대상·형상
스칼라
Scalar
기호
a뜻
벡터나 행렬의 크기를 조절하는 하나의 수치입니다.
언제 쓰나
가중치, 계수, 학습률, 온도, 크기를 나타낼 때 사용합니다.
계산 예시
3[2, -1] = [6, -3].수학 참고
선형대수학 용어와 계산 가이드
벡터, 행렬, 아핀·공간기하, 격자, 연립방정식, 선형변환, 행렬 분해, 최소제곱법, PCA를 계산 예시로 설명합니다.
점·평면·법선벡터
점에서 평면까지의 최단 변위는 평면의 법선벡터와 평행합니다.
격자 기저와 기본영역
두 기저벡터의 정수 선형결합은 같은 넓이의 기본 평행사변형으로 평면을 채웁니다.
97 개 용어
대상·형상
벡터
Vector
기호
v ∈ ℝⁿ뜻
방향, 위치, 특성, 상태를 나타낼 수 있는 순서가 있는 성분의 목록입니다.
언제 쓰나
좌표, 신호, 특성, 임베딩, 모델 매개변수를 표현할 때 사용합니다.
계산 예시
v = [3, 4] has two components.대상·형상
행렬
Matrix
기호
A ∈ ℝᵐˣⁿ뜻
수를 행과 열로 배열한 직사각형 형태의 표입니다.
언제 쓰나
데이터셋, 연립방정식, 선형변환, 이미지, 가중치를 표현할 때 사용합니다.
계산 예시
A = [[1, 2], [3, 4]].대상·형상
텐서
Tensor
기호
T ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏ뜻
스칼라, 벡터, 행렬을 여러 차원으로 일반화한 배열입니다.
언제 쓰나
배치, 이미지, 영상, 모델 활성값, 다축 과학 데이터를 표현할 때 사용합니다.
계산 예시
32개의 RGB 이미지가 224×224 크기를 가지는 일괄 데이터는 shape가 32×3×224×224입니다.대상·형상
형상
Shape
기호
m × n뜻
배열 각 축의 크기를 순서대로 나타낸 것입니다.
언제 쓰나
덧셈, 곱셈, 브로드캐스팅, 재배열, 모델 입력 전에 형상을 확인합니다.
주의
행렬 곱셈 오류의 대부분은 안쪽 차원이 맞지 않아 발생합니다.
계산 예시
3×4 행렬은 3개의 행과 4개의 열을 가집니다.벡터 연산
벡터 덧셈
Vector addition
기호
u + v뜻
차원이 같은 벡터의 대응 성분을 각각 더하는 연산입니다.
언제 쓰나
변위, 힘, 신호, 업데이트, 특성 기여도를 합칠 때 사용합니다.
계산 예시
[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].벡터 연산
스칼라배
Scalar multiplication
기호
cv뜻
벡터의 모든 성분에 같은 스칼라를 곱하는 연산입니다.
언제 쓰나
크기를 조절하고 방향을 반대로 하거나 가중 업데이트를 적용할 때 사용합니다.
계산 예시
-2[3, 1] = [-6, -2].벡터 연산
내적
Dot product
기호
u · v뜻
벡터의 대응 성분끼리 곱한 값을 더해 스칼라를 만드는 연산입니다.
언제 쓰나
유사도, 정사영, 일, 어텐션 점수, 선형 모델 출력에 사용합니다.
계산 예시
[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.벡터 연산
외적
Cross product
기호
u × v뜻
두 입력 벡터에 수직이고 크기가 두 벡터가 만드는 평행사변형 넓이인 3차원 벡터입니다.
언제 쓰나
표면 법선, 토크, 방향, 3차원 기하 계산에 사용합니다.
주의
표준적인 외적은 드문 7차원 유사 연산을 제외하면 3차원에 한정됩니다.
계산 예시
[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].벡터 연산
벡터 노름
Vector norm
기호
‖v‖뜻
노름 공리를 만족하는 벡터 크기의 음이 아닌 측정값입니다.
언제 쓰나
크기, 거리, 오차, 규제, 수렴을 측정할 때 사용합니다.
계산 예시
For v=[3,4], ‖v‖₂=5.벡터 연산
단위벡터
Unit vector
기호
v/‖v‖뜻
노름이 1인 벡터입니다.
언제 쓰나
크기를 제거하고 방향만 유지하거나 정규직교 기저를 만들 때 사용합니다.
계산 예시
[3,4]/5 = [0.6,0.8].벡터 연산
유클리드 거리
Euclidean distance
기호
‖u-v‖₂뜻
벡터로 표현한 두 점 사이의 직선 거리입니다.
언제 쓰나
척도가 비슷할 때 기하, 최근접 이웃, 군집화, 오차 측정에 사용합니다.
계산 예시
[1,1]에서 [4,5]까지의 거리는 5입니다.벡터 연산
코사인 유사도
Cosine similarity
기호
u·v/(‖u‖‖v‖)뜻
0이 아닌 두 벡터 사이 각도의 코사인으로 방향 유사성을 측정합니다.
언제 쓰나
크기보다 방향이 중요한 텍스트 임베딩이나 고차원 특성을 비교할 때 사용합니다.
주의
영벡터에는 코사인 유사도를 정의할 수 없고 중요한 크기 차이를 숨길 수 있습니다.
계산 예시
[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.벡터 연산
직교 벡터
Orthogonal vectors
기호
u·v=0뜻
내적이 0인 벡터들입니다.
언제 쓰나
독립 방향을 분리하고 정사영을 단순화하며 안정적인 기저를 만들 때 사용합니다.
계산 예시
[1,2] · [2,-1] = 0이므로, 벡터는 직교합니다.벡터 연산
벡터 정사영
Vector projection
기호
projᵤ(v)뜻
한 벡터가 다른 벡터나 부분공간 방향에 놓이는 성분입니다.
언제 쓰나
분해, 최소제곱, 그림자 계산, 특정 방향 성분 제거에 사용합니다.
계산 예시
proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].행렬 연산
행렬 덧셈
Matrix addition
기호
A+B뜻
형상이 같은 행렬의 대응 원소를 각각 더하는 연산입니다.
언제 쓰나
선형 효과, 잔차 업데이트, 이미지, 누적 데이터를 합칠 때 사용합니다.
계산 예시
[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].행렬 연산
행렬 곱셈
Matrix multiplication
기호
AB뜻
안쪽 차원이 같을 때 행과 열을 곱해 선형변환을 합성하는 연산입니다.
언제 쓰나
좌표 변환, 신경망 층, 그래프 전파, 연립방정식 계산에 사용합니다.
주의
행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않아 AB와 BA가 다르거나 한쪽이 정의되지 않을 수 있습니다.
계산 예시
A₂ˣ₃B₃ˣ₄는 C₂ˣ₄를 생성합니다.행렬 연산
전치행렬
Transpose
기호
Aᵀ뜻
행과 열을 서로 바꾸어 만든 행렬입니다.
언제 쓰나
내적, 공분산, 정규방정식, 대칭성 검사, 배열 방향 변경에 사용합니다.
계산 예시
If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].행렬 연산
단위행렬
Identity matrix
기호
I뜻
주대각선은 1이고 나머지는 0인 정사각행렬입니다.
언제 쓰나
행렬 곱셈의 항등원과 변하지 않는 좌표를 나타낼 때 사용합니다.
계산 예시
AI = IA = A.행렬 연산
역행렬
Inverse matrix
기호
A⁻¹뜻
가역 정사각행렬 A에 대해 AA⁻¹=A⁻¹A=I를 만족하는 행렬입니다.
언제 쓰나
변환을 되돌리고 Ax=b를 푸는 개념에 사용합니다.
주의
수치 계산에서는 A⁻¹을 직접 구하기보다 보통 Ax=b를 직접 푸는 편이 안정적입니다.
계산 예시
For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].행렬 연산
행렬식
Determinant
기호
det(A)뜻
정사각행렬의 방향을 포함한 부피 확대율을 나타내고 가역성을 판정하는 스칼라입니다.
언제 쓰나
특이성 판정과 변환에 따른 방향·부피 변화를 분석할 때 사용합니다.
계산 예시
det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.행렬 연산
대각합
Trace
기호
tr(A)뜻
정사각행렬 주대각 원소의 합입니다.
언제 쓰나
고유값 관계, 공분산 분석, 행렬 미적분, 최적화에 사용합니다.
계산 예시
tr([[2,1],[3,4]]) = 6.행렬 연산
행렬의 계수
Matrix rank
기호
rank(A)뜻
행렬에서 선형독립인 행 또는 열의 개수입니다.
언제 쓰나
정보 차원, 해의 구조, 중복 특성을 판단할 때 사용합니다.
계산 예시
rank([[1,2],[2,4]]) = 1.행렬 연산
대칭행렬
Symmetric matrix
기호
A=Aᵀ뜻
자신의 전치행렬과 같은 정사각행렬입니다.
언제 쓰나
공분산, 이차형식, 무방향 그래프, 실수 직교 고유분해에 사용합니다.
계산 예시
[[2,3],[3,5]] is symmetric.행렬 연산
직교행렬
Orthogonal matrix
기호
QᵀQ=I뜻
열과 행이 정규직교 집합을 이루는 실수 정사각행렬입니다.
언제 쓰나
회전, 반사, 안정적인 분해, 노름 보존 변환에 사용합니다.
계산 예시
직교 행렬의 경우, Q⁻¹ = Qᵀ입니다.행렬 연산
대각행렬
Diagonal matrix
기호
D뜻
주대각선 밖의 원소가 모두 0인 행렬입니다.
언제 쓰나
독립적인 축척과 효율적인 거듭제곱·역행렬·변환 계산에 사용합니다.
계산 예시
diag(2,3)^4 = diag(16,81).연립일차방정식
연립일차방정식
System of linear equations
기호
Ax=b뜻
여러 일차방정식을 동시에 만족해야 하는 문제입니다.
언제 쓰나
균형 계산, 적합, 네트워크, 회로, 제약, 복원 문제에 사용합니다.
계산 예시
x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.연립일차방정식
확대행렬
Augmented matrix
기호
[A|b]뜻
연립방정식의 계수행렬 오른쪽에 상수항을 붙여 간단히 표현한 행렬입니다.
언제 쓰나
미지수를 반복해서 쓰지 않고 행 연산으로 연립방정식을 풀 때 사용합니다.
계산 예시
x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].연립일차방정식
기본행연산
Elementary row operation
뜻
행 교환, 0이 아닌 수를 행에 곱하기, 한 행의 배수를 다른 행에 더하는 연산입니다.
언제 쓰나
해를 보존하면서 연립방정식을 단순화할 때 사용합니다.
계산 예시
R₂ ← R₂ - 3R₁.연립일차방정식
행 사다리꼴
Row echelon form
기호
REF뜻
피벗이 아래 행으로 갈수록 오른쪽에 있고 각 피벗 아래가 0인 행렬 형태입니다.
언제 쓰나
후진대입, 계수 계산, 자유변수 확인에 사용합니다.
계산 예시
[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]]은 행 계수형태입니다.연립일차방정식
기약 행 사다리꼴
Reduced row echelon form
기호
RREF뜻
각 피벗이 1이고 피벗 열의 나머지 원소가 모두 0인 행 사다리꼴입니다.
언제 쓰나
유일해, 자유변수, 계수, 영공간 기저를 바로 읽을 때 사용합니다.
계산 예시
RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].연립일차방정식
가우스 소거법
Gaussian elimination
뜻
기본행연산으로 행 사다리꼴을 만든 뒤 후진대입하는 풀이 방법입니다.
언제 쓰나
손 계산이나 소프트웨어에서 일반적인 중간 크기 밀집 연립방정식을 풀 때 사용합니다.
계산 예시
하위 행에서 x를 제거한 다음, 마지막 피벗부터 위로 해결합니다.연립일차방정식
가우스-조던 소거법
Gauss-Jordan elimination
뜻
확대행렬이 기약 행 사다리꼴이 될 때까지 기본행연산을 계속하는 방법입니다.
언제 쓰나
전체 해 구조나 역행렬을 명시적으로 구해야 할 때 사용합니다.
계산 예시
A가 가역 행렬인 경우, [A|I]를 [I|A⁻¹]로 변환합니다.연립일차방정식
해가 있는 연립방정식
Consistent system
뜻
해가 하나 이상 존재하는 연립방정식입니다.
언제 쓰나
계수나 행 소거로 유일해, 무한해, 해 없음 상태를 구분합니다.
계산 예시
[0 0 | 1] 행은 시스템이 일관성이 없음을 증명합니다.벡터공간
벡터공간
Vector space
기호
V뜻
원소의 덧셈과 스칼라배가 정의되고 벡터공간 공리를 만족하는 집합입니다.
언제 쓰나
좌표, 다항식, 함수, 신호, 행렬을 하나의 틀에서 다룰 때 사용합니다.
계산 예시
ℝ³과 2차 이하의 다항식의 집합은 벡터 공간입니다.벡터공간
부분공간
Subspace
기호
W ⊆ V뜻
벡터 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있어 그 자체로 벡터공간인 부분집합입니다.
언제 쓰나
제약된 방향, 해집합, 특성공간, 불변 구조를 설명할 때 사용합니다.
계산 예시
원점을 지나는 평면 x+y+z=0은 ℝ³의 부분 공간입니다.벡터공간
생성공간
Span
기호
span{v₁,…,vₖ}뜻
주어진 벡터들의 모든 선형결합으로 이루어진 집합입니다.
언제 쓰나
생성 벡터로 도달할 수 있는 모든 방향이나 출력을 설명할 때 사용합니다.
계산 예시
span{[1,0],[0,1]} = ℝ².벡터공간
선형독립
Linear independence
뜻
벡터들의 선형결합이 영벡터가 되려면 모든 계수가 0이어야 하는 성질입니다.
언제 쓰나
중복 방향을 찾고 기저를 선택할 때 사용합니다.
계산 예시
[1,0]과 [0,1]은 선형 독립입니다.벡터공간
기저
Basis
뜻
벡터공간을 생성하는 선형독립 벡터들의 집합입니다.
언제 쓰나
좌표를 정하고 모든 벡터를 유일하게 표현할 때 사용합니다.
계산 예시
{[1,0],[0,1]}은 ℝ²의 표준 기저입니다.벡터공간
차원
Dimension
기호
dim(V)뜻
유한차원 벡터공간의 기저를 이루는 벡터 개수입니다.
언제 쓰나
독립적인 자유도의 수를 측정할 때 사용합니다.
계산 예시
dim(ℝ⁴)=4.벡터공간
열공간
Column space
기호
Col(A)뜻
행렬의 열벡터가 생성하는 공간이며 가능한 모든 출력 Ax의 집합입니다.
언제 쓰나
Ax=b의 해 존재 여부와 변환이 만들 수 있는 출력을 판단할 때 사용합니다.
계산 예시
Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).벡터공간
영공간
Null space
기호
Null(A)뜻
Ax=0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합입니다.
언제 쓰나
변환에서 사라지는 방향, 동차해, 매개변수 중복, 제약을 설명할 때 사용합니다.
계산 예시
A=[1 2]인 경우, Null(A)=span{[-2,1]}입니다.벡터공간
계수-퇴화차수 정리
Rank-nullity theorem
기호
rank(A)+nullity(A)=n뜻
열이 n개인 행렬에서 열공간 차원과 영공간 차원의 합이 n이라는 정리입니다.
언제 쓰나
독립적인 출력 차원과 사라지는 입력 자유도를 연결할 때 사용합니다.
계산 예시
순위가 3인 3×5 행렬은 nullity가 2입니다.선형변환
선형변환
Linear transformation
기호
T(u+v)=T(u)+T(v)뜻
벡터 덧셈과 스칼라배를 보존하는 함수입니다.
언제 쓰나
회전, 확대·축소, 정사영, 필터링, 선형 층을 모델링할 때 사용합니다.
계산 예시
T([x,y])=[2x,y]는 x 방향을 2배로 확장합니다.선형변환
핵
Kernel
기호
ker(T)뜻
선형변환에 의해 영벡터로 보내지는 입력들의 집합입니다.
언제 쓰나
변환에서 손실되는 정보를 찾고 단사 여부를 판단할 때 사용합니다.
계산 예시
T는 ker(T)={0}일 때만 단사 함수입니다.선형변환
이미지
Image
기호
im(T)뜻
변환이 만들어 내는 모든 출력의 집합입니다.
언제 쓰나
도달 가능한 출력과 전사 여부를 설명할 때 사용합니다.
계산 예시
행렬 변환 T(x)=Ax인 경우, im(T)=Col(A)입니다.선형변환
기저변환
Change of basis
뜻
같은 벡터나 변환을 다른 좌표 기저로 다시 표현하는 과정입니다.
언제 쓰나
좌표를 기하 구조에 맞추고 연산자를 단순화하거나 지역·전역 좌표계를 변환할 때 사용합니다.
계산 예시
If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.공간도형·아핀기하
점
Point
기호
P뜻
아핀공간에서 위치를 나타내며 그 자체로 크기나 방향을 갖지 않는 대상입니다.
언제 쓰나
위치를 표현하고 두 점을 빼서 변위벡터를 구할 때 사용합니다.
주의
원점이나 아핀결합을 정하지 않으면 두 점의 덧셈은 본질적으로 정의되지 않습니다.
계산 예시
P=(1,2)와 Q=(4,6)인 경우, 변위 벡터 Q-P는 [3,4]입니다.공간도형·아핀기하
위치벡터
Position vector
기호
OP뜻
선택한 원점 O에서 점 P까지 향하는 벡터입니다.
언제 쓰나
원점과 기저를 정한 뒤 점을 좌표로 표현할 때 사용합니다.
계산 예시
If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].공간도형·아핀기하
아핀공간
Affine space
뜻
점의 차는 벡터이지만 특별히 정해진 원점은 없는 공간입니다.
언제 쓰나
임의의 좌표 원점에 의존하지 않고 기하를 표현할 때 사용합니다.
계산 예시
평행이동된 평면은 원점을 통과하지 않더라도 아핀 공간입니다.공간도형·아핀기하
아핀결합
Affine combination
기호
ΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1뜻
계수의 합이 1이 되도록 점들을 가중 결합한 것입니다.
언제 쓰나
보간, 무게중심, 무게중심좌표, 아핀변환에 사용합니다.
계산 예시
점 P와 Q의 중점은 0.5P + 0.5Q입니다.공간도형·아핀기하
직선의 매개변수방정식
Parametric equation of a line
기호
x=p+tv뜻
한 점 p와 0이 아닌 방향벡터 v로 직선을 표현한 식입니다.
언제 쓰나
직선 위의 점을 만들고 평면이나 다른 직선과의 교점을 구할 때 사용합니다.
계산 예시
Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).공간도형·아핀기하
평면의 방정식
Equation of a plane
기호
n·(x-p)=0뜻
한 점 p와 0이 아닌 법선벡터 n으로 평면을 나타낸 식입니다.
언제 쓰나
분류 경계, 클리핑, 충돌 판정, 기하 제약에 사용합니다.
계산 예시
n=[1,2,3]이고 p=(1,0,0)일 때, 평면의 방정식은 x+2y+3z=1입니다.공간도형·아핀기하
초평면
Hyperplane
기호
w·x=b뜻
n차원 공간에서 차원이 n-1인 아핀 부분공간입니다.
언제 쓰나
결정 경계, 제약 표면, 고차원 평면으로 사용합니다.
계산 예시
ℝ⁴에서, w·x = b는 3차원 초평면을 정의합니다.공간도형·아핀기하
법선벡터
Normal vector
기호
n뜻
직선, 평면, 곡면의 접공간, 초평면에 수직인 벡터입니다.
언제 쓰나
평면 정의, 거리 계산, 벡터 반사, 표면 방향 판정에 사용합니다.
계산 예시
2x-y+3z=4인 경우, 법선 벡터는 [2,-1,3]입니다.공간도형·아핀기하
직선과 평면의 교점
Line-plane intersection
뜻
직선의 매개변수식을 평면 방정식에 대입해 매개변수를 구한 점입니다.
언제 쓰나
광선 추적, 렌더링, 충돌 감지, 기하 구성에 사용합니다.
주의
n·v=0이면 직선은 평면과 평행하거나 평면 안에 완전히 포함됩니다.
계산 예시
Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).공간도형·아핀기하
점과 직선 사이 거리
Distance from a point to a line
뜻
점에서 직선에 내린 가장 짧은 수선의 길이입니다.
언제 쓰나
가장 가까운 경로 질의, 적합, 충돌 여유, 기하 오차에 사용합니다.
계산 예시
직선 p+tv에 대한 거리(P, 직선)은 ‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖입니다.공간도형·아핀기하
점과 평면 사이 거리
Distance from a point to a plane
기호
|n·P-d|/‖n‖뜻
점에서 계산한 평면식의 절댓값을 법선벡터 길이로 나눈 값입니다.
언제 쓰나
여유 거리, 클리핑, 충돌 감지, 점군 처리에 사용합니다.
계산 예시
(1,2,3)에서 z=0까지의 거리는 3입니다.공간도형·아핀기하
평면으로의 정사영
Projection onto a plane
뜻
점의 변위에서 법선 방향 성분을 제거해 얻는 평면 위의 가장 가까운 점입니다.
언제 쓰나
점을 표면에 맞추고 제약을 해결하며 움직임을 분해할 때 사용합니다.
계산 예시
For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.공간도형·아핀기하
평면에 대한 반사
Reflection across a plane
뜻
평면과 평행한 성분은 유지하고 법선 성분의 방향을 뒤집는 변환입니다.
언제 쓰나
거울 기하, 반사 방향, 대칭, 그래픽에 사용합니다.
계산 예시
원점을 지나는 평면의 경우, ℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜℜ공간도형·아핀기하
무게중심좌표
Barycentric coordinates
기호
α+β+γ=1뜻
점을 단체 꼭짓점의 아핀결합으로 표현하는 가중치입니다.
언제 쓰나
삼각형 보간, 내부 판정, 메시, 유한요소법에 사용합니다.
계산 예시
P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.공간도형·아핀기하
행렬식으로 구하는 넓이
Area from a determinant
기호
|det([u v])|뜻
평면의 두 변 벡터로 만든 행렬식의 절댓값이며 평행사변형 넓이와 같습니다.
언제 쓰나
다각형 넓이, 방향 판정, 야코비안, 좌표변환에 사용합니다.
계산 예시
u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.공간도형·아핀기하
스칼라 삼중곱
Scalar triple product
기호
u·(v×w)뜻
세 3차원 벡터가 만드는 평행육면체의 부호 있는 부피입니다.
언제 쓰나
부피, 동일 평면 여부, 3차원 방향 판정에 사용합니다.
계산 예시
부피는 |u·(v×w)|입니다.공간도형·아핀기하
방향성
Orientation
기호
sign(det)뜻
기저나 점 순서의 오른손·왼손 또는 시계·반시계 방향을 나타내는 부호입니다.
언제 쓰나
다각형 알고리즘, 감김 방향, 법선, 좌표계 일관성에 사용합니다.
계산 예시
2차원 공간에서, det([B-A, C-A]) > 0 이라는 것은 A, B, C 가 반시계 방향으로 배열되어 있음을 의미합니다.공간도형·아핀기하
동차좌표
Homogeneous coordinates
기호
[x,y,z,w]뜻
추가 축척 성분을 사용해 아핀 점과 사영 방향을 통일해 표현하는 좌표입니다.
언제 쓰나
이동, 회전, 확대·축소, 원근, 투영을 행렬 형태로 결합할 때 사용합니다.
주의
마지막 성분이 0이 아니면 동차벡터를 주의해 정규화해야 하며 0이면 무한원 방향을 나타냅니다.
계산 예시
2차원 점 (x, y)는 [x, y, 1]로 변환되고, 방향은 [vx, vy, 0]으로 변환됩니다.격자 기하
격자
Lattice
기호
L=Bℤᵏ뜻
선형독립인 기저벡터들의 모든 정수 선형결합으로 이루어진 이산적인 점 집합입니다.
언제 쓰나
이산기하, 부호 이론, 암호, 최적화, 결정학에 사용합니다.
계산 예시
For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.격자 기하
정수격자
Integer lattice
기호
ℤⁿ뜻
모든 성분이 정수인 n차원 벡터로 이루어진 격자입니다.
언제 쓰나
표준 좌표 격자와 부분격자·정수 최적화의 기준으로 사용합니다.
계산 예시
ℤ²은 m, n ∈ ℤ인 모든 점 (m, n)을 포함합니다.격자 기하
격자 기저
Lattice basis
기호
B=[b₁ … bₖ]뜻
정수 선형결합으로 격자를 생성하는 선형독립 벡터들의 집합입니다.
언제 쓰나
격자를 표현하고 열거하며 변환하고 성질을 계산할 때 사용합니다.
주의
하나의 격자는 길이와 각도가 크게 다른 무한히 많은 기저를 가질 수 있습니다.
계산 예시
[2,0]과 [1,3] 열은 2차원 격자의 기저를 형성합니다.격자 기하
격자의 계수
Lattice rank
기호
rank(L)뜻
격자 기저의 벡터 개수이며 실수 생성공간의 차원과 같습니다.
언제 쓰나
주변 공간 안에서 완전계수 격자와 저차원 격자를 구분할 때 사용합니다.
계산 예시
[1,0,0]과 [0,1,0]에 의해 생성된 격자는 ℝ³에서 랭크 2를 갖습니다.격자 기하
격자점
Lattice point
기호
Bz뜻
격자 기저행렬에 정수벡터를 곱해 얻는 점입니다.
언제 쓰나
최근접점, 채우기, 부호화, 정수 제약 문제의 이산 후보로 사용합니다.
계산 예시
B가 [[2, 1], [0, 3]]이고 z가 [2, -1]일 때, Bz는 [3, -3]입니다.격자 기하
기본 평행육면체
Fundamental parallelepiped
기호
P(B)뜻
기저 계수를 0 이상 1 미만으로 제한해 만든 반열린 영역입니다.
언제 쓰나
격자에 대한 각 잉여류의 대표를 하나씩 포함하는 반복 기본영역으로 사용합니다.
계산 예시
P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.격자 기하
격자 행렬식
Lattice determinant
기호
det(L)뜻
기본영역의 부피이며 격자의 공변량이라고도 합니다.
언제 쓰나
격자의 밀도를 측정하고 완전계수 격자의 간격을 비교할 때 사용합니다.
계산 예시
For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.격자 기하
부분격자
Sublattice
기호
L'⊆L뜻
격자의 부분군이면서 같은 실수 생성공간 또는 더 낮은 차원에서 격자를 이루는 집합입니다.
언제 쓰나
추가 합동 조건을 부여하거나 중첩된 이산 구조를 비교할 때 사용합니다.
계산 예시
2ℤ²는 ℤ²의 부분 격자입니다.격자 기하
격자 지표
Lattice index
기호
[L:L']뜻
완전계수 부분격자 L'에 대해 L 안에 존재하는 잉여류의 개수입니다.
언제 쓰나
부분격자가 얼마나 희소한지 측정하고 중첩 격자의 행렬식을 연결할 때 사용합니다.
계산 예시
[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).격자 기하
유니모듈러 행렬
Unimodular matrix
기호
U∈GLₙ(ℤ)뜻
행렬식이 1 또는 -1이고 역행렬도 정수행렬인 정사각 정수행렬입니다.
언제 쓰나
격자 자체를 바꾸지 않고 격자 기저를 변환할 때 사용합니다.
계산 예시
만약 B'가 BU이고 det(U) = ±1이면, B와 B'는 동일한 격자를 생성합니다.격자 기하
동치인 격자 기저
Equivalent lattice bases
기호
B'=BU뜻
유니모듈러 정수행렬로 연결되어 정확히 같은 격자를 생성하는 두 기저입니다.
언제 쓰나
길고 기울어진 기저를 더 짧고 직교에 가까운 기저로 바꿀 때 사용합니다.
계산 예시
B와 B'=B[[1,1],[0,1]]은 동치 기저입니다.격자 기하
격자 기저의 Gram 행렬
Gram matrix of a lattice basis
기호
G=BᵀB뜻
기저벡터 사이의 모든 내적으로 구성한 행렬입니다.
언제 쓰나
기저좌표에서 길이, 각도, 부피, 이차형식을 계산할 때 사용합니다.
계산 예시
정수 벡터 z에 대해, ‖Bz‖² = zᵀGz.격자 기하
격자 기저의 Gram-Schmidt 직교화
Gram-Schmidt for lattice bases
기호
bᵢ*뜻
격자 기저를 분석하기 위한 직교화이며 결과 벡터가 일반적으로 같은 격자의 기저가 되지는 않습니다.
언제 쓰나
정사영 계수, 기저 품질, LLL 축소 단계를 계산할 때 사용합니다.
주의
Gram-Schmidt 벡터는 분석을 위한 보조 벡터이며 격자점일 필요가 없습니다.
계산 예시
b₂* = b₂ - μ₂₁b₁* 이며, 여기서 μ₂₁ = ⟨b₂, b₁*⟩ / ‖b₁*‖².격자 기하
직교성 결손
Orthogonality defect
기호
∏‖bᵢ‖/det(L)뜻
완전계수 기저가 직교 기저에서 얼마나 벗어났는지 나타내는 척도입니다.
언제 쓰나
기저 품질을 비교하고 수치 계산이나 열거 난이도를 예상할 때 사용합니다.
계산 예시
직교 기저의 경우, 결함은 1과 같으며, 다른 경우에는 1 이상입니다.격자 기하
쌍대격자
Dual lattice
기호
L*뜻
L의 모든 벡터와 내적했을 때 정수가 되는 벡터들의 집합입니다.
언제 쓰나
푸리에 분석, 부호 이론, 역공간 기하, 전이 부등식에 사용합니다.
계산 예시
완전 계수 기저 B의 경우, 쌍대 기저는 B⁻ᵀ입니다.격자 기하
최단 벡터 문제
Shortest vector problem
기호
SVP뜻
선택한 노름에서 격자의 0이 아닌 가장 짧은 벡터를 찾는 문제입니다.
언제 쓰나
격자 기하, 기저 축소 품질, 격자 암호의 난이도를 이해할 때 사용합니다.
계산 예시
Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.격자 기하
최근접 벡터 문제
Closest vector problem
기호
CVP뜻
주어진 목표점에 가장 가까운 격자점을 찾는 문제입니다.
언제 쓰나
복호화, 양자화, 정수 최소제곱, 격자 기반 안전성 분석에 사용합니다.
계산 예시
‖Bz-t‖를 최소화하는 z를 찾으십시오.격자 기하
연속 최소값
Successive minima
기호
λᵢ(L)뜻
선형독립인 격자벡터를 하나씩 더 포함하기 위해 필요한 반지름들입니다.
언제 쓰나
하나의 최단 벡터만으로는 알 수 없는 격자의 전체 형태를 설명할 때 사용합니다.
계산 예시
λ₁(L)은 최단 벡터의 길이이며, λₖ(L)은 k개의 독립적인 벡터에 도달합니다.격자 기하
민코프스키 볼록체 정리
Minkowski's convex body theorem
뜻
대칭인 볼록체가 0이 아닌 격자점을 포함하도록 보장하는 부피 조건입니다.
언제 쓰나
짧은 격자벡터의 상계와 대수적 정수론의 결과를 증명할 때 사용합니다.
계산 예시
충분히 큰 원점 대칭 볼록체는 L의 0이 아닌 점을 포함해야 합니다.격자 기하
격자 구 채우기
Lattice sphere packing
뜻
격자점에 같은 크기의 겹치지 않는 구를 놓고 공간에서 차지하는 비율을 측정하는 문제입니다.
언제 쓰나
부호 이론, 통신, 이산기하, 고차원 최적화에 사용합니다.
계산 예시
패킹 반경은 가장 짧은 0이 아닌 격자 벡터 길이의 절반입니다.격자 기하
격자의 보로노이 셀
Voronoi cell of a lattice
뜻
하나의 격자점까지의 거리가 다른 모든 격자점까지의 거리보다 작거나 같은 점들의 영역입니다.
언제 쓰나
최근접 격자점 복호화와 CVP 영역의 기하 형태를 이해할 때 사용합니다.
계산 예시
0을 중심으로 하는 보로노이 셀은 격자 변환을 통해 공간을 채웁니다.격자 기하
격자 기저 축소
Lattice basis reduction
뜻
격자 기저를 더 짧고 직교에 가까운 동치 기저로 바꾸는 과정입니다.
언제 쓰나
열거, 정수관계 탐색, 암호 분석, 수치 계산을 개선할 때 사용합니다.
계산 예시
축소된 기저는 동일한 격자를 생성하지만, 격자의 기하학적 구조를 더 명확하게 보여줍니다.격자 기하
LLL 알고리즘
LLL algorithm
기호
LLL뜻
크기 축소 조건과 Lovász 조건을 만족하는 기저를 다항시간에 구하는 알고리즘입니다.
언제 쓰나
실용적인 근사 최단 벡터, 다항식 인수분해, 암호 분석, 정수관계 탐색에 사용합니다.
주의
LLL은 근사적으로 짧은 벡터의 품질을 보장하지만 정확한 SVP 해를 항상 주는 것은 아닙니다.
계산 예시
LLL은 로바슈 조건이 충족되지 않을 때, 그람-슈미트 계수를 반복적으로 크기를 줄이고, 기저 벡터를 교환합니다.고유값·행렬 분해
고유값
Eigenvalue
기호
Av=λv뜻
선형변환이 0이 아닌 고유벡터의 방향을 바꾸지 않고 확대·축소하는 비율 λ입니다.
언제 쓰나
안정성, 장기 동역학, 공분산, 그래프, 미분방정식을 분석할 때 사용합니다.
계산 예시
A=diag(2,3)인 경우, 고유값은 2와 3입니다.고유값·행렬 분해
고유벡터
Eigenvector
기호
Av=λv, v≠0뜻
선형변환 후에도 스칼라배를 제외하고 방향이 유지되는 0이 아닌 벡터입니다.
언제 쓰나
자연스러운 축, 지배 모드, 정상 상태, 주성분 방향을 찾을 때 사용합니다.
계산 예시
A=diag(2,3)인 경우, [1,0]은 λ=2에 대한 고유 벡터입니다.고유값·행렬 분해
특성다항식
Characteristic polynomial
기호
det(A-λI)뜻
근이 정사각행렬의 고유값이 되는 다항식입니다.
언제 쓰나
작은 행렬의 기호적 고유값 계산과 이론 분석에 사용합니다.
계산 예시
A=[[2,0],[0,3]]인 경우, det(A-λI)=(2-λ)(3-λ)입니다.고유값·행렬 분해
대각화
Diagonalization
기호
A=PDP⁻¹뜻
고유값의 대각행렬과 고유벡터 기저를 이용해 행렬을 표현하는 것입니다.
언제 쓰나
행렬 거듭제곱, 점화식, 선형 동역학계를 단순화할 때 사용합니다.
주의
모든 정사각행렬이 대각화에 충분한 선형독립 고유벡터를 갖는 것은 아닙니다.
계산 예시
A^k=PD^kP⁻¹ (A가 대각화 가능할 때).고유값·행렬 분해
LU 분해
LU decomposition
기호
PA=LU뜻
행렬을 하삼각행렬과 상삼각행렬의 곱으로 분해하며 때로 행 교환을 포함합니다.
언제 쓰나
같은 계수행렬을 가진 여러 연립방정식을 효율적으로 풀 때 사용합니다.
계산 예시
Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.고유값·행렬 분해
QR 분해
QR decomposition
기호
A=QR뜻
행렬을 직교행렬 Q와 상삼각행렬 R의 곱으로 분해하는 것입니다.
언제 쓰나
수치적으로 안정적인 최소제곱, 정규직교 기저, 고유값 알고리즘에 사용합니다.
계산 예시
A=QR인 경우, 최소 제곱법을 Rx=Qᵀb로 해결합니다.고유값·행렬 분해
특이값 분해
Singular value decomposition
기호
A=UΣVᵀ뜻
임의의 행렬을 직교 특이벡터 행렬과 음이 아닌 특이값으로 분해하는 방법입니다.
언제 쓰나
압축, 잡음 제거, 의사역행렬, 저계수 근사, 잠재 구조 분석에 사용합니다.
주의
작은 특이값을 역행렬이나 의사역행렬에 사용하면 잡음이 증폭될 수 있습니다.
계산 예시
가장 큰 k개의 고유값을 유지하면 2-norm과 Frobenius norm에서 최상의 순위-k 근사값을 얻을 수 있습니다.고유값·행렬 분해
최소제곱법
Least squares
기호
min ‖Ax-b‖₂뜻
정확한 해가 없거나 식이 미지수보다 많은 선형계에서 잔차 제곱을 최소화하는 매개변수를 찾는 방법입니다.
언제 쓰나
회귀, 보정, 복원, 잡음이 있는 측정값 적합에 사용합니다.
계산 예시
y≈mx+c를 최소 제곱법으로 적합시켜, 수직 잔차의 제곱 합을 최소화합니다.고유값·행렬 분해
주성분 분석
Principal component analysis
기호
X≈UₖΣₖVₖᵀ뜻
중심화된 데이터에서 분산이 가장 큰 직교 방향을 찾는 차원 축소 방법입니다.
언제 쓰나
상관된 수치 특성을 시각화, 압축, 잡음 제거, 요약할 때 사용합니다.
주의
PCA는 특성 척도와 이상치에 민감하며 큰 분산이 유용한 정보라는 가정에 의존합니다.
계산 예시
중심 X를 계산하고, SVD를 수행한 후, 처음 k개의 고유 벡터에 투영합니다.