수학 참고

집합론 용어와 기초

집합, 집합 연산, 관계, 함수, 무한 기수, 공리적 기초, 실무 활용을 기호와 계산 예시로 설명합니다.

벤 다이어그램으로 보는 합집합과 교집합

합집합은 두 집합 중 하나에 속하는 영역을 포함하고 교집합은 공통 영역만 남깁니다.

단사와 전사 대응

대응 화살표를 보면 서로 다른 입력이 유지되는지와 공역의 모든 원소에 도달하는지 확인할 수 있습니다.

99 개 용어

집합·기초

집합

Set

기호A

뜻

서로 구별되는 대상들을 하나의 수학적 대상으로 다루는 명확한 모음입니다.

언제 쓰나

모음, 정의역, 해집합, 사건, 수학적 구조의 바탕 대상을 지정할 때 사용합니다.

계산 예시

집합 A={2, 4, 6}은 세 개의 짝수를 포함합니다.

집합·기초

원소

Set element

기호x

뜻

집합에 포함된 개별 대상입니다.

언제 쓰나

모음에 속한 개별 대상에 관한 명제를 표현할 때 사용합니다.

계산 예시

4는 A={2, 4, 6}의 원소입니다.

집합·기초

원소 관계

Membership

기호x∈A

뜻

어떤 대상이 집합의 원소임을 나타내는 관계입니다.

언제 쓰나

원소와 부분집합을 구분해 표현할 때 사용합니다.

계산 예시

4∈{2,4,6}.

집합·기초

원소가 아님

Non-membership

기호x∉A

뜻

어떤 대상이 집합의 원소가 아님을 나타내는 관계입니다.

언제 쓰나

정의역, 사건, 해집합에서 특정 값을 제외할 때 사용합니다.

계산 예시

5∉{2,4,6}.

집합·기초

원소나열법

Roster notation

기호A={a,b,c}

뜻

중괄호 안에 원소를 직접 나열해 집합을 정의하는 표기법입니다.

언제 쓰나

원소를 명확하게 나열할 수 있는 유한집합에 사용합니다.

계산 예시

영어 모음의 집합은 V={a,e,i,o,u}로 나타낼 수 있습니다.

집합·기초

조건제시법

Set-builder notation

기호{x∈U:P(x)}

뜻

원소가 만족해야 하는 조건으로 집합을 정의하는 표기법입니다.

언제 쓰나

모든 원소를 직접 나열하기 어렵거나 불가능할 때 사용합니다.

계산 예시

짝수 정수의 집합은 {n∈ℤ: 어떤 k∈ℤ에 대해 n=2k}입니다.

집합·기초

공집합

Empty set

기호∅

뜻

원소를 하나도 갖지 않는 유일한 집합입니다.

언제 쓰나

불가능한 사건, 해가 없는 해집합, 문맥상 빈 교집합을 나타낼 때 사용합니다.

주의

공집합은 모든 집합의 부분집합이지만 모든 집합의 원소인 것은 아닙니다.

계산 예시

x²+1=0의 실수 해 집합은 ∅입니다.

집합·기초

한원소집합

Singleton set

기호{x}

뜻

원소를 정확히 하나만 갖는 집합입니다.

언제 쓰나

가능한 값이 하나뿐이거나 해가 유일할 때 사용합니다.

계산 예시

방정식 x-3=0의 해는 {3}입니다.

집합·기초

전체집합

Universal set

기호U

뜻

현재 논의하는 모든 대상을 포함하는 기준 집합입니다.

언제 쓰나

여집합을 사용하거나 고정된 범위에서 양화하기 전에 지정합니다.

주의

전체집합은 문맥에 따라 달라지며 모든 것을 담는 절대적인 집합이 아닙니다.

계산 예시

U=ℤ인 경우, 짝수의 여집합은 홀수의 집합입니다.

집합·기초

집합의 상등

Set equality

기호A=B

뜻

두 집합이 정확히 같은 원소들을 가질 때 서로 같다고 합니다.

언제 쓰나

나열 순서나 반복 표기와 무관하게 원소 구성으로 집합을 비교할 때 사용합니다.

계산 예시

{1, 2, 2, 3}과 {3, 2, 1} 집합은 같습니다.

집합·기초

부분집합

Subset

기호A⊆B

뜻

A의 모든 원소가 B에도 속할 때 A를 B의 부분집합이라고 합니다.

언제 쓰나

포함관계를 표현하고 양쪽 포함으로 집합의 상등을 증명할 때 사용합니다.

계산 예시

{1,3}⊆{1,2,3}.

집합·기초

진부분집합

Proper subset

기호A⊊B

뜻

포함되는 집합과 같지 않은 부분집합입니다.

언제 쓰나

두 집합이 같지 않은 엄격한 포함관계를 나타낼 때 사용합니다.

주의

일부 교재는 ⊂를 진부분집합에, 다른 교재는 일반 부분집합에 사용하므로 표기 규칙을 확인해야 합니다.

계산 예시

{1,3}⊊{1,2,3}.

집합·기초

상위집합

Superset

기호B⊇A

뜻

다른 집합의 모든 원소를 포함하는 집합입니다.

언제 쓰나

부분집합 관계를 반대 방향에서 표현할 때 사용합니다.

계산 예시

{1,2,3}⊇{1,3}.

집합·기초

기수 또는 원소 개수

Cardinality

기호|A|

뜻

집합에 포함된 원소의 수를 나타내는 척도입니다.

언제 쓰나

유한집합의 크기를 세거나 전단사로 무한집합의 크기를 비교할 때 사용합니다.

계산 예시

A={a, b, c}인 경우, |A|=3입니다.

집합·기초

유한집합

Finite set

뜻

어떤 음이 아닌 정수 n에 대해 {1,...,n}과 전단사 대응되는 집합입니다.

언제 쓰나

모음의 크기가 특정한 자연수로 정해질 때 사용합니다.

계산 예시

요일은 7개의 원소를 가진 유한 집합을 형성합니다.

집합·기초

무한집합

Infinite set

뜻

유한집합이 아닌 집합입니다.

언제 쓰나

정수, 수열, 직선 위의 점처럼 끝없이 이어지는 모음에 사용합니다.

계산 예시

정수 집합 ℤ은 무한 집합입니다.

집합·기초

멱집합

Power set

기호𝒫(A)

뜻

A의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합입니다.

언제 쓰나

가능한 모든 선택, 사건, 이진 특성 조합을 나타낼 때 사용합니다.

계산 예시

A={a, b}인 경우, 𝒫(A)={∅, {a}, {b}, {a, b}}입니다.

집합·기초

집합족

Indexed family of sets

기호{Aᵢ}ᵢ∈I

뜻

지표집합의 원소로 각 집합을 구분해 놓은 집합들의 모음입니다.

언제 쓰나

집합의 수열이나 임의의 지표에 대한 합집합과 교집합에 사용합니다.

계산 예시

{Aₙ}ₙ∈ℕ 집합은 Aₙ={1, ..., n}으로 정의될 수 있습니다.

집합 연산

합집합

Union

기호A∪B

뜻

A 또는 B 중 적어도 하나에 속하는 원소들의 집합입니다.

언제 쓰나

대안, 사건, 범주, 결과 집합을 합칠 때 사용합니다.

계산 예시

A={1,2}이고 B={2,3}인 경우, A∪B={1,2,3}입니다.

집합 연산

교집합

Intersection

기호A∩B

뜻

A와 B에 모두 속하는 원소들의 집합입니다.

언제 쓰나

여러 조건을 동시에 적용하거나 공통 원소를 찾을 때 사용합니다.

계산 예시

A={1,2}이고 B={2,3}인 경우, A∩B={2}입니다.

집합 연산

차집합

Set difference

기호A∖B

뜻

A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합입니다.

언제 쓰나

제외 대상을 제거하거나 한 집합에만 남는 원소를 비교할 때 사용합니다.

계산 예시

A={1,2,3}이고 B={2,4}인 경우, A∖B={1,3}입니다.

집합 연산

여집합

Complement

기호Aᶜ

뜻

전체집합에는 속하지만 A에는 속하지 않는 원소들의 집합입니다.

언제 쓰나

조건의 부정이나 확률에서 여사건을 나타낼 때 사용합니다.

계산 예시

U={1,2,3,4}이고 A={1,3}인 경우, Aᶜ={2,4}입니다.

집합 연산

대칭차집합

Symmetric difference

기호A△B

뜻

A와 B 중 정확히 한 집합에만 속하는 원소들의 집합입니다.

언제 쓰나

두 집합의 불일치를 비교하거나 포함 여부를 전환할 때 사용합니다.

계산 예시

A={1,2}이고 B={2,3}인 경우, A△B={1,3}입니다.

집합 연산

서로소인 집합

Disjoint sets

기호A∩B=∅

뜻

공통 원소가 하나도 없는 집합들입니다.

언제 쓰나

상호배타적 사건이나 겹치지 않는 분할에 사용합니다.

계산 예시

짝수 정수와 홀수 정수는 서로 겹치지 않습니다.

집합 연산

집합의 분할

Partition of a set

뜻

공집합이 아니고 서로 겹치지 않으며 합집합이 원래 집합이 되는 부분집합들의 모음입니다.

언제 쓰나

모든 원소를 정확히 하나의 분류에 배정할 때 사용합니다.

계산 예시

법 3에 대한 합동류들은 ℤ을 분할합니다.

집합 연산

데카르트 곱

Cartesian product

기호A×B

뜻

첫 성분은 A에, 둘째 성분은 B에 속하는 모든 순서쌍의 집합입니다.

언제 쓰나

좌표, 관계, 표, 곱공간을 구성할 때 사용합니다.

계산 예시

A={1,2}이고 B={x,y}인 경우, A×B={(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)}입니다.

집합 연산

순서쌍

Ordered pair

기호(a,b)

뜻

각 성분의 위치와 순서가 중요한 두 원소의 묶음입니다.

언제 쓰나

좌표와 데카르트 곱 또는 관계의 기본 원소로 사용합니다.

계산 예시

순서쌍은 일반적으로 구성 요소가 교환될 때 값이 변하므로, (1,2) ≠ (2,1)입니다.

집합 연산

집합의 드모르간 법칙

De Morgan's laws for sets

기호(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ

뜻

여집합을 취할 때 합집합과 교집합을 서로 바꾸는 법칙입니다.

언제 쓰나

부정된 집합 조건과 확률 사건을 단순화할 때 사용합니다.

계산 예시

두 번째 법칙은 (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ입니다.

집합 연산

집합의 분배법칙

Distributive laws for sets

기호A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

뜻

합집합과 교집합이 서로에 대해 어떻게 분배되는지 나타내는 법칙입니다.

언제 쓰나

집합식을 변형하고 항등식을 증명할 때 사용합니다.

계산 예시

또한 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)입니다.

집합 연산

흡수 법칙

Absorption laws

기호A∪(A∩B)=A

뜻

집합을 그 집합이 포함된 교집합 또는 합집합과 연산하면 원래 집합으로 돌아오는 항등식입니다.

언제 쓰나

집합식에서 중복된 부분을 제거할 때 사용합니다.

계산 예시

쌍대 법칙은 A∩(A∪B)=A입니다.

집합 연산

일반화된 합집합과 교집합

Generalized union and intersection

기호⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢ

뜻

지표가 붙은 집합족 전체에 대해 수행하는 합집합 또는 교집합입니다.

언제 쓰나

무한히 많은 집합이나 개수가 변하는 조건들을 함께 다룰 때 사용합니다.

계산 예시

Aₙ={n, n+1, ...}인 경우, 교집합 ⋂ₙ∈ℕAₙ는 공집합입니다.

관계·순서

이항관계

Binary relation

기호R⊆A×B

뜻

A의 어떤 원소가 B의 어떤 원소와 관련되는지를 나타내는 순서쌍들의 집합입니다.

언제 쓰나

비교, 연결, 데이터베이스 관계, 함수의 그래프를 모델링할 때 사용합니다.

계산 예시

xRy 관계는 x≤y로 정의되며, ℤ×ℤ의 부분집합입니다.

관계·순서

관계의 정의역과 치역

Domain and range of a relation

기호dom(R), ran(R)

뜻

관계에 나타나는 첫째 성분들의 집합이 정의역이고 둘째 성분들의 집합이 치역입니다.

언제 쓰나

관계에 실제로 참여하는 입력과 출력을 확인할 때 사용합니다.

계산 예시

R={(1,a), (2,a), (2,b)}인 경우, dom(R)={1, 2}이고 ran(R)={a, b}입니다.

관계·순서

역관계

Inverse relation

기호R⁻¹

뜻

R의 모든 순서쌍에서 첫째 성분과 둘째 성분을 바꾸어 얻는 관계입니다.

언제 쓰나

방향이 있는 관계를 반대 방향으로 바꿀 때 사용합니다.

계산 예시

R={(1,a), (2,b)}인 경우, R⁻¹={(a,1), (b,2)}입니다.

관계·순서

반사관계

Reflexive relation

기호xRx

뜻

A의 모든 원소가 자기 자신과 관계되는 관계입니다.

언제 쓰나

등호나 넓은 의미의 순서처럼 자기 자신과의 비교가 항상 성립해야 할 때 사용합니다.

계산 예시

관계 ≤는 모든 실수 x에 대해 x≤x이므로 반사적입니다.

관계·순서

비반사관계

Irreflexive relation

뜻

A의 어떤 원소도 자기 자신과 관계되지 않는 관계입니다.

언제 쓰나

미만과 같은 엄격한 비교에 사용합니다.

계산 예시

관계 <는 반사적이지 않습니다. 왜냐하면 x<x는 항상 거짓이기 때문입니다.

관계·순서

대칭관계

Symmetric relation

기호xRy⇒yRx

뜻

관계가 성립하는 모든 쌍에서 방향을 바꾸어도 관계가 성립하는 관계입니다.

언제 쓰나

등호나 공통 속성처럼 상호적인 관계에 사용합니다.

계산 예시

홀짝성이 같다는 관계는 ℤ 위에서 대칭관계입니다.

관계·순서

반대칭관계

Antisymmetric relation

기호xRy∧yRx⇒x=y

뜻

서로 다른 두 원소 사이에서 양방향 관계가 동시에 성립할 수 없는 관계입니다.

언제 쓰나

부분순서의 공리로 사용합니다.

주의

반대칭은 대칭인 쌍이 전혀 없다는 뜻이 아니며 같은 원소는 양방향으로 관계될 수 있습니다.

계산 예시

부분집합 관계 ⊆는 반대칭입니다.

관계·순서

비대칭관계

Asymmetric relation

기호xRy⇒¬(yRx)

뜻

관계가 성립하는 쌍을 반대로 뒤집으면 절대로 관계가 성립하지 않는 관계입니다.

언제 쓰나

엄격한 방향성을 가진 비교에 사용합니다.

계산 예시

엄격한 순서 <는 비대칭입니다.

관계·순서

추이관계

Transitive relation

기호xRy∧yRz⇒xRz

뜻

중간 원소를 거쳐도 처음 원소와 마지막 원소 사이의 관계가 성립하는 관계입니다.

언제 쓰나

순서, 동치관계, 도달 가능성, 함의의 연쇄에 사용합니다.

계산 예시

가분성은 다음을 만족합니다. a가 b를 나누고 b가 c를 나누면, a는 c를 나눕니다.

관계·순서

동치관계

Equivalence relation

기호∼

뜻

반사성, 대칭성, 추이성을 모두 만족하는 관계입니다.

언제 쓰나

선택한 기준에서 같은 것으로 취급할 대상들을 묶을 때 사용합니다.

계산 예시

법 n에 대한 합동은 ℤ 위의 동치관계입니다.

관계·순서

동치류

Equivalence class

기호[x]

뜻

주어진 원소와 동치인 모든 원소들의 집합입니다.

언제 쓰나

동치관계가 만드는 분할의 한 블록으로 사용합니다.

계산 예시

3을 법으로 하는 합동에서, 1의 동치류는 [1]={..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}입니다.

관계·순서

몫집합

Quotient set

기호A/∼

뜻

동치관계에 따라 A에서 만들어지는 모든 동치류들의 집합입니다.

언제 쓰나

동치인 원소들을 하나의 추상적인 부류로 묶어 다룰 때 사용합니다.

계산 예시

몫집합 ℤ/3ℤ은 세 동치류 [0], [1], [2]로 이루어집니다.

관계·순서

부분순서

Partial order

기호≼

뜻

반사성, 반대칭성, 추이성을 만족하는 관계입니다.

언제 쓰나

일부 원소는 비교할 수 있지만 다른 원소는 비교할 수 없을 때 사용합니다.

계산 예시

부분집합 포함관계는 멱집합에 부분순서를 정의합니다.

관계·순서

부분순서집합

Partially ordered set

기호(P,≼)

뜻

부분순서가 함께 주어진 집합입니다.

언제 쓰나

순서론과 의존성 분석의 기본 대상으로 사용합니다.

계산 예시

12의 약수는 가분성 관계에 따라 부분 순서 집합을 형성합니다.

관계·순서

전순서

Total order

기호≤

뜻

모든 두 원소를 비교할 수 있는 부분순서입니다.

언제 쓰나

정렬과 일렬 순위에 사용합니다.

계산 예시

통상적인 순서 ≤는 ℝ 위의 전순서입니다.

관계·순서

하세 도표

Hasse diagram

뜻

유한 부분순서집합에서 덮음 관계만 표시하고 추이적으로 따라오는 변은 생략한 도표입니다.

언제 쓰나

계층, 나눗셈 관계, 부분집합 포함, 의존성을 시각화할 때 사용합니다.

계산 예시

6의 약수들에 대한 하세 다이어그램에서, 2와 3 아래에 1이 있고, 6은 2와 3 위에 있습니다.

관계·순서

정렬순서

Well-order

뜻

공집합이 아닌 모든 부분집합이 최소원소를 갖는 전순서입니다.

언제 쓰나

귀납법, 재귀적 정의, 순서수 이론에 사용합니다.

계산 예시

ℕ의 통상적인 순서는 정렬순서입니다.

관계·순서

극소원소와 극대원소

Minimal and maximal elements

뜻

부분순서집합에서 자신보다 엄격히 작거나 큰 비교 가능한 원소가 없는 원소입니다.

언제 쓰나

부분순서에서 국소적인 경계 원소가 여러 개 있을 수 있을 때 사용합니다.

계산 예시

유한 부분순서집합은 여러 개의 극대원소를 가질 수 있습니다.

관계·순서

최소원소와 최대원소

Least and greatest elements

기호⊥, ⊤

뜻

부분순서집합의 모든 원소보다 작거나 모든 원소보다 큰 원소입니다.

언제 쓰나

전체적인 경계와 격자의 끝점을 나타낼 때 사용합니다.

주의

극소원소가 항상 최소원소인 것은 아니며 극대원소가 항상 최대원소인 것도 아닙니다.

계산 예시

최소 원소가 존재하면, 그것은 유일합니다.

관계·순서

상계와 하계

Upper and lower bounds

뜻

순서집합에서 선택한 부분집합의 모든 원소보다 위나 아래에 놓이는 원소입니다.

언제 쓰나

상한, 하한, 유계집합, 최적화의 경계를 정의할 때 사용합니다.

계산 예시

10은 {1,4,7}의 상계입니다.

관계·순서

상한과 하한

Supremum and infimum

기호sup(S), inf(S)

뜻

부분집합에 대해 존재한다면 가장 작은 상계와 가장 큰 하계입니다.

언제 쓰나

해석학, 최적화, 완비격자 이론에 사용합니다.

계산 예시

S=(0,1)인 경우, sup(S)=1이고 inf(S)=0이지만, 둘 다 S에 속하지 않습니다.

함수·대응

함수

Function

기호f:A→B

뜻

A의 각 원소에 B의 원소를 정확히 하나씩 대응시키는 관계입니다.

언제 쓰나

결정적인 대응, 변환, 계산을 모델링할 때 사용합니다.

계산 예시

f(n)=n² 규칙은 ℤ에서 ℕ으로의 함수를 정의합니다.

함수·대응

함수의 정의역

Domain of a function

기호dom(f)

뜻

함수에 입력할 수 있는 값들의 집합입니다.

언제 쓰나

같은 식도 정의역에 따라 다른 함수가 될 수 있으므로 명시합니다.

계산 예시

f:ℝ→ℝ이고 f(x)=x²인 경우, 정의역(domain)은 ℝ입니다.

함수·대응

공역

Codomain

기호B

뜻

함수 f:A→B에서 출력이 속한다고 지정한 목표 집합 B입니다.

언제 쓰나

전사성을 정의하고 의도한 출력 범위와 실제 출력값을 구분할 때 사용합니다.

계산 예시

f:ℝ→ℝ이고 f(x)=x²인 경우, 공역(codomain)은 ℝ입니다.

함수·대응

함수의 치역

Range of a function

기호f(A)

뜻

함수가 실제로 출력하는 값들의 집합입니다.

언제 쓰나

전사 여부를 확인하고 실제로 가능한 출력값을 구할 때 사용합니다.

주의

치역은 공역보다 작을 수 있습니다.

계산 예시

f:ℝ→ℝ이고 f(x)=x²인 경우, 치역(range)은 [0, ∞)입니다.

함수·대응

부분집합의 상

Image of a subset

기호f(S)

뜻

정의역의 부분집합 S에 속한 원소들을 함수에 넣어 얻는 값들의 집합입니다.

언제 쓰나

함수가 선택한 영역이나 모음을 어떻게 변환하는지 추적할 때 사용합니다.

계산 예시

f(x)=x²이고 S={−2, 1, 3}인 경우, f(S)={1, 4, 9}입니다.

함수·대응

부분집합의 역상

Preimage of a subset

기호f⁻¹(T)

뜻

함숫값이 목표 부분집합 T에 속하는 정의역 원소들의 집합입니다.

언제 쓰나

조건과 사건을 함수를 통해 정의역 쪽으로 되가져올 때 사용합니다.

계산 예시

f(x)=x²인 경우, {4}의 역상(preimage)은 {−2, 2}입니다.

함수·대응

단사함수

Injective function

기호f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂

뜻

서로 다른 두 입력을 같은 출력으로 보내지 않는 함수입니다.

언제 쓰나

함수를 적용한 뒤에도 서로 다른 입력을 구분할 수 있어야 할 때 사용합니다.

계산 예시

f(n)=2n으로 정의된 함수 f:ℤ→ℤ는 단사 함수입니다.

함수·대응

전사함수

Surjective function

기호f(A)=B

뜻

치역이 공역 전체와 같은 함수입니다.

언제 쓰나

공역의 모든 값에 적어도 하나의 입력이 대응되어야 할 때 사용합니다.

계산 예시

f(x)=x²으로 정의된 함수 f:ℝ→[0,∞)는 전사 함수입니다.

함수·대응

전단사함수

Bijective function

기호A↔B

뜻

단사이면서 동시에 전사인 함수입니다.

언제 쓰나

두 집합을 원소별로 짝짓고 기수를 비교하며 역함수를 정의할 때 사용합니다.

계산 예시

f(n)=n+1로 정의된 함수 f:ℤ→ℤ는 전단사 함수입니다.

함수·대응

역함수

Inverse function

기호f⁻¹:B→A

뜻

전단사의 각 출력을 유일한 원래 입력으로 되돌리는 함수입니다.

언제 쓰나

되돌릴 수 있는 대응을 역으로 적용할 때 사용합니다.

주의

부분집합의 역상 표기 f⁻¹(T)는 역함수가 존재하지 않아도 정의됩니다.

계산 예시

f(x)=2x+1 (ℝ에서)인 경우, f⁻¹(y)=(y−1)/2입니다.

함수·대응

함수의 합성

Function composition

기호g∘f

뜻

먼저 f를 적용한 뒤 g를 적용해 만든 함수입니다.

언제 쓰나

단순한 단계들을 연결해 복합 변환을 만들 때 사용합니다.

계산 예시

f(x)=x+1이고 g(x)=2x인 경우, (g∘f)(x)=2x+2입니다.

함수·대응

항등함수

Identity function

기호id_A

뜻

집합의 모든 원소를 자기 자신으로 보내는 함수입니다.

언제 쓰나

함수 합성의 항등원으로 사용합니다.

계산 예시

모든 함수 f:A→B에 대해, f∘id_A=f이고 id_B∘f=f입니다.

함수·대응

함수의 제한

Restriction of a function

기호f|_S

뜻

함수 f의 정의역을 부분집합 S로 줄여 얻는 함수입니다.

언제 쓰나

국소적인 성질을 분석하거나 더 작은 정의역에서 단사가 되게 할 때 사용합니다.

계산 예시

[0, ∞)에 제한된 제곱 함수는 단사 함수입니다.

함수·대응

지시함수

Indicator function

기호1_A(x)

뜻

A에 속하는 원소에는 1을, A 밖의 원소에는 0을 반환하는 함수입니다.

언제 쓰나

확률, 적분, 데이터 처리에서 원소 관계를 대수적으로 표현할 때 사용합니다.

계산 예시

A={2,4}인 경우, 1_A(2)=1이고 1_A(3)=0입니다.

무한집합·기수

대등한 집합

Equinumerous sets

기호|A|=|B|

뜻

서로 전단사로 대응되어 같은 기수를 갖는 집합들입니다.

언제 쓰나

특히 무한집합에서 직접 세지 않고 전단사로 크기를 비교할 때 사용합니다.

계산 예시

자연수 ℕ과 짝수 자연수의 집합은 f(n)=2n을 통해 대등합니다.

무한집합·기수

가산집합

Countable set

뜻

유한집합이거나 자연수 집합으로 단사 대응할 수 있는 집합입니다.

언제 쓰나

원소들을 빠짐없이 수열 형태로 나열할 수 있는 모음을 다룰 때 사용합니다.

계산 예시

ℕ의 모든 부분집합은 가산집합입니다.

무한집합·기수

가산무한집합

Countably infinite set

기호|A|=ℵ₀

뜻

자연수 집합과 전단사 대응되는 무한집합입니다.

언제 쓰나

수열로 나열 가능한 무한과 더 큰 무한을 구분할 때 사용합니다.

계산 예시

정수 집합 ℤ과 유리수 집합 ℚ은 가산 무한 집합입니다.

무한집합·기수

비가산집합

Uncountable set

뜻

자연수의 어떤 부분집합과도 전단사 대응될 수 없는 집합입니다.

언제 쓰나

실수 집합이나 함수 공간처럼 더 큰 무한을 다룰 때 사용합니다.

계산 예시

구간 [0,1]은 비가산 집합입니다.

무한집합·기수

알레프 영

Aleph-null

기호ℵ₀

뜻

자연수 집합과 모든 가산무한집합의 기수입니다.

언제 쓰나

가장 작은 무한 기수를 나타낼 때 사용합니다.

계산 예시

|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.

무한집합·기수

연속체의 기수

Cardinality of the continuum

기호𝔠

뜻

실수 집합의 기수이며 자연수 집합의 멱집합 기수와 같습니다.

언제 쓰나

구간, 실수값 수열, 연속적인 기하 집합의 크기를 나타낼 때 사용합니다.

계산 예시

|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.

무한집합·기수

칸토어의 대각선 논법

Cantor's diagonal argument

뜻

목록의 n번째 대상과 n번째 성분에서 다른 새 대상을 구성하는 방법입니다.

언제 쓰나

특히 실수나 무한 수열을 전부 나열했다는 가정이 불완전함을 증명할 때 사용합니다.

계산 예시

대각선 논법은 모든 이진 수열을 ℕ으로 나열할 수 없음을 증명합니다.

무한집합·기수

칸토어의 정리

Cantor's theorem

기호|A|<|𝒫(A)|

뜻

어떤 집합의 멱집합도 원래 집합보다 기수가 엄격히 크다는 정리입니다.

언제 쓰나

가장 큰 기수가 없음을 보이고 더 큰 무한을 구성할 때 사용합니다.

계산 예시

A에서 𝒫(A)로의 어떤 함수도 전사 함수가 될 수 없습니다.

무한집합·기수

기수의 연산

Cardinal arithmetic

기호κ+λ, κλ, κ^λ

뜻

서로소 합집합, 데카르트 곱, 함수 집합을 통해 기수에 정의하는 연산입니다.

언제 쓰나

여러 무한집합을 결합했을 때의 크기를 비교하는 데 사용합니다.

계산 예시

무한 가산 집합의 경우, ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀이고 ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀입니다.

무한집합·기수

데데킨트 무한집합

Dedekind-infinite set

뜻

자신의 진부분집합 중 하나와 대등한 집합입니다.

언제 쓰나

표준 집합론에서 무한성을 구조적으로 특징짓는 데 사용합니다.

계산 예시

대응 n↦n+1은 ℕ과 그 진부분집합 ℕ∖{0} 사이의 전단사입니다.

공리·기초론

소박한 집합론

Naive set theory

뜻

집합을 이해 가능한 조건으로 정한 임의의 모음으로 다루는 비형식적인 접근입니다.

언제 쓰나

기초론적 역설이 문제가 되지 않는 일반적인 수학에서 사용합니다.

주의

아무 조건이나 사용해 제한 없이 집합을 만들면 역설이 생기므로 형식적 기초론에서는 공리계를 사용합니다.

계산 예시

기본적인 합집합과 교집합 계산에는 보통 소박한 집합론만으로 충분합니다.

공리·기초론

러셀의 역설

Russell's paradox

기호R={x:x∉x}

뜻

자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합의 집합이 자기 자신의 원소인지 물을 때 생기는 모순입니다.

언제 쓰나

무제한적인 집합 구성 원리가 허용될 수 없는 이유를 이해할 때 사용합니다.

계산 예시

R∈R이라고 가정하면 R∉R이 되고, R∉R이라고 가정하면 R∈R이 됩니다.

공리·기초론

공리적 집합론

Axiomatic set theory

뜻

정해진 공리를 통해서만 집합과 집합 구성을 허용하는 형식 이론입니다.

언제 쓰나

수학에 일관된 기초를 제공하고 알려진 역설을 피할 때 사용합니다.

계산 예시

ZF와 ZFC는 집합론을 위한 표준적인 공리 체계입니다.

공리·기초론

외연성 공리

Axiom of extensionality

뜻

두 집합이 같은 원소를 가질 때, 그리고 그때에만 서로 같다는 공리입니다.

언제 쓰나

원소 구성이 집합의 동일성을 완전히 결정하게 할 때 사용합니다.

계산 예시

A=B임을 증명하기 위해서는, 모든 x에 대해 x∈A이면 x∈B이고, x∈B이면 x∈A임을 증명하면 충분합니다.

공리·기초론

짝 공리

Axiom of pairing

뜻

임의의 대상 a와 b에 대해 집합 {a,b}가 존재한다는 공리입니다.

언제 쓰나

두 원소의 집합과 한원소집합을 구성할 때 사용합니다.

계산 예시

a=b인 경우, {a}라는 단일 원소 집합이 생성됩니다.

공리·기초론

합집합 공리

Axiom of union

기호⋃A

뜻

집합들을 원소로 갖는 집합 A에 대해 그 원소 집합들의 모든 원소를 모은 집합이 존재한다는 공리입니다.

언제 쓰나

중첩된 집합을 한 단계 펼치고 합집합을 구성할 때 사용합니다.

계산 예시

집합 A={{1,2},{2,3}}에 대해 합집합 공리를 적용하면, ⋃A={1,2,3}이 됩니다.

공리·기초론

멱집합 공리

Axiom of power set

뜻

모든 집합 A에 대해 A의 모든 부분집합을 정확히 모은 집합이 존재한다는 공리입니다.

언제 쓰나

함수 공간, 위상, 더 큰 기수를 구성할 때 사용합니다.

계산 예시

이 공리는 𝒫(A)의 존재를 보장합니다.

공리·기초론

무한 공리

Axiom of infinity

뜻

자연수를 구성할 수 있는 귀납적 집합의 존재를 보장하는 공리입니다.

언제 쓰나

집합론 안에 적어도 하나의 무한집합이 존재하도록 할 때 사용합니다.

계산 예시

자연수는 귀납적 집합 내에서 구성될 수 있습니다.

공리·기초론

분리 공리꼴

Axiom schema of separation

뜻

이미 존재하는 집합에서 특정 성질을 만족하는 원소들만 골라 새 집합을 만드는 공리꼴입니다.

언제 쓰나

조건을 만족하는 모든 것의 무제한 집합을 허용하지 않으면서 부분집합을 정의할 때 사용합니다.

계산 예시

A와 속성 P가 주어지면, 분리(separation)는 {x∈A: P(x)} 집합을 형성합니다.

공리·기초론

치환 공리꼴

Axiom schema of replacement

뜻

정의 가능한 함수적 규칙으로 집합의 원소들을 치환해 얻은 상도 집합이라는 공리꼴입니다.

언제 쓰나

초한적 구성과 큰 순서수로 지표화된 상을 만들 때 사용합니다.

계산 예시

정의 가능한 규칙 F는 집합 A를 {F(x): x∈A} 집합으로 변환합니다.

공리·기초론

정칙성 공리

Axiom of foundation

뜻

공집합이 아닌 모든 집합이 그 집합과 서로소인 원소를 포함하게 하여 무한히 내려가는 원소 관계 사슬을 막는 공리입니다.

언제 쓰나

x∈x와 같은 자기 원소 관계나 순환적인 원소 관계를 배제할 때 사용합니다.

계산 예시

정칙성 공리는 a∈b이고 b∈a인 두 집합의 순환을 배제합니다.

공리·기초론

선택공리

Axiom of choice

뜻

공집합이 아닌 집합들의 모든 집합족에 대해 각 집합에서 원소 하나를 고르는 함수가 존재한다는 공리입니다.

언제 쓰나

정렬정리, 초른의 보조정리, 벡터공간 기저의 존재 같은 결과에 사용합니다.

계산 예시

이 공리는 명시적인 선택 규칙이 알려지지 않은 경우에도 선택 함수를 제공합니다.

공리·기초론

ZF 집합론

ZF set theory

기호ZF

뜻

선택공리를 추가하지 않은 체르멜로-프렝켈 집합론입니다.

언제 쓰나

선택공리의 채택 여부를 분리한 표준 형식적 기초로 사용합니다.

계산 예시

ZF에는 외연성, 짝, 합집합, 멱집합, 무한, 분리, 치환, 정칙성 공리가 포함됩니다.

공리·기초론

ZFC 집합론

ZFC set theory

기호ZFC

뜻

ZF 집합론에 선택공리를 더한 공리계입니다.

언제 쓰나

현대 수학에서 가장 널리 쓰이는 기초 체계로 사용합니다.

계산 예시

대부분의 일반적인 수학적 결과는 ZFC로 형식화될 수 있습니다.

공리·기초론

추이적 집합

Transitive set

뜻

모든 원소가 동시에 그 집합의 부분집합이기도 한 집합입니다.

언제 쓰나

순서수 이론, 집합의 위계, 집합론의 모델에 사용합니다.

계산 예시

집합 {∅,{∅}}은 추이적 집합입니다.

공리·기초론

순서수

Ordinal number

기호α,β,ω

뜻

정렬집합의 순서형을 나타내는 표준적인 집합입니다.

언제 쓰나

위치, 초한귀납법, 유한 순서를 넘어선 단계를 나타낼 때 사용합니다.

계산 예시

첫 번째 무한 순서수는 ω이며, 모든 유한 순서수 다음에 옵니다.

공리·기초론

기수

Cardinal number

기호κ,λ

뜻

서로 대등한 집합들이 공유하는 크기를 대표하는 표준 대상입니다.

언제 쓰나

순서나 내부 구조와 무관하게 집합의 크기를 비교할 때 사용합니다.

계산 예시

유한 기수 3은 모든 3원소 집합을 나타냅니다.

응용

표본공간과 사건

Sample space and event

기호Ω, E⊆Ω

뜻

확률에서 표본공간은 가능한 결과들의 집합이고 사건은 그 부분집합입니다.

언제 쓰나

집합 연산으로 사건을 결합하고 여집합으로 실패 사건을 표현할 때 사용합니다.

계산 예시

주사위를 던질 때, Ω={1,2,3,4,5,6}이고, 짝수 사건은 E={2,4,6}입니다.

응용

해집합

Solution set

뜻

방정식, 부등식, 제약조건을 만족하는 모든 값들의 집합입니다.

언제 쓰나

해가 없거나 하나 또는 여러 개이거나 무한히 많은 경우를 한 방식으로 표현할 때 사용합니다.

계산 예시

x²=4의 실수 해 집합은 {−2, 2}입니다.

응용

바탕집합

Carrier set

뜻

대수적 또는 논리적 구조가 정의되는 원소들의 기본 집합입니다.

언제 쓰나

원소 자체와 그 위에 추가된 연산 및 관계를 구분할 때 사용합니다.

계산 예시

군 (G,*)는 바탕집합 G와 연산 *로 이루어집니다.

응용

데이터베이스 집합 연산

Database set operations

뜻

UNION, INTERSECT, EXCEPT처럼 호환되는 질의 결과를 집합 방식으로 결합하는 연산입니다.

언제 쓰나

결과 행을 합치거나 비교하거나 제외할 때 사용합니다.

주의

데이터베이스 표에는 중복 행과 NULL이 있을 수 있으므로 SQL 의미론은 순수한 집합론과 완전히 같지 않습니다.

계산 예시

UNION은 중복된 행을 제거합니다. 단, UNION ALL을 사용하는 경우에는 제외됩니다.

응용

Set 자료구조

Set data structure

뜻

중복되지 않는 값을 저장하며 보통 빠른 원소 포함 검사를 제공하는 프로그래밍 자료구조입니다.

언제 쓰나

중복 제거, 방문 상태 추적, 원소 포함 여부 조회에 사용합니다.

계산 예시

집합은 [3, 1, 3, 2] 목록을 고유한 값 {1, 2, 3}으로 줄일 수 있습니다.

응용

집합으로 해석한 타입

Type interpreted as a set

뜻

타입을 그 타입에서 허용하는 값들의 집합으로 보는 관점입니다.

언제 쓰나

검증, 유니언 타입, 인터섹션 타입, 하위 타입, 모든 경우의 처리를 설명할 때 사용합니다.

계산 예시

부울 타입은 {true, false} 집합으로 모델링될 수 있습니다.