Справочник по математике
Изучите множества, операции, отношения, функции, бесконечные кардинальности, аксиоматические основы и практические применения с использованием обозначений и примеров.
Объединение включает в себя одно из множеств, в то время как пересечение сохраняет только общую область.
Стрелки показывают, остаются ли входные данные различными, и достигает ли каждый элемент кодомена.
99 терминов
Множества и основы
Set
AХорошо определенная коллекция различных объектов, рассматриваемая как единый математический объект.
Используйте множества для указания коллекций, областей определения, пространств решений, событий и лежащих в основе объектов математических структур.
Множество A={2,4,6} содержит три четных числа.Множества и основы
Set element
xИндивидуальный объект, содержащийся в множестве.
Используйте элементы при формулировании утверждений о членах коллекции.
Число 4 является элементом множества A={2,4,6}.Множества и основы
Membership
x∈AОтношение, указывающее, что объект является элементом множества.
Используйте обозначение принадлежности для различения элемента и подмножества.
4∈{2,4,6}.Множества и основы
Non-membership
x∉AОтношение, указывающее, что объект не является элементом множества.
Используйте это для исключения значений из области определения, события или множества решений.
5∉{2,4,6}.Множества и основы
Roster notation
A={a,b,c}Обозначение, которое определяет множество путем перечисления его элементов в фигурных скобках.
Используйте это для конечных множеств, члены которых можно четко перечислить.
Множество гласных можно записать как V={a,e,i,o,u}.Множества и основы
Set-builder notation
{x∈U:P(x)}Обозначение, которое определяет множество на основе свойства, которому должны удовлетворять его элементы.
Используйте это, когда перечисление всех элементов было бы непрактичным или невозможным.
Четные целые числа - это {n∈ℤ: n=2k для некоторого k∈ℤ}.Множества и основы
Empty set
∅Единственное множество, не содержащее элементов.
Используйте это для невозможного события, непоследовательного множества решений или пустого пересечения в контексте.
Пустое множество является подмножеством любого множества, но оно не обязательно является элементом любого множества.
Множество решений уравнения x²+1=0 в вещественных числах равно ∅.Множества и основы
Singleton set
{x}Множество, содержащее ровно один элемент.
Используйте это, когда коллекция имеет одно возможное значение или решение является уникальным.
Уравнение x-3=0 имеет множество решений {3}.Множества и основы
Universal set
UМножество всех объектов, рассматриваемых в данный момент.
Укажите это перед использованием дополнений или квантификации над фиксированной вселенной.
Универсальное множество зависит от контекста; это не абсолютное множество всего сущего.
Если U=ℤ, то дополнением множества четных чисел является множество нечетных чисел.Множества и основы
Set equality
A=BДва множества равны, когда они содержат ровно одни и те же элементы.
Используйте экстенсиональное равенство без учета порядка элементов или повторений в письменном списке.
Множества {1,2,2,3} и {3,2,1} равны.Множества и основы
Subset
A⊆BМножество A является подмножеством B, когда каждый элемент A также является элементом B.
Используйте это для выражения включения и доказательства равенства множеств путем двойного включения.
{1,3}⊆{1,2,3}.Множества и основы
Proper subset
A⊊BПодмножество, которое не равно содержащему его множеству.
Используйте это, когда включение является строгим.
Некоторые книги используют ⊂ для обозначения собственного подмножества, в то время как другие используют его для любого подмножества; определите соглашение.
{1,3}⊊{1,2,3}.Множества и основы
Superset
B⊇AМножество, которое содержит все элементы другого множества.
Используйте это в качестве обратной формы отношения подмножества.
{1,2,3}⊇{1,3}.Множества и основы
Cardinality
|A|Мера количества элементов в множестве.
Используйте это для сравнения конечных размеров и, посредством биекций, размеров бесконечных множеств.
Если A={a,b,c}, то |A|=3.Множества и основы
Finite set
Множество, каждый элемент которого может быть помещен в биекцию с {1,...,n} для некоторого неотрицательного целого числа n.
Используйте это, когда коллекция имеет четкий размер, кратный целому числу.
Дни недели образуют конечное множество кардинальности 7.Множества и основы
Infinite set
Множество, которое не является конечным.
Используйте это для неограниченных коллекций, таких как целые числа, последовательности и точки на прямой.
Множество целых чисел ℤ является бесконечным.Множества и основы
Power set
𝒫(A)Множество, содержащее все подмножества A.
Используйте это для описания всех возможных выборов, событий и комбинаций двоичных признаков.
Если A={a,b}, то 𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}.Множества и основы
Indexed family of sets
{Aᵢ}ᵢ∈IКоллекция множеств, помеченных элементами индексного множества.
Используйте это для последовательностей множеств и объединений или пересечений над произвольными индексными множествами.
Семейство {Aₙ}ₙ∈ℕ можно определить как Aₙ={1,...,n}.Операции над множествами
Union
A∪BМножество элементов, принадлежащих A, B или обоим.
Используйте это для объединения альтернатив, событий, категорий или результирующих множеств.
Если A={1,2} и B={2,3}, то A∪B={1,2,3}.Операции над множествами
Intersection
A∩BМножество элементов, принадлежащих как A, так и B.
Используйте это для применения одновременных условий или для поиска общих элементов.
Если A={1,2} и B={2,3}, то A∩B={2}.Операции над множествами
Set difference
A∖BМножество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B.
Используйте это для удаления исключений или сравнения того, что остается уникальным для одного множества.
Если A={1,2,3} и B={2,4}, то A∖B={1,3}.Операции над множествами
Complement
AᶜМножество элементов универсального множества, не принадлежащих A.
Используйте это для отрицаний условий и взаимодополняющих вероятностных событий.
Если U={1,2,3,4} и A={1,3}, то Aᶜ={2,4}.Операции над множествами
Symmetric difference
A△BМножество элементов, принадлежащих ровно одному из множеств A и B.
Используйте это для измерения рассогласования между множествами или для переключения состояния принадлежности.
Если A={1,2} и B={2,3}, то A△B={1,3}.Операции над множествами
Disjoint sets
A∩B=∅Множества, не имеющие общих элементов.
Используйте это для взаимоисключающих событий и непересекающихся разбиений.
Четные и нечетные целые числа являются непересекающимися.Операции над множествами
Partition of a set
Коллекция непустых, попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых является исходным множеством.
Используйте это для группировки каждого элемента ровно в один класс.
Классы вычетов по модулю 3 разбивают ℤ.Операции над множествами
Cartesian product
A×BМножество всех упорядоченных пар, где первый компонент принадлежит A, а второй компонент принадлежит B.
Используйте это для построения координат, отношений, таблиц и произведений пространств.
Если A={1,2} и B={x,y}, то A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.Операции над множествами
Ordered pair
(a,b)Пара, в которой важна позиция каждого компонента.
Используйте это для координат и в качестве основного элемента декартова произведения или отношения.
Упорядоченная пара обычно меняется, когда меняются ее компоненты, поэтому (1,2) ≠ (2,1).Операции над множествами
De Morgan's laws for sets
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩BᶜПравила, которые меняют местами объединения и пересечения при взятии дополнений.
Используйте их для упрощения отрицательных условий множеств и вероятностных событий.
Второй закон: (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.Операции над множествами
Distributive laws for sets
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)Правила, описывающие, как объединение и пересечение распределяются друг относительно друга.
Используйте их для переписывания выражений множеств и доказательства тождеств.
Также A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).Операции над множествами
Absorption laws
A∪(A∩B)=AТождества, в которых объединение множества с содержащим его пересечением или объединением возвращает исходное множество.
Используйте их для удаления избыточных частей выражений множеств.
Двойное свойство: A∩(A∪B)=A.Операции над множествами
Generalized union and intersection
⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢОбъединение или пересечение, взятые по индексированной семье множеств.
Используйте это для бесконечного множества или переменной коллекции условий.
Для Aₙ={n,n+1,...}, пересечение ⋂ₙ∈ℕAₙ является пустым множеством.Отношения и порядки
Binary relation
R⊆A×BМножество упорядоченных пар, которое указывает, какие элементы A связаны с какими элементами B.
Используйте это для моделирования сравнений, связей, ссылок на базы данных и графов функций.
Отношение xRy, определенное как x≤y, является подмножеством ℤ×ℤ.Отношения и порядки
Domain and range of a relation
dom(R), ran(R)Область определения содержит первые компоненты, встречающиеся в отношении, а область значений содержит вторые компоненты, встречающиеся в отношении.
Используйте их для определения того, какие входные и выходные данные фактически участвуют в отношении.
Если R={(1,a),(2,a),(2,b)}, то dom(R)={1,2} и ran(R)={a,b}.Отношения и порядки
Inverse relation
R⁻¹Отношение, полученное путем обращения каждой упорядоченной пары в R.
Используйте это для инвертирования направленной связи.
Если R={(1,a),(2,b)}, то R⁻¹={(a,1),(b,2)}.Отношения и порядки
Reflexive relation
xRxОтношение на A, в котором каждый элемент связан сам с собой.
Используйте это, когда самосравнение всегда должно быть верным, как, например, в равенстве и нестрогом порядке.
Отношение ≤ является рефлексивным, потому что x≤x для любого вещественного числа x.Отношения и порядки
Irreflexive relation
Отношение на A, в котором ни один элемент не связан сам с собой.
Используйте это для строгих сравнений, таких как "меньше чем".
Отношение < является нерефлексивным, потому что x<x всегда ложно.Отношения и порядки
Symmetric relation
xRy⇒yRxОтношение, направление которого можно изменить для каждой связанной пары.
Используйте это для взаимосвязей, таких как равенство или наличие общего свойства.
Отношение, определяющее одинаковую четность, является симметричным на ℤ.Отношения и порядки
Antisymmetric relation
xRy∧yRx⇒x=yОтношение, при котором двустороннее отношение между различными элементами невозможно.
Используйте это в качестве аксиомы частичных порядков.
Антисимметричность не означает, что отношение лишено симметричных пар; равные элементы могут быть связаны в обоих направлениях.
Отношение подмножества ⊆ является антисимметричным.Отношения и порядки
Asymmetric relation
xRy⇒¬(yRx)Отношение, при котором связанная пара никогда не может встречаться в обратном направлении.
Используйте это для строгих направленных сравнений.
Строгий порядок < является антисимметричным.Отношения и порядки
Transitive relation
xRy∧yRz⇒xRzОтношение, которое проходит через промежуточный связанный элемент.
Используйте это для упорядочиваний, отношений эквивалентности, достижимости и цепочек импликаций.
Делимость является транзитивным отношением: если a делит b, а b делит c, то a делит c.Отношения и порядки
Equivalence relation
∼Отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Используйте это для группировки объектов, которые должны рассматриваться как одинаковые в соответствии с выбранным критерием.
Отношение конгруэнтности по модулю n является отношением эквивалентности на ℤ.Отношения и порядки
Equivalence class
[x]Множество всех элементов, эквивалентных данному элементу.
Используйте это в качестве одного блока разбиения, индуцированного отношением эквивалентности.
Для сравнения по модулю 3, класс эквивалентности числа 1 равен [1] = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}.Отношения и порядки
Quotient set
A/∼Множество всех классов эквивалентности A относительно отношения эквивалентности.
Используйте это для замены эквивалентных элементов на один абстрактный класс.
Факторгруппа ℤ/3ℤ имеет три класса: [0], [1] и [2].Отношения и порядки
Partial order
≼Отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
Используйте это, когда некоторые элементы сопоставимы, а другие могут быть не сопоставимы.
Включение подмножества частично упорядочивает степенное множество.Отношения и порядки
Partially ordered set
(P,≼)Множество вместе с указанным частичным порядком.
Используйте это в качестве объекта, изучаемого теорией порядка и анализом зависимостей.
Делители числа 12 образуют частично упорядоченное множество относительно отношения делимости.Отношения и порядки
Total order
≤Частичный порядок, в котором каждая пара элементов сопоставима.
Используйте это для сортировки и линейной ранжировки.
Обычный порядок ≤ является полным порядком на ℝ.Отношения и порядки
Hasse diagram
Упрощенный граф конечного частично упорядоченного множества, который показывает отношения покрытия и опускает транзитивные ребра.
Используйте это для визуализации иерархии, делимости, включения подмножеств и зависимостей.
Диаграмма Хассе для делителей числа 6 показывает число 1 ниже чисел 2 и 3, а число 6 находится выше обоих.Отношения и порядки
Well-order
Полный порядок, в котором каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Используйте это для индукции, рекурсивных определений и теории порядковых чисел.
Обычный порядок на ℕ является хорошо упорядоченным множеством.Отношения и порядки
Minimal and maximal elements
Элементы, не имеющие строго меньшего или строго большего сопоставимого элемента в частично упорядоченном множестве.
Используйте их, когда частичный порядок может иметь несколько локальных граничных элементов.
Конечный частично упорядоченный набор может иметь несколько максимальных элементов.Отношения и порядки
Least and greatest elements
⊥, ⊤Элементы, расположенные выше или ниже каждого элемента частично упорядоченного множества.
Используйте их для глобальных границ и конечных точек решетки.
Минимальное не всегда означает наименьшее, и максимальное не всегда означает наибольшее.
Если существует наименьший элемент, то он единственен.Отношения и порядки
Upper and lower bounds
Элементы, расположенные выше или ниже каждого элемента выбранного подмножества в упорядоченном множестве.
Используйте их для определения супремумов, инфимумов, ограниченных множеств и пределов оптимизации.
Число 10 является верхней границей множества {1,4,7}.Отношения и порядки
Supremum and infimum
sup(S), inf(S)Верхняя и нижняя границы подмножества, если они существуют.
Используйте их в анализе, оптимизации и теории полных решеток.
Для S=(0,1), sup(S)=1 и inf(S)=0, даже если ни одно из них не принадлежит S.Функции и отображения
Function
f:A→BОтношение, которое сопоставляет каждый элемент A ровно одному элементу B.
Используйте функции для моделирования детерминированных отображений, преобразований и вычислений.
Правило f(n)=n² определяет функцию из ℤ в ℕ.Функции и отображения
Domain of a function
dom(f)Множество допустимых входных значений функции.
Укажите это, потому что одна и та же формула может определять разные функции на разных областях определения.
Для f:ℝ→ℝ с f(x)=x², область определения равна ℝ.Функции и отображения
Codomain
BМножество, являющееся целевым для функции f:A→B.
Используйте это для определения сюръективности и различения предполагаемых результатов от фактически полученных результатов.
Для f:ℝ→ℝ с f(x)=x², кодомен равен ℝ.Функции и отображения
Range of a function
f(A)Множество фактических значений, принимаемых функцией.
Используйте это для проверки сюръективности и определения допустимых выходных данных.
Область определения может быть меньше, чем область значений.
Для f:ℝ→ℝ с f(x)=x², область значений равна [0,∞).Функции и отображения
Image of a subset
f(S)Множество значений функции, полученных из элементов подмножества S области определения.
Используйте это для отслеживания того, как отображение преобразует выбранный регион или коллекцию.
Для f(x)=x² и S={−2,1,3}, f(S)={1,4,9}.Функции и отображения
Preimage of a subset
f⁻¹(T)Множество элементов области определения, значения функции которых лежат в выбранном целевом подмножестве T.
Используйте это для возврата условий и событий через функцию.
Для f(x)=x², обратное множество {4} равно {−2,2}.Функции и отображения
Injective function
f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂Функция, которая никогда не отображает два различных входных значения в одно и то же выходное значение.
Используйте это, когда входные данные должны оставаться различимыми после отображения.
Функция f:ℤ→ℤ, определенная как f(n)=2n, является инъективной.Функции и отображения
Surjective function
f(A)=BФункция, область значений которой равна ее кодомену.
Используйте это, когда каждая объявленная целевая величина должна быть достигнута хотя бы одним входным значением.
Функция f:ℝ→[0,∞), определенная как f(x)=x², является сюръективной.Функции и отображения
Bijective function
A↔BФункция, которая является одновременно инъективной и сюръективной.
Используйте это для парного сопоставления элементов двух множеств, сравнения кардинальностей и определения обратной функции.
Функция f:ℤ→ℤ, определенная как f(n)=n+1, является биективной.Функции и отображения
Inverse function
f⁻¹:B→AФункция, которая обращает биекцию, отправляя каждый выход обратно в его уникальный вход.
Используйте это для отмены обратимого отображения.
Обозначение обратного отображения f⁻¹(T) определено для подмножеств, даже когда обратная функция не существует.
Если f(x)=2x+1 на ℝ, то f⁻¹(y)=(y−1)/2.Функции и отображения
Function composition
g∘fФункция, полученная применением сначала f, а затем g.
Используйте это для построения сложных преобразований из более простых шагов.
Если f(x)=x+1 и g(x)=2x, то (g∘f)(x)=2x+2.Функции и отображения
Identity function
id_AФункция, которая отображает каждый элемент множества в самого себя.
Используйте это в качестве нейтрального элемента для композиции функций.
Для каждой функции f:A→B, f∘id_A=f и id_B∘f=f.Функции и отображения
Restriction of a function
f|_SФункция, полученная путем ограничения области определения f подмножеством S.
Используйте это для изучения локального поведения или для создания инъективной функции на меньшей области определения.
Функция возведения в квадрат, ограниченная отрезком [0,∞), является инъективной.Функции и отображения
Indicator function
1_A(x)Функция, которая возвращает 1 для элементов, находящихся в A, и 0 для элементов, находящихся вне A.
Используйте это для кодирования принадлежности алгебраически в теории вероятностей, интегрировании и обработке данных.
Для A={2,4}, 1_A(2)=1 и 1_A(3)=0.Бесконечные множества и мощность
Equinumerous sets
|A|=|B|Множества, связанные биекцией, что означает, что они имеют одинаковую кардинальность.
Используйте биекции для сравнения размеров без прямого подсчета, особенно для бесконечных множеств.
Натуральные числа ℕ и четные натуральные числа являются эквивалентными по кардинальности через f(n)=2n.Бесконечные множества и мощность
Countable set
Конечное множество или множество, которое может быть инъективно отображено в натуральные числа.
Используйте это для коллекций, элементы которых можно перечислить в последовательности, возможно, с пропусками.
Каждое подмножество ℕ является счетным.Бесконечные множества и мощность
Countably infinite set
|A|=ℵ₀Бесконечное множество, которое может быть помещено в биекцию с натуральными числами.
Используйте это для различения бесконечности, соответствующей размеру последовательности, и более высоких кардинальностей.
Множество целых чисел ℤ и множество рациональных чисел ℚ являются счетно бесконечными.Бесконечные множества и мощность
Uncountable set
Множество, которое не может быть помещено в биекцию с каким-либо подмножеством натуральных чисел.
Используйте это для больших бесконечностей, таких как вещественные числа и пространства функций.
Интервал [0,1] является не счетным.Бесконечные множества и мощность
Aleph-null
ℵ₀Кардинальность натуральных чисел и любого счетно бесконечного множества.
Используйте это в качестве наименьшей бесконечной кардинальности.
|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.Бесконечные множества и мощность
Cardinality of the continuum
𝔠Кардинальность вещественных чисел, равная кардинальности степенного множества ℕ.
Используйте это для размера интервалов, последовательностей вещественных чисел и непрерывных геометрических множеств.
|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.Бесконечные множества и мощность
Cantor's diagonal argument
Метод, который создает объект, отличающийся от n-го перечисленного объекта в его n-й компоненте.
Используйте это для доказательства того, что предложенный список является неполным, особенно для вещественных чисел или бесконечных последовательностей.
Диагональный метод доказывает, что двоичные последовательности нельзя перечислить с помощью ℕ.Бесконечные множества и мощность
Cantor's theorem
|A|<|𝒫(A)|Множество всех подмножеств любого множества имеет строго большую мощность, чем исходное множество.
Используйте это для демонстрации того, что не существует наибольшей кардинальности, и для генерации более высоких бесконечностей.
Ни одна функция из множества A в множество 𝒫(A) не может быть сюръективной.Бесконечные множества и мощность
Cardinal arithmetic
κ+λ, κλ, κ^λАрифметические операции, определенные для кардинальных чисел с использованием непересекающихся объединений, декартовых произведений и множеств функций.
Используйте это для сравнения размеров объединенных бесконечных коллекций.
Для бесконечно счетных множеств, ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ и ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀.Бесконечные множества и мощность
Dedekind-infinite set
Множество, которое имеет одинаковую мощность с одним из своих собственных подмножеств.
Используйте это в качестве структурной характеристики бесконечности в стандартной теории множеств.
Отображение n↦n+1 является биекцией из ℕ в собственное подмножество ℕ∖{0}.Аксиомы и основания.
Naive set theory
Неформальный подход, который рассматривает множества как произвольные коллекции, описанные понятными свойствами.
Используйте это для обычной математики, когда не возникают фундаментальные парадоксы.
Неограниченное объединение по свойству приводит к парадоксам, поэтому формальные основы используют аксиомы.
Для выполнения основных операций объединения и пересечения обычно достаточно наивной теории множеств.Аксиомы и основания.
Russell's paradox
R={x:x∉x}Противоречие, возникающее при рассмотрении вопроса о том, является ли множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя, элементом самого себя.
Используйте это для понимания того, почему неограниченное построение множеств является недействительным.
Если R∈R, то R∉R, а если R∉R, то R∈R.Аксиомы и основания.
Axiomatic set theory
Формальная теория, которая допускает множества и конструкции только через указанные аксиомы.
Используйте это для обеспечения надежной основы для математики и избежания известных парадоксов.
ZF и ZFC являются стандартными аксиоматическими системами для теории множеств.Аксиомы и основания.
Axiom of extensionality
Два множества равны тогда и только тогда, когда они содержат одни и те же элементы.
Используйте это для того, чтобы принадлежность полностью определяла идентичность множества.
Чтобы доказать A=B, достаточно доказать, что x∈A тогда и только тогда, когда x∈B для любого x.Аксиомы и основания.
Axiom of pairing
Для любых объектов a и b, существует множество {a,b}.
Используйте это для построения пар и одноэлементных множеств.
Если a=b, то получается множество, состоящее из одного элемента {a}.Аксиомы и основания.
Axiom of union
⋃AДля любого множества множеств A, существует множество, содержащее только элементы его множеств-членов.
Используйте это для "сглаживания" одного уровня вложенных множеств и построения объединений.
Для множества A = {{1,2}, {2,3}}, применение аксиомы объединения дает ⋃A = {1, 2, 3}.Аксиомы и основания.
Axiom of power set
Для каждого множества A, существует множество, содержащее ровно все подмножества A.
Используйте это для построения пространств функций, топологий и множеств с большей кардинальностью.
Эта аксиома гарантирует существование 𝒫(A).Аксиомы и основания.
Axiom of infinity
Аксиома, утверждающая существование индуктивного множества, поддерживающего построение натуральных чисел.
Используйте это для обеспечения того, чтобы теория множеств содержала хотя бы одно бесконечное множество.
Натуральные числа могут быть построены внутри индуктивного множества.Аксиомы и основания.
Axiom schema of separation
Схема, позволяющая выбирать элементы, удовлетворяющие определенному свойству, из уже существующего множества.
Используйте это для определения подмножеств, не допуская неограниченного множества всего, что удовлетворяет определенному свойству.
Если даны A и свойство P, то сепарация образует множество {x∈A:P(x)}.Аксиомы и основания.
Axiom schema of replacement
Схема, утверждающая, что образ множества под определенным функциональным правилом также является множеством.
Используйте это для трансфинитных построений и образов, индексированных большими ординалами.
Определяемое правило F отображает множество A в множество {F(x): x ∈ A}.Аксиомы и основания.
Axiom of foundation
Каждое непустое множество содержит элемент, не принадлежащий этому множеству, что предотвращает бесконечные нисходящие цепочки включения.
Используйте это для исключения обычных множеств, таких как x∈x и цепочек принадлежности.
Аксиома основания исключает двухэлементный цикл, где a∈b и b∈a.Аксиомы и основания.
Axiom of choice
Для каждой семейства непустых множеств, существует функция, которая выбирает один элемент из каждого множества.
Используйте это в результатах, таких как теорема о полном упорядочении, лемма Цермело и существование базисов векторных пространств.
Эта аксиома предоставляет функцию выбора, даже когда не известен явный правило выбора.Аксиомы и основания.
ZF set theory
ZFТеория множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора.
Используйте это в качестве стандартного формального основания, когда статус выбора отделен.
ZF включает в себя аксиомы: экстенсиональности, пар, объединения, мощности, бесконечности, разделения, замены и основания.Аксиомы и основания.
ZFC set theory
ZFCТеория множеств ZF вместе с аксиомой выбора.
Используйте это в качестве наиболее распространенной фундаментальной структуры для основной математики.
Большинство обычных математических результатов можно формализовать в ZFC.Аксиомы и основания.
Transitive set
Множество, каждый элемент которого также является подмножеством этого множества.
Используйте это в теории ординалов, иерархиях множеств и моделях теории множеств.
Множество {∅,{∅}} является транзитивным.Аксиомы и основания.
Ordinal number
α,β,ωКанонический набор, представляющий тип порядка упорядоченного множества.
Используйте это для описания позиций, трансфинитной индукции и стадий, выходящих за рамки конечного порядка.
Первое бесконечное порядковое число - это ω, следующее за всеми конечными порядковыми числами.Аксиомы и основания.
Cardinal number
κ,λКанонический представитель размера, общего для множеств, имеющих одинаковую мощность.
Используйте это для сравнения размеров множеств независимо от порядка или внутренней структуры.
Конечное число 3 представляет любое множество, состоящее из трех элементов.Применения
Sample space and event
Ω, E⊆ΩВ теории вероятностей, пространство элементарных событий - это множество всех возможных исходов, а событие - это одно из его подмножеств.
Используйте операции над множествами для объединения событий и взаимодополнений для выражения неудачи.
Для игральной кости, Ω={1,2,3,4,5,6} и событие "четное число" равно E={2,4,6}.Применения
Solution set
Множество всех значений, удовлетворяющих уравнению, неравенству или системе ограничений.
Используйте это для выражения нуля, одного, нескольких или бесконечного числа решений в унифицированной форме.
Множество решений уравнения x²=4 в вещественных числах равно {−2,2}.Применения
Carrier set
Основное множество элементов, на котором определена алгебраическая или логическая структура.
Используйте это для отделения исходных элементов от операций и отношений, добавленных к ним.
Группа (G,*) имеет множество-носитель G и операцию *.Применения
Database set operations
Операции, такие как UNION, INTERSECT и EXCEPT, которые объединяют совместимые результаты запросов, используя семантику, связанную с множествами.
Используйте их для объединения, сравнения или вычитания строк результатов.
Таблицы в базах данных могут содержать дубликаты и значения NULL, поэтому семантика SQL не идентична чистой теории множеств.
UNION удаляет повторяющиеся строки, если не используется UNION ALL.Применения
Set data structure
Коллекция данных, которая хранит уникальные значения и обычно поддерживает быстрые проверки на принадлежность.
Используйте это для дедупликации, отслеживания посещенных состояний и поиска членства.
Множество может преобразовать список [3,1,3,2] в уникальные значения {1,2,3}.Применения
Type interpreted as a set
Подход, в котором тип рассматривается как множество значений, допустимых для этого типа.
Используйте это для рассуждений о проверке, объединениях, пересечениях, подтипах и исчерпывающих случаях.
Тип данных "булево" может быть представлен множеством {true, false}.