数学リファレンス

群、環、体、および抽象代数に関する用語

演算と群から、環、体、有限体、加群、およびベクトル空間を通じて、定義と具体例を用いて代数的構造を学習する。

演算から群、環、体へ

すべての構造は特定の公理を追加し、体はすべての 0 でない要素で除算をサポートします。

剰余算術が体である場合

ℤ/nℤ は、n が素数の場合にのみ体であり、合成数の場合は、ゼロ除数が含まれる可能性があります。

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演算と公理

集合

Set

記号S

意味

異なるオブジェクトの集合を、1 つの数学的オブジェクトとして扱うもの。

使用場面

代数演算が定義される集合を指定するために使用します。

計算例

ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

演算と公理

二項演算

Binary operation

記号*:S×S→S

意味

集合の 2 つの要素を組み合わせて、同じ集合の 1 つの要素を返す規則。

使用場面

マグマ、準群、群、環、および体の基礎となる演算として使用します。

計算例

加算は、すべての整数 a と b に対して a+b∈ℤ であるため、ℤ 上の二項演算です。

演算と公理

閉包

Closure

意味

許容された要素に演算を適用すると、常に別の許容された要素が生成されるという性質。

使用場面

部分集合が代数構造を継承しているかどうかを主張する前に、閉包を確認してください。

計算例

正の整数は、加算に対して閉じているが、減算に対しては閉じているわけではない。

演算と公理

結合性

Associativity

記号(a*b)*c=a*(b*c)

意味

三つの演算子のグループ化を変えても結果が変わらないという性質。

使用場面

繰り返し乗算または和の括弧を省略し、べき乗を一貫して定義するために使用します。

計算例

行列乗算は結合法則を満たすが、一般的には可換ではない。

演算と公理

可換性

Commutativity

記号a*b=b*a

意味

演算子の順序を入れ替えても結果が変わらないという性質。

使用場面

可換群と可換環を非可換構造と区別するために使用します。

計算例

整数乗算は可換であるが、行列乗算は通常可換ではない。

演算と公理

単位元

Identity element

記号e

意味

演算で使用すると、すべての要素を変更しない要素。

使用場面

逆元、べき乗、準群、群、および単位元を持つ環を定義するために使用します。

計算例

ℤ において、0 は加法単位元であり、1 は乗法単位元です。

演算と公理

逆元

Inverse element

記号a⁻¹

意味

与えられた要素と組み合わせると単位元を生成する要素。

使用場面

群演算を反転させ、どの環の要素が単位元であるかを決定するために使用します。

計算例

5 の加法逆元は -5 であり、ℚ における 3 の乗法逆元は 1/3 である。

演算と公理

マグマ

Magma

記号(M,*)

意味

閉じた二項演算が 1 つ定義された集合で、結合法則や単位元の存在は必要ありません。

使用場面

一演算構造の階層における最も制限の少ない開始点として使用します。

計算例

すべての半群はマグマですが、マグマは必ずしも結合法則を満たすとは限りません。

演算と公理

半群

Semigroup

記号(S,*)

意味

演算が結合法則を満たす集合。

使用場面

恒等元または逆元を持たない、合成可能なプロセスをモデル化するために使用します。

計算例

すべての空でない文字列は、連結演算に関して半群を形成する。

演算と公理

モノイド

Monoid

記号(M,*,e)

意味

単位元を持つ半群。

使用場面

順列、変換、自己写像、および中性元から構成される計算に使用します。

計算例

すべての文字列（空文字列を含む）は、結合演算によってモノイドを形成します。

群

Group

記号(G,*)

意味

すべての要素が逆元を持つモノイド。

使用場面

群を使用して、対称性と可逆演算を記述します。

計算例

整数は、加法に関して群を形成する。

群

アーベル群

Abelian group

記号a*b=b*a

意味

演算が可換である群。

使用場面

整数、ベクトル、および環の加法部分のような加法構造に使用します。

計算例

すべてのベクトル空間は、ベクトル加算の下で可換群です。

群

部分群

Subgroup

記号H≤G

意味

群の継承された演算の下で、それ自体が群である部分集合。

使用場面

群内の対称性、生成要素、安定化群、および解集合を分離するために使用します。

計算例

2ℤ は (ℤ,+) の部分群です。

群

巡回群

Cyclic group

記号G=⟨g⟩

意味

1 つの要素によって生成される群。

使用場面

群のすべての要素を、1つの生成元のべき乗または整数倍数として表現するために使用します。

計算例

(ℤ/nℤ,+) は可換群であり、[1] によって生成されます。

群

群生成元

Group generator

記号⟨g⟩

意味

繰り返し演算と逆元によって、群全体を生成する要素または要素の集合。

使用場面

コンパクトな表現を与え、群が巡回群であるかどうかをテストするために使用します。

計算例

要素 [1] は、加法群 ℤ/5ℤ を生成する。

群

群要素の位

Order of a group element

記号ord(g)

意味

ある要素を恒等元に変換する最小の正の指数。

使用場面

サイクル長と生成された部分群のサイズを決定するために使用します。

計算例

加法群 ℤ/6ℤ において、要素 [2] の位数は 3 である。

群

群の位

Order of a group

記号|G|

意味

有限群の要素数。

使用場面

ルジャンドルの定理、数え上げ、および有限群の分類に使用します。

計算例

正三角形の対称群の群の位数は 6 である。

群

剰余群

Coset

記号gH or Hg

意味

群のすべての要素を、固定された群の要素で乗算することで得られる部分群の平行移動。

使用場面

余剰集合を使用して、群を分割し、剰余群を構築します。

計算例

ℤ における 3ℤ の剰余類は、3ℤ、1+3ℤ、および 2+3ℤ である。

群

ルジャンドルの定理

Lagrange's theorem

記号|G|=[G:H]|H|

意味

有限群の場合、すべての部分群の位数は、群の位数を割り切る。

使用場面

可能な部分群と要素の次数を制限するために使用します。

計算例

群の位数が12である有限群は、群の位数が5である部分群を含むことはできない。

群

正規部分群

Normal subgroup

記号N◁G

意味

すべての群の要素について、左剰余群と右剰余群が一致する部分群。

使用場面

余剰集合が剰余群を形成するための条件として使用します。

計算例

すべての群準同型の核は、正規部分群である。

群

商群

Quotient group

記号G/N

意味

群と正規部分群から形成される剰余群。

使用場面

正規部分群を恒等元に縮小し、より粗いスケールで群構造を研究するために使用します。

計算例

ℤ/nℤ は、加算に関して ℤ/nℤ の商群です。

群

群準同型

Group homomorphism

記号φ(ab)=φ(a)φ(b)

意味

群間の写像で、群演算を保つもの。

使用場面

群を比較し、その代数演算を維持するために使用します。

計算例

φ:ℤ→ℤ/nℤ で定義される写像 φ(k)=[k] は、加法を保存する。

群

群同型

Group isomorphism

記号G≅H

意味

2つの群が同じ抽象構造を持つことを示す全単射な群準同型写像。

使用場面

構造的に同一の異なる表現の群として扱うために使用します。

計算例

すべての無限巡回群は、(ℤ,+) と同型です。

群

群準同型の核

Kernel of a group homomorphism

記号ker(φ)

意味

ターゲット群の恒等元に写像される要素の部分群。

使用場面

同型写像による情報損失を測定し、単射性をテストするために使用します。

計算例

群同型写像は、その核が単位元部分群であるとき、かつそのときにのみ単射である。

群

群準同型の像

Image of a group homomorphism

記号im(φ)

意味

同型写像によって実際に到達可能なターゲット要素の部分群。

使用場面

効果的な出力構造を決定し、全射性をテストするために使用します。

計算例

準同型写像は、その像が目標群に等しい場合に、かつその場合にのみ全射です。

群

群に関する第一同型定理

First isomorphism theorem for groups

記号G/ker(φ)≅im(φ)

意味

準同型写像の核を準同型写像の像と同一視する定理。

使用場面

核、像、および剰余構造を関連付けるために使用します。

計算例

φ:ℤ→ℤ/nℤ のとき、ℤ/nℤ ≅ im(φ).

群

群の直積

Direct product of groups

記号G×H

意味

順序対から、成分ごとの演算によって構成される群。

使用場面

独立した群構造を組み合わせ、有限可換群を分解するために使用します。

計算例

ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ は、ℤ/6ℤ と同型です。

環

Ring

記号(R,+,×)

意味

加算が可換群を形成し、結合乗算が加算に対して分配法則を満たす集合。

使用場面

整数、多項式、行列、および合同算術を、加算と乗算を使用して研究するために環を使用します。

計算例

ℤ は、単位元を持つ可換環です。

環

可換環

Commutative ring

記号ab=ba

意味

乗法が可換である環。

使用場面

多項式のような乗算が可換である数論および代数幾何学に使用します。

計算例

ℤ と F[x] は、F が体であるとき、可換環です。

環

単位元を持つ環

Ring with identity

記号1_R

意味

乗法単位元を持つ環。

使用場面

単位元、スカラー単位元を持つモジュール、および 1 を保存する同型写像を定義するときに使用します。

計算例

偶数は、継承された演算の下で、それ自体が乗法単位元を持たない環を形成する。

環

部分環

Subring

記号S⊆R

意味

より大きな環から継承された演算の下で、それ自体が環である部分集合。

使用場面

環内のより小さな算術システムを特定するために使用します。

計算例

整数 ℤ は、有理数 ℚ の部分環を形成する。

環

環の単位元

Unit of a ring

記号R×

意味

環内で乗法逆元を持つ要素。

使用場面

可逆乗算を特定し、環の乗法群を形成するために単位元を使用します。

計算例

ℤ の単位元は 1 と -1 である。

環

ゼロ除算

Zero divisor

記号ab=0

意味

0 でない環の要素で、別の 0 でない要素と掛け合わせると 0 になるもの。

使用場面

打ち消しが失敗する場合を検出し、整域と一般的な環を区別するために使用します。

計算例

ℤ/6ℤ において、[2][3]=[0] である。したがって、[2] と [3] は零因子である。

環

冪零元

Nilpotent element

記号a^k=0

意味

正のべき数が 0 に等しい要素。

使用場面

還元されていない環、行列構造、および微小代数的な挙動を研究するために使用します。

計算例

行列 [[0,1],[0,0]] はゼロでないが、その二乗はゼロである。

環

整域

Integral domain

意味

単位元を持ち、0 でない可換環で、0 除数を持たないもの。

使用場面

打ち消しが機能し、一貫して分数を作成できる場合に使用します。

計算例

ℤ は、整域ですが、体ではありません。

環

虚数環

Division ring

意味

すべての 0 でない要素が乗法逆元を持つ環で、乗法が可換であることを必要としないもの。

使用場面

体と非可換の除算構造を区別するために使用します。

計算例

四元数は、可換でない除環を形成するが、体ではない。

環

イデアル

Ideal

記号I◁R

意味

任意の環の要素による乗算を吸収する部分群で、必要な側または両側から吸収します。

使用場面

イデアルを、環の同型写像の核として使用し、剰余環を構築します。

計算例

nℤ は、ℤ のイデアルです。

環

主イデアル

Principal ideal

記号(a)

意味

1 つの要素によって生成されるイデアル。

使用場面

可除性と、主イデアル整域とより一般的な環を比較するために使用します。

計算例

ℤ において、6によって生成されるイデアルは (6) = 6ℤ である。

環

商環

Quotient ring

記号R/I

意味

環の要素をすべて 0 と同一視することで形成される剰余環。

使用場面

代数関係を課し、合同算術をモデル化するために使用します。

計算例

ℤ/nℤ は、n による商環 ℤ/(n) です。

環

多項式環

Polynomial ring

記号R[x]

意味

係数が環 R に含まれる多項式環。

使用場面

方程式、因数分解、イデアル、体拡大、および代数幾何学に使用します。

計算例

F が体であるとき、多項式環 F[x] はユークリッド整域である。

環

行列環

Matrix ring

記号Mₙ(R)

意味

行列加算と行列乗算を用いる、環上の正方行列環。

使用場面

線形変換に使用し、非可換環の標準的な例として使用します。

計算例

M₂(ℝ) は環であるが、行列乗算は可換ではない。

環

環準同型

Ring homomorphism

記号φ(a+b), φ(ab)

意味

環の加算と乗算を保つ写像で、単位元の保持は慣習によります。

使用場面

環を比較し、イデアルを核として取得するために使用します。

注意

環準同型が乗法単位元を保存する必要があるかどうかを明記する。

計算例

f(x)↦f(0) の評価は、R[x] から R への環準同型写像です。

環

環同型

Ring isomorphism

記号R≅S

意味

2つの環が同じ環構造を持つことを示す全単射な環準同型写像。

使用場面

環を、より簡単で構造的に同等な表現に置き換えるために使用します。

計算例

中国剰余定理は、ℤ/15ℤ ≅ ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ を与えることがある。

体

Field

記号(F,+,×)

意味

0 以外のすべての要素が乗法逆元を持つ、単位元 1 を持つ可換環。

使用場面

体を、正確な除算、ベクトル空間、多項式、および線形代数のスカラーシステムとして使用します。

計算例

ℚ、ℝ、および ℂ は体ですが、ℤ は体ではありません。

体

部分体

Subfield

記号K⊆F

意味

環の継承された演算の下で、それ自体が環である部分集合。

使用場面

スカラーシステムを比較し、体拡大を定義するために使用します。

計算例

ℚ は ℝ の部分体であり、ℝ は ℂ の部分体です。

体

体の特性

Characteristic of a field

記号char(F)

意味

ゼロに合計する 1 の最小の正の個数、または存在しない場合は 0。

使用場面

特性ゼロの体と有限特性の算術を区別するために使用します。

計算例

有理数体は char(ℚ)=0 であり、有限素体は char(𝔽ₚ)=p である。

体

素体

Prime field

意味

環に含まれる最小の部分体で、ℚ または 𝔽ₚ と同型である体。

使用場面

乗法単位元によって生成される算術的基盤として使用します。

計算例

特性 p のすべての体は、𝔽ₚ のコピーを含みます。

体

有限体

Finite field

記号𝔽_q

意味

有限個の要素を含む環。

使用場面

符号理論、暗号、チェックサム、および有限幾何学に使用します。

計算例

体 𝔽₅={0,1,2,3,4} は、加算と乗算の両方において、5 を法とする演算を使用する。

体

有限体の素数べき位

Prime-power order of a finite field

記号q=pⁿ

意味

素数のべき乗であるとき、かつそのときにのみ、q 個の要素を持つ有限環が存在します。

使用場面

有限体を作成する前に、有効な有限体のサイズを決定するために使用します。

計算例

8 つの要素を持つ環は存在しますが、6 つの要素を持つ環は存在しません。

体

ガロア体

Galois field

記号GF(pⁿ)

意味

同型を除いて一意な、pⁿ 個の要素を持つ有限体の別名。

使用場面

エラー訂正コードおよび暗号システムにおける体拡大の算術に使用します。

計算例

GF(2⁸) は、バイト指向の有限体演算で広く使用される。

体

体の拡張

Field extension

記号L/K

意味

別の環 K を部分環として含む環 L。

使用場面

根を付加し、スカラーシステムを拡大し、有限体を構築するために使用します。

計算例

ℂ/ℝ は、i を加えたことで得られる体拡大です。

体

体の拡張の次数

Degree of a field extension

記号[L:K]

意味

L を K 上のベクトル空間と見なした場合のベクトル空間の次元。

使用場面

拡張サイズを測定し、タワーの法則を適用するために使用します。

計算例

拡大次数は [ℂ:ℝ]=2 であり、ℝ 上の基底は {1, i} である。

体

代数的要素

Algebraic element

意味

底となる体上で 0 でない多項式の根である、拡大体の要素。

使用場面

有限次拡大を構築し、体上の数を分類するために使用します。

計算例

√2 は、ℚ を超えた代数的数であり、なぜなら、x²-2=0 を満たすからです。

体

超越要素

Transcendental element

意味

底となる体上で 0 でない多項式を持たない、拡大体の要素。

使用場面

超越拡大と代数拡大を区別するために使用します。

計算例

π と e は、ℚ を超えた超越数です。

体

最小多項式

Minimal polynomial

記号m_α(x)

意味

底体上で最小の次数を持つ、既約な単項多項式で、それが代数要素の根である。

使用場面

代数要素の拡張次数と算術関係を決定するために使用します。

計算例

√2 の最小多項式は、ℚ 上で x²-2 である。

体

分裂体

Splitting field

意味

多項式が完全に線形因子に分解される最小の体拡大。

使用場面

すべての多項式の根を含み、それらの対称性を研究するために使用します。

計算例

ℝ 上の x²+1 の分割体は ℂ である。

体

代数閉包

Algebraic closure

意味

代数的に閉じている代数的な拡大であり、したがってすべての非定数多項式は根を持ちます。

使用場面

多項式方程式が完全に分解される状況として使用します。

計算例

ℂ は代数的に閉じている環であり、ℝ の代数閉包ですが、これは ℂ/ℝ が代数であることを考慮した場合に限ります。

接続と例

加群

Module

記号M over R

意味

スカラー乗算によって環の要素と結合する可換群。

使用場面

スカラーが体ではなく環から来る場合に、ベクトル空間を一般化するためにモジュールを使用します。

計算例

すべてのアーベル群は、整数環 ℤ 上のモジュールとして自然に表現できる。

接続と例

体上のベクトル空間

Vector space over a field

記号V over F

意味

スカラー乗算によって体と結合し、ベクトル空間の公理を満たす可換群。

使用場面

体構造を線形代数、基底、次元、および線形変換と関連付けるために使用します。

計算例

ℂ は、ℝ 上の二次元ベクトル空間です。

接続と例

体上の代数

Algebra over a field

記号A over F

意味

既約双線形演算が定義された、体上のベクトル空間。

使用場面

線形代数と環の乗算を組み合わせるために使用します。

計算例

Mₙ(F) は F 上の代数である。

接続と例

ℤ/nℤ が体である場合

When ℤ/nℤ is a field

意味

商環 ℤ/nℤ は、n が素数の場合にのみ体となる。

使用場面

素数法と合成数法を、ゼロ除数を持つ算術と区別するために使用します。

計算例

ℤ/5ℤ は体ですが、ℤ/6ℤ は、[2][3]=[0] であるため、体ではありません。

接続と例

環の単位群

Unit group of a ring

記号R×

意味

環のすべての可換乗法要素からなる群。

使用場面

環の乗算を群論および合同算術と関連付けるために使用します。

計算例

(ℤ/nℤ)× は、n と互いに素な剰余類のみを含みます。

接続と例

スカラー体

Scalar field

記号F

意味

ベクトル空間の係数と行列の要素として使用される体。

使用場面

位数、固有値、因数分解、および可解性がスカラー体によって変化する可能性があるため、それを明記する。

計算例

行列 [[0,-1],[1,0]] は、実数の固有値を持たないが、複素数上では i と -i という固有値を持つ。