集合と基礎
集合
Set
記号
A意味
異なるオブジェクトの集まりを、単一の数学的オブジェクトとして扱う、明確に定義されたコレクション。
使用場面
グローバルな境界と、格子（lattice）の端点に使用します。
計算例
A={2,4,6}という集合には、3つの偶数が含まれています。数学リファレンス
集合論の用語と基礎
集合、演算、関係、関数、無限濃度、公理的基礎、および表記法と具体的な例を用いた実践的な応用について学習します。
ベン図における和集合と共通部分
和集合は、どちらかの集合を含み、共通部分は、共有領域のみを含みます。
単射写像と全射写像
矢印は、入力が区別されているかどうか、および定義域のすべての要素が到達可能かどうかを示します。
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集合と基礎
集合の要素
Set element
記号
x意味
集合に含まれる個々のオブジェクト。
使用場面
集合の要素について言及する際には、要素を使用します。
計算例
4は、A={2,4,6}の要素です。集合と基礎
包含関係
Membership
記号
x∈A意味
あるオブジェクトが集合の要素であることを示す関係。
使用場面
集合演算を使用して、イベントと補集合を組み合わせて、失敗を表現します。
計算例
4∈{2,4,6}.集合と基礎
非包含関係
Non-membership
記号
x∉A意味
あるオブジェクトが集合の要素ではないことを示す関係。
使用場面
ドメイン、イベント、または解集合から、値を排除するために使用します。
計算例
5∉{2,4,6}.集合と基礎
羅列表記
Roster notation
記号
A={a,b,c}意味
集合の要素を波括弧で囲んで列挙することで定義する表記法。
使用場面
明確にリストできるメンバーを持つ有限集合に使用します。
計算例
母音の集合は、V={a,e,i,o,u}と書くことができます。集合と基礎
集合生成表記
Set-builder notation
記号
{x∈U:P(x)}意味
集合の要素が満たすべき性質を定義する表記法。
使用場面
すべての要素を列挙することが、非現実的または不可能な場合に、使用します。
計算例
偶数の整数は {n∈ℤ:n=2k for some k∈ℤ} です。集合と基礎
空集合
Empty set
記号
∅意味
要素を含まない、唯一の集合。
使用場面
不可能な事象、矛盾した解の集合、または文脈における空集合として使用します。
注意
空集合は、すべての集合の部分集合ですが、必ずしもすべての集合の要素ではありません。
計算例
x²+1=0という実数解の集合は、∅です。集合と基礎
単元集合
Singleton set
記号
{x}意味
要素がちょうど 1 つだけ含まれる集合。
使用場面
コレクションが、1つの可能な値を持つ場合、または解がユニークな場合に、使用します。
計算例
方程式 x-3=0 の解集合は {3} です。集合と基礎
全体集合
Universal set
記号
U意味
現在検討中のすべてのオブジェクトの集合。
使用場面
補集合を使用したり、固定された宇宙について定量化したりする前に、それを明記してください。
注意
全体集合は文脈に依存し、すべてのものを絶対的に含む集合ではありません。
計算例
U=ℤ の場合、偶数の集合の余集合は奇数の集合です。集合と基礎
集合の等価性
Set equality
記号
A=B意味
2つの集合が等しいのは、ちょうど同じ要素を含むときです。
使用場面
拡張同値性を、要素の順序やリスト内の繰り返しに関係なく使用します。
計算例
{1,2,2,3}と{3,2,1}という集合は、等しいです。集合と基礎
部分集合
Subset
記号
A⊆B意味
集合 A が、集合 B のすべての要素が A の要素でもある場合、A は B の部分集合です。
使用場面
包含を表現し、二重包含によって集合の等価性を証明するために使用します。
計算例
{1,3}⊆{1,2,3}.集合と基礎
真部分集合
Proper subset
記号
A⊊B意味
包含集合と等しくない部分集合。
使用場面
包含が厳密な場合に、使用します。
注意
一部の書籍では、真部分集合を ⊂ で表しますが、他の書籍では任意の部分集合を ⊂ で表します。使用する表記法を定義してください。
計算例
{1,3}⊊{1,2,3}.集合と基礎
上位集合
Superset
記号
B⊇A意味
別の集合のすべての要素を含む集合。
使用場面
部分集合関係の逆として使用します。
計算例
{1,2,3}⊇{1,3}.集合と基礎
濃度
Cardinality
記号
|A|意味
集合内の要素の数を表す指標。
使用場面
有限サイズを比較し、双射を通じて、無限集合のサイズを比較するために使用します。
計算例
A={a,b,c} の場合、|A|=3 です。集合と基礎
有限集合
Finite set
意味
すべての要素を {1, ..., n} と全単射で対応させることができる集合（n は非負の整数）。
使用場面
コレクションが、明確な整数サイズを持つ場合に、使用します。
計算例
曜日で構成される集合は、濃度が 7 の有限集合です。集合と基礎
無限集合
Infinite set
意味
有限ではない集合。
使用場面
無限のコレクション、例えば整数、シーケンス、および直線上の点に対して使用します。
計算例
整数集合 ℤ は、無限集合です。集合と基礎
べき集合
Power set
記号
𝒫(A)意味
Aのすべての部分集合を含む集合。
使用場面
すべての可能な選択、イベント、および二項特徴の組み合わせを記述するために使用します。
計算例
A={a,b} の場合、𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}} です。集合と基礎
集合の族
Indexed family of sets
記号
{Aᵢ}ᵢ∈I意味
インデックス集合の要素によってラベル付けされた集合の集まり。
使用場面
集合のシーケンスや、任意のインデックス集合に対する和集合または共通部分に対して使用します。
計算例
{Aₙ}ₙ∈ℕ の族は、Aₙ={1,...,n} と定義できます。集合演算
和集合
Union
記号
A∪B意味
A、B、またはその両方に属する要素の集合。
使用場面
代替案、イベント、カテゴリ、または結果セットを組み合わせるために使用します。
計算例
A={1,2} で B={2,3} の場合、A∪B={1,2,3} です。集合演算
共通部分
Intersection
記号
A∩B意味
AとBの両方に属する要素の集合。
使用場面
同時条件を適用したり、共通の要素を見つけたりするために使用します。
計算例
A={1,2} で B={2,3} の場合、A∩B={2} です。集合演算
集合の差
Set difference
記号
A∖B意味
Aに属するがBに属さない要素の集合。
使用場面
除外を削除したり、一方の集合に固有のものを比較したりするために使用します。
計算例
A={1,2,3} で B={2,4} の場合、A∖B={1,3} です。集合演算
余集合
Complement
記号
Aᶜ意味
全体集合に属するがAに属さない要素の集合。
使用場面
否定された条件や、補集合の確率イベントに対して使用します。
計算例
U={1,2,3,4} で A={1,3} の場合、Aᶜ={2,4} です。集合演算
対称差
Symmetric difference
記号
A△B意味
AとBのいずれか一方にのみ属する要素の集合。
使用場面
集合間の不一致を測定したり、要素の包含を切り替えたりするために使用します。
計算例
A={1,2} で B={2,3} の場合、A△B={1,3} です。集合演算
互いに素な集合
Disjoint sets
記号
A∩B=∅意味
共通の要素を持たない集合。
使用場面
相互排他的イベントや、重複しない部分集合に対して使用します。
計算例
偶数と奇数の整数は、互いに素です。集合演算
集合の分割
Partition of a set
意味
空でなく、互いに素な部分集合の集まりであり、その和集合が元の集合と等しいもの。
使用場面
すべての要素を、ちょうど1つのクラスにグループ化するために使用します。
計算例
3を法とする剰余類は、ℤを分割します。集合演算
デカルト積
Cartesian product
記号
A×B意味
最初の要素がAにあり、2番目の要素がBにある、すべての順序対の集合。
使用場面
座標、関係、テーブル、および積空間を構築するために使用します。
計算例
A={1,2} で B={x,y} の場合、A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)} です。集合演算
順序対
Ordered pair
記号
(a,b)意味
各要素の位置が重要なペア。
使用場面
座標に使用し、デカルト積または関係の基本的な要素として使用します。
計算例
順序対は、通常、その構成要素が入れ替わると変化するため、(1,2) ≠ (2,1)。集合演算
集合に対するド・モルガンの法則
De Morgan's laws for sets
記号
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ意味
補集合を取る際に、和集合と共通部分を入れ替える規則。
使用場面
部分順序が、いくつかの局所的な境界要素を持つ場合に、使用します。
計算例
デモルガンの法則の2つ目の法則は、(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜです。集合演算
集合に対する分配法則
Distributive laws for sets
記号
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)意味
和集合と共通部分が互いにどのように分布するかを記述する規則。
使用場面
否定された集合条件や、確率イベントを簡略化するために使用します。
計算例
また、A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) も成立します。集合演算
吸収法則
Absorption laws
記号
A∪(A∩B)=A意味
集合を包含する共通部分または和集合と組み合わせても元の集合に戻る恒等性。
使用場面
集合式を書き換え、恒等性を証明するために使用します。
計算例
補法則は A∩(A∪B)=A です。集合演算
一般化された和集合と共通部分
Generalized union and intersection
記号
⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢ意味
インデックス付き集合の族に対する和集合または共通部分。
使用場面
無限の集合の数または、変数の集合の条件に使用します。
計算例
Aₙ={n,n+1,...} の場合、⋂ₙ∈ℕAₙ は空集合です。関係と順序
二項関係
Binary relation
記号
R⊆A×B意味
集合 A の要素と、集合 B のどの要素がそれらに関連付けられているかを指定する、順序対の集合。
使用場面
比較、接続、データベースのリンク、および関数グラフをモデル化するために使用します。
計算例
x≤yによって定義される関係xRyは、ℤ×ℤの部分集合です。関係と順序
関係の定義域と値域
Domain and range of a relation
記号
dom(R), ran(R)意味
領域には、関係で現れる最初の要素が含まれ、値域には現れる 2 番目の要素が含まれます。
使用場面
結果行を、マージ、比較、または減算するために使用します。
計算例
R={(1,a),(2,a),(2,b)} の場合、dom(R)={1,2} であり、ran(R)={a,b} です。関係と順序
逆関係
Inverse relation
記号
R⁻¹意味
R内のすべての順序対を反転させた関係。
使用場面
方向関係を反転させるために使用します。
計算例
R={(1,a),(2,b)} の場合、R⁻¹={(a,1),(b,2)} です。関係と順序
自己随伴関係
Reflexive relation
記号
xRx意味
集合 A 上の関係であり、すべての要素がそれ自身に関連付けられているもの。
使用場面
一部の要素が比較可能である一方で、他の要素が比較可能ではない場合に、使用します。
計算例
≤は、すべての実数xに対してx≤xが成り立つため、自己写像です。関係と順序
反射関係
Irreflexive relation
意味
集合 A 上の関係であり、どの要素もそれ自身に関連付けられていないもの。
使用場面
「より小さい」のような、厳密な比較に対して使用します。
計算例
関係<は、x<xが常に偽であるため、自己写像ではありません。関係と順序
対称関係
Symmetric relation
記号
xRy⇒yRx意味
関連するすべてのペアについて、その方向を反転できる関係。
使用場面
等しい、または、共通の性質を持つなどの、相互関係に使用します。
計算例
ℤ上で定義された、同じ偶奇を持つという関係は、対称です。関係と順序
反対称関係
Antisymmetric relation
記号
xRy∧yRx⇒x=y意味
異なる要素間の双方向の関係が不可能な関係。
使用場面
部分順序の公理として使用します。
注意
反対称とは、関係が対称なペアを欠いていることを意味しません。等しい要素は、両方の方向に相互に関連付けられる場合があります。
計算例
部分集合関係⊆は、反対称です。関係と順序
非対称関係
Asymmetric relation
記号
xRy⇒¬(yRx)意味
関連するペアが、逆方向に発生することのない関係。
使用場面
厳密な有向比較に対して使用します。
計算例
厳密な順序<は、非対称です。関係と順序
順序関係
Transitive relation
記号
xRy∧yRz⇒xRz意味
中間要素を介する関係。
使用場面
順序、同値関係、到達可能性、および含意の連鎖に対して使用します。
計算例
割り算は可換です。a が b を割り、b が c を割ると、a は c を割ります。関係と順序
同値関係
Equivalence relation
記号
∼意味
順反射律、対称律、推移律を満たす関係。
使用場面
特定の基準に基づいて、同じと見なされるべきオブジェクトをグループ化するために使用します。
計算例
同値関係モジュロ n は、ℤ 上の関係です。関係と順序
同値類
Equivalence class
記号
[x]意味
与えられた要素と同値なすべての要素の集合。
使用場面
同値関係によって誘導される、分割のブロックの1つとして使用します。
計算例
3を法とする合同性の同値類において、1の同値類は [1]={..., -5, -2, 1, 4, 7, ...} です。関係と順序
剰余集合
Quotient set
記号
A/∼意味
同値関係によって誘導される、Aのすべての同値類の集合。
使用場面
同等の要素を、単一の抽象クラスに置き換えるために使用します。
計算例
ℤ/3ℤという剰余環は、[0]、[1]、[2]という3つのクラスを持ちます。関係と順序
部分順序
Partial order
記号
≼意味
順反射律、反対称律、推移律を満たす関係。
使用場面
メンバーシップ表記を使用して、要素と部分集合を区別します。
計算例
部分集合包含は、べき集合に部分順序を付与します。関係と順序
部分順序集合
Partially ordered set
記号
(P,≼)意味
集合と、指定された部分順序。
使用場面
順序理論および依存性解析で研究される対象として使用します。
計算例
12 の約数は、可除性に関して順序集合を形成します。関係と順序
全順序
Total order
記号
≤意味
すべての要素のペアが比較可能な部分順序。
使用場面
ソートや、線形順序に対して使用します。
計算例
ℝに対する通常の順序≤は、全順序です。関係と順序
ハッセ図
Hasse diagram
意味
有限な部分順序集合の簡略化されたグラフで、被覆関係を示し、推移的な辺を省略したもの。
使用場面
階層、可分性、部分集合の包含、および依存関係を視覚化するために使用します。
計算例
6 の約数に関するハッセ図では、1 が 2 と 3 の下にあり、6 が両方の上の位置にあります。関係と順序
ZFC and ZF are standard axiomatic systems for set theory.
Well-order
意味
すべての空でない部分集合が最小要素を持つ全順序。
使用場面
数学的帰納法、再帰的な定義、および順序数理論に使用します。
計算例
ℕに対する通常の順序は、全順序です。関係と順序
最小要素と最大要素
Minimal and maximal elements
意味
ポセット内で、それより厳密に小さいか大きい比較可能な要素を持たない要素。
使用場面
well-order
計算例
有限な部分順序集合は、複数の最大要素を持つことがあります。関係と順序
最小要素と最大要素
Least and greatest elements
記号
⊥, ⊤意味
ポセット内のすべての要素より小さいまたは大きい要素。
使用場面
解析、最適化、および完全格子理論に使用します。
注意
最小とは必ずしも最も小さいとは限らず、最大とは必ずしも最も大きいとは限りません。
計算例
最小要素が存在する場合、それは一意です。関係と順序
上限と下限
Upper and lower bounds
意味
順序集合内の選択された部分集合内のすべての要素より大きいまたは小さい要素。
使用場面
どの入力と出力が、実際に関係に参加するかを決定するために使用します。
計算例
数 10 は、{1,4,7} の上限です。関係と順序
上限と下限
Supremum and infimum
記号
sup(S), inf(S)意味
部分集合の上限と下限が存在する場合。
使用場面
上限、下限、有界集合、および最適化の限界を定義するために使用します。
計算例
S=(0,1) の場合、sup(S)=1 であり、inf(S)=0 ですが、どちらも S に含まれていません。関数と写像
関数
Function
記号
f:A→B意味
集合 A の各要素を、集合 B のちょうど 1 つの要素に割り当てる関係。
使用場面
関数を使用して、決定論的なマッピング、変換、および計算をモデル化します。
計算例
f(n)=n²という規則は、ℤからℕへの関数を定義します。関数と写像
関数の定義域
Domain of a function
記号
dom(f)意味
関数の許容される入力値の集合。
使用場面
同じ式が、異なる定義域で異なる関数を定義できるため、それを明記してください。
計算例
f:ℝ→ℝ で f(x)=x² の場合、定義域は ℝ です。関数と写像
終域
Codomain
記号
B意味
関数 f:A→B のターゲット集合。
使用場面
全射性を定義し、意図された出力と、実際に得られた出力を区別するために使用します。
計算例
f:ℝ→ℝ で f(x)=x² の場合、終域は ℝ です。関数と写像
関数の値域
Range of a function
記号
f(A)意味
関数が実際に取る出力値の集合。
使用場面
全射性をテストし、実現可能な出力を決定するために使用します。
注意
値域は、共役域よりも小さくなることがあります。
計算例
f:ℝ→ℝ で f(x)=x² の場合、値域は [0,∞) です。関数と写像
部分集合の像
Image of a subset
記号
f(S)意味
定義域のSという部分集合の要素から得られる関数値の集合。
使用場面
マッピングが、選択された領域またはコレクションをどのように変換するかを追跡するために使用します。
計算例
f(x)=x² の場合、S={−2,1,3} に対して、f(S)={1,4,9} です。関数と写像
部分集合の逆像
Preimage of a subset
記号
f⁻¹(T)意味
関数値が選択されたターゲット部分集合Tに含まれる、定義域の要素の集合。
使用場面
条件やイベントを、関数を通して戻しに適用するために使用します。
計算例
f(x)=x² の場合、{4} の逆像は {−2,2} です。関数と写像
単射関数
Injective function
記号
f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂意味
異なる入力に対して同じ出力を持つことがない関数。
使用場面
入力が、マッピング後も区別され続ける必要がある場合に、使用します。
計算例
f(n)=2n で定義される関数 f:ℤ→ℤ は、単射です。関数と写像
全射関数
Surjective function
記号
f(A)=B意味
定義域が共役域と等しい関数。
使用場面
宣言されたすべてのターゲットが、少なくとも1つの入力によって到達される場合に、使用します。
計算例
f(x)=x² で定義される関数 f:ℝ→[0,∞) は、全射です。関数と写像
全単射関数
Bijective function
記号
A↔B意味
順序写像（全射かつ単射）である関数。
使用場面
2つの集合を、要素ごとにペアにし、濃度を比較し、逆関数を定義するために使用します。
計算例
f(n)=n+1 で定義される関数 f:ℤ→ℤ は、全単射です。関数と写像
逆関数
Inverse function
記号
f⁻¹:B→A意味
互いに素な写像を、各出力を出力に対応する固有の入力に戻すことで逆にする関数。
使用場面
逆変換を元に戻すために使用します。
注意
f⁻¹(T)という逆像の表記は、逆関数が存在しない場合でも、部分集合に対して定義されます。
計算例
f(x)=2x+1 (ℝ 上) の場合、f⁻¹(y)=(y−1)/2 です。関数と写像
関数の合成
Function composition
記号
g∘f意味
関数 f を最初に適用し、次に g を適用することで形成される関数。
使用場面
より単純なステップから、複雑な変換を構築するために使用します。
計算例
f(x)=x+1 で g(x)=2x の場合、(g∘f)(x)=2x+2 です。関数と写像
同一関数
Identity function
記号
id_A意味
集合のすべての要素をそれ自身に写像する関数。
使用場面
関数合成の単位元として使用します。
計算例
すべての関数 f:A→B に対して、f∘id_A=f であり、id_B∘f=f です。関数と写像
関数の制限
Restriction of a function
記号
f|_S意味
関数 f の定義域を部分集合 S に制限することで得られる関数。
使用場面
局所的な振る舞いを研究したり、関数を、より小さなドメインで単射にするために使用します。
計算例
[0,∞)に制限された平方関数の写像は、単射です。関数と写像
指示関数
Indicator function
記号
1_A(x)意味
集合 A の要素に対しては 1 を、A の要素でない要素に対しては 0 を返す関数。
使用場面
確率、積分、およびデータ処理における、集合の要素の代数的な表現に使用します。
計算例
A={2,4} の場合、1_A(2)=1 であり、1_A(3)=0 です。無限集合と濃度
同数の集合
Equinumerous sets
記号
|A|=|B|意味
全単射関数によって結ばれた集合は、同じ濃度を持ちます。
使用場面
直接数えずに、同値関係を使用してサイズを比較します。特に、無限集合の場合に有効です。
計算例
自然数 ℕ と偶数自然数は、f(n)=2n を通じて同数です。無限集合と濃度
可算集合
Countable set
意味
有限な集合、または自然数に注入できる集合。
使用場面
順序付け可能な要素を持つ集合、または、ギャップがある可能性のあるシーケンスとしてリストできる集合に使用します。
計算例
ℕ のすべての部分集合は可算です。無限集合と濃度
可算無限集合
Countably infinite set
記号
|A|=ℵ₀意味
自然数と全単射を形成できる無限集合。
使用場面
シーケンスのサイズを持つ無限と、より大きな濃度を区別するために使用します。
計算例
整数集合 ℤ と有理数集合 ℚ は、可算無限集合です。無限集合と濃度
可算でない集合
Uncountable set
意味
自然数の部分集合と全単射を形成できない集合。
使用場面
実数や関数空間などの、より大きな無限に使用します。
計算例
区間 [0,1] は、可算ではありません。無限集合と濃度
無限集合
Aleph-null
記号
ℵ₀意味
自然数と、すべての可算無限集合の濃度。
使用場面
最小の無限基数として使用します。
計算例
|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.無限集合と濃度
連続体の濃度
Cardinality of the continuum
記号
𝔠意味
実数の濃度は、ℕ のべき集合の濃度に等しくなります。
使用場面
区間、実数値シーケンス、および連続的な幾何学的集合のサイズに対して使用します。
計算例
|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.無限集合と濃度
カントールの対角線論法
Cantor's diagonal argument
意味
順にリストされたオブジェクトの n 番目の要素について、n 番目の構成要素が異なるオブジェクトを構築する方法。
使用場面
提案されたリストが不完全であることを証明し、特に実数や無限シーケンスの場合に使用します。
計算例
対角化法により、二進数列は ℕ によって列挙できないことが証明されます。無限集合と濃度
カントールの定理
Cantor's theorem
記号
|A|<|𝒫(A)|意味
任意の集合のべき集合は、元の集合よりも厳密に大きな濃度を持ちます。
使用場面
最大の濃度が存在しないことを示し、より大きな無限を生成するために使用します。
計算例
Aから𝒫(A)への全射関数は存在しない。無限集合と濃度
集合演算
Cardinal arithmetic
記号
κ+λ, κλ, κ^λ意味
集合の共通部分、直積、関数集合などを通じて、基数に対して定義された算術演算。
使用場面
組み合わせた無限コレクションのサイズを比較するために使用します。
計算例
無限可算集合の場合、ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ であり、ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀ です。無限集合と濃度
デデキント無限集合
Dedekind-infinite set
意味
自身の真部分集合のいずれかとの要素数が等しい集合。
使用場面
標準的な集合論における、無限の構造的特徴付けとして使用します。
計算例
n↦n+1 という写像は、ℕ から真部分集合 ℕ∖{0} への全単射です。公理と基礎
素朴な集合論
Naive set theory
意味
集合を、理解可能な性質によって記述される任意のコレクションとして扱う、非形式的なアプローチ。
使用場面
基礎的なパラドックスが問題にならない、通常の数学で使用します。
注意
性質による無制限な集合は、パラドックスを引き起こすため、形式的な基礎では公理を使用します。
計算例
基本的な和集合と共通集合の計算には、通常、素朴な集合論のみが必要です。公理と基礎
ラッセルのパラドックス
Russell's paradox
記号
R={x:x∉x}意味
すべての集合が自分自身を要素として持っている集合が、自分自身を要素として持つかどうかを尋ねたときに生じる矛盾。
使用場面
無制限の集合の包含が、なぜ無効なのかを理解するために使用します。
計算例
R∈R を仮定すると R∉R になり、R∉R を仮定すると R∈R になります。公理と基礎
公理的集合論
Axiomatic set theory
意味
集合と構成を、指定された公理のみを通して許可する形式理論。
使用場面
数学の安定した基盤を提供し、既知のパラドックスを回避するために使用します。
計算例
ZF と ZFC は、集合論における標準的な公理系です。ZFC | ZF公理と基礎
外延性の公理
Axiom of extensionality
意味
2つの集合が等しいのは、同じ要素を持つとき、かつそのときに限ります。
使用場面
集合の要素が、その集合の同一性を完全に決定するようにするために使用します。
計算例
A=Bを証明するには、すべてのxについて、x∈Aであることとx∈Bであることと同値であることを証明すれば十分です。公理と基礎
ペアの公理
Axiom of pairing
意味
任意のオブジェクト a と b に対して、{a,b} という集合が存在します。
使用場面
ペアと、単集合を構築するために使用します。
計算例
a=b とすると、単元集合 {a} が得られます。公理と基礎
和集合の公理
Axiom of union
記号
⋃A意味
集合の集合 A に対して、その元の集合の要素のみを含む集合が存在します。
使用場面
ネストされた集合のレベルを1つフラットにし、和集合を構築するために使用します。
計算例
集合 A = {{1,2}, {2,3}} に対して、和集合の公理を適用すると、⋃A = {1, 2, 3} となります。公理と基礎
冪集合の公理
Axiom of power set
意味
すべての集合 A に対して、A のすべての部分集合のみを含む集合が存在します。
使用場面
関数空間、位相空間、およびより大きな濃度を構築するために使用します。
計算例
この公理は、𝒫(A) の存在を保証します。公理と基礎
無限の公理
Axiom of infinity
意味
自然数を構成するために必要な帰納的集合の存在を主張する公理。
使用場面
集合論が少なくとも1つの無限集合を含むことを保証するために使用します。
計算例
自然数は、帰納集合の中に構築することができます。公理と基礎
分離の公理スキーマ
Axiom schema of separation
意味
既存の集合から、特定の性質を満たす要素を選択できるようにするスキーマ。
使用場面
特定の性質を満たすすべての要素を許可しない、部分集合を定義するために使用します。
計算例
A と性質 P が与えられた場合、分離により {x∈A:P(x)} が形成されます。公理と基礎
置換の公理スキーマ
Axiom schema of replacement
意味
定義可能な関数規則の下で、集合の像もまた集合であると述べるスキーマ。
使用場面
無限構成や、大きな順序数でインデックス付けされたイメージに対して使用します。
計算例
定義可能な関数 F は、集合 A を {F(x): x∈A} という集合に写します。公理と基礎
基礎の公理
Axiom of foundation
意味
空でないすべての集合には、その集合とは異なる要素が含まれており、無限に続く包含関係を防ぎます。
使用場面
x∈xのような、通常の集合や、循環的な包含関係を排除するために使用します。
計算例
公理的集合論では、a∈b かつ b∈a となる 2 つの集合のサイクルは許可されていません。公理と基礎
選択公理
Axiom of choice
意味
空でない集合のすべての族に対して、各集合から 1 つの要素を選択する関数が存在します。
使用場面
「well-ordering」定理、ツォルンの補題、およびベクトル空間の基底の存在などの結果で使用します。
計算例
この公理は、明示的な選択規則が知られていない場合でも、選択関数を提供します。公理と基礎
ZF set theory
ZF set theory
記号
ZF意味
選択公理を追加しないツェルメロ・フラエンケル集合論。
使用場面
選択公理の状態を分離する場合、標準的な形式的な基礎として使用します。
計算例
ZF には、外延性、ペア、和集合、べき集合、無限、分離、置換、および基礎が含まれます。公理と基礎
ZFC集合論
ZFC set theory
記号
ZFC意味
ZF集合論と、選択公理。
使用場面
主流の数学における、最も一般的な基礎的枠組みとして使用します。
計算例
ほとんどの一般的な数学的な結果は、ZFC で形式化することができます。公理と基礎
順序集合
Transitive set
意味
すべての要素が、その集合自身の部分集合である集合。
使用場面
順序数理論、集合の階層構造、および集合論のモデルで使用します。
計算例
{∅,{∅}}という集合は、順序集合です。公理と基礎
順序数
Ordinal number
記号
α,β,ω意味
整列集合の順序型を表す、標準的な集合。
使用場面
位置、無限公理、および有限順序を超えた段階を記述するために使用します。
計算例
最初の無限順序数は ω であり、すべての有限順序数の後に続きます。公理と基礎
濃度
Cardinal number
記号
κ,λ意味
同じ要素数を持つ集合で共有されるサイズを表す、標準的な代表元。
使用場面
順序や内部構造に関係なく、集合のサイズを比較するために使用します。
計算例
有限濃度 3 は、すべての 3 つの要素を持つ集合を表します。応用
標本空間と事象
Sample space and event
記号
Ω, E⊆Ω意味
確率において、標本空間は可能な結果の集合であり、事象はその部分集合の 1 つです。
使用場面
集合を使用して、コレクション、ドメイン、解空間、イベント、および数学的構造の基本的なオブジェクトを指定します。
計算例
サイコロの場合、Ω={1,2,3,4,5,6} であり、偶数の事象は E={2,4,6} です。応用
解集合
Solution set
意味
方程式、不等式、または制約条件のシステムを満たすすべての値の集合。
使用場面
ゼロ、一つ、いくつか、または無限に多くの解を、一様に表現するために使用します。
計算例
x²=4という実数解の集合は、{-2,2}です。応用
集合
Carrier set
意味
代数構造または論理構造が定義されている、要素の基底集合。
使用場面
生の要素と、それらに追加された操作や関係を分離するために使用します。
計算例
集合 (G, *) は、集合 G をもつ演算 * を持つ群です。応用
データベースの集合演算
Database set operations
意味
互換性のあるクエリ結果を、集合のような意味論を使用して組み合わせる演算（UNION、INTERSECT、EXCEPT）。
使用場面
集合式の冗長な部分を削除するために使用します。
注意
データベースのテーブルには重複や NULL 値が含まれるため、SQL の意味論は純粋な集合論と完全に一致しません。
計算例
UNIONは、UNION ALLを使用しない限り、重複する行を削除します。応用
集合データ構造
Set data structure
意味
一意の値のみを格納し、通常は高速なメンバーシップテストをサポートするプログラミングコレクション。
使用場面
重複排除、訪問済み状態の追跡、およびメンバーシップのルックアップに使用します。
計算例
集合は、リスト [3, 1, 3, 2] を一意の値 {1, 2, 3} に減らすことができます。応用
型を集合として解釈する。
Type interpreted as a set
意味
型を、その型が許可する値の集合として扱う視点。
使用場面
検証、和集合、共通部分、サブタイプ、および網羅的なケースについて推論するために使用します。
計算例
ブール型は、{true, false} の集合でモデル化できます。