Tham khảo toán học

Các thuật ngữ về nhóm, vành, trường và đại số trừu tượng

Tìm hiểu về các cấu trúc đại số từ các phép toán và nhóm thông qua vành, trường, trường hữu hạn, mô-đun và không gian vectơ với các định nghĩa và ví dụ minh họa.

Từ các phép toán đến nhóm, vành, và trường

Mỗi cấu trúc thêm các tiên đề cụ thể; các trường hỗ trợ phép chia cho mọi phần tử khác 0.

Khi số học modulo tạo thành một trường

ℤ/nℤ là một trường khi và chỉ khi n là một số nguyên tố; các mô-đun hợp số có thể chứa các số chia hết cho 0.

63 thuật ngữ

Các phép toán và tiên đề

Tập hợp

Set

Ký hiệuS

Ý nghĩa

Một tập hợp các đối tượng riêng biệt được coi là một đối tượng toán học duy nhất.

Khi dùng

Sử dụng một tập hợp để chỉ định miền xác định trên đó các phép toán đại số được định nghĩa.

Ví dụ tính toán

ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Các phép toán và tiên đề

Phép toán nhị phân

Binary operation

Ký hiệu*:S×S→S

Ý nghĩa

Một quy tắc kết hợp hai phần tử của một tập hợp và trả về một phần tử của cùng một tập hợp.

Khi dùng

Sử dụng nó như phép toán nền tảng của magma, bán nhóm, nhóm, vòng và trường.

Ví dụ tính toán

Phép cộng là một phép toán nhị phân trên ℤ vì a+b∈ℤ với mọi số nguyên a và b.

Các phép toán và tiên đề

Tính đóng

Closure

Ý nghĩa

Tính chất mà khi áp dụng một phép toán cho các phần tử được phép, luôn tạo ra một phần tử khác được phép.

Khi dùng

Kiểm tra tính đóng trước khi tuyên bố rằng một tập con thừa hưởng một cấu trúc đại số.

Ví dụ tính toán

Các số nguyên dương đóng dưới phép cộng nhưng không đóng dưới phép trừ.

Các phép toán và tiên đề

Tính kết hợp

Associativity

Ký hiệu(a*b)*c=a*(b*c)

Ý nghĩa

Tính chất mà việc nhóm lại ba toán hạng không làm thay đổi kết quả.

Khi dùng

Sử dụng nó để bỏ qua dấu ngoặc trong các tích hoặc tổng lặp lại và để định nghĩa lũy thừa một cách nhất quán.

Ví dụ tính toán

Phép nhân ma trận có tính kết hợp ngay cả khi nó thường không giao hoán.

Các phép toán và tiên đề

Tính giao hoán

Commutativity

Ký hiệua*b=b*a

Ý nghĩa

Tính chất mà việc thay đổi thứ tự của hai toán hạng không làm thay đổi kết quả.

Khi dùng

Sử dụng nó để phân biệt các nhóm Abel và các vòng giao hoán với các cấu trúc không giao hoán.

Ví dụ tính toán

Phép nhân nguyên là giao hoán, trong khi phép nhân ma trận thường không giao hoán.

Các phép toán và tiên đề

Phần tử đơn vị

Identity element

Ký hiệue

Ý nghĩa

Một phần tử không làm thay đổi bất kỳ phần tử nào khi được sử dụng trong phép toán.

Khi dùng

Sử dụng nó để định nghĩa các nghịch đảo, lũy thừa, bán nhóm, nhóm và vòng có phần tử đơn vị.

Ví dụ tính toán

0 là phần tử đơn vị đối với phép cộng và 1 là phần tử đơn vị đối với phép nhân trong ℤ.

Các phép toán và tiên đề

Phần tử nghịch đảo

Inverse element

Ký hiệua⁻¹

Ý nghĩa

Một phần tử kết hợp với một phần tử cho trước để tạo ra phần tử đơn vị.

Khi dùng

Sử dụng nó để đảo ngược các phép toán nhóm và xác định các phần tử nào của vòng là các phần tử đơn vị.

Ví dụ tính toán

Phần tử nghịch đảo cộng của 5 là -5; phần tử nghịch đảo nhân của 3 trong ℚ là 1/3.

Các phép toán và tiên đề

Magma

Ký hiệu(M,*)

Ý nghĩa

Một tập hợp được trang bị một phép toán nhị phân đóng, mà không yêu cầu tính kết hợp hoặc một phần tử đơn vị.

Khi dùng

Sử dụng nó như điểm khởi đầu ít hạn chế nhất trong hệ thống các cấu trúc một phép toán.

Ví dụ tính toán

Mọi semigroup là một magma, nhưng một magma không nhất thiết phải có tính kết hợp.

Các phép toán và tiên đề

Nửa nhóm

Semigroup

Ký hiệu(S,*)

Ý nghĩa

Một magma mà phép toán của nó là kết hợp.

Khi dùng

Sử dụng nó để mô hình hóa các quy trình có thể kết hợp mà không nhất thiết phải có phần tử đơn vị hoặc nghịch đảo.

Ví dụ tính toán

Tất cả các chuỗi khác không đều tạo thành một nửa nhóm dưới phép nối.

Các phép toán và tiên đề

Monoid

Ký hiệu(M,*,e)

Ý nghĩa

Một semigroup có phần tử đơn vị.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các dãy, phép biến đổi, đồng cấu và các phép tính kết hợp từ một giá trị trung tính.

Ví dụ tính toán

Tất cả các chuỗi, bao gồm cả chuỗi rỗng, tạo thành một monoid dưới phép nối.

Nhóm

Group

Ký hiệu(G,*)

Ý nghĩa

Một monoid trong đó mọi phần tử đều có nghịch đảo.

Khi dùng

Sử dụng các nhóm để mô tả tính đối xứng và các phép toán thuận nghịch.

Ví dụ tính toán

Các số nguyên tạo thành một nhóm theo phép cộng.

Nhóm

Nhóm giao hoán.

Abelian group

Ký hiệua*b=b*a

Ý nghĩa

Một nhóm mà phép toán là giao hoán.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các cấu trúc cộng tính như số nguyên, vectơ và phần cộng tính của một vòng.

Ví dụ tính toán

Mọi không gian vectơ là một nhóm giao hoán dưới phép cộng vectơ.

Nhóm

Nhóm con

Subgroup

Ký hiệuH≤G

Ý nghĩa

Một tập con của một nhóm mà chính nó cũng là một nhóm dưới phép toán bị hạn chế.

Khi dùng

Sử dụng nó để cô lập tính đối xứng, các phần tử được sinh ra, các bộ ổn định và các tập hợp nghiệm bên trong một nhóm.

Ví dụ tính toán

2ℤ là một nhóm con của (ℤ,+).

Nhóm

Nhóm cyclic.

Cyclic group

Ký hiệuG=⟨g⟩

Ý nghĩa

Một nhóm được sinh bởi một phần tử.

Khi dùng

Sử dụng nó để biểu diễn mọi phần tử của nhóm dưới dạng lũy thừa hoặc bội số nguyên của một phần tử sinh.

Ví dụ tính toán

(ℤ/nℤ,+) là một nhóm cyclic và được sinh bởi [1].

Nhóm

Phần tử sinh của nhóm

Group generator

Ký hiệu⟨g⟩

Ý nghĩa

Một phần tử hoặc tập hợp các phần tử mà các phép toán lặp đi lặp lại và các nghịch đảo của chúng tạo ra toàn bộ nhóm.

Khi dùng

Sử dụng nó để đưa ra các biểu diễn ngắn gọn và kiểm tra xem một nhóm có phải là nhóm cyclic hay không.

Ví dụ tính toán

Phần tử [1] tạo thành nhóm cộng ℤ/5ℤ.

Nhóm

Bậc của một phần tử nhóm

Order of a group element

Ký hiệuord(g)

Ý nghĩa

Số mũ dương nhỏ nhất sao cho một phần tử trở thành phần tử đơn vị.

Khi dùng

Sử dụng nó để xác định độ dài chu kỳ và kích thước của tiểu nhóm được sinh ra.

Ví dụ tính toán

Trong nhóm cộng tính ℤ/6ℤ, phần tử [2] có bậc là 3.

Nhóm

Bậc của một nhóm

Order of a group

Ký hiệu|G|

Ý nghĩa

Số lượng phần tử trong một nhóm hữu hạn.

Khi dùng

Sử dụng nó với định lý Lagrange, các lập luận đếm và phân loại các nhóm hữu hạn.

Ví dụ tính toán

Nhóm đối xứng của một tam giác đều có bậc nhóm là 6.

Nhóm

Lớp coset

Coset

Ký hiệugH or Hg

Ý nghĩa

Một phép dịch chuyển của một nhóm con được tạo ra bằng cách nhân mỗi phần tử của nhóm con với một phần tử cố định của nhóm.

Khi dùng

Sử dụng các lớp coset để phân hoạch một nhóm và xây dựng các nhóm thương.

Ví dụ tính toán

Các lớp coset của 3ℤ trong ℤ là 3ℤ, 1+3ℤ, và 2+3ℤ.

Nhóm

Định lý Lagrange

Lagrange's theorem

Ký hiệu|G|=[G:H]|H|

Ý nghĩa

Đối với một nhóm hữu hạn, bậc của mọi nhóm con chia hết bậc của nhóm.

Khi dùng

Sử dụng nó để hạn chế các khả năng về thứ tự của tiểu nhóm và các phần tử.

Ví dụ tính toán

Một nhóm hữu hạn với bậc nhóm là 12 không thể chứa một nhóm con với bậc nhóm là 5.

Nhóm

Nhóm con chuẩn

Normal subgroup

Ký hiệuN◁G

Ý nghĩa

Một nhóm con mà các lớp coset trái và phải của nó trùng nhau đối với mọi phần tử của nhóm.

Khi dùng

Sử dụng nó như điều kiện cần thiết để các lớp coset tạo thành một nhóm thương.

Ví dụ tính toán

Hạt nhân của mọi đồng cấu nhóm là một nhóm con chuẩn.

Nhóm

Nhóm thương

Quotient group

Ký hiệuG/N

Ý nghĩa

Một nhóm các lớp coset được tạo thành từ một nhóm và một nhóm con chuẩn.

Khi dùng

Sử dụng nó để thu hẹp một tiểu nhóm bình thường thành phần tử đơn vị và nghiên cứu cấu trúc nhóm ở một quy mô thô hơn.

Ví dụ tính toán

ℤ/nℤ là nhóm thương ℤ/nℤ theo phép cộng.

Nhóm

Đồng cấu nhóm

Group homomorphism

Ký hiệuφ(ab)=φ(a)φ(b)

Ý nghĩa

Một ánh xạ giữa các nhóm bảo toàn phép toán của nhóm.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh các nhóm trong khi vẫn giữ phép toán đại số của chúng.

Ví dụ tính toán

Ánh xạ φ:ℤ→ℤ/nℤ được định nghĩa bởi φ(k)=[k] bảo toàn phép cộng.

Nhóm

Đẳng cấu nhóm

Group isomorphism

Ký hiệuG≅H

Ý nghĩa

Một đồng cấu nhóm song ánh chứng minh rằng hai nhóm có cùng cấu trúc trừu tượng.

Khi dùng

Sử dụng nó để coi các nhóm được biểu diễn khác nhau là có cấu trúc giống nhau.

Ví dụ tính toán

Mọi nhóm cyclic vô hạn đẳng cấu với (ℤ,+).

Nhóm

Hạt nhân của một đồng cấu nhóm

Kernel of a group homomorphism

Ký hiệuker(φ)

Ý nghĩa

Tiểu nhóm các phần tử được ánh xạ đến phần tử đơn vị của nhóm đích.

Khi dùng

Sử dụng nó để đo thông tin bị mất bởi một đồng cấu và kiểm tra tính đơn ánh.

Ví dụ tính toán

Một đồng cấu nhóm là đơn ánh khi và chỉ khi hạt nhân của nó là nhóm đồng nhất.

Nhóm

Ảnh của một đồng cấu nhóm

Image of a group homomorphism

Ký hiệuim(φ)

Ý nghĩa

Tiểu nhóm các phần tử đích thực sự được đạt đến bởi một đồng cấu.

Khi dùng

Sử dụng nó để xác định cấu trúc đầu ra hiệu quả và kiểm tra tính toàn ánh.

Ví dụ tính toán

Một đồng cấu là toàn ánh khi và chỉ khi ảnh của nó bằng nhóm đích.

Nhóm

Định lý đẳng cấu đầu tiên cho nhóm

First isomorphism theorem for groups

Ký hiệuG/ker(φ)≅im(φ)

Ý nghĩa

Một định lý xác định thương số của một nhóm theo hạt nhân của một đồng cấu bằng ảnh của nó.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết nối hạt nhân, ảnh và các cấu trúc thương.

Ví dụ tính toán

Với φ:ℤ→ℤ/nℤ, ℤ/nℤ≅im(φ).

Nhóm

Tích trực tiếp của các nhóm

Direct product of groups

Ký hiệuG×H

Ý nghĩa

Một nhóm được tạo thành từ các cặp có thứ tự với các phép toán theo từng thành phần.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết hợp các cấu trúc nhóm độc lập và phân tích các nhóm Abel hữu hạn.

Ví dụ tính toán

ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ đẳng cấu với ℤ/6ℤ.

Vành

Ring

Ký hiệu(R,+,×)

Ý nghĩa

Một tập hợp mà phép cộng của nó tạo thành một nhóm giao hoán và phép nhân kết hợp của nó phân phối trên phép cộng.

Khi dùng

Sử dụng các vòng để nghiên cứu số nguyên, đa thức, ma trận và số học modulo với phép cộng và phép nhân.

Ví dụ tính toán

ℤ là một vành giao hoán có phần tử đơn vị.

Vành

Vành giao hoán

Commutative ring

Ký hiệuab=ba

Ý nghĩa

Một vành mà phép nhân của nó là giao hoán.

Khi dùng

Sử dụng nó trong lý thuyết số và hình học đại số, nơi phép nhân tương tự như phép nhân đa thức là giao hoán.

Ví dụ tính toán

ℤ và F[x] là các vành giao hoán khi F là một trường.

Vành

Vành có phần tử đơn vị

Ring with identity

Ký hiệu1_R

Ý nghĩa

Một vành chứa một phần tử đơn vị nhân.

Khi dùng

Sử dụng nó khi định nghĩa các phần tử đơn vị, các mô-đun với phần tử đơn vị vô hướng và các đồng cấu bảo toàn 1.

Ví dụ tính toán

Các số nguyên chẵn tạo thành một vành mà không có phần tử đơn vị nhân của riêng chúng dưới các phép toán được thừa kế.

Vành

Vành con

Subring

Ký hiệuS⊆R

Ý nghĩa

Một tập con mà chính nó là một vành dưới các phép toán được thừa kế từ một vành lớn hơn.

Khi dùng

Sử dụng nó để xác định các hệ thống số học nhỏ hơn bên trong một vòng.

Ví dụ tính toán

Các số nguyên ℤ tạo thành một vành con của các số hữu tỉ ℚ.

Vành

Phần tử đơn vị của một vòng

Unit of a ring

Ký hiệuR×

Ý nghĩa

Một phần tử có một nghịch đảo nhân trong vành.

Khi dùng

Sử dụng các phần tử đơn vị để xác định phép nhân thuận nghịch và tạo thành nhóm nhân của một vòng.

Ví dụ tính toán

Các phần tử đơn vị của ℤ là 1 và -1.

Vành

Số chia hết cho 0

Zero divisor

Ký hiệuab=0

Ý nghĩa

Một phần tử của vành, khác 0, mà khi nhân với một phần tử khác 0 khác, sẽ cho kết quả là 0.

Khi dùng

Sử dụng nó để phát hiện sự không khả năng hủy và phân biệt các miền chính tắc với các vòng tổng quát.

Ví dụ tính toán

Trong ℤ/6ℤ, [2][3]=[0]; do đó, [2] và [3] là các phần tử chia hết cho 0.

Vành

Phần tử vô hiệu

Nilpotent element

Ký hiệua^k=0

Ý nghĩa

Một phần tử mà lũy thừa dương của nó bằng 0.

Khi dùng

Sử dụng nó để nghiên cứu các vòng không giảm, cấu trúc ma trận và hành vi đại số vô cùng bé.

Ví dụ tính toán

Ma trận [[0,1],[0,0]] khác 0 nhưng bình phương của nó bằng 0.

Vành

Vùng nguyên

Integral domain

Ý nghĩa

Một vành giao hoán, khác 0, có phần tử đơn vị và không có các phần tử chia hết bằng 0.

Khi dùng

Sử dụng nó ở những nơi mà phép chia hoạt động và các phân số có thể được xây dựng một cách nhất quán.

Ví dụ tính toán

ℤ là một miền nguyên nhưng không phải là một trường.

Vành

Vành chia

Division ring

Ý nghĩa

Một vành trong đó mọi phần tử khác 0 đều có một nghịch đảo nhân, mà không yêu cầu phép nhân phải giao hoán.

Khi dùng

Sử dụng nó để phân biệt các cấu trúc chia không giao hoán với các trường.

Ví dụ tính toán

Các số quaternion tạo thành một vành chia nhưng không phải là một trường.

Vành

Lý tưởng

Ideal

Ký hiệuI◁R

Ý nghĩa

Một nhóm con cộng tính hấp thụ phép nhân bởi các phần tử vành tùy ý từ phía hoặc các phía cần thiết.

Khi dùng

Sử dụng các lý tưởng làm hạt nhân của các đồng cấu vòng và để xây dựng các vòng thương.

Ví dụ tính toán

nℤ là một ideal của ℤ.

Vành

Lý tưởng chính

Principal ideal

Ký hiệu(a)

Ý nghĩa

Một ideal được sinh bởi một phần tử.

Khi dùng

Sử dụng nó để biểu diễn khả năng chia hết và so sánh các miền lý tưởng chính tắc với các vòng tổng quát hơn.

Ví dụ tính toán

Trong ℤ, lý tưởng được sinh bởi 6 là (6)=6ℤ.

Vành

Vành thương

Quotient ring

Ký hiệuR/I

Ý nghĩa

Một vành các lớp coset được tạo thành bằng cách đồng nhất mọi phần tử của một ideal với 0.

Khi dùng

Sử dụng nó để áp đặt các quan hệ đại số và mô hình hóa số học modulo.

Ví dụ tính toán

ℤ/nℤ là vành thương ℤ/(n).

Vành

Vành đa thức

Polynomial ring

Ký hiệuR[x]

Ý nghĩa

Vòng đa thức với các hệ số thuộc một vòng R.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các phương trình, phân tích thừa số, lý tưởng, mở rộng trường và hình học đại số.

Ví dụ tính toán

Khi F là một trường, vành đa thức F[x] là một miền Euclid.

Vành

Vành ma trận

Matrix ring

Ký hiệuMₙ(R)

Ý nghĩa

Vòng các ma trận vuông trên một vòng, sử dụng phép cộng và nhân ma trận.

Khi dùng

Sử dụng nó cho các phép biến đổi tuyến tính và như một ví dụ tiêu chuẩn của một vòng không giao hoán.

Ví dụ tính toán

M₂(ℝ) là một vành, nhưng phép nhân ma trận không giao hoán.

Vành

Đồng cấu vành

Ring homomorphism

Ký hiệuφ(a+b), φ(ab)

Ý nghĩa

Một ánh xạ bảo toàn phép cộng và phép nhân của vành, với việc bảo toàn phần tử đơn vị tùy thuộc vào quy ước.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh các vòng và thu được các lý tưởng như hạt nhân.

Lưu ý

Cho biết liệu các đồng cấu vành có cần phải bảo toàn phần tử đơn vị nhân hay không.

Ví dụ tính toán

Phép đánh giá f(x)↦f(0) là một đồng cấu vành từ R[x] đến R.

Vành

Đẳng cấu vành

Ring isomorphism

Ký hiệuR≅S

Ý nghĩa

Một đồng cấu vành song ánh chứng minh rằng hai vành có cùng cấu trúc vành.

Khi dùng

Sử dụng nó để thay thế một vòng bằng một biểu diễn dễ dàng hơn nhưng tương đương về mặt cấu trúc.

Ví dụ tính toán

Định lý dư của Trung Quốc có thể cho ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ.

Các trường

Trường

Field

Ký hiệu(F,+,×)

Ý nghĩa

Một vành giao hoán với 1 khác 0, trong đó mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo nhân.

Khi dùng

Sử dụng các trường làm hệ thống vô hướng cho phép chia chính xác, không gian vectơ, đa thức và đại số tuyến tính.

Ví dụ tính toán

ℚ, ℝ, và ℂ là các trường, trong khi ℤ thì không.

Các trường

Trường con

Subfield

Ký hiệuK⊆F

Ý nghĩa

Một tập con của một trường mà chính nó cũng là một trường dưới các phép toán được thừa kế.

Khi dùng

Sử dụng nó để so sánh các hệ thống vô hướng và định nghĩa các mở rộng trường.

Ví dụ tính toán

ℚ là một trường con của ℝ, và ℝ là một trường con của ℂ.

Các trường

Đặc trưng của một trường

Characteristic of a field

Ký hiệuchar(F)

Ý nghĩa

Số lượng bản sao nhỏ nhất của 1 mà tổng của chúng bằng 0, hoặc 0 nếu không tồn tại.

Khi dùng

Sử dụng nó để phân biệt các trường có đặc tính bằng 0 với số học có đặc tính hữu hạn.

Ví dụ tính toán

Trường hữu tỉ có char(ℚ)=0, trong khi trường nguyên tố hữu hạn có char(𝔽ₚ)=p.

Các trường

Trường nguyên tố

Prime field

Ý nghĩa

Tiểu trường nhỏ nhất chứa trong một trường, đẳng cấu với ℚ hoặc 𝔽ₚ.

Khi dùng

Sử dụng nó như nền tảng số học được tạo ra bởi phần tử đơn vị nhân.

Ví dụ tính toán

Mọi trường có đặc trưng p đều chứa một bản sao của 𝔽ₚ.

Các trường

Trường số hữu hạn

Finite field

Ký hiệu𝔽_q

Ý nghĩa

Một trường chứa một số hữu hạn các phần tử.

Khi dùng

Sử dụng nó trong lý thuyết mã, mật mã, kiểm tra tổng, và hình học hữu hạn.

Ví dụ tính toán

Trường 𝔽₅={0,1,2,3,4} sử dụng phép toán modulo 5 cho cả phép cộng và phép nhân.

Các trường

Bậc lũy thừa nguyên tố của một trường hữu hạn

Prime-power order of a finite field

Ký hiệuq=pⁿ

Ý nghĩa

Một trường hữu hạn tồn tại với q phần tử khi và chỉ khi q là một lũy thừa của một số nguyên tố.

Khi dùng

Sử dụng nó để xác định kích thước trường hữu hạn hợp lệ trước khi xây dựng một trường.

Ví dụ tính toán

Một trường với 8 phần tử tồn tại, nhưng một trường với 6 phần tử thì không.

Các trường

Trường Galois

Galois field

Ký hiệuGF(pⁿ)

Ý nghĩa

Một tên khác cho trường hữu hạn với pⁿ phần tử, duy nhất đến đẳng cấu.

Khi dùng

Sử dụng nó cho số học mở rộng trường trong các mã sửa lỗi và hệ thống mật mã.

Ví dụ tính toán

GF(2⁸) được sử dụng rộng rãi cho các phép toán trên trường hữu hạn theo kiểu byte.

Các trường

Mở rộng trường

Field extension

Ký hiệuL/K

Ý nghĩa

Một trường L chứa một trường K như một trường con.

Khi dùng

Sử dụng nó để thêm các nghiệm, mở rộng hệ thống vô hướng và xây dựng các trường hữu hạn.

Ví dụ tính toán

ℂ/ℝ là một mở rộng trường thu được bằng cách thêm i.

Các trường

Bậc của một mở rộng trường

Degree of a field extension

Ký hiệu[L:K]

Ý nghĩa

Số chiều không gian vectơ của L khi được xem xét như một không gian vectơ trên K.

Khi dùng

Sử dụng nó để đo kích thước mở rộng và áp dụng định luật tháp.

Ví dụ tính toán

Bậc mở rộng là [ℂ:ℝ]=2, với cơ sở {1,i} trên ℝ.

Các trường

Phần tử đại số

Algebraic element

Ý nghĩa

Một phần tử mở rộng trường là nghiệm của một đa thức không hằng trên trường cơ sở.

Khi dùng

Sử dụng nó để xây dựng các mở rộng có bậc hữu hạn và phân loại các số trên một trường.

Ví dụ tính toán

√2 là một số đại số trên ℚ vì nó thỏa mãn phương trình x²-2=0.

Các trường

Phần tử vô tỉ

Transcendental element

Ý nghĩa

Một phần tử mở rộng trường thỏa mãn không có đa thức không hằng nào trên trường cơ sở.

Khi dùng

Sử dụng nó để phân biệt các mở rộng vô tỉ với các mở rộng đại số.

Ví dụ tính toán

π và e là các số siêu việt trên ℚ.

Các trường

Đa thức tối thiểu

Minimal polynomial

Ký hiệum_α(x)

Ý nghĩa

Đa thức đơn nhất không khả quy duy nhất có bậc nhỏ nhất trên trường cơ sở, có một phần tử đại số là nghiệm.

Khi dùng

Sử dụng nó để xác định bậc mở rộng và các quan hệ số học của một phần tử đại số.

Ví dụ tính toán

Đa thức tối thiểu của √2 trên ℚ là x²-2.

Các trường

Trường tách

Splitting field

Ý nghĩa

Trường mở rộng nhỏ nhất mà trên đó một đa thức phân tích hoàn toàn thành các thừa số tuyến tính.

Khi dùng

Sử dụng nó để chứa tất cả các nghiệm của đa thức và nghiên cứu tính đối xứng của chúng.

Ví dụ tính toán

Trường phân tích của x²+1 trên ℝ là ℂ.

Các trường

Đóng bao đại số

Algebraic closure

Ý nghĩa

Một mở rộng trường là đóng bao đại số, do đó mọi đa thức không hằng đều có một nghiệm.

Khi dùng

Sử dụng nó như một môi trường mà trong đó các phương trình đa thức phân tích hoàn toàn.

Ví dụ tính toán

ℂ là một trường đại số đóng và là một đóng đại số của ℝ, nhưng chỉ sau khi lưu ý rằng ℂ/ℝ là đại số.

Các kết nối và ví dụ

Mô-đun

Module

Ký hiệuM over R

Ý nghĩa

Một nhóm giao hoán với phép nhân vô hướng bởi các phần tử của một vành.

Khi dùng

Sử dụng các mô-đun để khái quát hóa các không gian vectơ khi các vô hướng đến từ một vòng thay vì một trường.

Ví dụ tính toán

Mọi nhóm giao hoán tự nhiên là một mô-đun trên vành số nguyên ℤ.

Các kết nối và ví dụ

Không gian vectơ trên một trường

Vector space over a field

Ký hiệuV over F

Ý nghĩa

Một nhóm giao hoán với phép nhân vô hướng bởi một trường, thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết nối cấu trúc trường với đại số tuyến tính, cơ sở, số chiều và các phép biến đổi tuyến tính.

Ví dụ tính toán

ℂ là một không gian vector hai chiều trên ℝ.

Các kết nối và ví dụ

Đại số trên một trường

Algebra over a field

Ký hiệuA over F

Ý nghĩa

Một không gian vectơ trên một trường được trang bị một phép nhân song tuyến tính tương thích.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết hợp đại số tuyến tính với phép nhân vòng.

Ví dụ tính toán

Mₙ(F) là một đại số trên F.

Các kết nối và ví dụ

Khi ℤ/nℤ là một trường

When ℤ/nℤ is a field

Ý nghĩa

Vành thương ℤ/nℤ là một trường chính xác khi n là số nguyên tố.

Khi dùng

Sử dụng nó để phân biệt số học modulo nguyên tố với số học modulo hợp số có các ước số không.

Ví dụ tính toán

ℤ/5ℤ là một trường, nhưng ℤ/6ℤ thì không vì [2][3]=[0].

Các kết nối và ví dụ

Nhóm đơn vị của một vòng

Unit group of a ring

Ký hiệuR×

Ý nghĩa

Nhóm được tạo thành bởi tất cả các phần tử có thể nghịch đảo theo phép nhân của một vành.

Khi dùng

Sử dụng nó để kết nối phép nhân vòng với lý thuyết nhóm và số học modulo.

Ví dụ tính toán

(ℤ/nℤ)× chứa chính xác các lớp dư tương đối nguyên tố với n.

Các kết nối và ví dụ

Trường vô hướng

Scalar field

Ký hiệuF

Ý nghĩa

Trường mà từ đó các hệ số của không gian vectơ và các phần tử của ma trận được lấy.

Khi dùng

Nêu điều này vì hạng, các giá trị riêng, phân tích thừa số và khả năng giải được có thể thay đổi với trường vô hướng.

Ví dụ tính toán

Ma trận [[0,-1],[1,0]] không có giá trị riêng thực nhưng có các giá trị riêng i và -i trên ℂ.