数学リファレンス

線形代数の用語集と計算ガイド

豊富な例を通して、ベクトル、行列、アフィン幾何学、空間幾何学、格子、線形システム、変換、分解、最小二乗法、および PCA を学習する。

点、平面、および正規ベクトル

点から平面への最短の変位は、平面の法線ベクトルに平行です。

格子基底と基本領域

2 つの基底ベクトルの整数組み合わせは、等面積の原始並列六面体で平面をタイル状に敷き詰める。

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オブジェクトと形状

スカラー

Scalar

記号a

意味

ベクトルまたは行列をスケーリングするために使用される単一の数値。

使用場面

重み、係数、学習率、温度、および大きさにスカラーを使用します。

計算例

3[2, -1] = [6, -3].

オブジェクトと形状

ベクトル

Vector

記号v ∈ ℝⁿ

意味

方向、位置、特徴、または状態を表すことができるコンポーネントの順序リスト。

使用場面

座標、信号、特徴量、埋め込み、およびモデルパラメータを表現するために、ベクトルを使用します。

計算例

v = [3, 4] has two components.

オブジェクトと形状

行列

Matrix

記号A ∈ ℝᵐˣⁿ

意味

行と列で構成される数値の長方形の配列。

使用場面

データセット、線形システム、変換、画像、および重みを格納するために行列を使用します。

計算例

A = [[1, 2], [3, 4]].

オブジェクトと形状

テンソル

Tensor

記号T ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏ

意味

スカラー、ベクトル、行列を一般化した多次元配列。

使用場面

バッチ、画像、ビデオ、モデルの活性化、および多軸科学データにテンソルを使用します。

計算例

32枚のRGB画像で、各画像サイズが224×224の場合、形状は32×3×224×224です。

オブジェクトと形状

形状

Shape

記号m × n

意味

配列の軸の順序付きサイズ。

使用場面

加算、乗算、ブロードキャスト、リシェイプ、およびモデル入力の前に、形状を確認します。

注意

行列の乗算エラーの多くは、互換性のない内側の次元が原因です。

計算例

3×4の行列は、3つの行と4つの列を持ちます。

ベクトルの演算

ベクトルの加算

Vector addition

記号u + v

意味

同じ次元を持つベクトルの要素ごとの加算。

使用場面

変位、力、信号、更新、または特徴量の寄与を組み合わせるために使用します。

計算例

[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].

ベクトルの演算

スカラー乗算

Scalar multiplication

記号cv

意味

すべてのベクトル成分を同じスカラー倍する。

使用場面

大きさをスケーリングし、方向を反転させたり、または重み付けされた更新を適用したりするために使用します。

計算例

-2[3, 1] = [-6, -2].

ベクトルの演算

内積

Dot product

記号u · v

意味

対応するベクトル成分の積の和で、スカラーを生成します。

使用場面

類似性、射影、仕事、注意スコア、および線形モデルの出力に使用します。

計算例

[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.

ベクトルの演算

外積

Cross product

記号u × v

意味

2つの入力ベクトルに対して垂直な3次元ベクトルで、その大きさはそれらの平行四辺形の面積に等しい。

使用場面

表面の法線ベクトル、トルク、方向、および3次元幾何学に使用します。

注意

標準的な外積は、3次元に特有であり、あまり一般的ではない7次元の類似体を除きます。

計算例

[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].

ベクトルの演算

ベクトルのノルム

Vector norm

記号‖v‖

意味

ベクトルの大きさを表す非負の尺度で、ノルムの公理を満たします。

使用場面

振幅、距離、誤差、正則化、および収束を測定するために、ノルムを使用します。

計算例

For v=[3,4], ‖v‖₂=5.

ベクトルの演算

単位ベクトル

Unit vector

記号v/‖v‖

意味

ノルムが1であるベクトル。

使用場面

大きさを除去しながら方向を維持し、正規直交基底を構築するために使用します。

計算例

[3,4]/5 = [0.6,0.8].

ベクトルの演算

ユークリッド距離

Euclidean distance

記号‖u-v‖₂

意味

2つの点をベクトルとして表現した場合の、直線距離。

使用場面

幾何学、最近傍探索、クラスタリング、およびスケールが比較可能な場合の誤差測定に使用します。

計算例

[1,1] から [4,5] までの距離は 5 です。

ベクトルの演算

コサイン類似度

Cosine similarity

記号u·v/(‖u‖‖v‖)

意味

2つのゼロでないベクトルの間の角度のコサイン。方向の類似性を測定します。

使用場面

テキスト埋め込みまたは高次元の特徴量を比較し、その際、大きさの影響を小さくするために使用します。

注意

コサイン類似度は、ゼロベクトルに対しては定義されず、意味のある大きさの違いを隠してしまうことがあります。

計算例

[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.

ベクトルの演算

直交ベクトル

Orthogonal vectors

記号u·v=0

意味

内積がゼロのベクトル。

使用場面

独立した方向を分離し、射影を簡略化し、安定した基底を構築するために直交性を適用します。

計算例

[1,2] · [2,-1] = 0 なので、これらのベクトルは直交しています。

ベクトルの演算

ベクトルの射影

Vector projection

記号projᵤ(v)

意味

あるベクトルまたは部分空間の方向に存在する、別のベクトルの成分。

使用場面

分解、最小二乗法、影、および方向成分の除去に使用します。

計算例

proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].

行列演算

行列の加算

Matrix addition

記号A+B

意味

同じ形状を持つ行列の要素ごとの加算。

使用場面

線形効果、残差の更新、画像、または累積データを組み合わせるために使用します。

計算例

[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].

行列演算

行列の乗算

Matrix multiplication

記号AB

意味

線形変換を合成する、行と列の操作。内側の次元が一致する必要があります。

使用場面

座標変換、ニューラルネットワークの層、グラフ伝播、およびシステムの解法に使用します。

注意

行列の乗算は一般的に可換ではありません。AB は BA と異なったり、片方の順序が定義されない場合があります。

計算例

A₂ˣ₃B₃ˣ₄ は C₂ˣ₄ を生成します。

行列演算

転置行列

Transpose

記号Aᵀ

意味

行と列を交換して作成された行列。

使用場面

内積、共分散、正規方程式、対称性のチェック、および方向の変更に使用します。

計算例

If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].

行列演算

単位行列

Identity matrix

記号I

意味

対角成分が1で、それ以外の要素が0である正方行列。

使用場面

乗法単位元として、および不変の座標を記述するために使用します。

計算例

AI = IA = A.

行列演算

逆行列

Inverse matrix

記号A⁻¹

意味

逆行列A⁻¹が存在する場合、AA⁻¹=A⁻¹A=Iを満たす行列。

使用場面

概念的に、変換を逆転させ、Ax=bを解くために使用します。

注意

数値ソフトウェアは、通常、Ax=b を直接解く方が、A⁻¹ を明示的に計算するよりも効率的です。

計算例

For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].

行列演算

行列式

Determinant

記号det(A)

意味

正方行列の、符号付き体積のスケーリングを測定し、正則性を示すスカラー。

使用場面

特異性をテストし、変換による方向または体積の変化を分析するために使用します。

計算例

det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.

行列演算

トレース

Trace

記号tr(A)

意味

正方行列の主対角成分の合計。

使用場面

固有値の恒等式、共分散分析、行列計算、および最適化に使用します。

計算例

tr([[2,1],[3,4]]) = 6.

行列演算

行列のランク

Matrix rank

記号rank(A)

意味

行列の線形独立な行または列の数。

使用場面

情報次元を測定し、解の構造を決定し、冗長な特徴を検出するために使用します。

計算例

rank([[1,2],[2,4]]) = 1.

行列演算

対称行列

Symmetric matrix

記号A=Aᵀ

意味

転置行列と等しい正方行列。

使用場面

共分散、二次形式、無向グラフ、および実数正交固有分解に使用します。

計算例

[[2,3],[3,5]] is symmetric.

行列演算

直交行列

Orthogonal matrix

記号QᵀQ=I

意味

縦と横のベクトルが直交基底を形成する、実数の正方行列。

使用場面

回転、反射、安定な因数分解、およびノルムを保存する変換に使用します。

計算例

直交行列の場合、Q⁻¹ = Qᵀ です。

行列演算

対角行列

Diagonal matrix

記号D

意味

対角成分以外の要素がすべてゼロである行列。

使用場面

独立したスケーリング、効率的なべき乗、逆数、および変換に使用します。

計算例

diag(2,3)^4 = diag(16,81).

線形システム

線形方程式系

System of linear equations

記号Ax=b

意味

同時に満たさなければならない線形方程式の集合。

使用場面

バランス、適合、ネットワーク、回路、制約、および再構成に使用します。

計算例

x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.

線形システム

拡大行列

Augmented matrix

記号[A|b]

意味

線形システムの方程式係数行列に右辺を付加する、コンパクトな行列表現。

使用場面

変数を繰り返し記述することなく、行基本変形を実行するために使用します。

計算例

x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].

線形システム

基本行操作

Elementary row operation

意味

行の交換、行の非ゼロ値によるスケーリング、または行の倍数を別の行に加算する。

使用場面

線形システムを簡略化するために、これらの解を保存する操作を使用します。

計算例

R₂ ← R₂ - 3R₁.

線形システム

行階段形

Row echelon form

記号REF

意味

ピボットが右方向に移動し、各ピボットの下にゼロがある行列形式。

使用場面

バック代入、ランク計算、および自由変数の特定に使用します。

計算例

[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]] は、行階段形です。

線形システム

簡約された行階段形

Reduced row echelon form

記号RREF

意味

各ピボットが1であり、その列の他のすべての要素がゼロである、行階段形。

使用場面

一意の解、自由変数、ランク、および零空間の基底を直接読み取るために使用します。

計算例

RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].

線形システム

ガウスの消去法

Gaussian elimination

意味

行階段形に変換するための行演算を行い、その後、後置換を行う。

使用場面

手動またはソフトウェアで、適度な密度を持つ線形システムを解くための一般的な方法として使用します。

計算例

下の行から x を消去し、その後、最後のピボットから上に解を求めます。

線形システム

ガウス・ジョルダンの消去法

Gauss-Jordan elimination

意味

拡大行列が行階段形に到達するまで、行演算を繰り返す。

使用場面

完全な解の構造または逆数を明示的に必要な場合に使用します。

計算例

Aが正方行列の場合、[A|I]を[I|A⁻¹]に変換する。

線形システム

一貫したシステム

Consistent system

意味

少なくとも1つの解を持つ線形システム。

使用場面

ランクまたは行基本変形を使用して、一意の解、無限の解、および存在しない解を区別します。

計算例

行 [0 0 | 1] は、システムが一貫性がないことを証明します。

ベクトル空間

Vector space

記号V

意味

要素を加算およびスカラー乗算できる集合で、ベクトル空間の公理を満たします。

使用場面

座標、多項式、関数、信号、および行列を、単一のフレームワーク内で扱うために使用します。

計算例

ℝ³ と、次数が最大で 2 の多項式の集合は、ベクトル空間です。

ベクトル空間

部分空間

Subspace

記号W ⊆ V

意味

ベクトル空間の部分集合であり、ベクトル加算とスカラー乗算に関して閉じている集合。

使用場面

制約された方向、解集合、特徴空間、および不変構造を記述するために使用します。

計算例

原点を通る平面 x+y+z=0 は、ℝ³ の部分空間です。

ベクトル空間

スパン

Span

記号span{v₁,…,vₖ}

意味

与えられたベクトルの集合のすべての線形結合の集合。

使用場面

生成元から到達可能なすべての方向または出力を記述するために使用します。

計算例

span{[1,0],[0,1]} = ℝ².

ベクトル空間

線形独立

Linear independence

意味

ベクトルの集合が独立であるとは、すべての係数がゼロの場合にのみゼロベクトルが得られる場合を指します。

使用場面

冗長な方向を検出し、基底を選択するために使用します。

計算例

[1,0] と [0,1] は線形独立です。

ベクトル空間

基底

Basis

意味

ベクトル空間を張る線形独立なベクトルの集合。

使用場面

座標を割り当て、すべてのベクトルを一意に表現するために使用します。

計算例

{[1,0],[0,1]} は、ℝ² の標準基底です。

ベクトル空間

次元

Dimension

記号dim(V)

意味

有限次元ベクトル空間の任意の基底に含まれるベクトルの数。

使用場面

独立した自由度を測定するために使用します。

計算例

dim(ℝ⁴)=4.

ベクトル空間

列空間

Column space

記号Col(A)

意味

行列の列のスパーンは、すべての出力 Ax に等しくなります。

使用場面

Ax=bが解けるかどうか、および変換が生成できる出力を決定するために使用します。

計算例

Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).

ベクトル空間

零空間

Null space

記号Null(A)

意味

Ax=0 を満たすベクトル x の集合。

使用場面

目に見えない方向、同次解、パラメータの冗長性、および制約を記述するために使用します。

計算例

A=[1 2] の場合、Null(A)=span{[-2,1]}。

ベクトル空間

ランク・ヌルティ定理

Rank-nullity theorem

記号rank(A)+nullity(A)=n

意味

n 個の列を持つ行列の場合、列空間の次元と零空間の次元の和は n に等しくなります。

使用場面

独立した出力を、失われた入力の自由度と接続するために使用します。

計算例

ランクが3の3×5の行列は、零空間の次元が2です。

線形変換

Linear transformation

記号T(u+v)=T(u)+T(v)

意味

ベクトル加算とスカラー乗算を保存する写像。

使用場面

回転、スケーリング、射影、フィルタリング、および線形層をモデル化するために使用します。

計算例

T([x,y])=[2x,y]は、x方向を2倍に拡大します。

線形変換

核

Kernel

記号ker(T)

意味

線形変換によってゼロベクトルにマッピングされる入力の集合。

使用場面

変換によって失われた情報を検出し、単射性をテストするために使用します。

計算例

Tは、ker(T)={0}であるとき、かつそのときにのみ全射です。

線形変換

画像

Image

記号im(T)

意味

変換によって生成されるすべての出力の集合。

使用場面

到達可能な出力を記述し、全射性をテストするために使用します。

計算例

行列変換 T(x)=Ax の場合、im(T)=Col(A)。

線形変換

基底の変換

Change of basis

意味

同じベクトルまたは変換を、異なる座標基底を使用して表現する。

使用場面

座標を幾何学と一致させたり、演算を簡略化したり、またはローカルフレームとグローバルフレームの間で移動するために使用します。

計算例

If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.

空間幾何学とアフィン幾何学

点

Point

記号P

意味

アフィン空間内の、それ自体では大きさや方向を持たない点。

使用場面

点を位置を表すために使用し、2つの点を減算して、変位ベクトルを得ます。

注意

2 つの点を加算することは、原点を選択するか、アフィン結合を選択しない限り、本質的に定義されない。

計算例

P=(1,2) と Q=(4,6) の場合、変位 Q-P=[3,4] である。

空間幾何学とアフィン幾何学

位置ベクトル

Position vector

記号OP

意味

選択された原点 O から点 P へのベクトル。

使用場面

原点を固定し、基底を固定した後の座標を持つ点を表現するために使用します。

計算例

If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].

空間幾何学とアフィン幾何学

アフィン空間

Affine space

意味

点の差がベクトルであるが、特定の原点を持たない点の空間。

使用場面

任意の座標原点に依存しない幾何学をモデル化するために使用します。

計算例

平行移動された平面は、原点を通らない場合でも、アフィン空間である。

空間幾何学とアフィン幾何学

アフィン結合

Affine combination

記号ΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1

意味

係数の合計が 1 である点の加重組み合わせ。

使用場面

インターポレーション、重心、重心座標、およびアフィン変換に使用します。

計算例

P と Q の中点は、0.5P + 0.5Q です。

空間幾何学とアフィン幾何学

直線のパラメータ表示

Parametric equation of a line

記号x=p+tv

意味

点 p と、ゼロでない方向ベクトル v によって表される直線。

使用場面

線上の点を生成し、平面または他の線との交差を解決するために使用します。

計算例

Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).

空間幾何学とアフィン幾何学

平面の方程式

Equation of a plane

記号n·(x-p)=0

意味

点 p と、ゼロでない法線ベクトル n によって記述される平面。

使用場面

分類境界、クリッピング、衝突テスト、および幾何学的制約に使用します。

計算例

n=[1,2,3] であり、p=(1,0,0) の場合、平面は x+2y+3z=1 です。

空間幾何学とアフィン幾何学

超平面

Hyperplane

記号w·x=b

意味

n 次元空間内の次元 n-1 のアフィン部分空間。

使用場面

決定境界、制約面、または高次元の平面として使用します。

計算例

ℝ⁴ において、w·x=b は、3 次元の超平面を定義する。

空間幾何学とアフィン幾何学

正規ベクトル

Normal vector

記号n

意味

直線、平面、表面の接空間、または超平面に対して垂直なベクトル。

使用場面

平面を定義し、距離を計算し、ベクトルを反射し、表面の方向を決定するために使用します。

計算例

2x-y+3z=4 の場合、法線ベクトルは [2,-1,3] である。

空間幾何学とアフィン幾何学

直線と平面の交点

Line-plane intersection

意味

パラメトリックな直線を平面の方程式に代入し、そのパラメータを解くことによって見つかる点。

使用場面

レイトレーシング、レンダリング、衝突検出、および幾何学的構築に使用します。

注意

n·v=0 の場合、直線は平面に平行であるか、または平面の内部にある。

計算例

Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).

空間幾何学とアフィン幾何学

点から直線までの距離

Distance from a point to a line

意味

点から直線への最短の垂直線分の長さ。

使用場面

最短経路クエリ、フィッティング、衝突マージン、および幾何学的誤差に使用します。

計算例

直線 p+tv に対して、点 P からの距離は、distance(P,line)=‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖。

空間幾何学とアフィン幾何学

点から平面までの距離

Distance from a point to a plane

記号|n·P-d|/‖n‖

意味

点における絶対符号付き平面方程式。法線ベクトルの長さで正規化されています。

使用場面

マージン、クリッピング、衝突検出、および点群処理に使用します。

計算例

(1,2,3) から z=0 までの距離は 3 である。

空間幾何学とアフィン幾何学

平面への射影

Projection onto a plane

意味

符号付き変位の法線成分を取り除いて得られる平面上の最も近い点。

使用場面

点を表面にスナップさせ、制約を解決し、モーションを分解するために使用します。

計算例

For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.

空間幾何学とアフィン幾何学

平面への反射

Reflection across a plane

意味

法線成分を反転させながら、平面に平行な成分を保持する変換。

使用場面

鏡面幾何学、反射方向、対称性、およびグラフィックスに使用します。

計算例

原点を通る平面の場合、反射ベクトルは vrefl=v-2projₙ(v) である。

空間幾何学とアフィン幾何学

バリセントリック座標

Barycentric coordinates

記号α+β+γ=1

意味

点を、単純多面体の頂点の親和結合として表現する重み。

使用場面

これらを、三角形補間、三角形内テスト、メッシュ、および有限要素に使用します。

計算例

P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.

空間幾何学とアフィン幾何学

決定数からの面積

Area from a determinant

記号|det([u v])|

意味

2 つの平面の辺ベクトルの絶対値の行列式は、それらの平行四辺形の面積に等しい。

使用場面

多角形の面積、方向テスト、ヤコビアン、および座標変換に使用します。

計算例

u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.

空間幾何学とアフィン幾何学

スカラー三重積

Scalar triple product

記号u·(v×w)

意味

3 つの三次元ベクトルによって形成される平行六面体の符号付き体積。

使用場面

体積、共面性、および三次元方向テストに使用します。

計算例

体積は |u・(v×w)| です。

空間幾何学とアフィン幾何学

向き

Orientation

記号sign(det)

意味

基底または点シーケンスの、右手系または時計回りに対する順序を示す符号。

使用場面

多角形アルゴリズム、巻き、法線、および座標系の一貫性に使用します。

計算例

2 次元では、det([B-A,C-A])>0 は、A, B, C が反時計回りに配置されていることを意味する。

空間幾何学とアフィン幾何学

同次座標

Homogeneous coordinates

記号[x,y,z,w]

意味

アフィン点を表し、射影方向を均一に表現する、追加のスケーリング成分を持つ座標。

使用場面

これらを使用して、並進、回転、スケーリング、遠近法、および射影を、行列形式で組み合わせます。

注意

同次ベクトルは、最終成分がゼロでない場合、注意深く正規化する必要がある。ゼロの最終成分は、無限大の方向を表す。

計算例

2 次元点 (x, y) は [x, y, 1] になり、方向は [vx, vy, 0] になる。

格子の幾何学

格子

Lattice

記号L=Bℤᵏ

意味

線形独立な基底ベクトルのすべての整数組み合わせによって形成される離散的な点の集合。

使用場面

格子を、離散幾何学、符号化、暗号、最適化、および結晶学で使用します。

計算例

For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.

格子の幾何学

整数格子

Integer lattice

記号ℤⁿ

意味

すべての n 次元ベクトルで、整数座標を持つベクトルの集合。

使用場面

標準座標格子として使用し、部分格子および整数最適化の参照として使用します。

計算例

ℤ² は、m,n∈ℤ のすべての点 (m,n) を含みます。

格子の幾何学

格子基底

Lattice basis

記号B=[b₁ … bₖ]

意味

整数組み合わせによって格子を生成する、線形独立なベクトルの集合。

使用場面

格子、列挙、変換、および格子の特性を計算するために使用します。

注意

格子は、非常に異なるベクトルの長さと角度を持つ、無限に多くの可能な基底を持つ。

計算例

[2,0] と [1,3] の列は、2 次元の格子の基底を形成する。

格子の幾何学

格子のランク

Lattice rank

記号rank(L)

意味

格子基底内のベクトルの数。これは、その実数のスパンの次元に等しくなります。

使用場面

環境空間内のフルランクおよび低次元の格子を区別するために使用します。

計算例

[1,0,0] と [0,1,0] によって生成される格子は、ℝ³ においてランク 2 です。

格子の幾何学

格子の点

Lattice point

記号Bz

意味

格子基底行列を整数ベクトルで乗算することによって生成される点。

使用場面

最短距離、パッキング、符号化、および整数制約の問題における離散的な候補として使用します。

計算例

B=[[2,1],[0,3]] であり、z=[2,-1] の場合、Bz=[3,-3] です。

格子の幾何学

原始並列六面体

Fundamental parallelepiped

記号P(B)

意味

0 以上の係数と 1 未満の係数によって形成される半開区間。

使用場面

格子モジュロの各被覆集合の 1 つの代表元を含む、繰り返される 1 つのセルとして使用します。

計算例

P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.

格子の幾何学

格子の行列式

Lattice determinant

記号det(L)

意味

基本領域の体積。格子体積とも呼ばれます。

使用場面

格子密度を測定し、フルランク格子の間隔を比較するために使用します。

計算例

For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.

格子の幾何学

部分格子

Sublattice

記号L'⊆L

意味

格子の部分群であり、同じ実数範囲またはより低い次元の範囲内でも格子である。

使用場面

追加の合同条件を課したり、ネストされた離散構造を比較したりするために使用します。

計算例

2ℤ² は、ℤ² の部分格子である。

格子の幾何学

格子の指数

Lattice index

記号[L:L']

意味

L の部分格子 L' の被覆集合の数。

使用場面

部分格子の疎性を測定し、ネストされた格子の行列式の関係を確立するために使用します。

計算例

[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).

格子の幾何学

単為基底行列

Unimodular matrix

記号U∈GLₙ(ℤ)

意味

決定数が 1 または -1 の整数行列で、その逆も整数である。

使用場面

格子自体を変更せずに、格子基底を変更するために使用します。

計算例

B'=BU であり、det(U)=±1 の場合、B と B' は同じ格子を生成する。

格子の幾何学

同等の格子基底

Equivalent lattice bases

記号B'=BU

意味

単為基底行列によって関連付けられた 2 つの基底は、同じ格子を生成します。

使用場面

長くて歪んだ基底を、より短くて直交性の高い基底に置き換えるために使用します。

計算例

B と B'=B[[1,1],[0,1]] は同等の基底である。

格子の幾何学

格子基底のグラム行列

Gram matrix of a lattice basis

記号G=BᵀB

意味

基底ベクトルのすべてのペアごとの内積からなる行列。

使用場面

座標における長さ、角度、体積、および二次形式を計算するために使用します。

計算例

整数ベクトル z に対して、‖Bz‖²=zᵀGz。

格子の幾何学

格子基底に対するグラム・シュミット

Gram-Schmidt for lattice bases

記号bᵢ*

意味

格子基底を分析するために使用される直交化法で、通常は別の格子基底を生成しない。

使用場面

投影係数、基底品質、および LLL 還元ステップを計算するために使用します。

注意

グラム・シュミットベクトルは解析的な補助であり、必ずしも格子の点である必要はない。

計算例

b₂*=b₂-μ₂₁b₁* であり、μ₂₁=⟨b₂,b₁*⟩/‖b₁*‖² です。

格子の幾何学

直交性の欠如

Orthogonality defect

記号∏‖bᵢ‖/det(L)

意味

フルランクの基底が、直交にどれだけ近いかの尺度。

使用場面

基底の品質を比較し、数値または列挙の困難を予測するために使用します。

計算例

直交基底の場合、欠陥は 1 に等しく、それ以外の場合は 1 以上です。

格子の幾何学

準双対格子

Dual lattice

記号L*

意味

L 内のすべてのベクトルと整数内積を持つベクトルの集合。

使用場面

フーリエ解析、符号理論、逆幾何学、および伝達境界に使用します。

計算例

フルランクの基底 B の場合、双対基底は B⁻ᵀ である。

格子の幾何学

最短ベクトル問題

Shortest vector problem

記号SVP

意味

選択されたノルムの下で、格子内の最短のゼロでないベクトルを見つける。

使用場面

格子幾何学、還元品質、および格子ベースの暗号の難しさを理解するために使用します。

計算例

Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.

格子の幾何学

最近傍ベクトル問題

Closest vector problem

記号CVP

意味

ターゲット点に最も近い格子点を見つける。

使用場面

デコーディング、量子化、整数最小二乗法、および格子ベースのセキュリティ分析に使用します。

計算例

‖Bz-t‖ を最小化する z を見つける。

格子の幾何学

逐次最小値

Successive minima

記号λᵢ(L)

意味

線形独立な格子のベクトルを増加する数だけ含むために必要な半径。

使用場面

これらを使用して、最短ベクトルだけでなく、格子形状全体を記述します。

計算例

λ₁(L) は最短ベクトルの長さであり、λₖ(L) は k 個の独立したベクトルに達します。

格子の幾何学

ミンコフスキーの凸体定理

Minkowski's convex body theorem

意味

対称凸体が、ゼロでない格子点を必ず含むことを保証する体積条件。

使用場面

短い格子ベクトルの境界および代数数論の結果を証明するために使用します。

計算例

十分に大きな原点対称凸体は、ゼロでない L の点を必ず含む。

格子の幾何学

格子球の充填

Lattice sphere packing

意味

格子点に等しい非重なり球を配置し、占有空間の割合を測定する。

使用場面

符号理論、通信、離散幾何学、および高次元最適化に使用します。

計算例

パッキング半径は、最短のゼロでない格子ベクトルの長さの半分です。

格子の幾何学

格子のボロノイ細胞

Voronoi cell of a lattice

意味

他のすべての格子点よりも、少なくとも近い点の領域。

使用場面

これを使って、最良格子点復号化と、CVP領域の幾何学的形状を理解してください。

計算例

0 の周りのボロノイ細胞は、格子の並びによって空間をタイル状に敷き詰める。

格子の幾何学

格子基底の簡約化

Lattice basis reduction

意味

格子基底を、より短く、より直交に近いベクトルを持つ同値な基底に置き換える。

使用場面

列挙、整数関係探索、暗号解析、および数値動作を改善するために使用します。

計算例

既約基底は、同じ格子を生成するが、その幾何学をより明確に表現する。

格子の幾何学

LLL アルゴリズム

LLL algorithm

記号LLL

意味

サイズ縮小と Lovász の条件を満たす基底を生成する、多項式時間アルゴリズム。

使用場面

実用的で近似的な短いベクトル、多項式因数分解、暗号解析、および整数関係に使用します。

注意

LLL は、近似的な短いベクトルに対する品質を保証するが、必ずしも正確な SVP (Shortest Vector Problem) の解を与えるとは限らない。

計算例

LLL は、Lovász 条件が満たされない場合、グラム・シュミット係数を繰り返しサイズ縮小し、基底ベクトルを入れ替える。

固有値と分解

固有値

Eigenvalue

記号Av=λv

意味

線形変換がゼロでない固有ベクトルをスカラーλでスケーリングし、その方向を変えないスカラー。

使用場面

固有値を使用して、安定性、長期的なダイナミクス、共分散、グラフ、および微分方程式を研究します。

計算例

A=diag(2,3) の場合、固有値は 2 と 3 です。

固有値と分解

固有ベクトル

Eigenvector

記号Av=λv, v≠0

意味

線形変換によってスカラー乗算の範囲内で保持される、ゼロでない方向。

使用場面

自然な軸、主要モード、定常状態、および主要な方向を特定するために使用します。

計算例

A=diag(2,3) の場合、[1,0] は λ=2 の固有ベクトルです。

固有値と分解

特性多項式

Characteristic polynomial

記号det(A-λI)

意味

二次行列の固有値が根である多項式。

使用場面

記号による固有値計算、および小さな行列の理論的分析に使用します。

計算例

A=[[2,0],[0,3]] の場合、det(A-λI)=(2-λ)(3-λ)。

固有値と分解

対角化

Diagonalization

記号A=PDP⁻¹

意味

固有値の対角行列と、固有ベクトルの基底を使用して行列を表現する。

使用場面

行列のべき乗、再帰、および線形動的システムを簡略化するために使用します。

注意

すべての正方行列が、対角化できるだけの十分な数の独立した固有ベクトルを持つとは限りません。

計算例

Aが可約行列の場合、A^k=PD^kP⁻¹ となります。

固有値と分解

LU分解

LU decomposition

記号PA=LU

意味

行列を下三角行列と上三角行列の積に分解する。場合によっては行の順序を入れ替えることがあります。

使用場面

同じ係数行列を持つ複数のシステムを効率的に解くために使用します。

計算例

Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.

固有値と分解

QR分解

QR decomposition

記号A=QR

意味

行列を、直交行列 Q と上三角行列 R に分解する。

使用場面

数値的に安定な最小二乗法、正規直交基底、および固有値アルゴリズムに使用します。

計算例

A=QRの後に、Rx=Qᵀbを用いて最小二乗法を解く。

固有値と分解

特異値分解

Singular value decomposition

記号A=UΣVᵀ

意味

任意の行列を、直交する特異ベクトル行列と非負の特異値に分解する操作。

使用場面

圧縮、ノイズ除去、擬似逆行列、低ランク近似、および潜在構造に使用します。

注意

小さい特異値は、逆行列または擬似逆行列で使用される場合にノイズを増幅する可能性があります。

計算例

2-ノルムとフロベニウスノルムにおいて、最大の k 個の特異値を保持すると、最良のランク k 近似が得られます。

固有値と分解

最小二乗法

Least squares

記号min ‖Ax-b‖₂

意味

線形システムに厳密な解がない場合、または過剰決定された場合に、残差の二乗和を最小化するパラメータを見つける。

使用場面

回帰、キャリブレーション、再構成、およびノイズの多い測定値の適合に使用します。

計算例

y ≈ mx + c を、縦方向の残差の二乗和を最小化するように近似する。

固有値と分解

主成分分析

Principal component analysis

記号X≈UₖΣₖVₖᵀ

意味

中心化されたデータにおいて、最も大きな分散を持つ直交方向を見つける次元削減法。

使用場面

相関する数値特徴量を可視化、圧縮、ノイズ除去、または要約するために使用します。

注意

PCAは、特徴量のスケール、外れ値、および高い分散が有益であるという仮定に敏感です。

計算例

センターXを計算し、そのSVDを計算し、最初のk個の右特異ベクトルに投影します。