गणित संदर्भ
समुच्चयों, संक्रियाओं, संबंधों, फलनों, अनंत कार्डिनैलिटी, स्वयंसिद्ध आधारों और व्यावहारिक अनुप्रयोगों को संकेतन और उदाहरणों के साथ सीखें।
संघ या तो समुच्चय को शामिल करता है, जबकि प्रतिच्छेदन केवल साझा क्षेत्र को रखता है।
तीर यह प्रकट करते हैं कि क्या इनपुट भिन्न रहते हैं और क्या प्रत्येक डोमेन तत्व तक पहुंचा जाता है।
99 शब्द
समुच्चय और आधार
Set
Aविशिष्ट वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह जिसे एक एकल गणितीय वस्तु के रूप में माना जाता है।
सेटों का उपयोग संग्रह, डोमेन, समाधान स्थानों, घटनाओं और गणितीय संरचनाओं के अंतर्निहित वस्तुओं को निर्दिष्ट करने के लिए करें।
समुच्चय A={2,4,6} में तीन सम संख्याएँ हैं।समुच्चय और आधार
Set element
xएक समुच्चय में निहित एक व्यक्तिगत वस्तु।
संग्रह के सदस्यों के बारे में कथन करते समय अवयवों का उपयोग करें।
संख्या 4, A={2,4,6} का एक अवयव है।समुच्चय और आधार
Membership
x∈Aवह संबंध जो बताता है कि एक वस्तु एक समुच्चय का अवयव है।
सदस्यता नोटेशन का उपयोग एक तत्व को उपसमुच्चय से अलग करने के लिए करें।
4∈{2,4,6}.समुच्चय और आधार
Non-membership
x∉Aवह संबंध जो बताता है कि एक वस्तु एक समुच्चय का अवयव नहीं है।
इसका उपयोग डोमेन, घटना या समाधान सेट से मानों को बाहर करने के लिए करें।
5∉{2,4,6}.समुच्चय और आधार
Roster notation
A={a,b,c}एक संकेतन जो एक समुच्चय को उसके तत्वों को कर्ली ब्रेसेस के बीच सूचीबद्ध करके परिभाषित करता है।
इसका उपयोग परिमित समुच्चयों के लिए करें जिनके सदस्यों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध किया जा सकता है।
स्वर समुच्चय को V={a,e,i,o,u} के रूप में लिखा जा सकता है।समुच्चय और आधार
Set-builder notation
{x∈U:P(x)}एक संकेतन जो एक समुच्चय को एक संपत्ति द्वारा परिभाषित करता है जिसे उसके तत्वों को संतुष्ट करना चाहिए।
इसका उपयोग तब करें जब प्रत्येक तत्व को सूचीबद्ध करना अव्यावहारिक या असंभव होगा।
सम पूर्णांक {n∈ℤ: n=2k कुछ k∈ℤ के लिए} हैं।समुच्चय और आधार
Empty set
∅अद्वितीय समुच्चय जिसमें कोई अवयव नहीं है।
इसका उपयोग असंभव घटना, असंगत हल समुच्चय, या खाली प्रतिच्छेदन के लिए संदर्भ में करें।
खाली समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, लेकिन यह आवश्यक रूप से प्रत्येक समुच्चय का तत्व नहीं होता है।
समीकरण x²+1=0 का वास्तविक हल समुच्चय ∅ है।समुच्चय और आधार
Singleton set
{x}एक समुच्चय जिसमें ठीक एक तत्व होता है।
इसका उपयोग तब करें जब किसी संग्रह का एक संभावित मान हो या कोई समाधान अद्वितीय हो।
समीकरण x-3=0 का हल समुच्चय {3} है।समुच्चय और आधार
Universal set
Uसभी वस्तुओं का समुच्चय जिन पर वर्तमान में विचार किया जा रहा है।
पूरक का उपयोग करने या एक निश्चित ब्रह्मांड पर परिमाणित करने से पहले इसे बताएं।
एक सार्वभौमिक समुच्चय संदर्भ पर निर्भर करता है; यह हर चीज का एक निरपेक्ष समुच्चय नहीं है।
यदि U=ℤ, तो सम पूर्णांकों का पूरक विषम पूर्णांक हैं।समुच्चय और आधार
Set equality
A=Bदो समुच्चय बराबर होते हैं जब उनमें ठीक वही अवयव होते हैं।
लिखित सूची में अवयव क्रम या पुनरावृत्ति की परवाह किए बिना, विस्तारवादी समानता (extensional equality) का उपयोग करें।
समुच्चय {1,2,2,3} और {3,2,1} बराबर हैं।समुच्चय और आधार
Subset
A⊆Bसमुच्चय A, B का उपसमुच्चय होता है जब A का प्रत्येक तत्व B का भी एक तत्व होता है।
इसका उपयोग समावेशन को व्यक्त करने और दोहरे समावेशन द्वारा सेट समानता को साबित करने के लिए करें।
{1,3}⊆{1,2,3}.समुच्चय और आधार
Proper subset
A⊊Bएक उपसमुच्चय जो समाहित समुच्चय के बराबर नहीं है।
इसका उपयोग तब करें जब समावेशन सख्त हो।
कुछ पुस्तकें उचित उपसमुच्चय के लिए ⊂ का उपयोग करती हैं, जबकि अन्य इसका उपयोग किसी भी उपसमुच्चय के लिए करती हैं; सम्मेलन को परिभाषित करें।
{1,3}⊊{1,2,3}.समुच्चय और आधार
Superset
B⊇Aएक समुच्चय जिसमें किसी अन्य समुच्चय के सभी तत्व होते हैं।
इसका उपयोग उपसमुच्चय संबंध के उलटे रूप के रूप में करें।
{1,2,3}⊇{1,3}.समुच्चय और आधार
Cardinality
|A|एक समुच्चय में तत्वों की संख्या का माप।
इसका उपयोग परिमित आकारों की तुलना करने और, द्विविभाज्यता के माध्यम से, अनंत सेटों के आकारों की तुलना करने के लिए करें।
यदि A={a,b,c}, तो |A|=3.समुच्चय और आधार
Finite set
एक समुच्चय जिसके तत्वों को कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए {1,...,n} के साथ द्विविभाजन किया जा सकता है।
इसका उपयोग तब करें जब किसी संग्रह का एक निश्चित पूर्णांक आकार हो।
सप्ताह के दिनों का एक परिमित समुच्चय है जिसकी कार्डिनैलिटी 7 है।समुच्चय और आधार
Infinite set
एक समुच्चय जो परिमित नहीं है।
इसका उपयोग असीमित संग्रहों जैसे कि पूर्णांक, अनुक्रम और एक रेखा पर बिंदुओं के लिए करें।
पूर्णांक समुच्चय ℤ अनंत है।समुच्चय और आधार
Power set
𝒫(A)वह समुच्चय जिसमें A के सभी उपसमुच्चय शामिल हैं।
इसका उपयोग सभी संभावित चयन, घटनाओं और बाइनरी फीचर संयोजनों का वर्णन करने के लिए करें।
यदि A={a,b}, तो 𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}.समुच्चय और आधार
Indexed family of sets
{Aᵢ}ᵢ∈Iसमुच्चयों का एक संग्रह जो एक अनुक्रमण समुच्चय के तत्वों द्वारा लेबल किए जाते हैं।
इसका उपयोग सेटों की श्रृंखलाओं और मनमाना अनुक्रमणिका सेटों पर संघों या प्रतिच्छेदन के लिए करें।
परिवार {Aₙ}ₙ∈ℕ को Aₙ={1,...,n} द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।समुच्चय संक्रियाएँ
Union
A∪Bउन अवयवों का समुच्चय जो A, B, या दोनों में से किसी में मौजूद हैं।
इसका उपयोग विकल्पों, घटनाओं, श्रेणियों या परिणाम सेटों को संयोजित करने के लिए करें।
यदि A={1,2} और B={2,3}, तो A∪B={1,2,3}.समुच्चय संक्रियाएँ
Intersection
A∩Bउन अवयवों का समुच्चय जो A और B दोनों में मौजूद हैं।
इसका उपयोग एक साथ शर्तों को लागू करने या सामान्य सदस्यों को खोजने के लिए करें।
यदि A={1,2} और B={2,3}, तो A∩B={2}.समुच्चय संक्रियाएँ
Set difference
A∖BA में मौजूद लेकिन B में नहीं मौजूद अवयवों का समुच्चय।
इसका उपयोग बहिष्कारों को हटाने या यह तुलना करने के लिए करें कि एक सेट के लिए क्या अद्वितीय है।
यदि A={1,2,3} और B={2,4}, तो A∖B={1,3}.समुच्चय संक्रियाएँ
Complement
Aᶜसार्वभौमिक समुच्चय (universal set) में मौजूद लेकिन A में नहीं मौजूद अवयवों का समुच्चय।
इसका उपयोग नकारात्मक शर्तों और पूरक प्रायिकता घटनाओं के लिए करें।
यदि U={1,2,3,4} और A={1,3}, तो Aᶜ={2,4}.समुच्चय संक्रियाएँ
Symmetric difference
A△Bउन अवयवों का समुच्चय जो केवल A या B में से किसी एक में मौजूद हैं।
इसका उपयोग सेटों के बीच असहमति को मापने या सदस्यता को टॉगल करने के लिए करें।
यदि A={1,2} और B={2,3}, तो A△B={1,3}.समुच्चय संक्रियाएँ
Disjoint sets
A∩B=∅ऐसे समुच्चय जिनमें कोई भी तत्व समान नहीं होते हैं।
इसका उपयोग परस्पर अनन्य घटनाओं और गैर-अतिव्यापी विभाजनों के लिए करें।
सम और विषम पूर्णांक असंबद्ध हैं।समुच्चय संक्रियाएँ
Partition of a set
गैर-रिक्त, युग्मवार असंयुक्त उपसमुच्चयों का एक संग्रह जिसका संघ मूल समुच्चय है।
इसका उपयोग प्रत्येक तत्व को बिल्कुल एक वर्ग में समूहीकृत करने के लिए करें।
मापांक 3 के अनुसार शेषफल वर्ग (residue classes) ℤ को विभाजित करते हैं।समुच्चय संक्रियाएँ
Cartesian product
A×Bसभी क्रमित युग्मों का समुच्चय जिनका पहला घटक A में है और दूसरा घटक B में है।
इसका उपयोग निर्देशांक, संबंधों, तालिकाओं और उत्पाद स्थानों का निर्माण करने के लिए करें।
यदि A={1,2} और B={x,y}, तो A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.समुच्चय संक्रियाएँ
Ordered pair
(a,b)एक युग्म जिसमें प्रत्येक घटक की स्थिति मायने रखती है।
इसका उपयोग निर्देशांकों के लिए और एक कार्टेशियन उत्पाद या संबंध के मूल तत्व के रूप में करें।
एक क्रमित युग्म आमतौर पर तब बदल जाता है जब इसके घटक आपस में बदले जाते हैं, इसलिए (1,2)≠(2,1)।समुच्चय संक्रियाएँ
De Morgan's laws for sets
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜनियम जो पूरक लेते समय संघों और प्रतिच्छेदनों को बदलते हैं।
उनका उपयोग नकारात्मक सेट स्थितियों और प्रायिकता घटनाओं को सरल बनाने के लिए करें।
दूसरा नियम (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ है।समुच्चय संक्रियाएँ
Distributive laws for sets
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)नियम जो बताते हैं कि संघ और प्रतिच्छेदन एक दूसरे पर कैसे वितरित होते हैं।
उनका उपयोग सेट अभिव्यक्तियों को फिर से लिखने और पहचान साबित करने के लिए करें।
इसके अलावा, A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).समुच्चय संक्रियाएँ
Absorption laws
A∪(A∩B)=Aपहचान जिनमें एक समुच्चय को एक समाहित प्रतिच्छेदन या संघ के साथ संयोजित करने पर मूल समुच्चय वापस आ जाता है।
उनका उपयोग सेट अभिव्यक्तियों के अनावश्यक भागों को हटाने के लिए करें।
द्वैत नियम A∩(A∪B)=A है।समुच्चय संक्रियाएँ
Generalized union and intersection
⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢअनुक्रमित समुच्चयों के एक अनुक्रमित परिवार पर संघ या प्रतिच्छेदन।
इसका उपयोग अनगिनत समुच्चयों या स्थितियों के एक चर संग्रह के लिए करें।
Aₙ={n,n+1,...} के लिए, प्रतिच्छेदन ⋂ₙ∈ℕAₙ खाली है।संबंध और क्रम
Binary relation
R⊆A×Bक्रमित युग्मों का एक समुच्चय जो निर्दिष्ट करता है कि A के कौन से तत्व B के किन तत्वों से संबंधित हैं।
इसका उपयोग तुलनाओं, कनेक्शनों, डेटाबेस लिंक और फ़ंक्शन ग्राफ़ को मॉडल करने के लिए करें।
संबंध xRy जो x≤y द्वारा परिभाषित है, ℤ×ℤ का एक उपसमुच्चय है।संबंध और क्रम
Domain and range of a relation
dom(R), ran(R)डोमेन में एक संबंध में पहले घटक होते हैं, और परास में दूसरे घटक होते हैं।
उनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए करें कि कौन से इनपुट और आउटपुट वास्तव में एक संबंध में भाग लेते हैं।
यदि R={(1,a),(2,a),(2,b)}, तो dom(R)={1,2} और ran(R)={a,b}.संबंध और क्रम
Inverse relation
R⁻¹R में प्रत्येक क्रमित युग्म (ordered pair) को उलटने से प्राप्त संबंध।
इसका उपयोग एक दिशात्मक संबंध को उलटने के लिए करें।
यदि R={(1,a),(2,b)}, तो R⁻¹={(a,1),(b,2)}.संबंध और क्रम
Reflexive relation
xRxA पर एक संबंध जिसमें प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
इसका उपयोग तब करें जब स्व-तुलना हमेशा सत्य होनी चाहिए, जैसे कि समानता और सख्त क्रम में।
संबंध ≤ अपरिचित (reflexive) है क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए x≤x होता है।संबंध और क्रम
Irreflexive relation
A पर एक संबंध जिसमें कोई भी तत्व स्वयं से संबंधित नहीं होता है।
इसका उपयोग सख्त तुलनाओं जैसे कि "से कम" के लिए करें।
संबंध < अपरिचित (irreflexive) है क्योंकि x<x हमेशा गलत होता है।संबंध और क्रम
Symmetric relation
xRy⇒yRxएक संबंध जिसके दिशा को प्रत्येक संबंधित युग्म के लिए उलटा किया जा सकता है।
इसका उपयोग समानता या संपत्ति साझा करने जैसे पारस्परिक संबंधों के लिए करें।
समता (parity) वाले संबंध ℤ पर सममित (symmetric) होते हैं।संबंध और क्रम
Antisymmetric relation
xRy∧yRx⇒x=yएक संबंध जहां भिन्न तत्वों के बीच दो-तरफ़ा संबंध असंभव है।
इसका उपयोग आंशिक क्रमों के एक स्वयंसिद्ध के रूप में करें।
असममित का अर्थ यह नहीं है कि संबंध में सममित युग्मों की कमी है; समान तत्वों के बीच संबंध दोनों दिशाओं में हो सकता है।
उपसमुच्चय संबंध ⊆ प्रतिसममित (antisymmetric) है।संबंध और क्रम
Asymmetric relation
xRy⇒¬(yRx)एक संबंध जहां एक संबंधित युग्म कभी भी विपरीत दिशा में नहीं हो सकता है।
इसका उपयोग सख्त निर्देशित तुलनाओं के लिए करें।
सख्त क्रम < असममित (asymmetric) है।संबंध और क्रम
Transitive relation
xRy∧yRz⇒xRzएक संबंध जो एक मध्यवर्ती संबंधित तत्व से गुजरता है।
इसका उपयोग क्रम, तुल्यता संबंधों, पहुंच क्षमता और निहितार्थ श्रृंखलाओं के लिए करें।
विभाज्यता सकर्मक है: यदि a, b को विभाजित करता है और b, c को विभाजित करता है, तो a, c को विभाजित करता है।संबंध और क्रम
Equivalence relation
∼एक संबंध जो प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है।
इसका उपयोग उन वस्तुओं को समूहीकृत करने के लिए करें जिन्हें एक चुने हुए मानदंड के तहत समान माना जाना चाहिए।
मॉड्युलो n का सर्वांश एक तुल्यता संबंध ℤ पर है।संबंध और क्रम
Equivalence class
[x]सभी अवयवों का समुच्चय जो किसी दिए गए अवयव के समतुल्य हैं।
इसका उपयोग समतुल्य संबंध द्वारा प्रेरित विभाजन के एक ब्लॉक के रूप में करें।
3 के सापेक्ष सर्वांगसमता के लिए, 1 के तुल्यता वर्ग [1]={...,−5,−2,1,4,7,...} है।संबंध और क्रम
Quotient set
A/∼समतुल्य संबंध के तहत A के सभी समतुल्य वर्गों का समुच्चय।
इसका उपयोग समतुल्य तत्वों को एक ही सार वर्ग से बदलने के लिए करें।
भागफल ℤ/3ℤ में तीन वर्ग [0], [1], और [2] होते हैं।संबंध और क्रम
Partial order
≼एक प्रतिवर्ती, असममित और सकर्मक संबंध।
इसका उपयोग तब करें जब कुछ तत्व तुलनीय हों जबकि अन्य नहीं हो सकते हैं।
उपसमुच्चय समावेशन एक घात समुच्चय को आंशिक रूप से क्रमित करता है।संबंध और क्रम
Partially ordered set
(P,≼)एक समुच्चय और एक निर्दिष्ट आंशिक क्रम।
इसका उपयोग क्रम सिद्धांत और निर्भरता विश्लेषण द्वारा अध्ययन किए जाने वाले वस्तु के रूप में करें।
12 के भाजक विभाज्यता के तहत एक poset बनाते हैं।संबंध और क्रम
Total order
≤एक आंशिक क्रम जिसमें तत्वों के प्रत्येक युग्म की तुलना की जा सकती है।
इसका उपयोग सॉर्टिंग और रैखिक रैंकिंग के लिए करें।
सामान्य क्रम ≤ ℝ पर एक कुल क्रम (total order) है।संबंध और क्रम
Hasse diagram
एक परिमित क्रमबद्ध समुच्चय का एक सरलीकृत ग्राफ जो कवर संबंधों को दर्शाता है और सकर्मक किनारों को छोड़ देता है।
इसका उपयोग पदानुक्रम, विभाज्यता, उपसमुच्चय समावेशन और निर्भरताओं को देखने के लिए करें।
6 के भाजकों के लिए हैसे आरेख में, 1, 2 और 3, 2 और 3 के नीचे स्थित हैं, जबकि 6, दोनों के ऊपर स्थित है।संबंध और क्रम
Well-order
एक कुल क्रम जिसमें प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में एक न्यूनतम तत्व होता है।
इसका उपयोग प्रेरण, पुनरावर्ती परिभाषाओं और क्रमिक सिद्धांत के लिए करें।
ℕ पर सामान्य क्रम एक अच्छी तरह से क्रमबद्ध (well-order) है।संबंध और क्रम
Minimal and maximal elements
तत्व जिनके पास कोई सख्ती से छोटा या सख्ती से बड़ा तुलनीय तत्व नहीं है।
उनका उपयोग तब करें जब आंशिक क्रम में कई स्थानीय सीमा तत्व हो सकते हैं।
एक परिमित क्रमबद्ध समुच्चय में कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं।संबंध और क्रम
Least and greatest elements
⊥, ⊤पोसेट के प्रत्येक तत्व के नीचे या ऊपर स्थित तत्व।
उनका उपयोग वैश्विक सीमाओं और जाली अंत बिंदुओं के लिए करें।
न्यूनतम हमेशा सबसे छोटा नहीं होता है, और अधिकतम हमेशा सबसे बड़ा नहीं होता है।
यदि एक न्यूनतम तत्व मौजूद है, तो वह अद्वितीय है।संबंध और क्रम
Upper and lower bounds
तत्व जो एक क्रमित समुच्चय में चुने गए उपसमुच्चय के प्रत्येक तत्व के ऊपर या नीचे स्थित हैं।
उनका उपयोग सुप्रीमा, इन्फिमा, बाउंड सेट और अनुकूलन सीमाओं को परिभाषित करने के लिए करें।
संख्या 10 समुच्चय {1,4,7} के लिए एक ऊपरी सीमा है।संबंध और क्रम
Supremum and infimum
sup(S), inf(S)एक उपसमुच्चय की उच्चतम और निम्नतम सीमा, यदि वे मौजूद हैं।
उनका उपयोग विश्लेषण, अनुकूलन और पूर्ण जाली सिद्धांत में करें।
S=(0,1) के लिए, sup(S)=1 और inf(S)=0, भले ही इनमें से कोई भी S में न हो।फलन और मैपिंग
Function
f:A→Bएक संबंध जो A के प्रत्येक तत्व को B के ठीक एक तत्व पर असाइन करता है।
नियतात्मक मैपिंग, रूपांतरणों और गणनाओं को मॉडल करने के लिए कार्यों का उपयोग करें।
नियम f(n)=n² ℤ से ℕ तक एक फलन को परिभाषित करता है।फलन और मैपिंग
Domain of a function
dom(f)एक फलन के अनुमत इनपुट मानों का समुच्चय।
इसे बताएं क्योंकि एक ही सूत्र विभिन्न डोमेन पर विभिन्न फलनों को परिभाषित कर सकता है।
f:ℝ→ℝ के लिए जहाँ f(x)=x², डोमेन ℝ है।फलन और मैपिंग
Codomain
Bफलन f:A→B का घोषित लक्ष्य समुच्चय।
इसका उपयोग आच्छादन को परिभाषित करने और इच्छित आउटपुट को वास्तव में प्राप्त आउटपुट से अलग करने के लिए करें।
f:ℝ→ℝ के लिए जहाँ f(x)=x², सह-डोमेन ℝ है।फलन और मैपिंग
Range of a function
f(A)एक फलन द्वारा वास्तव में प्राप्त आउटपुट मानों का समुच्चय।
इसका उपयोग आच्छादन का परीक्षण करने और व्यवहार्य आउटपुट निर्धारित करने के लिए करें।
परास (range) सह-डोमेन (codomain) से छोटा हो सकता है।
f:ℝ→ℝ के लिए जहाँ f(x)=x², रेंज [0,∞) है।फलन और मैपिंग
Image of a subset
f(S)डोमेन के एक उपसमुच्चय S के अवयवों से प्राप्त फलन मानों का समुच्चय।
इसका उपयोग यह ट्रैक करने के लिए करें कि एक मैपिंग एक चयनित क्षेत्र या संग्रह को कैसे बदलता है।
f(x)=x² और S={−2,1,3} के लिए, f(S)={1,4,9}.फलन और मैपिंग
Preimage of a subset
f⁻¹(T)डोमेन अवयवों का समुच्चय जिनके फलन मान एक चुने हुए लक्ष्य उपसमुच्चय T में स्थित हैं।
इसका उपयोग शर्तों और घटनाओं को एक फ़ंक्शन के माध्यम से वापस लाने के लिए करें।
f(x)=x² के लिए, {4} का पूर्व-छवि {−2,2} है।फलन और मैपिंग
Injective function
f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂एक फलन जो कभी भी दो भिन्न इनपुट को समान आउटपुट पर नहीं मैप करता है।
इसका उपयोग तब करें जब इनपुट को मैपिंग के बाद भी अलग-अलग रहना चाहिए।
फलन f:ℤ→ℤ जिसे f(n)=2n द्वारा परिभाषित किया गया है, एकैकी है।फलन और मैपिंग
Surjective function
f(A)=Bएक फलन जिसका रेंज उसके डोमेन के बराबर होता है।
इसका उपयोग तब करें जब प्रत्येक घोषित लक्ष्य को कम से कम एक इनपुट द्वारा प्राप्त किया जाना चाहिए।
फलन f:ℝ→[0,∞) जिसे f(x)=x² द्वारा परिभाषित किया गया है, सर्वात्मक है।फलन और मैपिंग
Bijective function
A↔Bएक फलन जो एक साथ इंजेक्टिव और सर्जेक्टिव दोनों है।
इसका उपयोग दो सेटों को तत्व दर तत्व जोड़ने, कार्डिनलिटी की तुलना करने और एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए करें।
फलन f:ℤ→ℤ जिसे f(n)=n+1 द्वारा परिभाषित किया गया है, द्विविभाजित है।फलन और मैपिंग
Inverse function
f⁻¹:B→Aएक फलन जो प्रत्येक आउटपुट को उसके अद्वितीय इनपुट पर भेजकर एक द्विविभाजन को उलट देता है।
इसका उपयोग एक प्रतिवर्ती मैपिंग को पूर्ववत करने के लिए करें।
पूर्व-छवि (preimage) संकेतन f⁻¹(T) उपसमुच्चयों के लिए परिभाषित है, भले ही व्युत्क्रम फलन (inverse function) मौजूद न हो।
यदि f(x)=2x+1 on ℝ, तो f⁻¹(y)=(y−1)/2.फलन और मैपिंग
Function composition
g∘fएक फलन जो पहले f और फिर g को लागू करके बनता है।
इसका उपयोग सरल चरणों से जटिल परिवर्तनों का निर्माण करने के लिए करें।
यदि f(x)=x+1 और g(x)=2x, तो (g∘f)(x)=2x+2.फलन और मैपिंग
Identity function
id_Aवह फलन जो एक समुच्चय के प्रत्येक तत्व को स्वयं में मैप करता है।
इसका उपयोग फलन संयोजन के लिए तटस्थ तत्व के रूप में करें।
प्रत्येक फलन f:A→B के लिए, f∘id_A=f और id_B∘f=f.फलन और मैपिंग
Restriction of a function
f|_Sएक फलन जो f के डोमेन को एक उपसमुच्चय S तक सीमित करके प्राप्त किया जाता है।
इसका उपयोग स्थानीय व्यवहार का अध्ययन करने या एक फ़ंक्शन को एक छोटे डोमेन पर इंजेक्टिव बनाने के लिए करें।
वर्ग फलन जो [0,∞) तक सीमित है, वह एकैकी (injective) है।फलन और मैपिंग
Indicator function
1_A(x)एक फलन जो A में तत्वों के लिए 1 और A के बाहर के तत्वों के लिए 0 लौटाता है।
इसका उपयोग प्रायिकता, समाकलन और डेटा प्रोसेसिंग में बीजगणितीय रूप से सदस्यता को एन्कोड करने के लिए करें।
A={2,4} के लिए, 1_A(2)=1 और 1_A(3)=0.अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Equinumerous sets
|A|=|B|ऐसे समुच्चय जो एक द्विविभाजन से जुड़े होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें समान कार्डिनैलिटी होती है।
सीधे गणना किए बिना आकारों की तुलना करने के लिए द्विरैखिक (bijections) का उपयोग करें, खासकर अनंत समुच्चयों के लिए।
प्राकृतिक संख्याएँ ℕ और सम प्राकृतिक संख्याएँ f(n)=2n के माध्यम से समसंख्यात्मक हैं।अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Countable set
एक परिमित समुच्चय या एक समुच्चय जिसे प्राकृतिक संख्याओं में इंजेक्ट किया जा सकता है।
इसका उपयोग उन संग्रहों के लिए करें जिनके अवयवों को संभवतः अंतराल के साथ एक अनुक्रम में सूचीबद्ध किया जा सकता है।
ℕ का प्रत्येक उपसमुच्चय गणनीय है।अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Countably infinite set
|A|=ℵ₀एक अनंत समुच्चय जिसे प्राकृतिक संख्याओं के साथ द्विविभाजन किया जा सकता है।
इसका उपयोग अनुक्रम-आकार की अनंतता को बड़ी कार्डिनलिटी से अलग करने के लिए करें।
पूर्णांक समुच्चय ℤ और परिमेय संख्या समुच्चय ℚ गणनीय रूप से अनंत हैं।अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Uncountable set
एक समुच्चय जिसे प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय के साथ द्विविभाजन नहीं किया जा सकता है।
इसका उपयोग वास्तविक संख्याओं और फलन स्थानों जैसे बड़े अनंत समुच्चयों के लिए करें।
अंतराल [0,1] अगणनीय है।अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Aleph-null
ℵ₀प्राकृतिक संख्याओं और प्रत्येक गणनीय अनंत समुच्चय की कार्डिनैलिटी।
इसका उपयोग सबसे छोटे अनंत कार्डिनल के रूप में करें।
|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Cardinality of the continuum
𝔠वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी, जो ℕ के घात समुच्चय की कार्डिनैलिटी के बराबर है।
इसका उपयोग अंतराल के आकार, वास्तविक-मान वाले अनुक्रमों और निरंतर ज्यामितीय सेटों के लिए करें।
|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Cantor's diagonal argument
एक विधि जो एक वस्तु का निर्माण करती है जो nवें सूचीबद्ध वस्तु से उसके nवें घटक में भिन्न होती है।
इसका उपयोग यह साबित करने के लिए करें कि एक प्रस्तावित सूची अधूरी है, खासकर वास्तविक संख्याओं या अनंत अनुक्रमों के लिए।
द्विविभाजन सिद्ध करता है कि बाइनरी अनुक्रमों को ℕ द्वारा सूचीबद्ध नहीं किया जा सकता है।अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Cantor's theorem
|A|<|𝒫(A)|किसी भी समुच्चय के घात समुच्चय (power set) का कार्डिनैलिटी (cardinality) मूल समुच्चय से सख्ती से अधिक होता है।
इसका उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि कोई भी सबसे बड़ा कार्डिनल नहीं है और बड़ी अनंतताओं को उत्पन्न करने के लिए।
A से 𝒫(A) तक का कोई भी फलन आच्छादक (surjective) नहीं हो सकता।अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Cardinal arithmetic
κ+λ, κλ, κ^λकार्डिनल संख्याओं पर अलग-अलग संघों, कार्टेशियन उत्पादों और फलन समुच्चयों के माध्यम से परिभाषित अंकगणितीय संक्रियाएं।
इसका उपयोग संयुक्त असीमित संग्रहों के आकारों की तुलना करने के लिए करें।
अनंत गणनीय समुच्चयों के लिए, ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ और ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀.अनंत समुच्चय और कार्डिनैलिटी
Dedekind-infinite set
एक समुच्चय जो अपने किसी एक उचित उपसमुच्चय के साथ समान संख्या वाला होता है।
इसका उपयोग मानक समुच्चय सिद्धांत में अनंतता की एक संरचनात्मक विशेषता के रूप में करें।
n↦n+1 प्राकृतिक संख्याओं से उचित उपसमुच्चय ℕ∖{0} तक एक द्विविभाजन है।स्वयंसिद्ध और नींव
Naive set theory
एक अनौपचारिक दृष्टिकोण जो समुच्चयों को समझने योग्य गुणों द्वारा वर्णित मनमाना संग्रह के रूप में मानता है।
इसका उपयोग सामान्य गणित में करें जब मूलभूत विरोधाभास मुद्दा न हों।
किसी गुणधर्म द्वारा असीमित संग्रह विरोधाभासों को जन्म देता है, इसलिए औपचारिक नींव स्वयंसिद्धों का उपयोग करती है।
बुनियादी संघ और प्रतिच्छेदन गणनाओं के लिए आमतौर पर केवल भोला समुच्चय सिद्धांत की आवश्यकता होती है।स्वयंसिद्ध और नींव
Russell's paradox
R={x:x∉x}वह विरोधाभास जो सभी समुच्चयों के समुच्चय के बारे में पूछने से उत्पन्न होता है जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं, और यह पूछना कि क्या वह समुच्चय स्वयं का सदस्य है।
इसका उपयोग यह समझने के लिए करें कि असीमित सेट समझ अमान्य क्यों है।
यदि R∈R है तो R∉R होता है, जबकि यदि R∉R है तो R∈R होता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiomatic set theory
एक औपचारिक सिद्धांत जो केवल निर्दिष्ट स्वयंसिद्धों के माध्यम से समुच्चयों और संरचनाओं की अनुमति देता है।
इसका उपयोग गणित के लिए एक सुसंगत आधार प्रदान करने और ज्ञात विरोधाभासों से बचने के लिए करें।
ZF और ZFC सेट सिद्धांत के लिए मानक स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ हैं।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom of extensionality
दो समुच्चय बराबर होते हैं केवल तभी जब उनमें समान अवयव हों।
इसका उपयोग सदस्यता को पूरी तरह से एक सेट की पहचान निर्धारित करने के लिए करें।
A=B को सिद्ध करने के लिए, यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि x∈A यदि और केवल यदि x∈B, प्रत्येक x के लिए।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom of pairing
किसी भी वस्तुओं a और b के लिए, एक समुच्चय {a,b} मौजूद है।
इसका उपयोग जोड़े और एकल सेटों का निर्माण करने के लिए करें।
a=b लेने पर एकल समुच्चय {a} प्राप्त होता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom of union
⋃Aसमुच्चयों के किसी भी समुच्चय A के लिए, एक समुच्चय मौजूद है जिसमें इसके सदस्य समुच्चयों के तत्व ठीक होते हैं।
इसका उपयोग नेस्टेड सेटों के एक स्तर को समतल करने और संघों का निर्माण करने के लिए करें।
समुच्चय A={{1,2},{2,3}} के लिए, संघaxiom (union axiom) को लागू करने पर, ⋃A={1,2,3} प्राप्त होता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom of power set
प्रत्येक समुच्चय A के लिए, एक समुच्चय मौजूद है जिसमें A के सभी उपसमुच्चयों को ठीक से शामिल किया गया है।
इसका उपयोग फ़ंक्शन स्पेस, टोपोलॉजी और बड़े कार्डिनलिटी का निर्माण करने के लिए करें।
यह स्वयंसिद्ध 𝒫(A) के अस्तित्व की गारंटी देता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom of infinity
एक स्वयंसिद्ध जो प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण का समर्थन करने वाले एक आगमनात्मक समुच्चय के अस्तित्व को बताता है।
इसका उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए करें कि सेट सिद्धांत में कम से कम एक अनंत सेट है।
प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण एक प्रेरण समुच्चय के अंदर किया जा सकता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom schema of separation
एक स्कीमा जो किसी मौजूदा समुच्चय से एक संपत्ति को संतुष्ट करने वाले तत्वों का चयन करने की अनुमति देता है।
इसका उपयोग उपसमुच्चयों को परिभाषित करने के लिए करें, लेकिन किसी भी संपत्ति को संतुष्ट करने वाले सभी तत्वों के एक असीमित सेट की अनुमति न दें।
A और गुणधर्म P को देखते हुए, पृथक्करण {x∈A:P(x)} बनाता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom schema of replacement
एक स्कीमा जो बताता है कि एक परिभाषित कार्यात्मक नियम के तहत एक समुच्चय की छवि भी एक समुच्चय होती है।
इसका उपयोग असीम निर्माणों और बड़े क्रम संख्याओं द्वारा अनुक्रमित छवियों के लिए करें।
एक परिभाषित नियम F एक समुच्चय A को {F(x): x∈A} समुच्चय में बदल देता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom of foundation
प्रत्येक गैर-रिक्त समुच्चय में समुच्चय से अलग एक तत्व होता है, जो अनंत अवरोही सदस्यता श्रृंखलाओं को रोकता है।
इसका उपयोग सामान्य सेटों को बाहर करने के लिए करें जैसे कि x∈x और गोलाकार सदस्यता श्रृंखलाएं।
नींव एक दो-समुच्चय चक्र को रोकता है जिसमें a∈b और b∈a होता है।स्वयंसिद्ध और नींव
Axiom of choice
गैर-रिक्त समुच्चयों के प्रत्येक परिवार के लिए, एक फलन मौजूद है जो प्रत्येक समुच्चय से एक तत्व चुनता है।
इसका उपयोग ऐसे परिणामों में करें जैसे कि अच्छी-क्रमबद्धता प्रमेय, ज़ोर्न का लेम्मा और वेक्टर-स्पेस आधारों का अस्तित्व।
यह स्वयंसिद्ध किसी भी स्पष्ट चयन नियम के ज्ञात न होने पर भी एक चयन फलन प्रदान करता है।स्वयंसिद्ध और नींव
ZF set theory
ZFज़र्मेलो-फ्राएनकेल समुच्चय सिद्धांत, जिसमें चुनाव के स्वयंसिद्ध को शामिल नहीं किया गया है।
जब विकल्पों की स्थिति को अलग रखा जाता है तो इसका उपयोग एक मानक औपचारिक नींव के रूप में करें।
ZF में एक्सटेंशनालिटी, पेयरिंग, यूनियन, पावर सेट, अनंतता, पृथक्करण, प्रतिस्थापन और नींव शामिल हैं।स्वयंसिद्ध और नींव
ZFC set theory
ZFCZF सेट सिद्धांत, चुनाव के स्वयंसिद्ध के साथ।
इसका उपयोग मुख्यधारा के गणित के लिए सबसे आम मूलभूत ढांचे के रूप में करें।
अधिकांश सामान्य गणितीय परिणाम ZFC में औपचारिक रूप से व्यक्त किए जा सकते हैं।स्वयंसिद्ध और नींव
Transitive set
एक समुच्चय जिसके प्रत्येक तत्व स्वयं भी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
इसका उपयोग क्रम सिद्धांत, सेट पदानुक्रमों और सेट सिद्धांत के मॉडलों में करें।
समुच्चय {∅,{∅}} सकर्मक (transitive) है।स्वयंसिद्ध और नींव
Ordinal number
α,β,ωएक मानक समुच्चय जो एक अच्छी तरह से क्रमबद्ध समुच्चय के क्रम प्रकार का प्रतिनिधित्व करता है।
इसका उपयोग स्थितियों, असीम प्रेरण और परिमित क्रम से परे चरणों का वर्णन करने के लिए करें।
पहला अनंत क्रम संख्या ω है, जो सभी परिमित क्रम संख्याओं के बाद आती है।स्वयंसिद्ध और नींव
Cardinal number
κ,λसमान संख्या वाले समुच्चयों द्वारा साझा किए गए आकार का एक मानक प्रतिनिधि।
इसका उपयोग सेट आकारों की तुलना करने के लिए करें, चाहे क्रम या आंतरिक संरचना से कोई फर्क न पड़े।
परिमित कार्डिनैलिटी 3 प्रत्येक तीन-तत्व समुच्चय का प्रतिनिधित्व करती है।अनुप्रयोग
Sample space and event
Ω, E⊆Ωप्रायिकता में, नमूना स्थान संभावित परिणामों का समुच्चय है और एक घटना इसके उपसमुच्चयों में से एक है।
घटनाओं और पूरकों को संयोजित करने के लिए सेट संचालन का उपयोग करें ताकि विफलता को व्यक्त किया जा सके।
एक पासे के लिए, Ω={1,2,3,4,5,6} और सम घटना E={2,4,6} है।अनुप्रयोग
Solution set
सभी मानों का समुच्चय जो एक समीकरण, असमानता या बाधाओं के समूह को संतुष्ट करते हैं।
इसका उपयोग शून्य, एक, कई या अनगिनत समाधानों को समान रूप से व्यक्त करने के लिए करें।
समीकरण x²=4 का वास्तविक हल समुच्चय {−2,2} है।अनुप्रयोग
Carrier set
वह मूल समुच्चय जिसमें एक बीजगणितीय या तार्किक संरचना परिभाषित है।
इसका उपयोग कच्चे तत्वों को उन संचालन और संबंधों से अलग करने के लिए करें जो उन पर जोड़े जाते हैं।
एक समूह (G,*) में, G समुच्चय होता है और * ऑपरेशन होता है।अनुप्रयोग
Database set operations
ऐसी संक्रियाएँ जैसे UNION, INTERSECT और EXCEPT जो सेट-जैसे अर्थ का उपयोग करके संगत क्वेरी परिणामों को जोड़ती हैं।
उनका उपयोग परिणाम पंक्तियों को मर्ज करने, तुलना करने या घटाने के लिए करें।
डेटाबेस तालिकाओं में डुप्लिकेट और नल मान हो सकते हैं, इसलिए SQL सिमेंटिक्स शुद्ध समुच्चय सिद्धांत के समान नहीं हैं।
UNION डुप्लिकेट पंक्तियों को हटा देता है जब तक कि UNION ALL का उपयोग न किया जाए।अनुप्रयोग
Set data structure
एक प्रोग्रामिंग संग्रह जो अद्वितीय मानों को संग्रहीत करता है और आमतौर पर तेज़ सदस्यता परीक्षणों का समर्थन करता है।
इसका उपयोग डुप्लिकेट हटाने, देखी गई स्थिति ट्रैकिंग और सदस्यता लुकअप के लिए करें।
एक समुच्चय [3,1,3,2] की सूची को अद्वितीय मानों {1,2,3} में कम कर सकता है।अनुप्रयोग
Type interpreted as a set
एक दृष्टिकोण जिसमें एक प्रकार को उन मानों के समुच्चय के रूप में माना जाता है जो उस प्रकार द्वारा अनुमत होते हैं।
इसका उपयोग सत्यापन, संघों, प्रतिच्छेदन, उपप्रकारों और संपूर्ण मामलों के बारे में तर्क करने के लिए करें।
एक बूलियन प्रकार को {true, false} के समुच्चय द्वारा दर्शाया जा सकता है।