Справочник по математике
Изучите алгебраические структуры от операций и групп через кольца, поля, конечные поля, модули и векторные пространства с определениями и примерами.
Каждая структура добавляет специфические аксиомы; поля поддерживают деление на каждый ненулевой элемент.
ℤ/nℤ является полем тогда и только тогда, когда n является простым числом; кольца с составными модулями могут содержать нулевые делители.
63 терминов
Операции и аксиомы
Set
SКоллекция различных объектов, рассматриваемых как один математический объект.
Используйте множество для указания области определения, на которой определены алгебраические операции.
ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.Операции и аксиомы
Binary operation
*:S×S→SПравило, которое объединяет два элемента множества и возвращает один элемент того же множества.
Используйте это как операцию, лежащую в основе магм, полугрупп, групп, колец и полей.
Сложение является бинарной операцией на ℤ, потому что a+b∈ℤ для всех целых чисел a и b.Операции и аксиомы
Closure
Свойство, согласно которому применение операции к допустимым элементам всегда приводит к другому допустимому элементу.
Проверьте замкнутость, прежде чем утверждать, что подмножество наследует алгебраическую структуру.
Положительные целые числа замкнуты относительно сложения, но не относительно вычитания.Операции и аксиомы
Associativity
(a*b)*c=a*(b*c)Свойство, согласно которому перегруппировка трех операндов не меняет результат.
Используйте это для опущения скобок в повторяющихся произведениях или суммах и для определения степеней последовательно.
Умножение матриц ассоциативно, хотя обычно не коммутативно.Операции и аксиомы
Commutativity
a*b=b*aСвойство, согласно которому изменение порядка двух операндов не меняет результат.
Используйте это для различения абелевых групп и коммутативных колец от некоммутативных структур.
Целочисленное умножение коммутативно, в то время как умножение матриц обычно не является.Операции и аксиомы
Identity element
eЭлемент, который оставляет каждый элемент неизменным при использовании в операции.
Используйте это для определения обратных элементов, степеней, моноидов, групп и колец с единицей.
0 является аддитивной единицей, а 1 - мультипликативной единицей в ℤ.Операции и аксиомы
Inverse element
a⁻¹Элемент, который в сочетании с заданным элементом дает единицу.
Используйте это для обращения операций группы и определения, какие элементы кольца являются единицами.
Аддитивный обратный элемент числа 5 равен -5; мультипликативный обратный элемент числа 3 в ℚ равен 1/3.Операции и аксиомы
Magma
(M,*)Множество, оснащенное одной замкнутой бинарной операцией, без требования ассоциативности или единичного элемента.
Используйте это как отправную точку с наименьшим количеством ограничений в иерархии структур с одной операцией.
Каждая полугруппа является магмой, но магма не обязательно является ассоциативной.Операции и аксиомы
Semigroup
(S,*)Магма, операция которой является ассоциативной.
Используйте это для моделирования композиционных процессов, которые не обязательно имеют единицу или обратные элементы.
Все непустые строки образуют полугруппу относительно операции конкатенации.Операции и аксиомы
Monoid
(M,*,e)Полугруппа с единичным элементом.
Используйте это для последовательностей, преобразований, эндоморфизмов и вычислений, которые строятся из нейтрального значения.
Все строки, включая пустую строку, образуют моноид относительно конкатенации.Группы
Group
(G,*)Моноид, в котором каждый элемент имеет обратный.
Используйте группы для описания симметрий и обратимых операций.
Целые числа образуют группу относительно сложения.Группы
Abelian group
a*b=b*aГруппа, в которой операция коммутативна.
Используйте это для аддитивных структур, таких как целые числа, векторы и аддитивная часть кольца.
Каждое векторное пространство является абелевой группой относительно векторного сложения.Группы
Subgroup
H≤GПодмножество группы, которое само является группой при ограниченной операции.
Используйте это для выделения симметрий, порожденных элементов, стабилизаторов и множеств решений внутри группы.
2ℤ является подгруппой (ℤ,+).Группы
Cyclic group
G=⟨g⟩Группа, порожденная одним элементом.
Используйте это для представления каждого элемента группы в виде степени или кратного одного генератора.
(ℤ/nℤ,+) является циклической группой и порождается элементом [1].Группы
Group generator
⟨g⟩Элемент или множество элементов, многократные операции и обратные для которых порождают всю группу.
Используйте это для предоставления компактных представлений и проверки, является ли группа циклической.
Элемент [1] порождает аддитивную группу ℤ/5ℤ.Группы
Order of a group element
ord(g)Наименьшая положительная степень, при которой элемент переходит в единицу.
Используйте это для определения длины цикла и размера порожденной подгруппы.
В аддитивной группе ℤ/6ℤ элемент [2] имеет порядок 3.Группы
Order of a group
|G|Количество элементов в конечной группе.
Используйте это с теоремой Лагранжа, аргументами подсчета и классификацией конечных групп.
Группа симметрий равностороннего треугольника имеет порядок 6.Группы
Coset
gH or HgСдвиг подгруппы, полученный умножением каждого элемента подгруппы на фиксированный элемент группы.
Используйте смежные классы для разбиения группы и построения фактор-групп.
Коситы 3ℤ в ℤ - это 3ℤ, 1+3ℤ и 2+3ℤ.Группы
Lagrange's theorem
|G|=[G:H]|H|Для конечной группы порядок любой подгруппы делит порядок группы.
Используйте это для ограничения возможных порядков подгрупп и элементов.
Конечная группа с порядком 12 не может содержать подгруппу с порядком 5.Группы
Normal subgroup
N◁GПодгруппа, левые и правые классы смежности которой совпадают для каждого элемента группы.
Используйте это как условие, необходимое для формирования фактор-группы смежными классами.
Ядро любого гомоморфизма группы является нормальной подгруппой.Группы
Quotient group
G/NГруппа классов смежности, образованная группой и нормальной подгруппой.
Используйте это для сведения нормальной подгруппы к единице и изучения структуры группы на более грубом уровне.
ℤ/nℤ – это факторгруппа ℤ/nℤ относительно операции сложения.Группы
Group homomorphism
φ(ab)=φ(a)φ(b)Отображение между группами, сохраняющее групповую операцию.
Используйте это для сравнения групп при сохранении их алгебраической операции.
Отображение φ:ℤ→ℤ/nℤ, заданное φ(k)=[k], сохраняет сложение.Группы
Group isomorphism
G≅HБиективный групповой гомоморфизм, показывающий, что две группы имеют одну и ту же абстрактную структуру.
Используйте это для рассмотрения групп, представленных по-разному, как структурно идентичных.
Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна (ℤ,+).Группы
Kernel of a group homomorphism
ker(φ)Подгруппа элементов, которые отображаются в единицу целевой группы.
Используйте это для измерения информации, потерянной гомоморфизмом, и проверки инъективности.
Гомоморфизм группы является инъективным тогда и только тогда, когда его ядро является тривиальной подгруппой.Группы
Image of a group homomorphism
im(φ)Подгруппа целевых элементов, которые фактически достигаются гомоморфизмом.
Используйте это для определения эффективной выходной структуры и проверки сюръективности.
Гомоморфизм является сюръективным тогда и только тогда, когда его образ равен целевой группе.Группы
First isomorphism theorem for groups
G/ker(φ)≅im(φ)Теорема, устанавливающая соответствие между фактор-группой, полученной делением по ядру гомоморфизма, и его образом.
Используйте это для связи ядер, образов и фактор-структур.
Для φ:ℤ→ℤ/nℤ, ℤ/nℤ≅im(φ).Группы
Direct product of groups
G×HГруппа, образованная упорядоченными парами с покомпонентными операциями.
Используйте это для объединения независимых структур групп и разложения конечных абелевых групп.
ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ изоморфно ℤ/6ℤ.Кольца
Ring
(R,+,×)Множество, для которого сложение образует абелеву группу, а ассоциативное умножение распределяется относительно сложения.
Используйте кольца для изучения целых чисел, многочленов, матриц и модулярной арифметики с использованием сложения и умножения.
ℤ является коммутативным кольцом с единицей.Кольца
Commutative ring
ab=baКольцо, в котором умножение является коммутативным.
Используйте это в теории чисел и алгебраической геометрии, где умножение, подобное умножению многочленов, является коммутативным.
ℤ и F[x] являются коммутативными кольцами, когда F является полем.Кольца
Ring with identity
1_RКольцо, содержащее мультипликативную единицу.
Используйте это при определении единиц, модулей со скалярной единицей и гомоморфизмов, сохраняющих 1.
Четные целые числа образуют кольцо без своей собственной мультипликативной единицы, унаследованной от операций.Кольца
Subring
S⊆RПодмножество, которое само является кольцом при операциях, унаследованных от большего кольца.
Используйте это для идентификации меньших арифметических систем внутри кольца.
Целые числа ℤ образуют подкольцо рациональных чисел ℚ.Кольца
Unit of a ring
R×Элемент, обладающий мультипликативным обратным внутри кольца.
Используйте единицы для идентификации обратимого умножения и формирования мультипликативной группы кольца.
Единицы кольца ℤ - это 1 и -1.Кольца
Zero divisor
ab=0Ненулевой элемент кольца, который при умножении на другой ненулевой элемент дает ноль.
Используйте это для обнаружения нарушения свойства отмены и различения областей целостности от общих колец.
В ℤ/6ℤ, [2][3]=[0]; следовательно, [2] и [3] являются элементами, делящими на ноль.Кольца
Nilpotent element
a^k=0Элемент, положительная степень которого равна нулю.
Используйте это для изучения невосстановленных колец, структуры матриц и инфинитезимального алгебраического поведения.
Матрица [[0,1],[0,0]] отлична от нуля, но ее квадрат равен нулю.Кольца
Integral domain
Ненулевое коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.
Используйте это там, где выполняется свойство отмены и где можно последовательно строить дроби.
ℤ является целостным кольцом, но не является полем.Кольца
Division ring
Кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, без требования коммутативности умножения.
Используйте это для различения структур деления, не являющихся полями, от полей.
Кватернионы образуют делительное кольцо, но не поле.Кольца
Ideal
I◁RАддитивная подгруппа, которая поглощает умножение на произвольные элементы кольца с требуемой стороны или сторон.
Используйте идеалы в качестве ядер гомоморфизмов колец и для построения фактор-колец.
nℤ является идеалом кольца ℤ.Кольца
Principal ideal
(a)Идеал, порожденный одним элементом.
Используйте это для выражения делимости и сравнения областей главных идеалов с более общими кольцами.
В ℤ, идеал, порожденный числом 6, равен (6)=6ℤ.Кольца
Quotient ring
R/IКольцо классов смежности, образованное отождествлением каждого элемента идеала с нулем.
Используйте это для наложения алгебраических соотношений и моделирования модулярной арифметики.
ℤ/nℤ – это факторкольцо ℤ/(n).Кольца
Polynomial ring
R[x]Кольцо многочленов с коэффициентами из кольца R.
Используйте это для уравнений, факторизации, идеалов, расширений полей и алгебраической геометрии.
Если F – поле, то кольцо многочленов F[x] является евклидовым доменом.Кольца
Matrix ring
Mₙ(R)Кольцо квадратных матриц над кольцом, с использованием матричного сложения и умножения.
Используйте это для линейных преобразований и в качестве стандартного примера некоммутативного кольца.
M₂(ℝ) является кольцом, но умножение матриц не коммутативно.Кольца
Ring homomorphism
φ(a+b), φ(ab)Отображение, сохраняющее сложение и умножение в кольце, причем сохранение единицы зависит от соглашения.
Используйте это для сравнения колец и получения идеалов в качестве ядер.
Укажите, требуется ли, чтобы гомоморфизмы колец сохраняли мультипликативную единицу.
Отображение f(x)↦f(0) является гомоморфизмом кольца из R[x] в R.Кольца
Ring isomorphism
R≅SБиективный гомоморфизм колец, показывающий, что два кольца имеют одну и ту же структуру кольца.
Используйте это для замены кольца на более простое, но структурно эквивалентное представление.
Китайская теорема остатков может дать ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ.Поля
Field
(F,+,×)Коммутативное кольцо с 1, отличным от 0, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный.
Используйте поля в качестве скалярных систем для точного деления, векторных пространств, многочленов и линейной алгебры.
ℚ, ℝ и ℂ являются полями, в то время как ℤ не является полем.Поля
Subfield
K⊆FПодмножество поля, которое само является полем при унаследованных операциях.
Используйте это для сравнения скалярных систем и определения расширений полей.
ℚ является подполем ℝ, а ℝ является подполем ℂ.Поля
Characteristic of a field
char(F)Наименьшее положительное число копий числа 1, сумма которых равна нулю, или 0, если такое число не существует.
Используйте это для различения полей с нулевой характеристикой от арифметики с конечной характеристикой.
Рациональное поле имеет характеристику char(ℚ)=0, в то время как конечное простое поле имеет характеристику char(𝔽ₚ)=p.Поля
Prime field
Наименьшее подполе, содержащееся в поле, изоморфное ℚ или 𝔽ₚ.
Используйте это как арифметическую основу, порожденную мультипликативной единицей.
Каждое поле с характеристикой p содержит копию 𝔽ₚ.Поля
Finite field
𝔽_qПоле, содержащее конечное число элементов.
Используйте это в теории кодирования, криптографии, контрольных суммах и конечной геометрии.
Конечное поле 𝔽₅={0,1,2,3,4} использует арифметику по модулю 5 как для сложения, так и для умножения.Поля
Prime-power order of a finite field
q=pⁿСуществует конечное поле с q элементами тогда и только тогда, когда q является степенью простого числа.
Используйте это для определения допустимых размеров конечных полей перед их построением.
Существует поле с 8 элементами, но поля с 6 элементами не существует.Поля
Galois field
GF(pⁿ)Другое название для конечного поля с pⁿ элементами, единственного до изоморфизма.
Используйте это для арифметики расширенных полей в кодах исправления ошибок и криптографических системах.
GF(2⁸) широко используется для арифметических операций с конечными полями, ориентированных на байты.Поля
Field extension
L/KПоле L, содержащее поле K в качестве подполя.
Используйте это для присоединения корней, расширения скалярных систем и построения конечных полей.
ℂ/ℝ – это расширение поля, полученное присоединением элемента i.Поля
Degree of a field extension
[L:K]Размерность векторного пространства L, рассматриваемого как векторное пространство над K.
Используйте это для измерения размера расширения и применения закона башни.
Степень расширения равна [ℂ:ℝ]=2, с базисом {1,i} над ℝ.Поля
Algebraic element
Элемент расширенного поля, который является корнем ненулевого многочлена над базовым полем.
Используйте это для построения расширений конечной степени и классификации чисел над полем.
√2 является алгебраическим числом относительно ℚ, потому что оно удовлетворяет уравнению x²-2=0.Поля
Transcendental element
Элемент расширенного поля, не удовлетворяющий никакому ненулевому многочлену над базовым полем.
Используйте это для различения трансцендентных расширений от алгебраических.
Числа π и e являются трансцендентными относительно ℚ.Поля
Minimal polynomial
m_α(x)Единственный монический неприводимый многочлен наименьшей степени над базовым полем, имеющий алгебраический элемент в качестве корня.
Используйте это для определения степени расширения и арифметических отношений алгебраического элемента.
Минимальный многочлен числа √2 над ℚ равен x²-2.Поля
Splitting field
Наименьшее расширение поля, над которым многочлен полностью раскладывается на линейные множители.
Используйте это для включения всех корней многочленов и изучения их симметрий.
Разделительное поле многочлена x²+1 над ℝ равно ℂ.Поля
Algebraic closure
Алгебраическое расширение, которое является алгебраически замкнутым, поэтому каждый многочлен имеет корень.
Используйте это как область, где многочленные уравнения полностью раскладываются.
ℂ является алгебраически замкнутым полем, и является алгебраической оболочкой ℝ только после того, как будет отмечено, что ℂ/ℝ является алгебраическим.Связи и примеры
Module
M over RАбелева группа со скалярным умножением на элементы кольца.
Используйте модули для обобщения векторных пространств, когда скаляры берутся из кольца, а не из поля.
Любая абелева группа является, по определению, модулем над кольцом целых чисел ℤ.Связи и примеры
Vector space over a field
V over FАбелева группа со скалярным умножением на поле, удовлетворяющая аксиомам векторного пространства.
Используйте это для связи структуры поля с линейной алгеброй, базисами, размерностью и линейными преобразованиями.
ℂ – это двухмерное векторное пространство над ℝ.Связи и примеры
Algebra over a field
A over FВекторное пространство над полем, оснащенное совместимой билинейной операцией умножения.
Используйте это для объединения линейной алгебры с умножением в кольце.
Mₙ(F) является алгеброй над F.Связи и примеры
When ℤ/nℤ is a field
Фактор-кольцо ℤ/nℤ является полем тогда и только тогда, когда n является простым числом.
Используйте это для различения арифметики с простым модулем от арифметики со сложным модулем с делителями нуля.
ℤ/5ℤ является полем, но ℤ/6ℤ не является полем, потому что [2][3]=[0].Связи и примеры
Unit group of a ring
R×Группа, состоящая из всех обратимых при умножении элементов кольца.
Используйте это для связи умножения в кольце с теорией групп и модулярной арифметикой.
(ℤ/nℤ)× содержит ровно классы вычетов, взаимно простые с n.Связи и примеры
Scalar field
FПоле, из которого берутся коэффициенты векторного пространства и элементы матрицы.
Укажите это, потому что ранг, собственные значения, факторизация и разрешимость могут меняться в зависимости от скалярного поля.
Матрица [[0,-1],[1,0]] не имеет вещественных собственных значений, но имеет собственные значения i и -i над ℂ.