연산·공리
집합
Set
기호
S뜻
서로 구별되는 대상들을 하나의 수학적 대상으로 모은 것입니다.
언제 쓰나
대수 연산이 정의되는 원소들의 범위를 지정할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.수학 참고
군·환·체와 추상대수학 용어
연산과 군부터 환, 체, 유한체, 가군, 벡터공간까지 추상대수학의 핵심 구조를 정의와 계산 예시로 설명합니다.
연산에서 군·환·체까지
각 구조는 필요한 공리를 추가하며 체에서는 0이 아닌 모든 원소로 나눌 수 있습니다.
모듈러 산술이 체가 되는 조건
ℤ/nℤ은 n이 소수일 때에만 체이며 합성수 법에서는 영인자가 나타날 수 있습니다.
63 개 용어
연산·공리
이항연산
Binary operation
기호
*:S×S→S뜻
집합의 두 원소를 결합해 같은 집합의 원소 하나를 반환하는 규칙입니다.
언제 쓰나
마그마, 반군, 군, 환, 체를 구성하는 기본 연산으로 사용합니다.
계산 예시
덧셈은 ℤ에서의 이항 연산입니다. 왜냐하면 모든 정수 a와 b에 대해 a+b ∈ ℤ이기 때문입니다.연산·공리
닫힘성
Closure
뜻
허용된 원소들에 연산을 적용한 결과가 항상 같은 집합에 속하는 성질입니다.
언제 쓰나
부분집합이 대수적 구조를 물려받는다고 판단하기 전에 확인합니다.
계산 예시
양의 정수는 덧셈에 대해서는 닫혀 있지만, 뺄셈에 대해서는 닫혀 있지 않습니다.연산·공리
결합법칙
Associativity
기호
(a*b)*c=a*(b*c)뜻
세 피연산자의 묶는 순서를 바꾸어도 결과가 같아지는 성질입니다.
언제 쓰나
반복 곱셈이나 덧셈에서 괄호를 생략하고 거듭제곱을 일관되게 정의할 때 사용합니다.
계산 예시
행렬 곱셈은 결합 법칙을 만족하지만, 일반적으로 교환 법칙을 만족하지 않습니다.연산·공리
교환법칙
Commutativity
기호
a*b=b*a뜻
두 피연산자의 순서를 바꾸어도 결과가 같아지는 성질입니다.
언제 쓰나
아벨군과 가환환을 비가환 구조와 구분할 때 사용합니다.
계산 예시
정수 곱셈은 교환 법칙을 만족하지만, 행렬 곱셈은 일반적으로 그렇지 않습니다.연산·공리
항등원
Identity element
기호
e뜻
연산했을 때 모든 원소를 그대로 유지시키는 원소입니다.
언제 쓰나
역원, 거듭제곱, 모노이드, 군, 단위원을 갖는 환을 정의할 때 사용합니다.
계산 예시
0은 ℤ에서의 가법 항등원이고, 1은 곱셈 항등원입니다.연산·공리
역원
Inverse element
기호
a⁻¹뜻
주어진 원소와 연산해 항등원을 만드는 원소입니다.
언제 쓰나
군 연산을 되돌리고 환에서 어떤 원소가 단원인지 판단할 때 사용합니다.
계산 예시
5의 가법 역원은 -5이고, ℚ에서 3의 곱셈 역원은 1/3입니다.연산·공리
마그마
Magma
기호
(M,*)뜻
하나의 닫힌 이항연산이 주어졌지만 결합법칙이나 항등원을 요구하지 않는 집합입니다.
언제 쓰나
하나의 연산을 가진 대수적 구조의 계층에서 가장 제한이 적은 출발점으로 사용합니다.
계산 예시
모든 반군(semigroup)은 마그마(magma)이지만, 마그마는 반드시 결합 법칙을 만족해야 하는 것은 아닙니다.연산·공리
반군
Semigroup
기호
(S,*)뜻
연산에 결합법칙이 성립하는 마그마입니다.
언제 쓰나
항등원이나 역원이 없어도 합성 가능한 과정을 모델링할 때 사용합니다.
계산 예시
비어 있지 않은 모든 문자열은 이어 붙이기 연산에 대해 반군을 이룹니다.연산·공리
모노이드
Monoid
기호
(M,*,e)뜻
항등원을 갖는 반군입니다.
언제 쓰나
수열, 변환, 자기준동형, 중립값에서 시작해 합성하는 계산에 사용합니다.
계산 예시
모든 문자열(빈 문자열 포함)은 연결 연산에 대해 모노이드를 형성합니다.군
군
Group
기호
(G,*)뜻
모든 원소가 역원을 갖는 모노이드입니다.
언제 쓰나
대칭과 되돌릴 수 있는 연산을 설명할 때 사용합니다.
계산 예시
정수는 덧셈에 대한 군을 형성합니다.군
아벨군
Abelian group
기호
a*b=b*a뜻
군 연산에 교환법칙이 성립하는 군입니다.
언제 쓰나
정수, 벡터, 환의 덧셈 구조처럼 가환적인 덧셈 구조에 사용합니다.
계산 예시
모든 벡터 공간은 벡터 덧셈에 대한 가환군입니다.군
부분군
Subgroup
기호
H≤G뜻
군의 연산을 그대로 제한했을 때 그 자체로 군이 되는 부분집합입니다.
언제 쓰나
군 안에서 대칭, 생성된 원소, 안정자, 해집합을 분리할 때 사용합니다.
계산 예시
2ℤ은 (ℤ,+)의 부분군입니다.군
순환군
Cyclic group
기호
G=⟨g⟩뜻
하나의 원소로 생성되는 군입니다.
언제 쓰나
모든 군 원소를 하나의 생성원의 거듭제곱이나 정수배로 표현할 때 사용합니다.
계산 예시
(ℤ/nℤ,+)는 순환군이며 [1]에 의해 생성됩니다.군
군의 생성원
Group generator
기호
⟨g⟩뜻
연산과 역원 적용을 반복해 군 전체를 만드는 원소 또는 원소 집합입니다.
언제 쓰나
군을 간결하게 표현하고 순환군인지 판정할 때 사용합니다.
계산 예시
원소 [1]은 ℤ/5ℤ의 가법군을 생성합니다.군
군 원소의 위수
Order of a group element
기호
ord(g)뜻
원소의 거듭제곱이 항등원이 되는 가장 작은 양의 지수입니다.
언제 쓰나
반복 주기와 생성되는 부분군의 크기를 구할 때 사용합니다.
계산 예시
덧셈군 ℤ/6ℤ에서 원소 [2]의 위수는 3입니다.군
군의 위수
Order of a group
기호
|G|뜻
유한군에 포함된 원소의 개수입니다.
언제 쓰나
라그랑주 정리, 계수 논증, 유한군 분류에 사용합니다.
계산 예시
정삼각형의 대칭군의 위수는 6입니다.군
잉여류
Coset
기호
gH or Hg뜻
부분군의 모든 원소에 고정된 군 원소를 연산해 이동시킨 집합입니다.
언제 쓰나
군을 분할하고 몫군을 만들 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ에서 3ℤ의 층(cosets)은 3ℤ, 1+3ℤ, 그리고 2+3ℤ입니다.군
라그랑주 정리
Lagrange's theorem
기호
|G|=[G:H]|H|뜻
유한군에서 모든 부분군의 위수는 군의 위수를 나눈다는 정리입니다.
언제 쓰나
가능한 부분군과 원소의 위수를 제한할 때 사용합니다.
계산 예시
위수가 12인 유한군은 위수가 5인 부분군을 포함할 수 없습니다.군
정규부분군
Normal subgroup
기호
N◁G뜻
모든 군 원소에 대해 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류가 같은 부분군입니다.
언제 쓰나
잉여류들이 몫군을 이루기 위한 조건으로 사용합니다.
계산 예시
모든 군 준동형사상의 핵은 정규 부분군입니다.군
몫군
Quotient group
기호
G/N뜻
군과 정규부분군으로 만든 잉여류들의 군입니다.
언제 쓰나
정규부분군을 항등원으로 축약해 군 구조를 더 큰 단위로 분석할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ/nℤ은 덧셈에 대한 ℤ/nℤ의 몫군입니다.군
군 준동형
Group homomorphism
기호
φ(ab)=φ(a)φ(b)뜻
군의 연산을 보존하는 두 군 사이의 함수입니다.
언제 쓰나
대수 연산을 유지하면서 두 군을 비교할 때 사용합니다.
계산 예시
φ:ℤ→ℤ/nℤ는 φ(k)=[k]로 주어지며, 덧셈을 보존합니다.군
군 동형사상
Group isomorphism
기호
G≅H뜻
두 군이 같은 추상 구조를 갖는다는 것을 보여주는 전단사 군 준동형입니다.
언제 쓰나
표현은 다르지만 구조가 같은 군을 동일한 대상으로 다룰 때 사용합니다.
계산 예시
모든 무한 순환군은 (ℤ,+)와 동형입니다.군
군 준동형의 핵
Kernel of a group homomorphism
기호
ker(φ)뜻
목표 군의 항등원으로 보내지는 원소들의 부분군입니다.
언제 쓰나
준동형에서 사라지는 정보를 측정하고 단사 여부를 판정할 때 사용합니다.
계산 예시
군 준동형은 그 핵이 항등 부분군일 때, 그리고 그때에만 단사입니다.군
군 준동형의 상
Image of a group homomorphism
기호
im(φ)뜻
준동형이 실제로 도달하는 목표 군 원소들의 부분군입니다.
언제 쓰나
실제 출력 구조를 확인하고 전사 여부를 판정할 때 사용합니다.
계산 예시
준동형사상은 그 이미지가 대상군과 같을 때만 전사입니다.군
군의 제1동형정리
First isomorphism theorem for groups
기호
G/ker(φ)≅im(φ)뜻
준동형의 핵으로 만든 몫군이 그 상과 동형이라는 정리입니다.
언제 쓰나
핵, 상, 몫 구조를 서로 연결할 때 사용합니다.
계산 예시
φ:ℤ→ℤ/nℤ에 대해, ℤ/nℤ≅im(φ)입니다.군
군의 직적
Direct product of groups
기호
G×H뜻
순서쌍에 성분별 연산을 정의해 만든 군입니다.
언제 쓰나
독립적인 군 구조를 결합하고 유한 아벨군을 분해할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ/2ℤ×ℤ/3ℤ는 ℤ/6ℤ와 동형입니다.환
환
Ring
기호
(R,+,×)뜻
덧셈에 대해서는 아벨군이고 결합적인 곱셈이 덧셈에 대해 분배되는 집합입니다.
언제 쓰나
덧셈과 곱셈을 가진 정수, 다항식, 행렬, 모듈러 산술을 연구할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ은 항등원을 갖는 교환 환입니다.환
가환환
Commutative ring
기호
ab=ba뜻
곱셈에 교환법칙이 성립하는 환입니다.
언제 쓰나
다항식과 같은 가환 곱셈을 사용하는 정수론과 대수기하에 사용합니다.
계산 예시
ℤ과 F[x]는 F가 체인 경우 교환 환입니다.환
단위원을 갖는 환
Ring with identity
기호
1_R뜻
곱셈 항등원을 포함하는 환입니다.
언제 쓰나
단원, 스칼라 항등원을 갖는 가군, 1을 보존하는 준동형을 정의할 때 사용합니다.
계산 예시
짝수는 상속된 연산을 사용하여 곱셈 항등원이 없는 환을 형성합니다.환
부분환
Subring
기호
S⊆R뜻
큰 환의 연산을 그대로 제한했을 때 그 자체로 환이 되는 부분집합입니다.
언제 쓰나
환 안에서 더 작은 산술 체계를 찾을 때 사용합니다.
계산 예시
정수 ℤ은 유리수 ℚ의 부분환을 이룹니다.환
환의 단원
Unit of a ring
기호
R×뜻
환 안에서 곱셈 역원을 갖는 원소입니다.
언제 쓰나
되돌릴 수 있는 곱셈을 찾고 환의 단위원군을 만들 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ의 단위(units)는 1과 -1입니다.환
영인자
Zero divisor
기호
ab=0뜻
다른 0이 아닌 원소와 곱했을 때 0이 되는 0이 아닌 환의 원소입니다.
언제 쓰나
소거법칙의 실패를 확인하고 정역을 일반 환과 구분할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ/6ℤ에서 [2][3]=[0]이므로 [2]와 [3]은 영인자입니다.환
멱영원
Nilpotent element
기호
a^k=0뜻
어떤 양의 거듭제곱이 0이 되는 원소입니다.
언제 쓰나
비기약환, 행렬 구조, 무한소 대수적 거동을 연구할 때 사용합니다.
계산 예시
행렬 [[0,1],[0,0]]은 영이 아니지만, 그 제곱은 영입니다.환
정역
Integral domain
뜻
0이 아닌 단위원을 갖는 가환환이며 영인자가 없는 환입니다.
언제 쓰나
소거법칙을 사용하고 분수체를 일관되게 구성할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ은 정역(integral domain)이지만 체는 아닙니다.환
나눗셈환
Division ring
뜻
0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 갖지만 곱셈의 교환법칙은 요구하지 않는 환입니다.
언제 쓰나
비가환 나눗셈 구조를 체와 구분할 때 사용합니다.
계산 예시
사원수는 나눗셈 환(division ring)을 형성하지만, 체는 아닙니다.환
아이디얼
Ideal
기호
I◁R뜻
필요한 방향에서 임의의 환 원소를 곱해도 내부에 남는 덧셈 부분군입니다.
언제 쓰나
환 준동형의 핵과 몫환 구성에 사용합니다.
계산 예시
nℤ은 ℤ의 이상입니다.환
주 아이디얼
Principal ideal
기호
(a)뜻
하나의 원소로 생성되는 아이디얼입니다.
언제 쓰나
나눗셈 성질을 표현하고 주 아이디얼 정역을 일반 환과 비교할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ에서 6으로 생성된 이상은 (6)=6ℤ입니다.환
몫환
Quotient ring
기호
R/I뜻
아이디얼의 모든 원소를 0으로 동일시해 만든 잉여류들의 환입니다.
언제 쓰나
대수적 관계를 부여하고 모듈러 산술을 모델링할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ/nℤ은 ℤ/(n)의 몫환입니다.환
다항식환
Polynomial ring
기호
R[x]뜻
환 R의 원소를 계수로 갖는 다항식들의 환입니다.
언제 쓰나
방정식, 인수분해, 아이디얼, 체 확장, 대수기하에 사용합니다.
계산 예시
F가 체일 때 다항식환 F[x]는 유클리드 정역입니다.환
행렬환
Matrix ring
기호
Mₙ(R)뜻
환 위의 정사각행렬에 행렬 덧셈과 곱셈을 정의한 환입니다.
언제 쓰나
선형변환을 표현하고 비가환환의 대표 예시로 사용합니다.
계산 예시
M₂(ℝ)은 환이지만, 행렬 곱셈은 교환 법칙을 만족하지 않습니다.환
환 준동형
Ring homomorphism
기호
φ(a+b), φ(ab)뜻
환의 덧셈과 곱셈을 보존하며 단위원 보존 여부는 정의 관례에 따라 달라지는 함수입니다.
언제 쓰나
환을 비교하고 핵으로부터 아이디얼을 얻을 때 사용합니다.
주의
환 준동형이 곱셈 항등원을 보존해야 하는지 사용하는 정의를 명시해야 합니다.
계산 예시
f(x)↦f(0)는 R[x]에서 R로의 환 준동형사상입니다.환
환 동형사상
Ring isomorphism
기호
R≅S뜻
두 환이 같은 환 구조를 갖는다는 것을 보여주는 전단사 환 준동형입니다.
언제 쓰나
환을 구조적으로 같지만 계산하기 쉬운 표현으로 바꿀 때 사용합니다.
계산 예시
중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem)는 ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ를 제공할 수 있습니다.체
체
Field
기호
(F,+,×)뜻
0과 다른 단위원을 갖는 가환환이며 0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 갖는 구조입니다.
언제 쓰나
정확한 나눗셈, 벡터공간, 다항식, 선형대수학의 스칼라 체계로 사용합니다.
계산 예시
ℚ, ℝ, 그리고 ℂ은 체이지만, ℤ은 체가 아닙니다.체
부분체
Subfield
기호
K⊆F뜻
체의 연산을 그대로 제한했을 때 그 자체로 체가 되는 부분집합입니다.
언제 쓰나
스칼라 체계를 비교하고 체 확장을 정의할 때 사용합니다.
계산 예시
ℚ은 ℝ의 부분체이며, ℝ은 ℂ의 부분체입니다.체
체의 표수
Characteristic of a field
기호
char(F)뜻
1을 반복해 더해 0이 되는 최소 양의 횟수이며 그런 수가 없으면 0입니다.
언제 쓰나
표수 0인 체와 유한 표수 산술을 구분할 때 사용합니다.
계산 예시
유리체는 char(ℚ)=0을 가지며, 유한 소체는 char(𝔽ₚ)=p를 가집니다.체
소체
Prime field
뜻
체 안에 포함되는 가장 작은 부분체이며 ℚ 또는 𝔽ₚ와 동형입니다.
언제 쓰나
곱셈 항등원이 생성하는 기본 산술 체계로 사용합니다.
계산 예시
특성 p를 갖는 모든 체는 𝔽ₚ의 복사본을 포함합니다.체
유한체
Finite field
기호
𝔽_q뜻
유한개의 원소를 갖는 체입니다.
언제 쓰나
부호 이론, 암호, 검사값, 유한기하에 사용합니다.
계산 예시
체 𝔽₅={0,1,2,3,4}는 덧셈과 곱셈 모두에서 5를 법으로 하는 산술을 사용합니다.체
유한체의 소수 거듭제곱 위수
Prime-power order of a finite field
기호
q=pⁿ뜻
원소가 q개인 유한체는 q가 소수의 거듭제곱일 때에만 존재합니다.
언제 쓰나
유한체를 구성하기 전에 가능한 원소 개수를 판정할 때 사용합니다.
계산 예시
8개의 원소를 갖는 체는 존재하지만, 6개의 원소를 갖는 체는 존재하지 않습니다.체
갈루아 체
Galois field
기호
GF(pⁿ)뜻
pⁿ개의 원소를 갖는 유한체의 다른 이름이며 동형을 제외하면 유일합니다.
언제 쓰나
오류정정부호와 암호 시스템의 확장체 산술에 사용합니다.
계산 예시
GF(2⁸)은 바이트 지향적인 유한체 연산에 널리 사용됩니다.체
체 확장
Field extension
기호
L/K뜻
체 K를 부분체로 포함하는 더 큰 체 L입니다.
언제 쓰나
방정식의 근을 추가하고 스칼라 체계를 확장하며 유한체를 구성할 때 사용합니다.
계산 예시
ℂ/ℝ은 i를 첨가하여 얻은 체 확장입니다.체
체 확장의 차수
Degree of a field extension
기호
[L:K]뜻
L을 K 위의 벡터공간으로 보았을 때의 차원입니다.
언제 쓰나
체 확장의 크기를 측정하고 탑 법칙을 적용할 때 사용합니다.
계산 예시
확장 차수는 [ℂ:ℝ]=2이며, ℝ 위에서의 기저는 {1, i}입니다.체
대수적 원소
Algebraic element
뜻
기초체 계수의 0이 아닌 다항식의 근이 되는 확장체 원소입니다.
언제 쓰나
유한차수 체 확장을 구성하고 체 위의 수를 분류할 때 사용합니다.
계산 예시
√2는 x²-2=0을 만족하므로 ℚ 위에서 대수적입니다.체
초월적 원소
Transcendental element
뜻
기초체 계수의 어떤 0이 아닌 다항식도 만족하지 않는 확장체 원소입니다.
언제 쓰나
초월 확장을 대수적 확장과 구분할 때 사용합니다.
계산 예시
π와 e는 ℚ 위에서 초월수입니다.체
최소다항식
Minimal polynomial
기호
m_α(x)뜻
대수적 원소를 근으로 갖는 기초체 위의 최소차수 일계수 기약다항식입니다.
언제 쓰나
대수적 원소의 체 확장 차수와 산술 관계를 구할 때 사용합니다.
계산 예시
√2의 ℚ 위에서의 최소 다항식은 x²-2입니다.체
분해체
Splitting field
뜻
다항식이 일차인수들로 완전히 분해되는 가장 작은 체 확장입니다.
언제 쓰나
다항식의 모든 근을 포함하고 그 대칭을 연구할 때 사용합니다.
계산 예시
x²+1의 ℝ 위에서의 분해체는 ℂ입니다.체
대수적 폐포
Algebraic closure
뜻
모든 비상수 다항식이 근을 갖는 대수적으로 닫힌 대수적 확장입니다.
언제 쓰나
다항방정식이 완전히 분해되는 공간으로 사용합니다.
계산 예시
ℂ은 대수적으로 닫혀 있으며, ℝ의 대수적 폐포(algebraic closure)는 ℂ/ℝ을 대수적으로 고려했을 때만 성립합니다.연결 구조·예시
가군
Module
기호
M over R뜻
환의 원소에 의한 스칼라배가 정의된 아벨군입니다.
언제 쓰나
스칼라가 체가 아니라 환에 속할 때 벡터공간을 일반화하는 데 사용합니다.
계산 예시
모든 아벨군은 자연스럽게 정수환 ℤ 위의 가군이 됩니다.연결 구조·예시
체 위의 벡터공간
Vector space over a field
기호
V over F뜻
체의 원소에 의한 스칼라배가 벡터공간 공리를 만족하는 아벨군입니다.
언제 쓰나
체 구조를 선형대수학의 기저, 차원, 선형변환과 연결할 때 사용합니다.
계산 예시
ℂ은 ℝ 위에서 2차원 벡터 공간입니다.연결 구조·예시
체 위의 대수
Algebra over a field
기호
A over F뜻
체 위의 벡터공간에 양립하는 쌍선형 곱셈을 추가한 구조입니다.
언제 쓰나
선형대수학과 환의 곱셈 구조를 결합할 때 사용합니다.
계산 예시
Mₙ(F)는 F 위에서의 대수입니다.연결 구조·예시
ℤ/nℤ이 체가 되는 조건
When ℤ/nℤ is a field
뜻
몫환 ℤ/nℤ은 n이 소수일 때에만 체입니다.
언제 쓰나
소수 법 산술을 영인자가 있는 합성수 법 산술과 구분할 때 사용합니다.
계산 예시
ℤ/5ℤ은 체이지만, ℤ/6ℤ은 [2][3]=[0]이기 때문에 체가 아닙니다.연결 구조·예시
환의 단위원군
Unit group of a ring
기호
R×뜻
환에서 곱셈 역원을 갖는 모든 원소로 이루어진 군입니다.
언제 쓰나
환의 곱셈을 군론과 모듈러 산술에 연결할 때 사용합니다.
계산 예시
(ℤ/nℤ)×는 n과 서로소인 나머지류의 집합입니다.연결 구조·예시
스칼라체
Scalar field
기호
F뜻
벡터공간의 계수와 행렬 원소가 속하는 체입니다.
언제 쓰나
스칼라체에 따라 계수, 고유값, 인수분해, 해 존재 여부가 달라질 수 있으므로 명시합니다.
계산 예시
행렬 [[0,-1],[1,0]]은 실수 고유값을 갖지 않지만, ℂ 위에서는 i와 -i를 고유값으로 갖습니다.