Tham khảo toán học

Hướng dẫn thuật ngữ và tính toán đại số tuyến tính

Học các vector, ma trận, hình học affine và không gian, lưới, hệ tuyến tính, phép biến đổi, phân tích, phương pháp bình phương tối thiểu và PCA thông qua các ví dụ minh họa.

Điểm, mặt phẳng và vector pháp tuyến

Sự dịch chuyển điểm-đến-mặt phẳng ngắn nhất song song với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Cơ sở lưới và miền cơ bản

Các tổ hợp nguyên của hai vector cơ sở tạo thành mặt phẳng với các hình bình hành cơ bản có diện tích bằng nhau.

97 thuật ngữ

Các đối tượng và hình dạng

Số

Scalar

Ký hiệua

Ý nghĩa

Một giá trị số duy nhất được sử dụng để tỷ lệ các vectơ hoặc ma trận.

Khi dùng

Sử dụng các số vô hướng cho trọng số, hệ số, tốc độ học, nhiệt độ và độ lớn.

Ví dụ tính toán

3[2, -1] = [6, -3].

Các đối tượng và hình dạng

Vector

Ký hiệuv ∈ ℝⁿ

Ý nghĩa

Một danh sách các thành phần được sắp xếp có thể biểu diễn hướng, vị trí, tính năng hoặc trạng thái.

Khi dùng

Sử dụng vector để biểu diễn tọa độ, tín hiệu, đặc trưng, embedding và các tham số mô hình.

Ví dụ tính toán

v = [3, 4] has two components.

Các đối tượng và hình dạng

Matrix (ma trận)

Matrix

Ký hiệuA ∈ ℝᵐˣⁿ

Ý nghĩa

Một mảng hình chữ nhật của các số được sắp xếp thành các hàng và cột.

Khi dùng

Sử dụng ma trận để lưu trữ các tập dữ liệu, các hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi, hình ảnh và trọng số.

Ví dụ tính toán

A = [[1, 2], [3, 4]].

Các đối tượng và hình dạng

Tensor

Ký hiệuT ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏ

Ý nghĩa

Một mảng đa chiều tổng quát hóa các số vô hướng, vectơ và ma trận.

Khi dùng

Sử dụng các tensor cho các lô, hình ảnh, video, các kích hoạt mô hình và dữ liệu khoa học đa trục.

Ví dụ tính toán

Một lô 32 ảnh RGB có kích thước 224×224 có hình dạng 32×3×224×224.

Các đối tượng và hình dạng

Hình dạng

Shape

Ký hiệum × n

Ý nghĩa

Kích thước được sắp xếp của các trục của một mảng.

Khi dùng

Kiểm tra hình dạng trước khi cộng, nhân, phát sóng, tạo lại hình dạng và đầu vào mô hình.

Lưu ý

Hầu hết các lỗi nhân ma trận đều bắt nguồn từ các chiều trong cùng không tương thích.

Ví dụ tính toán

Một ma trận 3×4 có 3 hàng và 4 cột.

Các phép toán trên vector

Phép cộng vector

Vector addition

Ký hiệuu + v

Ý nghĩa

Phép cộng thành phần của các vectơ có cùng chiều.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết hợp các độ dịch chuyển, lực, tín hiệu, cập nhật hoặc đóng góp của các đặc trưng.

Ví dụ tính toán

[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].

Các phép toán trên vector

Nhân vô hướng

Scalar multiplication

Ký hiệucv

Ý nghĩa

Nhân mọi thành phần của vector với cùng một số vô hướng.

Khi dùng

Sử dụng nó để chia tỷ lệ độ lớn, đảo ngược hướng hoặc áp dụng một cập nhật có trọng số.

Ví dụ tính toán

-2[3, 1] = [-6, -2].

Các phép toán trên vector

Tích vô hướng

Dot product

Ký hiệuu · v

Ý nghĩa

Tổng các tích của các thành phần vectơ tương ứng, tạo ra một số.

Khi dùng

Sử dụng nó cho độ tương đồng, chiếu, công việc, điểm số chú ý và đầu ra của mô hình tuyến tính.

Ví dụ tính toán

[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.

Các phép toán trên vector

Tích có hướng

Cross product

Ký hiệuu × v

Ý nghĩa

Một vectơ ba chiều vuông góc với hai vectơ đầu vào, với độ lớn bằng diện tích song song hành của chúng.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các pháp tuyến bề mặt, mô-men xoắn, hướng và hình học 3D.

Lưu ý

Tích có hướng tiêu chuẩn chỉ dành cho ba chiều, ngoại trừ một dạng tương tự bảy chiều ít phổ biến hơn.

Ví dụ tính toán

[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].

Các phép toán trên vector

Chuẩn của vector

Vector norm

Ký hiệu‖v‖

Ý nghĩa

Một độ đo không âm của kích thước vectơ, thỏa mãn các tiên đề chuẩn.

Khi dùng

Sử dụng một chuẩn để đo độ lớn, khoảng cách, lỗi, điều chuẩn và hội tụ.

Ví dụ tính toán

For v=[3,4], ‖v‖₂=5.

Các phép toán trên vector

Vectơ đơn vị

Unit vector

Ký hiệuv/‖v‖

Ý nghĩa

Một vectơ mà chuẩn của nó là 1.

Khi dùng

Sử dụng nó để bảo toàn hướng trong khi loại bỏ độ lớn và xây dựng các cơ sở trực giao.

Ví dụ tính toán

[3,4]/5 = [0.6,0.8].

Các phép toán trên vector

Khoảng cách Euclid

Euclidean distance

Ký hiệu‖u-v‖₂

Ý nghĩa

Khoảng cách đường thẳng giữa hai điểm được biểu diễn dưới dạng vectơ.

Khi dùng

Sử dụng nó cho hình học, tìm kiếm láng giềng gần nhất, phân cụm và đo lường lỗi khi các tỷ lệ có thể so sánh được.

Ví dụ tính toán

Khoảng cách từ [1,1] đến [4,5] là 5.

Các phép toán trên vector

Độ tương đồng cosine

Cosine similarity

Ký hiệuu·v/(‖u‖‖v‖)

Ý nghĩa

Cosin của góc giữa hai vectơ khác không, đo độ tương đồng về hướng.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh các biểu diễn nhúng văn bản hoặc các đặc trưng chiều cao khi độ lớn nên ít quan trọng hơn.

Lưu ý

Độ tương đồng cosine không xác định cho vector không và có thể che giấu sự khác biệt về độ lớn quan trọng.

Ví dụ tính toán

[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.

Các phép toán trên vector

Các vectơ trực giao

Orthogonal vectors

Ký hiệuu·v=0

Ý nghĩa

Các vector có tích vô hướng bằng 0.

Khi dùng

Sử dụng tính trực giao để tách các hướng độc lập, đơn giản hóa các phép chiếu và xây dựng các cơ sở ổn định.

Ví dụ tính toán

[1,2] · [2,-1] = 0, do đó các vector này vuông góc.

Các phép toán trên vector

Chiếu vector

Vector projection

Ký hiệuprojᵤ(v)

Ý nghĩa

Thành phần của một vectơ nằm theo hướng của một vectơ hoặc không gian con khác.

Khi dùng

Sử dụng nó cho phân tích, phương pháp bình phương tối thiểu, bóng, và loại bỏ một thành phần theo hướng.

Ví dụ tính toán

proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].

Các phép toán ma trận

Phép cộng ma trận

Matrix addition

Ký hiệuA+B

Ý nghĩa

Phép cộng thành phần của các ma trận có cùng hình dạng.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết hợp các hiệu ứng tuyến tính, cập nhật phần dư, hình ảnh hoặc dữ liệu tích lũy.

Ví dụ tính toán

[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].

Các phép toán ma trận

Phép nhân ma trận

Matrix multiplication

Ký hiệuAB

Ý nghĩa

Một phép toán hàng-cột kết hợp các phép biến đổi tuyến tính khi các chiều trong cùng bằng nhau.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các phép biến đổi tọa độ, các lớp mạng nơ-ron, truyền đồ thị và giải hệ phương trình.

Lưu ý

Phép nhân ma trận thường không giao hoán: AB có thể khác BA hoặc một trong hai thứ tự có thể không xác định.

Ví dụ tính toán

A₂ˣ₃B₃ˣ₄ tạo ra C₂ˣ₄.

Các phép toán ma trận

Chuyển vị

Transpose

Ký hiệuAᵀ

Ý nghĩa

Một ma trận được tạo thành bằng cách hoán đổi các hàng và cột.

Khi dùng

Sử dụng nó cho tích vô hướng, hiệp phương sai, phương trình chuẩn, kiểm tra tính đối xứng và thay đổi hướng.

Ví dụ tính toán

If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].

Các phép toán ma trận

Ma trận đơn vị

Identity matrix

Ký hiệuI

Ý nghĩa

Một ma trận vuông có các số 1 trên đường chéo chính và các số 0 ở những nơi khác.

Khi dùng

Sử dụng nó như một phần tử đơn vị nhân và để mô tả các tọa độ không đổi.

Ví dụ tính toán

AI = IA = A.

Các phép toán ma trận

Ma trận nghịch đảo

Inverse matrix

Ký hiệuA⁻¹

Ý nghĩa

Một ma trận thỏa mãn AA⁻¹=A⁻¹A=I đối với một ma trận vuông khả nghịch A.

Khi dùng

Sử dụng nó một cách khái niệm để đảo ngược một phép biến đổi và giải phương trình Ax=b.

Lưu ý

Phần mềm số thường nên giải Ax=b trực tiếp thay vì tính A⁻¹ một cách rõ ràng.

Ví dụ tính toán

For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].

Các phép toán ma trận

Định thức

Determinant

Ký hiệudet(A)

Ý nghĩa

Một số vô hướng cho một ma trận vuông đo tỷ lệ thể tích có dấu và chỉ ra khả năng đảo ngược.

Khi dùng

Sử dụng nó để kiểm tra tính suy biến và phân tích hướng hoặc sự thay đổi thể tích dưới một phép biến đổi.

Ví dụ tính toán

det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.

Các phép toán ma trận

Vết

Trace

Ký hiệutr(A)

Ý nghĩa

Tổng các phần tử trên đường chéo chính của một ma trận vuông.

Khi dùng

Sử dụng nó trong các đẳng thức eigenvalue, phân tích hiệp phương sai, giải tích ma trận và tối ưu hóa.

Ví dụ tính toán

tr([[2,1],[3,4]]) = 6.

Các phép toán ma trận

Hạng của ma trận

Matrix rank

Ký hiệurank(A)

Ý nghĩa

Số lượng hàng hoặc cột độc lập tuyến tính trong một ma trận.

Khi dùng

Sử dụng nó để đo chiều thông tin, xác định cấu trúc nghiệm và phát hiện các đặc trưng dư thừa.

Ví dụ tính toán

rank([[1,2],[2,4]]) = 1.

Các phép toán ma trận

Ma trận đối xứng

Symmetric matrix

Ký hiệuA=Aᵀ

Ý nghĩa

Một ma trận vuông bằng chuyển vị của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó cho hiệp phương sai, các dạng bậc hai, đồ thị vô hướng và phân tích trực giao thực.

Ví dụ tính toán

[[2,3],[3,5]] is symmetric.

Các phép toán ma trận

Ma trận trực giao

Orthogonal matrix

Ký hiệuQᵀQ=I

Ý nghĩa

Một ma trận vuông thực mà các cột và hàng tạo thành các tập trực giao.

Khi dùng

Sử dụng nó cho phép quay, phản xạ, phân tích ổn định và phép biến đổi bảo toàn chuẩn.

Ví dụ tính toán

Q⁻¹ = Qᵀ đối với một ma trận trực giao.

Các phép toán ma trận

Ma trận đường chéo

Diagonal matrix

Ký hiệuD

Ý nghĩa

Một ma trận mà các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là số 0.

Khi dùng

Sử dụng nó cho phép chia tỷ lệ độc lập và các lũy thừa, nghịch đảo và phép biến đổi hiệu quả.

Ví dụ tính toán

diag(2,3)^4 = diag(16,81).

Hệ phương trình tuyến tính

System of linear equations

Ký hiệuAx=b

Ý nghĩa

Một tập hợp các phương trình tuyến tính phải được thỏa mãn đồng thời.

Khi dùng

Sử dụng nó cho việc cân bằng, điều chỉnh, mạng, mạch, ràng buộc và tái tạo.

Ví dụ tính toán

x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.

Hệ phương trình tuyến tính

Ma trận mở rộng

Augmented matrix

Ký hiệu[A|b]

Ý nghĩa

Một biểu diễn ma trận nhỏ gọn, trong đó thêm vế phải vào ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính.

Khi dùng

Sử dụng nó để thực hiện khử hàng mà không cần viết lại các biến nhiều lần.

Ví dụ tính toán

x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].

Hệ phương trình tuyến tính

Phép toán hàng sơ cấp

Elementary row operation

Ý nghĩa

Hoán đổi các hàng, nhân một hàng với một giá trị khác không, hoặc cộng một bội số của một hàng vào hàng khác.

Khi dùng

Sử dụng các phép toán bảo toàn nghiệm này để đơn giản hóa một hệ phương trình tuyến tính.

Ví dụ tính toán

R₂ ← R₂ - 3R₁.

Hệ phương trình tuyến tính

Dạng hàng

Row echelon form

Ký hiệuREF

Ý nghĩa

Một dạng ma trận với các phần tử quay động di chuyển sang phải và các số 0 ở dưới mỗi phần tử quay động.

Khi dùng

Sử dụng nó cho phép thay thế ngược, tính hạng và xác định các biến tự do.

Ví dụ tính toán

[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]] ở dạng bậc thang.

Hệ phương trình tuyến tính

Dạng hàng bậc thang rút gọn

Reduced row echelon form

Ký hiệuRREF

Ý nghĩa

Một dạng hàng bậc thang trong đó mọi phần tử quay động đều là 1 và là phần tử khác 0 duy nhất trong cột của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó để đọc các nghiệm duy nhất, các biến tự do, hạng và các cơ sở không gian null trực tiếp.

Ví dụ tính toán

RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].

Hệ phương trình tuyến tính

Phép khử Gauss

Gaussian elimination

Ý nghĩa

Các phép toán trên hàng biến đổi một hệ thành dạng hàng, sau đó thực hiện phép thế ngược.

Khi dùng

Sử dụng nó như một phương pháp chung để giải các hệ phương trình tuyến tính thưa vừa phải bằng tay hoặc trong phần mềm.

Ví dụ tính toán

Loại bỏ x khỏi các hàng dưới, sau đó giải từ trục quay cuối cùng trở lên.

Hệ phương trình tuyến tính

Phép khử Gauss-Jordan

Gauss-Jordan elimination

Ý nghĩa

Các phép toán trên hàng được thực hiện cho đến khi ma trận mở rộng đạt đến dạng hàng bậc thang rút gọn.

Khi dùng

Sử dụng nó khi cần có cấu trúc nghiệm hoàn chỉnh hoặc nghịch đảo một cách rõ ràng.

Ví dụ tính toán

Chuyển đổi [A|I] thành [I|A⁻¹] khi A khả nghịch.

Hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình nhất quán

Consistent system

Ý nghĩa

Một hệ phương trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm.

Khi dùng

Sử dụng hạng hoặc khử hàng để phân biệt các nghiệm duy nhất, vô hạn và không tồn tại.

Ví dụ tính toán

Một hàng [0 0 | 1] chứng minh rằng một hệ phương trình là không nhất quán.

Các không gian vector

Không gian vector

Vector space

Ký hiệuV

Ý nghĩa

Một tập hợp các phần tử có thể được cộng và nhân vô hướng trong khi thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ.

Khi dùng

Sử dụng nó để xử lý các tọa độ, đa thức, hàm, tín hiệu và ma trận trong một khuôn khổ duy nhất.

Ví dụ tính toán

ℝ³ và tập hợp các đa thức bậc tối đa 2 là các không gian vector.

Các không gian vector

Không gian con

Subspace

Ký hiệuW ⊆ V

Ý nghĩa

Một tập con của một không gian vectơ mà chính nó cũng đóng dưới phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô tả các hướng bị ràng buộc, các tập hợp nghiệm, không gian đặc trưng và cấu trúc bất biến.

Ví dụ tính toán

Mặt phẳng x+y+z=0 đi qua gốc là một không gian con của ℝ³.

Các không gian vector

Vùng phủ

Span

Ký hiệuspan{v₁,…,vₖ}

Ý nghĩa

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của một tập hợp vectơ cho trước.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô tả tất cả các hướng hoặc đầu ra có thể đạt được từ các bộ tạo.

Ví dụ tính toán

span{[1,0],[0,1]} = ℝ².

Các không gian vector

Tính độc lập tuyến tính

Linear independence

Ý nghĩa

Một tập hợp các vectơ là độc lập khi chỉ có các hệ số bằng 0 tạo ra vectơ bằng 0.

Khi dùng

Sử dụng nó để phát hiện các hướng dư thừa và chọn một cơ sở.

Ví dụ tính toán

[1,0] và [0,1] là độc lập tuyến tính.

Các không gian vector

Cơ sở

Basis

Ý nghĩa

Một tập hợp tuyến tính độc lập bao phủ một không gian vectơ.

Khi dùng

Sử dụng nó để gán tọa độ và biểu diễn mỗi vectơ một cách duy nhất.

Ví dụ tính toán

{[1,0],[0,1]} là cơ sở tiêu chuẩn của ℝ².

Các không gian vector

Chiều

Dimension

Ký hiệudim(V)

Ý nghĩa

Số lượng vectơ trong bất kỳ cơ sở nào của một không gian vectơ hữu hạn chiều.

Khi dùng

Sử dụng nó để đo các bậc tự do độc lập.

Ví dụ tính toán

dim(ℝ⁴)=4.

Các không gian vector

Không gian cột

Column space

Ký hiệuCol(A)

Ý nghĩa

Vùng phủ của các cột của một ma trận, bằng tất cả các đầu ra Ax.

Khi dùng

Sử dụng nó để xác định xem Ax=b có giải được hay không và các đầu ra mà một phép biến đổi có thể tạo ra.

Ví dụ tính toán

Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).

Các không gian vector

Không gian null

Null space

Ký hiệuNull(A)

Ý nghĩa

Tập hợp các vectơ x thỏa mãn Ax=0.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô tả các hướng vô hình, các nghiệm đồng nhất, sự dư thừa của tham số và các ràng buộc.

Ví dụ tính toán

Nếu A=[1 2], thì Null(A)=span{[-2,1]}.

Các không gian vector

Định lý hạng-hụt

Rank-nullity theorem

Ký hiệurank(A)+nullity(A)=n

Ý nghĩa

Đối với một ma trận có n cột, tổng của chiều không gian cột và chiều không gian null bằng n.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết nối các đầu ra độc lập với các bậc tự do đầu vào bị mất.

Ví dụ tính toán

Một ma trận 3×5 có hạng 3 có độ suy biến là 2.

Các phép biến đổi tuyến tính

Phép biến đổi tuyến tính

Linear transformation

Ký hiệuT(u+v)=T(u)+T(v)

Ý nghĩa

Một phép ánh xạ bảo toàn phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô hình hóa phép quay, chia tỷ lệ, chiếu, lọc và các lớp tuyến tính.

Ví dụ tính toán

T([x,y])=[2x,y] làm thay đổi tỷ lệ theo hướng x là 2.

Các phép biến đổi tuyến tính

Kernel

Ký hiệuker(T)

Ý nghĩa

Tập hợp các đầu vào được ánh xạ đến vectơ không bởi một phép biến đổi tuyến tính.

Khi dùng

Sử dụng nó để phát hiện thông tin bị mất bởi một phép biến đổi và kiểm tra tính đơn ánh.

Ví dụ tính toán

T là một đối một khi và chỉ khi ker(T)={0}.

Các phép biến đổi tuyến tính

Hình ảnh

Image

Ký hiệuim(T)

Ý nghĩa

Tập hợp tất cả các đầu ra được tạo ra bởi một phép biến đổi.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô tả các đầu ra có thể đạt được và kiểm tra tính toàn ánh.

Ví dụ tính toán

Đối với phép biến đổi ma trận T(x)=Ax, im(T)=Col(A).

Các phép biến đổi tuyến tính

Thay đổi cơ sở

Change of basis

Ý nghĩa

Biểu diễn lại cùng một vectơ hoặc phép biến đổi bằng một cơ sở tọa độ khác.

Khi dùng

Sử dụng nó để căn chỉnh tọa độ với hình học, đơn giản hóa một toán tử hoặc chuyển đổi giữa các hệ tọa độ cục bộ và toàn cục.

Ví dụ tính toán

If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.

Hình học affine và không gian

Điểm

Point

Ký hiệuP

Ý nghĩa

Một vị trí trong không gian affine mà bản thân nó không có độ lớn hoặc hướng.

Khi dùng

Sử dụng các điểm để biểu diễn vị trí và trừ hai điểm để thu được một vectơ dịch chuyển.

Lưu ý

Việc cộng hai điểm không được định nghĩa một cách nội tại mà không cần chọn một gốc tọa độ hoặc một tổ hợp affine.

Ví dụ tính toán

Với P=(1,2) và Q=(4,6), độ dịch chuyển Q-P=[3,4].

Hình học affine và không gian

Vector vị trí

Position vector

Ký hiệuOP

Ý nghĩa

Một vectơ từ một gốc tọa độ đã chọn O đến một điểm P.

Khi dùng

Sử dụng nó để biểu diễn các điểm với tọa độ sau khi cố định một gốc và một cơ sở.

Ví dụ tính toán

If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].

Hình học affine và không gian

Không gian affine.

Affine space

Ý nghĩa

Một không gian các điểm trong đó sự khác biệt giữa các điểm là các vectơ nhưng không có gốc ưu tiên.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô hình hóa hình học độc lập với một gốc tọa độ tùy ý.

Ví dụ tính toán

Một mặt phẳng được dịch chuyển là một không gian affine ngay cả khi nó không đi qua gốc tọa độ.

Hình học affine và không gian

Tổ hợp affine.

Affine combination

Ký hiệuΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1

Ý nghĩa

Một tổ hợp có trọng số của các điểm mà các hệ số của chúng cộng lại bằng 1.

Khi dùng

Sử dụng nó cho nội suy, trọng tâm, tọa độ trọng tâm và phép biến đổi affine.

Ví dụ tính toán

Điểm giữa của P và Q là 0.5P + 0.5Q.

Hình học affine và không gian

Phương trình tham số của một đường thẳng

Parametric equation of a line

Ký hiệux=p+tv

Ý nghĩa

Một đường thẳng được biểu diễn bởi một điểm p và một vectơ hướng khác 0 v.

Khi dùng

Sử dụng nó để tạo các điểm trên đường thẳng và giải các giao điểm với các mặt phẳng hoặc các đường thẳng khác.

Ví dụ tính toán

Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).

Hình học affine và không gian

Phương trình của một mặt phẳng.

Equation of a plane

Ký hiệun·(x-p)=0

Ý nghĩa

Một mặt phẳng được mô tả bởi một điểm p và một vectơ pháp tuyến khác 0 n.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các ranh giới phân loại, cắt, kiểm tra va chạm và ràng buộc hình học.

Ví dụ tính toán

Với n=[1,2,3] và p=(1,0,0), mặt phẳng là x+2y+3z=1.

Hình học affine và không gian

Mặt phẳng

Hyperplane

Ký hiệuw·x=b

Ý nghĩa

Một không gian con affine có chiều n-1 trong một không gian n chiều.

Khi dùng

Sử dụng nó như một ranh giới quyết định, bề mặt ràng buộc hoặc mặt phẳng đa chiều.

Ví dụ tính toán

Trong ℝ⁴, w·x=b định nghĩa một mặt phẳng ba chiều.

Hình học affine và không gian

Vector pháp tuyến

Normal vector

Ký hiệun

Ý nghĩa

Một vectơ vuông góc với một đường thẳng, mặt phẳng, bề mặt tiếp tuyến hoặc siêu phẳng.

Khi dùng

Sử dụng nó để định nghĩa các mặt phẳng, tính toán khoảng cách, phản xạ vectơ và xác định hướng bề mặt.

Ví dụ tính toán

Với 2x-y+3z=4, một vectơ pháp tuyến là [2,-1,3].

Hình học affine và không gian

Giao điểm đường thẳng-mặt phẳng

Line-plane intersection

Ý nghĩa

Một điểm được tìm thấy bằng cách thay thế một đường thẳng tham số vào phương trình mặt phẳng và giải phương trình để tìm tham số của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó cho chiếu tia, kết xuất, phát hiện va chạm và xây dựng hình học.

Lưu ý

Nếu n·v=0, thì đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc nằm hoàn toàn bên trong nó.

Ví dụ tính toán

Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).

Hình học affine và không gian

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Distance from a point to a line

Ý nghĩa

Độ dài của đoạn vuông góc ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các truy vấn đường đi gần nhất, khớp, biên va chạm và lỗi hình học.

Ví dụ tính toán

Với đường thẳng p+tv, khoảng cách(P,đường thẳng)=‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖.

Hình học affine và không gian

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Distance from a point to a plane

Ký hiệu|n·P-d|/‖n‖

Ý nghĩa

Phương trình mặt phẳng tuyệt đối có dấu tại một điểm, được chuẩn hóa theo độ dài của vectơ pháp tuyến.

Khi dùng

Sử dụng nó cho biên, cắt, phát hiện va chạm và xử lý đám mây điểm.

Ví dụ tính toán

Khoảng cách từ (1,2,3) đến z=0 là 3.

Hình học affine và không gian

Chiếu lên một mặt phẳng

Projection onto a plane

Ý nghĩa

Điểm gần nhất trên một mặt phẳng thu được bằng cách loại bỏ thành phần pháp tuyến của một sự dịch chuyển.

Khi dùng

Sử dụng nó để gắn các điểm vào các bề mặt, giải quyết các ràng buộc và phân tích chuyển động.

Ví dụ tính toán

For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.

Hình học affine và không gian

Phản xạ qua một mặt phẳng

Reflection across a plane

Ý nghĩa

Một phép biến đổi đảo ngược thành phần pháp tuyến đồng thời bảo toàn các thành phần song song với mặt phẳng.

Khi dùng

Sử dụng nó cho hình học gương, hướng phản xạ, đối xứng và đồ họa.

Ví dụ tính toán

Đối với một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, vrefl=v-2projₙ(v).

Hình học affine và không gian

Tọa độ barycentric.

Barycentric coordinates

Ký hiệuα+β+γ=1

Ý nghĩa

Các trọng số biểu diễn một điểm dưới dạng tổ hợp affine của các đỉnh của một đa diện.

Khi dùng

Sử dụng chúng cho nội suy tam giác, kiểm tra điểm nằm trong tam giác, lưới và các phần tử hữu hạn.

Ví dụ tính toán

P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.

Hình học affine và không gian

Diện tích từ một định thức.

Area from a determinant

Ký hiệu|det([u v])|

Ý nghĩa

Giá trị tuyệt đối của định thức của hai vector cạnh phẳng, bằng diện tích của hình bình hành của chúng.

Khi dùng

Sử dụng nó cho diện tích đa giác, kiểm tra hướng, Jacobians và thay đổi tọa độ.

Ví dụ tính toán

u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.

Hình học affine và không gian

Tích vô hướng ba

Scalar triple product

Ký hiệuu·(v×w)

Ý nghĩa

Một thước đo thể tích có dấu cho hình bình hành tạo bởi ba vectơ ba chiều.

Khi dùng

Sử dụng nó cho thể tích, đồng phẳng và kiểm tra định hướng ba chiều.

Ví dụ tính toán

Thể tích là |u·(v×w)|.

Hình học affine và không gian

Hướng

Orientation

Ký hiệusign(det)

Ý nghĩa

Một dấu hiệu chỉ hướng tay hoặc thứ tự thuận chiều kim đồng hồ so với ngược chiều kim đồng hồ của một chuỗi cơ sở hoặc điểm.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các thuật toán đa giác, xoắn, vectơ pháp tuyến và tính nhất quán của hệ tọa độ.

Ví dụ tính toán

Trong không gian 2D, det([B-A,C-A])>0 nghĩa là A,B,C nằm theo chiều kim đồng hồ.

Hình học affine và không gian

Tọa độ thuần nhất

Homogeneous coordinates

Ký hiệu[x,y,z,w]

Ý nghĩa

Tọa độ với một thành phần tỷ lệ bổ sung biểu diễn các điểm affine và các hướng chiếu đồng đều.

Khi dùng

Sử dụng chúng để kết hợp phép tịnh tiến, xoay, tỷ lệ, phối cảnh và chiếu dưới dạng ma trận.

Lưu ý

Một vectơ đồng nhất phải được chuẩn hóa cẩn thận khi thành phần cuối cùng của nó khác 0; một thành phần cuối cùng bằng 0 biểu thị một hướng tại vô cực.

Ví dụ tính toán

Điểm 2D (x,y) trở thành [x,y,1], trong khi một hướng trở thành [vx,vy,0].

Hình học lưới

Lưới

Lattice

Ký hiệuL=Bℤᵏ

Ý nghĩa

Một tập hợp các điểm rời rạc được tạo thành từ tất cả các tổ hợp số nguyên của các vectơ cơ sở độc lập tuyến tính.

Khi dùng

Sử dụng các mạng trong hình học rời rạc, mã hóa, mật mã, tối ưu hóa và tinh thể học.

Ví dụ tính toán

For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.

Hình học lưới

Lưới nguyên

Integer lattice

Ký hiệuℤⁿ

Ý nghĩa

Lưới của tất cả các vectơ n chiều có tọa độ nguyên.

Khi dùng

Sử dụng nó như một lưới tọa độ tiêu chuẩn và một tham chiếu cho các lưới con và tối ưu hóa số nguyên.

Ví dụ tính toán

ℤ² chứa mọi điểm (m,n) với m,n∈ℤ.

Hình học lưới

Cơ sở lưới

Lattice basis

Ký hiệuB=[b₁ … bₖ]

Ý nghĩa

Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính mà các tổ hợp số nguyên của chúng tạo thành một mạng.

Khi dùng

Sử dụng nó để mã hóa, liệt kê, biến đổi và tính toán các thuộc tính của một lưới.

Lưu ý

Một mạng có vô số cơ sở có thể, thường với các độ dài vectơ và góc rất khác nhau.

Ví dụ tính toán

Các cột [2,0] và [1,3] tạo thành một cơ sở của một mạng hai chiều.

Hình học lưới

Hạng của lưới

Lattice rank

Ký hiệurank(L)

Ý nghĩa

Số lượng vectơ trong một cơ sở lưới, bằng với chiều của không gian tuyến tính (span) thực của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó để phân biệt các lưới hạng đầy đủ và các lưới chiều thấp bên trong một không gian bao.

Ví dụ tính toán

Lưới được tạo bởi [1,0,0] và [0,1,0] có hạng (rank) là 2 trong ℝ³.

Hình học lưới

Điểm lưới

Lattice point

Ký hiệuBz

Ý nghĩa

Một điểm được tạo ra bằng cách nhân một ma trận cơ sở của mạng với một vectơ số nguyên.

Khi dùng

Sử dụng nó như một ứng cử viên rời rạc trong các bài toán tìm điểm gần nhất, đóng gói, mã hóa và ràng buộc số nguyên.

Ví dụ tính toán

Với B=[[2,1],[0,3]] và z=[2,-1], Bz=[3,-3].

Hình học lưới

Lăng kính song song cơ bản

Fundamental parallelepiped

Ký hiệuP(B)

Ý nghĩa

Vùng nửa mở được tạo thành bởi các hệ số cơ sở nằm giữa 0 (bao gồm) và 1 (không bao gồm).

Khi dùng

Sử dụng nó như một ô lặp lại chứa một đại diện của mỗi lớp coset theo modulo lưới.

Ví dụ tính toán

P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.

Hình học lưới

Định thức của lưới

Lattice determinant

Ký hiệudet(L)

Ý nghĩa

Thể tích của một vùng cơ sở, còn được gọi là thể tích lưới.

Khi dùng

Sử dụng nó để đo mật độ lưới và so sánh khoảng cách của các lưới hạng đầy đủ.

Ví dụ tính toán

For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.

Hình học lưới

Lưới con

Sublattice

Ký hiệuL'⊆L

Ý nghĩa

Một tiểu nhóm của một mạng mà chính nó cũng là một mạng trong cùng một không gian tuyến tính thực hoặc một không gian tuyến tính có số chiều thấp hơn.

Khi dùng

Sử dụng nó để áp đặt các điều kiện đồng dư bổ sung hoặc so sánh các cấu trúc rời rạc lồng nhau.

Ví dụ tính toán

2ℤ² là một tiểu mạng con của ℤ².

Hình học lưới

Chỉ số của lưới

Lattice index

Ký hiệu[L:L']

Ý nghĩa

Số lượng lớp coset của một lưới con hạng đầy đủ L' trong L.

Khi dùng

Sử dụng nó để đo mức độ thưa thớt của một lưới con và liên hệ các định thức của các lưới lồng nhau.

Ví dụ tính toán

[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).

Hình học lưới

Ma trận unimodular

Unimodular matrix

Ký hiệuU∈GLₙ(ℤ)

Ý nghĩa

Một ma trận số nguyên đối xứng với định thức là 1 hoặc -1, mà nghịch đảo cũng là số nguyên.

Khi dùng

Sử dụng nó để thay đổi một cơ sở lưới mà không thay đổi chính lưới đó.

Ví dụ tính toán

Nếu B'=BU với det(U)=±1, thì B và B' tạo ra cùng một lưới.

Hình học lưới

Các cơ sở mạng tương đương.

Equivalent lattice bases

Ký hiệuB'=BU

Ý nghĩa

Hai cơ sở liên quan bởi một ma trận số nguyên unimodular tạo ra chính xác cùng một lưới.

Khi dùng

Sử dụng nó để thay thế một cơ sở dài, méo bằng một cơ sở ngắn hơn và trực giao hơn.

Ví dụ tính toán

B và B'=B[[1,1],[0,1]] là các cơ sở tương đương.

Hình học lưới

Ma trận Gram của một cơ sở lưới

Gram matrix of a lattice basis

Ký hiệuG=BᵀB

Ý nghĩa

Một ma trận chứa tất cả các tích trong của các vectơ cơ sở.

Khi dùng

Sử dụng nó để tính toán độ dài, góc, thể tích và các dạng bậc hai trong tọa độ cơ sở.

Ví dụ tính toán

Với vector nguyên z, ‖Bz‖²=zᵀGz.

Hình học lưới

Phương pháp Gram-Schmidt cho các cơ sở lưới

Gram-Schmidt for lattice bases

Ký hiệubᵢ*

Ý nghĩa

Một phép trực giao hóa được sử dụng để phân tích một cơ sở của mạng mà không nhất thiết tạo ra một cơ sở mạng khác.

Khi dùng

Sử dụng nó để tính toán các hệ số chiếu, chất lượng cơ sở và các bước giảm LLL.

Lưu ý

Các vector Gram-Schmidt là các phụ trợ phân tích và không nhất thiết phải là các điểm lưới.

Ví dụ tính toán

b₂*=b₂-μ₂₁b₁* với μ₂₁=⟨b₂,b₁*⟩/‖b₁*‖².

Hình học lưới

Sai số trực giao

Orthogonality defect

Ký hiệu∏‖bᵢ‖/det(L)

Ý nghĩa

Một thước đo mức độ mà một cơ sở hạng đầy đủ khác xa với tính trực giao.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh chất lượng cơ sở và dự đoán độ khó về mặt số học hoặc liệt kê.

Ví dụ tính toán

Độ khuyết (defect) bằng 1 đối với một cơ sở trực giao và lớn hơn hoặc bằng 1 trong các trường hợp khác.

Hình học lưới

Mạng đối ngẫu.

Dual lattice

Ký hiệuL*

Ý nghĩa

Tập hợp các vectơ có tích trong nguyên với mọi vectơ trong L.

Khi dùng

Sử dụng nó trong phân tích Fourier, lý thuyết mã, hình học nghịch đảo và các giới hạn truyền.

Ví dụ tính toán

Đối với một cơ sở hạng đầy đủ B, một cơ sở đối ngẫu là B⁻ᵀ.

Hình học lưới

Bài toán tìm vector ngắn nhất

Shortest vector problem

Ký hiệuSVP

Ý nghĩa

Tìm vectơ không có giá trị ngắn nhất trong một mạng theo một chuẩn đã chọn.

Khi dùng

Sử dụng nó để hiểu hình học lưới, chất lượng giảm và độ khó dựa trên lưới trong mật mã.

Ví dụ tính toán

Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.

Hình học lưới

Bài toán vectơ gần nhất.

Closest vector problem

Ký hiệuCVP

Ý nghĩa

Tìm điểm của mạng gần nhất với một điểm mục tiêu.

Khi dùng

Sử dụng nó cho giải mã, lượng tử hóa, bình phương tối thiểu số nguyên và phân tích bảo mật dựa trên lưới.

Ví dụ tính toán

Tìm z để cực tiểu hóa ‖Bz-t‖.

Hình học lưới

Các giá trị tối thiểu liên tiếp

Successive minima

Ký hiệuλᵢ(L)

Ý nghĩa

Bán kính cần thiết để chứa một số lượng tăng dần các vector lưới độc lập tuyến tính.

Khi dùng

Sử dụng chúng để mô tả hình dạng mạng vượt ra ngoài chỉ một vectơ ngắn nhất.

Ví dụ tính toán

λ₁(L) là độ dài của vectơ ngắn nhất, trong khi λₖ(L) đạt được k vectơ độc lập.

Hình học lưới

Định lý về hình thể lồi của Minkowski

Minkowski's convex body theorem

Ý nghĩa

Một điều kiện về thể tích đảm bảo rằng một hình thể lồi đối xứng chứa một điểm của mạng khác 0.

Khi dùng

Sử dụng nó để chứng minh các giới hạn trên các vectơ lưới ngắn và các kết quả trong lý thuyết số đại số.

Ví dụ tính toán

Một hình thể lồi đối xứng với gốc đủ lớn phải chứa một điểm khác 0 của L.

Hình học lưới

Cách sắp xếp các quả cầu trên lưới

Lattice sphere packing

Ý nghĩa

Đặt các quả cầu không chồng lên nhau bằng nhau tại các điểm lưới và đo tỷ lệ không gian chiếm dụng.

Khi dùng

Sử dụng nó trong lý thuyết mã, truyền thông, hình học rời rạc và tối ưu hóa đa chiều.

Ví dụ tính toán

Bán kính đóng gói là một nửa độ dài của vectơ lưới khác không ngắn nhất.

Hình học lưới

Tế bào Voronoi của một mạng.

Voronoi cell of a lattice

Ý nghĩa

Vùng các điểm gần một điểm lưới hơn so với bất kỳ điểm lưới nào khác.

Khi dùng

Sử dụng nó để hiểu giải mã điểm lưới gần nhất và hình dạng hình học của các vùng CVP.

Ví dụ tính toán

Tế bào Voronoi xung quanh 0 lát không gian bằng các phép dịch lưới.

Hình học lưới

Giảm cơ sở lưới

Lattice basis reduction

Ý nghĩa

Thay thế một cơ sở lưới bằng một cơ sở tương đương với các vector ngắn hơn và gần trực giao hơn.

Khi dùng

Sử dụng nó để cải thiện việc liệt kê, tìm kiếm quan hệ số nguyên, phân tích mật mã và hành vi số học.

Ví dụ tính toán

Một cơ sở đã được giảm tạo ra cùng một mạng nhưng làm nổi bật hình học của nó rõ ràng hơn.

Hình học lưới

Thuật toán LLL

LLL algorithm

Ký hiệuLLL

Ý nghĩa

Một thuật toán thời gian đa thức tạo ra một cơ sở thỏa mãn các điều kiện giảm kích thước và Lovász.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các vectơ ngắn gần đúng thực tế, phân tích thừa số đa thức, phân tích mật mã và quan hệ số nguyên.

Lưu ý

LLL cung cấp một đảm bảo về chất lượng cho một vector ngắn gần đúng, nhưng không nhất thiết là nghiệm SVP chính xác.

Ví dụ tính toán

LLL lặp đi lặp lại việc giảm kích thước các hệ số Gram-Schmidt và hoán đổi các vector cơ sở khi điều kiện Lovász không thỏa mãn.

Trị riêng và phân tích

Trị riêng

Eigenvalue

Ký hiệuAv=λv

Ý nghĩa

Một số vô hướng λ mà phép biến đổi tuyến tính tỷ lệ với một vectơ riêng khác 0 mà không thay đổi hướng của nó.

Khi dùng

Sử dụng các giá trị riêng để nghiên cứu tính ổn định, động lực học dài hạn, hiệp phương sai, đồ thị và phương trình vi phân.

Ví dụ tính toán

Với A=diag(2,3), các trị riêng là 2 và 3.

Trị riêng và phân tích

Vector riêng

Eigenvector

Ký hiệuAv=λv, v≠0

Ý nghĩa

Một hướng khác 0 được bảo toàn bởi một phép biến đổi tuyến tính theo tỷ lệ vô hướng.

Khi dùng

Sử dụng nó để xác định các trục tự nhiên, các chế độ chiếm ưu thế, trạng thái ổn định và các hướng chính.

Ví dụ tính toán

Với A=diag(2,3), [1,0] là một vector riêng cho λ=2.

Trị riêng và phân tích

Đa thức đặc trưng

Characteristic polynomial

Ký hiệudet(A-λI)

Ý nghĩa

Một đa thức mà các nghiệm là các giá trị riêng của một ma trận vuông.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các phép tính eigenvalue tượng trưng và phân tích lý thuyết của các ma trận nhỏ.

Ví dụ tính toán

Với A=[[2,0],[0,3]], det(A-λI)=(2-λ)(3-λ).

Trị riêng và phân tích

Phân tích thành các trị riêng

Diagonalization

Ký hiệuA=PDP⁻¹

Ý nghĩa

Biểu diễn một ma trận bằng một ma trận đường chéo của các giá trị riêng và một cơ sở của các vectơ riêng.

Khi dùng

Sử dụng nó để đơn giản hóa các lũy thừa ma trận, các chuỗi đệ quy và các hệ động lực tuyến tính.

Lưu ý

Không phải mọi ma trận vuông đều có đủ các vector riêng độc lập để có thể phân tích thành các trị riêng.

Ví dụ tính toán

A^k=PD^kP⁻¹ khi A có thể được phân tích thành các ma trận đối xứng.

Trị riêng và phân tích

Phân tích LU

LU decomposition

Ký hiệuPA=LU

Ý nghĩa

Phân tích một ma trận thành các thừa số tam giác dưới và tam giác trên, đôi khi với hoán vị hàng.

Khi dùng

Sử dụng nó để giải nhiều hệ phương trình với cùng một ma trận hệ số một cách hiệu quả.

Ví dụ tính toán

Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.

Trị riêng và phân tích

Phân tích QR

QR decomposition

Ký hiệuA=QR

Ý nghĩa

Phân tích một ma trận thành một ma trận trực giao Q và một ma trận tam giác trên R.

Khi dùng

Sử dụng nó cho phương pháp bình phương tối thiểu ổn định về mặt số học, các cơ sở trực giao và các thuật toán tính eigenvalue.

Ví dụ tính toán

Giải phương trình bình phương tối thiểu bằng Rx=Qᵀb sau khi A=QR.

Trị riêng và phân tích

Phân tích giá trị riêng

Singular value decomposition

Ký hiệuA=UΣVᵀ

Ý nghĩa

Một phép phân tích của bất kỳ ma trận nào thành các ma trận vectơ riêng trực giao và các giá trị riêng không âm.

Khi dùng

Sử dụng nó cho nén, khử nhiễu, nghịch đảo giả, xấp xỉ hạng thấp và cấu trúc tiềm ẩn.

Lưu ý

Các giá trị riêng nhỏ có thể khuếch đại nhiễu khi được sử dụng trong nghịch đảo hoặc nghịch đảo giả.

Ví dụ tính toán

Giữ lại k giá trị riêng lớn nhất cho phép xấp xỉ hạng-k tốt nhất trong chuẩn 2 và chuẩn Frobenius.

Trị riêng và phân tích

Phương pháp bình phương tối thiểu

Least squares

Ký hiệumin ‖Ax-b‖₂

Ý nghĩa

Tìm các tham số làm giảm thiểu tổng bình phương của phần dư khi một hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm chính xác hoặc là quá định.

Khi dùng

Sử dụng nó cho hồi quy, hiệu chỉnh, tái tạo và điều chỉnh các phép đo nhiễu.

Ví dụ tính toán

Ước lượng y≈mx+c bằng cách giảm thiểu tổng bình phương của phần dư theo phương thẳng đứng.

Trị riêng và phân tích

Phân tích thành phần chính

Principal component analysis

Ký hiệuX≈UₖΣₖVₖᵀ

Ý nghĩa

Một phương pháp giảm chiều, tìm các hướng trực giao có phương sai lớn nhất trong dữ liệu được căn giữa.

Khi dùng

Sử dụng nó để trực quan hóa, nén, khử nhiễu hoặc tóm tắt các đặc trưng số học tương quan.

Lưu ý

PCA nhạy cảm với tỷ lệ đặc trưng, các giá trị ngoại lệ và giả định rằng phương sai lớn có ý nghĩa.

Ví dụ tính toán

Center X, tính toán SVD của nó và chiếu lên k vectơ riêng phải trực giao đầu tiên.