh, kích thước của các tập hợp vô hạn.

Ví dụ tính toán

Nếu A={a,b,c}, thì |A|=3.

Tập hợp và nền tảng.

Tập hợp hữu hạn

Finite set

Ý nghĩa

Một tập hợp mà các phần tử của nó có thể được đặt trong một song ánh với {1,...,n} cho một số số nguyên không âm n.

Khi dùng

Sử dụng nó khi một tập hợp có kích thước nguyên là xác định.

Ví dụ tính toán

Các ngày trong tuần tạo thành một tập hợp hữu hạn có số lượng phần tử là 7.

Tập hợp và nền tảng.

Tập hợp vô hạn

Infinite set

Ý nghĩa

Một tập hợp không hữu hạn.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các tập hợp vô hạn như số nguyên, dãy và các điểm trên một đường thẳng.

Ví dụ tính toán

Tập hợp số nguyên ℤ là vô hạn.

Tập hợp và nền tảng.

Tập lũy thừa.

Power set

Ký hiệu𝒫(A)

Ý nghĩa

Tập hợp chứa mọi tập con của A.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô tả tất cả các lựa chọn, sự kiện và các tổ hợp tính năng nhị phân có thể.

Ví dụ tính toán

Nếu A={a,b}, thì 𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}.

Tập hợp và nền tảng.

Họ các tập hợp được lập chỉ mục

Indexed family of sets

Ký hiệu{Aᵢ}ᵢ∈I

Ý nghĩa

Một tập hợp các tập được gán nhãn bởi các phần tử của một tập chỉ mục.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các dãy tập hợp và các phép hợp hoặc giao trên các tập chỉ mục tùy ý.

Ví dụ tính toán

Dãy {Aₙ}ₙ∈ℕ có thể được định nghĩa bởi Aₙ={1,...,n}.

Các phép toán trên tập hợp.

Hợp

Union

Ký hiệuA∪B

Ý nghĩa

Tập hợp các phần tử thuộc A, B hoặc cả hai.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết hợp các lựa chọn, sự kiện, danh mục hoặc tập kết quả.

Ví dụ tính toán

Nếu A={1,2} và B={2,3}, thì A∪B={1,2,3}.

Các phép toán trên tập hợp.

Giao

Intersection

Ký hiệuA∩B

Ý nghĩa

Tập hợp các phần tử thuộc cả A và B.

Khi dùng

Sử dụng nó để áp dụng các điều kiện đồng thời hoặc tìm các thành viên chung.

Ví dụ tính toán

Nếu A={1,2} và B={2,3}, thì A∩B={2}.

Các phép toán trên tập hợp.

Hiệu của hai tập hợp.

Set difference

Ký hiệuA∖B

Ý nghĩa

Tập hợp các phần tử trong A mà không có trong B.

Khi dùng

Sử dụng nó để loại bỏ các loại trừ hoặc so sánh những gì còn lại duy nhất cho một tập hợp.

Ví dụ tính toán

Nếu A={1,2,3} và B={2,4}, thì A∖B={1,3}.

Các phép toán trên tập hợp.

Tập hợp phần bù

Complement

Ký hiệuAᶜ

Ý nghĩa

Tập hợp các phần tử trong tập hợp phổ quát mà không có trong A.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các điều kiện phủ định và các sự kiện xác suất bổ sung.

Ví dụ tính toán

Nếu U={1,2,3,4} và A={1,3}, thì Aᶜ={2,4}.

Các phép toán trên tập hợp.

Hiệu đối xứng.

Symmetric difference

Ký hiệuA△B

Ý nghĩa

Tập hợp các phần tử thuộc chính xác một trong A và B.

Khi dùng

Sử dụng nó để đo sự không đồng ý giữa các tập hợp hoặc chuyển đổi sự thuộc về.

Ví dụ tính toán

Nếu A={1,2} và B={2,3}, thì A△B={1,3}.

Các phép toán trên tập hợp.

Các tập hợp rời nhau

Disjoint sets

Ký hiệuA∩B=∅

Ý nghĩa

Các tập hợp không có phần tử chung.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các sự kiện loại trừ lẫn nhau và các tập con không chồng chéo.

Ví dụ tính toán

Các số nguyên chẵn và lẻ là rời nhau.

Các phép toán trên tập hợp.

Phân hoạch của một tập hợp.

Partition of a set

Ý nghĩa

Một tập hợp các tập con không rỗng, rời nhau từng đôi, mà hợp của chúng là tập ban đầu.

Khi dùng

Sử dụng nó để nhóm mọi phần tử vào chính xác một lớp.

Ví dụ tính toán

Các lớp dư theo modulo 3 chia ℤ.

Các phép toán trên tập hợp.

Tích Descartes

Cartesian product

Ký hiệuA×B

Ý nghĩa

Tập hợp tất cả các cặp thứ tự mà phần tử đầu tiên nằm trong A và phần tử thứ hai nằm trong B.

Khi dùng

Sử dụng nó để xây dựng tọa độ, quan hệ, bảng và không gian tích.

Ví dụ tính toán

Nếu A={1,2} và B={x,y}, thì A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.

Các phép toán trên tập hợp.

Cặp có thứ tự.

Ordered pair

Ký hiệu(a,b)

Ý nghĩa

Một cặp trong đó vị trí của mỗi thành phần có ý nghĩa.

Khi dùng

Sử dụng nó cho tọa độ và như phần tử cơ bản của một tích Descartes hoặc quan hệ.

Ví dụ tính toán

Một cặp thứ tự thường thay đổi khi các thành phần của nó được hoán đổi, vì vậy (1,2)≠(2,1).

Các phép toán trên tập hợp.

Các định luật De Morgan cho tập hợp

De Morgan's laws for sets

Ký hiệu(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ

Ý nghĩa

Các quy tắc hoán đổi hợp và giao khi lấy phần bù.

Khi dùng

Sử dụng chúng để đơn giản hóa các điều kiện tập hợp bị phủ định và các sự kiện xác suất.

Ví dụ tính toán

Định luật thứ hai là (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.

Các phép toán trên tập hợp.

Các định luật phân phối cho tập hợp

Distributive laws for sets

Ký hiệuA∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

Ý nghĩa

Các quy tắc mô tả cách hợp và giao hoán phân phối qua nhau.

Khi dùng

Sử dụng chúng để viết lại các biểu thức tập hợp và chứng minh các đồng nhất thức.

Ví dụ tính toán

Cũng A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

Các phép toán trên tập hợp.

Các định luật hấp thụ

Absorption laws

Ký hiệuA∪(A∩B)=A

Ý nghĩa

Các đồng nhất thức trong đó việc kết hợp một tập hợp với một giao hoặc hợp chứa thì trả về tập hợp ban đầu.

Khi dùng

Sử dụng chúng để loại bỏ các phần dư của các biểu thức tập hợp.

Ví dụ tính toán

Định luật đối ngẫu là A∩(A∪B)=A.

Các phép toán trên tập hợp.

Liên hợp tổng quát và giao

Generalized union and intersection

Ký hiệu⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢ

Ý nghĩa

Liên hợp hoặc giao được lấy trên một họ các tập hợp được lập chỉ mục.

Khi dùng

Sử dụng nó cho vô số tập hợp hoặc một tập hợp các điều kiện thay đổi.

Ví dụ tính toán

Với Aₙ={n,n+1,...}, giao của ⋂ₙ∈ℕAₙ là tập rỗng.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ nhị phân

Binary relation

Ký hiệuR⊆A×B

Ý nghĩa

Một tập hợp các cặp thứ tự chỉ định các phần tử nào của A liên quan đến các phần tử nào của B.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô hình hóa các phép so sánh, kết nối, liên kết cơ sở dữ liệu và đồ thị hàm.

Ví dụ tính toán

Quan hệ xRy được định nghĩa bởi x≤y là một tập con của ℤ×ℤ.

Quan hệ và thứ tự.

Miền xác định và miền giá trị của một quan hệ

Domain and range of a relation

Ký hiệudom(R), ran(R)

Ý nghĩa

Miền chứa các thành phần đầu tiên xuất hiện trong một quan hệ, và miền giá trị chứa các thành phần thứ hai xuất hiện.

Khi dùng

Sử dụng chúng để xác định các đầu vào và đầu ra nào thực sự tham gia vào một mối quan hệ.

Ví dụ tính toán

Nếu R={(1,a),(2,a),(2,b)}, thì dom(R)={1,2} và ran(R)={a,b}.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ nghịch đảo

Inverse relation

Ký hiệuR⁻¹

Ý nghĩa

Quan hệ được tạo ra bằng cách đổi chỗ mọi cặp thứ tự trong R.

Khi dùng

Sử dụng nó để đảo ngược một mối quan hệ có hướng.

Ví dụ tính toán

Nếu R={(1,a),(2,b)}, thì R⁻¹={(a,1),(b,2)}.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ phản xạ.

Reflexive relation

Ký hiệuxRx

Ý nghĩa

Một quan hệ trên A trong đó mọi phần tử liên quan đến chính nó.

Khi dùng

Sử dụng nó khi so sánh bản thân phải luôn đúng, như trong sự bằng nhau và thứ tự không nghiêm ngặt.

Ví dụ tính toán

Quan hệ ≤ là phản xạ vì x≤x với mọi số thực x.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ phản xạ

Irreflexive relation

Ý nghĩa

Một quan hệ trên A trong đó không có phần tử nào liên quan đến chính nó.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các phép so sánh nghiêm ngặt như nhỏ hơn.

Ví dụ tính toán

Quan hệ < là không phản xạ vì x<x luôn là sai.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ đối xứng.

Symmetric relation

Ký hiệuxRy⇒yRx

Ý nghĩa

Một quan hệ mà hướng của nó có thể đảo ngược cho mỗi cặp liên quan.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các mối quan hệ lẫn nhau như đẳng thức hoặc chia sẻ một tính chất.

Ví dụ tính toán

Quan hệ có cùng tính chẵn là đối xứng trên ℤ.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ phản đối xứng

Antisymmetric relation

Ký hiệuxRy∧yRx⇒x=y

Ý nghĩa

Một quan hệ trong đó mối quan hệ hai chiều giữa các phần tử khác nhau là không thể.

Khi dùng

Sử dụng nó như một tiên đề của các thứ tự một phần.

Lưu ý

Phản đối xứng không có nghĩa là quan hệ thiếu các cặp đối xứng; các phần tử bằng nhau có thể liên quan theo cả hai chiều.

Ví dụ tính toán

Quan hệ tập con ⊆ là phản đối xứng.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ không đối xứng

Asymmetric relation

Ký hiệuxRy⇒¬(yRx)

Ý nghĩa

Một quan hệ trong đó một cặp liên quan không thể xảy ra theo hướng ngược lại.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các phép so sánh có hướng nghiêm ngặt.

Ví dụ tính toán

Quan hệ thứ tự chặt chẽ < là không đối xứng.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ bắc cầu

Transitive relation

Ký hiệuxRy∧yRz⇒xRz

Ý nghĩa

Một quan hệ đi qua một phần tử liên quan trung gian.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các thứ tự, các quan hệ tương đương, khả năng đạt được và các chuỗi suy luận.

Ví dụ tính toán

Tính chia hết là tính chất bắc cầu: nếu a chia hết b và b chia hết c, thì a chia hết c.

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ tương đương

Equivalence relation

Ký hiệu∼

Ý nghĩa

Một quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

Khi dùng

Sử dụng nó để nhóm các đối tượng nên được coi là giống nhau theo một tiêu chí được chọn.

Ví dụ tính toán

Quan hệ đồng dư theo modulo n là một quan hệ tương đương trên ℤ.

Quan hệ và thứ tự.

Lớp tương đương

Equivalence class

Ký hiệu[x]

Ý nghĩa

Tập hợp tất cả các phần tử tương đương với một phần tử cho trước.

Khi dùng

Sử dụng nó như một khối trong phân hoạch được tạo ra bởi một quan hệ tương đương.

Ví dụ tính toán

Đối với phép đồng dư theo modulo 3, lớp tương đương của 1 là [1]={...,−5,−2,1,4,7,...}.

Quan hệ và thứ tự.

Tập thương.

Quotient set

Ký hiệuA/∼

Ý nghĩa

Tập hợp tất cả các lớp tương đương của A theo một quan hệ tương đương.

Khi dùng

Sử dụng nó để thay thế các phần tử tương đương bằng một lớp trừu tượng duy nhất.

Ví dụ tính toán

Cấu trúc ℤ/3ℤ có ba lớp: [0], [1] và [2].

Quan hệ và thứ tự.

Quan hệ thứ tự.

Partial order

Ký hiệu≼

Ý nghĩa

Một quan hệ phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.

Khi dùng

Sử dụng nó khi một số phần tử có thể so sánh được trong khi những phần tử khác có thể không.

Ví dụ tính toán

Quan hệ bao hàm tập con sắp xếp thứ tự một tập lũy thừa.

Quan hệ và thứ tự.

Tập hợp có thứ tự.

Partially ordered set

Ký hiệu(P,≼)

Ý nghĩa

Một tập hợp cùng với một thứ tự riêng phần được chỉ định.

Khi dùng

Sử dụng nó như đối tượng được nghiên cứu bởi lý thuyết thứ tự và phân tích phụ thuộc.

Ví dụ tính toán

Các ước số của 12 tạo thành một poset dưới phép chia hết.

Quan hệ và thứ tự.

Thứ tự toàn phần

Total order

Ký hiệu≤

Ý nghĩa

Một thứ tự riêng phần trong đó mọi cặp phần tử đều có thể so sánh được.

Khi dùng

Sử dụng nó cho việc sắp xếp và xếp hạng tuyến tính.

Ví dụ tính toán

Thứ tự thông thường ≤ là một thứ tự toàn phần trên ℝ.

Quan hệ và thứ tự.

Đồ thị Hasse

Hasse diagram

Ý nghĩa

Một đồ thị đơn giản hóa của một poset hữu hạn, hiển thị các quan hệ bao phủ và loại bỏ các cạnh bắc cầu.

Khi dùng

Sử dụng nó để hình dung hệ thống phân cấp, khả năng chia hết, sự bao gồm của tập con và các phụ thuộc.

Ví dụ tính toán

Một sơ đồ Hasse cho các ước số của 6 đặt số 1 dưới 2 và 3, với số 6 ở trên cả hai.

Quan hệ và thứ tự.

Sắp xếp tốt

Well-order

Ý nghĩa

Một thứ tự toàn phần trong đó mọi tập con không rỗng có một phần tử nhỏ nhất.

Khi dùng

Sử dụng nó cho quy nạp, định nghĩa đệ quy và lý thuyết thứ tự.

Ví dụ tính toán

Thứ tự thông thường trên ℕ là một thứ tự tốt.

Quan hệ và thứ tự.

Phần tử nhỏ nhất và lớn nhất.

Minimal and maximal elements

Ý nghĩa

Các phần tử không có phần tử so sánh nào nhỏ hơn hoặc lớn hơn một cách nghiêm ngặt trong một poset.

Khi dùng

Sử dụng chúng khi một thứ tự một phần có thể có nhiều phần tử biên cục bộ.

Ví dụ tính toán

Một poset hữu hạn có thể có nhiều phần tử tối đại.

Quan hệ và thứ tự.

Phần tử nhỏ nhất và lớn nhất.

Least and greatest elements

Ký hiệu⊥, ⊤

Ý nghĩa

Các phần tử nằm dưới hoặc trên mọi phần tử của một poset.

Khi dùng

Sử dụng chúng cho các giới hạn toàn cục và các điểm cuối của lưới.

Lưu ý

"Nhỏ nhất" không phải lúc nào cũng có nghĩa là "nhỏ nhất", và "lớn nhất" không phải lúc nào cũng có nghĩa là "lớn nhất".

Ví dụ tính toán

Nếu tồn tại phần tử nhỏ nhất, thì nó là duy nhất.

Quan hệ và thứ tự.

Giới trên và giới dưới

Upper and lower bounds

Ý nghĩa

Các phần tử nằm trên hoặc dưới mọi phần tử của một tập con được chọn trong một tập hợp có thứ tự.

Khi dùng

Sử dụng chúng để định nghĩa các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, các tập hợp bị chặn và các giới hạn tối ưu hóa.

Ví dụ tính toán

Số 10 là một giới hạn trên của {1,4,7}.

Quan hệ và thứ tự.

Giới hạn trên và giới hạn dưới.

Supremum and infimum

Ký hiệusup(S), inf(S)

Ý nghĩa

Giới hạn trên và giới hạn dưới của một tập con khi chúng tồn tại.

Khi dùng

Sử dụng chúng trong phân tích, tối ưu hóa và lý thuyết lưới hoàn chỉnh.

Ví dụ tính toán

Với S=(0,1), sup(S)=1 và inf(S)=0 ngay cả khi cả hai đều không thuộc S.

Hàm và ánh xạ

Hàm

Function

Ký hiệuf:A→B

Ý nghĩa

Một quan hệ gán mỗi phần tử của A đến chính xác một phần tử của B.

Khi dùng

Sử dụng các hàm để mô hình hóa các ánh xạ, phép biến đổi và tính toán xác định.

Ví dụ tính toán

Quy tắc f(n)=n² định nghĩa một hàm từ ℤ đến ℕ.

Hàm và ánh xạ

Miền xác định của một hàm

Domain of a function

Ký hiệudom(f)

Ý nghĩa

Tập hợp các giá trị đầu vào cho phép của một hàm.

Khi dùng

Nêu rõ điều này vì cùng một công thức có thể định nghĩa các hàm khác nhau trên các miền khác nhau.

Ví dụ tính toán

Với f:ℝ→ℝ với f(x)=x², miền xác định là ℝ.

Hàm và ánh xạ

Miền đồng

Codomain

Ký hiệuB

Ý nghĩa

Tập đích được khai báo của một hàm f:A→B.

Khi dùng

Sử dụng nó để định nghĩa tính toàn ánh và phân biệt các đầu ra dự kiến ​​với các đầu ra thực tế đạt được.

Ví dụ tính toán

Với f:ℝ→ℝ với f(x)=x², miền đồng là ℝ.

Hàm và ánh xạ

Miền giá trị của một hàm số.

Range of a function

Ký hiệuf(A)

Ý nghĩa

Tập hợp các giá trị đầu ra thực tế mà một hàm đạt được.

Khi dùng

Sử dụng nó để kiểm tra tính toàn ánh và xác định các đầu ra khả thi.

Lưu ý

Miền giá trị có thể nhỏ hơn miền xác định.

Ví dụ tính toán

Với f:ℝ→ℝ với f(x)=x², tập giá trị là [0,∞).

Hàm và ánh xạ

Ảnh của một tập con

Image of a subset

Ký hiệuf(S)

Ý nghĩa

Tập hợp các giá trị hàm thu được từ các phần tử của một tập con S của miền.

Khi dùng

Sử dụng nó để theo dõi cách một ánh xạ biến đổi một vùng hoặc tập hợp được chọn.

Ví dụ tính toán

Với f(x)=x² và S={−2,1,3}, f(S)={1,4,9}.

Hàm và ánh xạ

Ảnh của một tập con.

Preimage of a subset

Ký hiệuf⁻¹(T)

Ý nghĩa

Tập hợp các phần tử miền mà giá trị của hàm nằm trong một tập con đích đã chọn T.

Khi dùng

Sử dụng nó để đưa các điều kiện và sự kiện trở lại thông qua một hàm.

Ví dụ tính toán

Với f(x)=x², ảnh của {4} là {−2,2}.

Hàm và ánh xạ

Hàm đơn ánh

Injective function

Ký hiệuf(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂

Ý nghĩa

Một hàm không bao giờ ánh xạ hai đầu vào khác nhau sang cùng một đầu ra.

Khi dùng

Sử dụng nó khi các đầu vào phải vẫn khác biệt sau khi ánh xạ.

Ví dụ tính toán

Hàm f:ℤ→ℤ được định nghĩa bởi f(n)=2n là đơn ánh.

Hàm và ánh xạ

Hàm toàn ánh.

Surjective function

Ký hiệuf(A)=B

Ý nghĩa

Một hàm mà miền giá trị bằng miền xác định của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó khi mọi mục tiêu được khai báo đều phải được đạt đến bởi ít nhất một đầu vào.

Ví dụ tính toán

Hàm f:ℝ→[0,∞) được định nghĩa bởi f(x)=x² là toàn ánh.

Hàm và ánh xạ

Hàm song ánh

Bijective function

Ký hiệuA↔B

Ý nghĩa

Một hàm vừa đơn ánh vừa toàn ánh.

Khi dùng

Sử dụng nó để ghép hai tập hợp theo từng phần tử, so sánh số hạng và định nghĩa một hàm nghịch đảo.

Ví dụ tính toán

Hàm f:ℤ→ℤ được định nghĩa bởi f(n)=n+1 là song ánh.

Hàm và ánh xạ

Hàm nghịch đảo

Inverse function

Ký hiệuf⁻¹:B→A

Ý nghĩa

Một hàm đảo ngược một song ánh bằng cách gửi mỗi đầu ra trở lại đầu vào duy nhất của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó để hoàn tác một phép ánh xạ có thể đảo ngược.

Lưu ý

Ký hiệu ảnh ngược f⁻¹(T) được định nghĩa cho các tập con ngay cả khi hàm nghịch đảo không tồn tại.

Ví dụ tính toán

Nếu f(x)=2x+1 trên ℝ, thì f⁻¹(y)=(y−1)/2.

Hàm và ánh xạ

Giao hàm

Function composition

Ký hiệug∘f

Ý nghĩa

Một hàm được tạo bằng cách áp dụng f trước, sau đó là g.

Khi dùng

Sử dụng nó để xây dựng các phép biến đổi phức tạp từ các bước đơn giản hơn.

Ví dụ tính toán

Nếu f(x)=x+1 và g(x)=2x, thì (g∘f)(x)=2x+2.

Hàm và ánh xạ

Hàm đồng nhất

Identity function

Ký hiệuid_A

Ý nghĩa

Hàm ánh xạ mọi phần tử của một tập hợp đến chính nó.

Khi dùng

Sử dụng nó như phần tử trung tính cho phép hợp thành hàm.

Ví dụ tính toán

Với mọi hàm f:A→B, f∘id_A=f và id_B∘f=f.

Hàm và ánh xạ

Hạn chế của một hàm số.

Restriction of a function

Ký hiệuf|_S

Ý nghĩa

Một hàm thu được bằng cách giới hạn miền của f thành một tập con S.

Khi dùng

Sử dụng nó để nghiên cứu hành vi cục bộ hoặc làm cho một hàm đơn ánh trên một miền nhỏ hơn.

Ví dụ tính toán

Hàm bình phương khi bị giới hạn trên [0,∞) là đơn ánh.

Hàm và ánh xạ

Hàm chỉ báo

Indicator function

Ký hiệu1_A(x)

Ý nghĩa

Một hàm trả về 1 cho các phần tử trong A và 0 cho các phần tử nằm ngoài A.

Khi dùng

Sử dụng nó để mã hóa sự thuộc về một cách đại số trong xác suất, tích phân và xử lý dữ liệu.

Ví dụ tính toán

Với A={2,4}, 1_A(2)=1 và 1_A(3)=0.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Các tập hợp có số phần tử bằng nhau

Equinumerous sets

Ký hiệu|A|=|B|

Ý nghĩa

Các tập hợp được kết nối bởi một song ánh, nghĩa là chúng có cùng số phần tử.

Khi dùng

Sử dụng các phép đồng nhất để so sánh kích thước mà không cần đếm trực tiếp, đặc biệt là đối với các tập hợp vô hạn.

Ví dụ tính toán

Các số tự nhiên ℕ và các số tự nhiên chẵn có cùng số lượng phần tử thông qua f(n)=2n.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Tập hợp đếm được

Countable set

Ý nghĩa

Một tập hữu hạn hoặc một tập có thể được chèn vào tập các số tự nhiên.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các tập hợp mà các phần tử có thể được liệt kê trong một chuỗi, có thể có khoảng trống.

Ví dụ tính toán

Mọi tập con của ℕ đều đếm được.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Tập hợp vô hạn đếm được

Countably infinite set

Ký hiệu|A|=ℵ₀

Ý nghĩa

Một tập hợp vô hạn có thể được đặt trong một song ánh với các số tự nhiên.

Khi dùng

Sử dụng nó để phân biệt vô hạn theo kích thước dãy với các số hạng lớn hơn.

Ví dụ tính toán

Tập hợp số nguyên ℤ và tập hợp số hữu tỷ ℚ là vô hạn đếm được.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Tập hợp không đếm được

Uncountable set

Ý nghĩa

Một tập hợp không thể được đặt trong một song ánh với bất kỳ tập con nào của các số tự nhiên.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các vô hạn lớn hơn như các số thực và không gian hàm.

Ví dụ tính toán

Khoảng [0,1] là không đếm được.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Aleph-null

Aleph-null

Ký hiệuℵ₀

Ý nghĩa

Số lượng phần tử của tập hợp số tự nhiên và mọi tập hợp vô hạn đếm được.

Khi dùng

Sử dụng nó như số đếm vô hạn nhỏ nhất.

Ví dụ tính toán

|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Số phần tử của tập hợp liên tục

Cardinality of the continuum

Ký hiệu𝔠

Ý nghĩa

Số lượng phần tử của tập hợp số thực, bằng với số lượng phần tử của tập lũy thừa của ℕ.

Khi dùng

Sử dụng nó cho kích thước của các khoảng, các dãy giá trị thực và các tập hợp hình học liên tục.

Ví dụ tính toán

|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Lập luận đường chéo của Cantor

Cantor's diagonal argument

Ý nghĩa

Một phương pháp xây dựng một đối tượng khác với đối tượng thứ n được liệt kê ở thành phần thứ n của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó để chứng minh rằng một danh sách được đề xuất là không đầy đủ, đặc biệt là đối với các số thực hoặc các dãy vô hạn.

Ví dụ tính toán

Chứng minh bằng phương pháp đối ngẫu rằng các dãy nhị phân không thể được liệt kê bởi ℕ.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Định lý Cantor

Cantor's theorem

Ký hiệu|A|<|𝒫(A)|

Ý nghĩa

Tập hợp lũy thừa của bất kỳ tập hợp nào luôn có số phần tử lớn hơn tập hợp gốc.

Khi dùng

Sử dụng nó để chứng minh rằng không có số hạng lớn nhất và để tạo ra các vô hạn lớn hơn.

Ví dụ tính toán

Không có hàm nào từ A đến 𝒫(A) có thể là toàn ánh.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Số học tập hợp

Cardinal arithmetic

Ký hiệuκ+λ, κλ, κ^λ

Ý nghĩa

Các phép toán số học được định nghĩa trên các số đếm thông qua các hợp rời, tích Descartes và tập hợp hàm.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh kích thước của các tập hợp vô hạn kết hợp.

Ví dụ tính toán

Với các tập hợp vô hạn đếm được, ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ và ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀.

Các tập hợp vô hạn và số phần tử

Tập hợp vô hạn theo Dedekind

Dedekind-infinite set

Ý nghĩa

Một tập hợp có số phần tử bằng số phần tử của một trong các tập con thực sự của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó như một đặc trưng cấu trúc của vô hạn trong lý thuyết tập hợp tiêu chuẩn.

Ví dụ tính toán

Ánh xạ n↦n+1 là một song ánh từ ℕ đến tập con thực sự ℕ∖{0}.

Các tiên đề và nền tảng

Lý thuyết tập hợp sơ cấp.

Naive set theory

Ý nghĩa

Một phương pháp tiếp cận không chính thức coi các tập hợp là các tập hợp tùy ý được mô tả bởi các tính chất dễ hiểu.

Khi dùng

Sử dụng nó cho toán học thông thường khi các mâu thuẫn cơ bản không phải là vấn đề.

Lưu ý

Việc thu thập không giới hạn theo một tính chất dẫn đến các nghịch lý, vì vậy các nền tảng hình thức sử dụng các tiên đề.

Ví dụ tính toán

Các phép tính hợp và giao cơ bản thường chỉ cần lý thuyết tập hợp ngây thơ.

Các tiên đề và nền tảng

Mâu thuẫn của Russell.

Russell's paradox

Ký hiệuR={x:x∉x}

Ý nghĩa

Mâu thuẫn do câu hỏi liệu tập hợp tất cả các tập hợp không phải là thành viên của chính nó có phải là thành viên của chính nó hay không.

Khi dùng

Sử dụng nó để hiểu tại sao việc hiểu tập hợp không giới hạn lại không hợp lệ.

Ví dụ tính toán

Giả sử R∈R thì R∉R, trong khi giả sử R∉R thì R∈R.

Các tiên đề và nền tảng

Lý thuyết tập hợp tiên đề

Axiomatic set theory

Ý nghĩa

Một lý thuyết hình thức cho phép các tập và các phép xây dựng chỉ thông qua các tiên đề được chỉ định.

Khi dùng

Sử dụng nó để cung cấp một nền tảng nhất quán cho toán học và tránh các mâu thuẫn đã biết.

Ví dụ tính toán

ZF và ZFC là các hệ thống tiên đề tiêu chuẩn cho lý thuyết tập hợp.

Các tiên đề và nền tảng

Tiên đề mở rộng

Axiom of extensionality

Ý nghĩa

Hai tập hợp bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các phần tử.

Khi dùng

Sử dụng nó để làm cho sự thuộc về hoàn toàn xác định danh tính của một tập hợp.

Ví dụ tính toán

Để chứng minh A=B, điều cần thiết là chứng minh x∈A khi và chỉ khi x∈B với mọi x.

Các tiên đề và nền tảng

Tiên đề ghép cặp

Axiom of pairing

Ý nghĩa

Với bất kỳ đối tượng a và b nào, một tập hợp {a,b} tồn tại.

Khi dùng

Sử dụng nó để xây dựng các cặp và các tập singleton.

Ví dụ tính toán

Lấy a=b tạo ra tập hợp đơn tử {a}.

Các tiên đề và nền tảng

Tiên đề hợp

Axiom of union

Ký hiệu⋃A

Ý nghĩa

Với bất kỳ tập hợp các tập hợp A nào, một tập hợp chứa chính xác các phần tử của các tập hợp thành viên của nó tồn tại.

Khi dùng

Sử dụng nó để làm phẳng một mức độ lồng nhau của các tập hợp và xây dựng các phép hợp.

Ví dụ tính toán

Đối với tập hợp A={{1,2},{2,3}}, khi áp dụng tiên đề hợp, ta có ⋃A={1,2,3}.

Các tiên đề và nền tảng

Tiên đề tập lũy thừa

Axiom of power set

Ý nghĩa

Với mọi tập hợp A, một tập hợp chứa chính xác tất cả các tập con của A tồn tại.

Khi dùng

Sử dụng nó để xây dựng không gian hàm, tô pô và các số hạng lớn hơn.

Ví dụ tính toán

Tiên đề này đảm bảo sự tồn tại của 𝒫(A).

Các tiên đề và nền tảng

Tiên đề vô hạn

Axiom of infinity

Ý nghĩa

Một tiên đề khẳng định sự tồn tại của một tập đếm được hỗ trợ việc xây dựng các số tự nhiên.

Khi dùng

Sử dụng nó để đảm bảo rằng lý thuyết tập hợp chứa ít nhất một tập hợp vô hạn.

Ví dụ tính toán

Các số tự nhiên có thể được xây dựng bên trong một tập hợp đếm được.

Các tiên đề và nền tảng

Lược đồ tiên đề tách

Axiom schema of separation

Ý nghĩa

Một lược đồ cho phép chọn các phần tử thỏa mãn một tính chất từ một tập đã tồn tại.

Khi dùng

Sử dụng nó để định nghĩa các tập con mà không cho phép một tập hợp không giới hạn của mọi thứ thỏa mãn một tính chất.

Ví dụ tính toán

Cho A và tính chất P, phép phân tách tạo thành {x∈A:P(x)}.

Các tiên đề và nền tảng

Lược đồ tiên đề thay thế

Axiom schema of replacement

Ý nghĩa

Một lược đồ phát biểu rằng ảnh của một tập hợp dưới một quy tắc hàm định nghĩa cũng là một tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các cấu trúc vô hạn và các ảnh được lập chỉ mục bằng các số thứ tự lớn.

Ví dụ tính toán

Một quy tắc định nghĩa F ánh xạ một tập A sang tập {F(x): x ∈ A}.

Các tiên đề và nền tảng

Tiên đề nền tảng

Axiom of foundation

Ý nghĩa

Mọi tập hợp khác rỗng đều chứa một phần tử không thuộc tập hợp đó, ngăn chặn các chuỗi bao hàm vô hạn.

Khi dùng

Sử dụng nó để loại trừ các tập hợp thông thường như x∈x và các chuỗi thuộc về tuần hoàn.

Ví dụ tính toán

Nguyên tắc loại trừ một chu trình hai tập hợp với a∈b và b∈a.

Các tiên đề và nền tảng

Tiên đề lựa chọn

Axiom of choice

Ý nghĩa

Với mọi họ các tập hợp khác rỗng, một hàm tồn tại chọn một phần tử từ mỗi tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng nó trong các kết quả như định lý sắp xếp tốt, định lý Zorn và sự tồn tại của các cơ sở không gian vectơ.

Ví dụ tính toán

Tiên đề này cung cấp một hàm lựa chọn ngay cả khi không có quy tắc lựa chọn rõ ràng nào được biết đến.

Các tiên đề và nền tảng

Lý thuyết tập hợp ZF

ZF set theory

Ký hiệuZF

Ý nghĩa

Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel mà không thêm tiên đề lựa chọn.

Khi dùng

Sử dụng nó như một nền tảng hình thức tiêu chuẩn khi trạng thái của lựa chọn được giữ riêng.

Ví dụ tính toán

ZF bao gồm tính duy nhất, ghép cặp, hợp, tập lũy thừa, vô hạn, phân tách, thay thế và cơ sở.

Các tiên đề và nền tảng

Lý thuyết tập hợp ZFC

ZFC set theory

Ký hiệuZFC

Ý nghĩa

Lý thuyết tập hợp ZF cùng với tiên đề lựa chọn.

Khi dùng

Sử dụng nó như khung nền tảng phổ biến nhất cho toán học chính thống.

Ví dụ tính toán

Hầu hết các kết quả toán học thông thường đều có thể được biểu diễn trong ZFC.

Các tiên đề và nền tảng

Tập bắc cầu

Transitive set

Ý nghĩa

Một tập hợp mà mọi phần tử của nó cũng là một tập con của tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng nó trong lý thuyết số thứ tự, các hệ thống tập hợp và các mô hình của lý thuyết tập hợp.

Ví dụ tính toán

Tập hợp {∅,{∅}} là bắc cầu.

Các tiên đề và nền tảng

Số thứ tự.

Ordinal number

Ký hiệuα,β,ω

Ý nghĩa

Một tập chuẩn biểu diễn kiểu thứ tự của một tập được sắp thứ tự tốt.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô tả các vị trí, quy nạp vô hạn và các giai đoạn vượt quá thứ tự hữu hạn.

Ví dụ tính toán

Số thứ tự vô hạn đầu tiên là ω, theo sau tất cả các số thứ tự hữu hạn.

Các tiên đề và nền tảng

Số đếm

Cardinal number

Ký hiệuκ,λ

Ý nghĩa

Một đại diện chuẩn của kích thước chung bởi các tập có số phần tử bằng nhau.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh kích thước của các tập hợp độc lập với thứ tự hoặc cấu trúc bên trong.

Ví dụ tính toán

Số lượng tử 3 biểu diễn mọi tập hợp có ba phần tử.

Ứng dụng

Không gian mẫu và sự kiện.

Sample space and event

Ký hiệuΩ, E⊆Ω

Ý nghĩa

Trong xác suất, không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra và một sự kiện là một trong các tập con của nó.

Khi dùng

Sử dụng các phép toán tập hợp để kết hợp các sự kiện và các phần bổ sung để biểu thị sự thất bại.

Ví dụ tính toán

Với một con xúc xắc, Ω={1,2,3,4,5,6} và sự kiện chẵn là E={2,4,6}.

Ứng dụng

Tập hợp nghiệm.

Solution set

Ý nghĩa

Tập hợp tất cả các giá trị thỏa mãn một phương trình, bất đẳng thức hoặc hệ ràng buộc.

Khi dùng

Sử dụng nó để biểu thị không, một, vài hoặc vô số giải pháp một cách đồng đều.

Ví dụ tính toán

Tập nghiệm thực của phương trình x²=4 là {−2,2}.

Ứng dụng

Tập hợp chứa

Carrier set

Ý nghĩa

Tập hợp cơ bản của các phần tử trên đó một cấu trúc đại số hoặc logic được định nghĩa.

Khi dùng

Sử dụng nó để tách các phần tử thô khỏi các hoạt động và các mối quan hệ được thêm vào chúng.

Ví dụ tính toán

Một nhóm (G, *) có tập cơ sở là G và phép toán là *.

Ứng dụng

Các phép toán trên tập hợp trong cơ sở dữ liệu

Database set operations

Ý nghĩa

Các phép toán như UNION, INTERSECT và EXCEPT kết hợp các kết quả truy vấn tương thích bằng ngữ nghĩa tương tự tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng chúng để hợp nhất, so sánh hoặc trừ các hàng kết quả.

Lưu ý

Các bảng trong cơ sở dữ liệu có thể chứa các giá trị trùng lặp và giá trị null, do đó ngữ nghĩa của SQL không giống hệt với lý thuyết tập hợp thuần túy.

Ví dụ tính toán

UNION loại bỏ các hàng trùng lặp trừ khi sử dụng UNION ALL.

Ứng dụng

Cấu trúc dữ liệu tập hợp.

Set data structure

Ý nghĩa

Một tập hợp dữ liệu trong lập trình lưu trữ các giá trị duy nhất và thường hỗ trợ kiểm tra sự tồn tại nhanh chóng.

Khi dùng

Sử dụng nó để loại bỏ trùng lặp, theo dõi trạng thái đã truy cập và tra cứu thành viên.

Ví dụ tính toán

Một tập hợp có thể giảm danh sách [3,1,3,2] thành các giá trị duy nhất {1,2,3}.

Ứng dụng

Loại được hiểu như một tập hợp

Type interpreted as a set

Ý nghĩa

Một quan điểm trong đó một kiểu dữ liệu được coi là tập hợp các giá trị được phép bởi kiểu dữ liệu đó.

Khi dùng

Sử dụng nó để suy luận về xác thực, phép hợp, phép giao, các loại con và các trường hợp đầy đủ.

Ví dụ tính toán

Một kiểu Boolean có thể được mô hình hóa bởi tập {true, false}.