पूर्णांक और नींव
पूर्णांक
Integer
संकेतन
ℤअर्थ
एक पूर्ण संख्या जो ऋणात्मक, शून्य या धनात्मक हो सकती है।
कब उपयोग करें
दिशा, सूचकांक, अंतर और सटीक असतत गणना के साथ गणना के लिए पूर्णांकों का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
-4, 0, और 27 पूर्णांक हैं।गणित संदर्भ
संख्या सिद्धांत शब्द और गणना गाइड
पूर्णांक, अभाज्य संख्याएँ, मॉड्यूलर अंकगणित, चक्रीय-समूह जनरेटर, द्विघात अवशेष, डायोफैंटाइन समीकरण और RSA की खोज सूत्रों और काम किए गए उदाहरणों के साथ करें।
जनरेटर चक्र मॉड्यूल 7
3 की क्रमिक घातें 1 पर लौटने से पहले प्रत्येक गैर-शून्य अवशेष पर जाती हैं।
मॉड्यूल 7 के द्विघात अवशेष
गैर-शून्य अवशेषों का वर्ग केवल 1, 2 और 4 उत्पन्न करता है।
55 शब्द
पूर्णांक और नींव
प्राकृतिक संख्या
Natural number
संकेतन
ℕअर्थ
एक गणन संख्या; शून्य को शामिल किया जाए या नहीं, यह उपयोग किए जा रहे सम्मेलन पर निर्भर करता है।
कब उपयोग करें
प्रमाण, विनिर्देश या प्रोग्राम में प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने से पहले परंपरा बताएं।
सावधानी
कुछ पुस्तकें प्राकृतिक संख्याओं को 1 से शुरू होने के रूप में परिभाषित करती हैं, इसलिए हमेशा परंपरा की जांच करें।
गणना उदाहरण
This guide uses ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}.पूर्णांक और नींव
निरपेक्ष मान
Absolute value
संकेतन
|a|अर्थ
संख्या रेखा पर शून्य से एक पूर्णांक की गैर-ऋणात्मक दूरी।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग परिमाण, दूरी, त्रुटि और सममित सीमाओं को व्यक्त करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
|-7| = 7 and |5 - 12| = 7.पूर्णांक और नींव
समता
Parity
संकेतन
n mod 2अर्थ
एक पूर्णांक का सम या विषम होने का गुण।
कब उपयोग करें
शाखाओं, वैकल्पिक पैटर्न, प्रमाणों, चेकसम और बिट-स्तरीय तर्क के लिए समानता का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
18 mod 2 = 0, so 18 is even.पूर्णांक और नींव
विभाजन एल्गोरिथ्म
Division algorithm
संकेतन
a = bq + rअर्थ
पूर्णांक a और धनात्मक b के लिए, अद्वितीय पूर्णांक q और r होते हैं जिनके साथ 0 ≤ r < b होता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग भागफल, शेष, यूक्लिडियन एल्गोरिदम और मॉड्यूलर अंकगणित की नींव के रूप में करें।
गणना उदाहरण
29 = 6 × 4 + 5, so q = 4 and r = 5.विभाज्यता
भाजक
Divisor
संकेतन
d | nअर्थ
एक पूर्णांक d एक पूर्णांक n का भाजक है जब n = dk होता है, जहाँ कुछ पूर्णांक k होता है।
कब उपयोग करें
कारक संरचना, सामान्य कारकों और सटीक विभाज्यता का विश्लेषण करने के लिए विभाजकों का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
6 | 42 because 42 = 6 × 7.विभाज्यता
गुणज
Multiple
संकेतन
n = dkअर्थ
एक संख्या जो एक पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक से गुणा करके प्राप्त होती है।
कब उपयोग करें
अनुसूचियों, सामान्य अवधियों, चक्रीय प्रणालियों और भाजक संरेखण के लिए गुणकों का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
5 के गुणजों में 0, 5, 10, 15 और 20 शामिल हैं।विभाज्यता
विभाज्यता परीक्षण
Divisibility test
संकेतन
n mod d = 0अर्थ
एक नियम जो यह निर्धारित करता है कि एक पूर्णांक दूसरे को विभाजित करता है या नहीं, बिना लंबे विभाजन को पूरा किए।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग त्वरित जांच, मानसिक अंकगणित, इनपुट सत्यापन और स्थान-मान संरचना को सिखाने के लिए करें।
गणना उदाहरण
7,452 is divisible by 3 because 7 + 4 + 5 + 2 = 18.विभाज्यता
महत्तम समापवर्तक
Greatest common divisor
संकेतन
gcd(a, b)अर्थ
सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक जो दोनों पूर्णांकों को बिल्कुल विभाजित करती है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग भिन्नों को कम करने, सह-अभाज्यता का परीक्षण करने, सर्वांगसमताओं को हल करने और अनुपात की गणना करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
gcd(84, 30) = 6.विभाज्यता
लघुत्तम समापवर्त्य
Least common multiple
संकेतन
lcm(a, b)अर्थ
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जो दोनों गैर-शून्य पूर्णांकों का गुणज है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग चक्रों को सिंक्रनाइज़ करने, भिन्नों को संयोजित करने और दोहराने वाले अनुसूचियों की गणना करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
lcm(12, 18) = 36.विभाज्यता
GCD-LCM पहचान
GCD-LCM identity
संकेतन
gcd(a,b)lcm(a,b)=|ab|अर्थ
दो गैर-शून्य पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक और सबसे छोटे सामान्य गुणज को जोड़ने वाला संबंध।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग एक मात्रा की कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए करें जब दूसरा पहले से ही ज्ञात हो।
गणना उदाहरण
gcd(12,18)=6, so lcm(12,18)=|12×18|/6=36.विभाज्यता
यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म
Euclidean algorithm
संकेतन
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)अर्थ
सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए एक दोहराव वाला अवशिष्ट एल्गोरिथ्म।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग इनपुट पूर्णांकों के बड़े होने पर भी तेज़ GCD गणना के लिए करें।
गणना उदाहरण
gcd(252,105) = gcd(105,42) = gcd(42,21) = 21.विभाज्यता
विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म
Extended Euclidean algorithm
संकेतन
ax + by = gcd(a,b)अर्थ
यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का एक विस्तार जो बेज़आउट गुणांक x और y भी ढूंढता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग मॉड्यूलर व्युत्क्रमों की गणना करने और रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
35×(-1) + 12×3 = 1, इसलिए -1, 35 का एक गुणांक है।विभाज्यता
सह-अभाज्य पूर्णांक
Coprime integers
संकेतन
gcd(a,b)=1अर्थ
दो पूर्णांक सह-अभाज्य होते हैं जब उनका सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 होता है।
कब उपयोग करें
मॉड्यूलो n में व्युत्क्रमणीयता निर्धारित करने और यूलर के प्रमेय को लागू करने के लिए सह-अभाज्य का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
8 और 15 सह-अभाज्य हैं, भले ही इनमें से कोई भी संख्या अभाज्य न हो।अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन
अभाज्य संख्या
Prime number
संकेतन
pअर्थ
1 से बड़ा एक पूर्णांक जिसके एकमात्र धनात्मक भाजक 1 और स्वयं होते हैं।
कब उपयोग करें
पूर्णांक गुणनखंड और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी के मूल निर्माण खंडों के रूप में अभाज्य संख्याओं का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
2, 3, 5, 7, और 11 अभाज्य संख्याएँ हैं।अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन
संयुक्त संख्या
Composite number
संकेतन
n = abअर्थ
1 से बड़ा एक पूर्णांक जिसका 1 और स्वयं के अलावा एक धनात्मक भाजक होता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग गुणनखंडित पूर्णांकों को अभाज्य संख्याओं से अलग करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
21 is composite because 21 = 3 × 7.अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन
अभाज्य गुणनखंडन
Prime factorization
संकेतन
n=∏pᵢ^aᵢअर्थ
किसी पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखना।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग भाजक, GCD, LCM और अंकगणितीय कार्यों की गणना करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
360 = 2^3 × 3^2 × 5.अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन
अंकगणित का मौलिक प्रमेय
Fundamental theorem of arithmetic
संकेतन
n=∏pᵢ^aᵢअर्थ
1 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक का एक अभाज्य गुणनखंड होता है जो कारक क्रम तक अद्वितीय होता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग अभाज्य घातांकों पर आधारित एल्गोरिदम और प्रमाणों को सही ठहराने के लिए करें।
गणना उदाहरण
72 = 2^3 × 3^2, 72 का अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड है।अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन
एराटोस्थनीज की छलनी
Sieve of Eratosthenes
अर्थ
एक एल्गोरिथ्म जो प्रत्येक खोजे गए अभाज्य के गुणकों को बार-बार चिह्नित करके एक सीमा तक अभाज्य संख्याओं की सूची बनाता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग तब करें जब कई अभाज्य प्रश्न एक ही मध्यम ऊपरी सीमा साझा करते हैं।
गणना उदाहरण
30 तक के अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए, 2, 3 और 5 के गुणजों को चिह्नित करें।अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन
अभाज्यत्व परीक्षण
Primality test
अर्थ
एक एल्गोरिथ्म जो यह तय करता है कि कोई दिया गया पूर्णांक अभाज्य है या नहीं।
कब उपयोग करें
छोटे इनपुट के लिए परीक्षण विभाजन और बड़े इनपुट के लिए मिलर-राबिन जैसे संभाव्य परीक्षणों का उपयोग करें।
सावधानी
एक संभावित-अभाज्य परीक्षण को इच्छित पूर्णांक श्रेणी के लिए कई राउंड या एक नियतात्मक आधार सेट की आवश्यकता हो सकती है।
गणना उदाहरण
परीक्षण विभाजन के लिए केवल संभावित विभाजकों की आवश्यकता होती है जो √n तक हैं।मॉड्यूलर अंकगणित
सर्वांगसमता
Congruence
संकेतन
a ≡ b (mod n)अर्थ
दो पूर्णांक सर्वांगसम हैं मॉड्यूल n जब n उनके अंतर को विभाजित करता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग चक्रीय गणनाओं में पूर्णांकों को समकक्ष अवशेषों से बदलने के लिए करें।
गणना उदाहरण
29 ≡ 5 (mod 12) क्योंकि 12, 29 - 5 को विभाजित करता है।मॉड्यूलर अंकगणित
अवशिष्ट वर्ग
Residue class
संकेतन
[a]ₙअर्थ
सभी पूर्णांकों का समुच्चय जो एक निश्चित पूर्णांक के सापेक्ष n के अनुरूप हैं।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग मॉड्यूलर मानों के बारे में समतुल्य वर्गों के रूप में तर्क करने के लिए करें, न कि अलग-अलग संख्याओं के रूप में।
गणना उदाहरण
[2]₅ = {..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}.मॉड्यूलर अंकगणित
मॉड्यूलो ऑपरेशन
Modulo operation
संकेतन
a mod nअर्थ
एक ऑपरेशन जो n से विभाजन के बाद एक प्रतिनिधि अवशिष्ट लौटाता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग अनुक्रमणिकाओं, घड़ियों, हैश बकेट और आवधिक राज्यों को लपेटने के लिए करें।
गणना उदाहरण
(23 + 5) mod 24 = 4.मॉड्यूलर अंकगणित
मॉड्यूलर अंकगणित
Modular arithmetic
संकेतन
ℤ/nℤअर्थ
अवशिष्ट वर्गों पर अंकगणित किया जाता है, जिसके परिणाम n के मॉड्यूल में कम किए जाते हैं।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफी, कोडिंग सिद्धांत, चक्रीय बफ़र्स और कैलेंडर गणना में करें।
गणना उदाहरण
(17 × 19) mod 12 = 11.मॉड्यूलर अंकगणित
मॉड्यूलर व्युत्क्रम
Modular inverse
संकेतन
a⁻¹ mod nअर्थ
एक मान x जो ax ≡ 1 (mod n) को संतुष्ट करता है; यह केवल तभी मौजूद होता है जब gcd(a,n)=1 होता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग मॉड्यूलर अंकगणित में विभाजन करने, सर्वांगसमताओं को हल करने और क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम को लागू करने के लिए करें।
सावधानी
मॉड्यूलर विभाजन का प्रयास करने से पहले यह जांचना सुनिश्चित करें कि भाजक मॉड्यूलो के साथ सहअभाज्य है।
गणना उदाहरण
3⁻¹ mod 7 = 5 because 3 × 5 ≡ 1 (mod 7).मॉड्यूलर अंकगणित
मॉड्यूलर घातांक
Modular exponentiation
संकेतन
a^k mod nअर्थ
n के मॉड्यूल में संभावित रूप से विशाल पूर्ण घात का निर्माण किए बिना, घात की गणना करना।
कब उपयोग करें
क्रिप्टोग्राफी, अभाज्यता परीक्षण और बड़े-घातांक समस्याओं में दोहराव वाले वर्ग का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
3^13 mod 7 = 3 using repeated squaring.मॉड्यूलर अंकगणित
रैखिक सर्वांगसमता
Linear congruence
संकेतन
ax ≡ b (mod n)अर्थ
एक सर्वांगसमता जो पूर्णांक x की तलाश करती है जो एक रैखिक मॉड्यूलर समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
कब उपयोग करें
समाधानों को निर्धारित और गणना करने के लिए GCD शर्तों और मॉड्यूलर व्युत्क्रमों का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
3x ≡ 4 (mod 7) से x ≡ 6 (mod 7) प्राप्त होता है।मॉड्यूलर अंकगणित
चीनी शेष प्रमेय
Chinese remainder theorem
संकेतन
x ≡ aᵢ (mod nᵢ)अर्थ
एक प्रमेय जो संगत सर्वांगसमताओं को जोड़ता है, जो जब मॉड्यूली युग्मवार सह-अभाज्य होते हैं तो एक अद्वितीय समाधान मॉड्यूल उत्पाद देता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग स्वतंत्र चक्रीय बाधाओं को संयोजित करने और बड़े-पूर्णांक गणना को गति देने के लिए करें।
गणना उदाहरण
x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5) से x ≡ 8 (mod 15) प्राप्त होता है।मॉड्यूलर अंकगणित
यूलर का टोटिएंट फलन
Euler's totient function
संकेतन
φ(n)अर्थ
1 से n तक की पूर्णांकों की संख्या जो n के साथ सह-अभाज्य हैं।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग यूलर के प्रमेय, RSA कुंजी गणना और कम अवशेष प्रणालियों में करें।
गणना उदाहरण
φ(12) = 4 क्योंकि 1, 5, 7, और 11, 12 के सहअभाज्य हैं।मॉड्यूलर अंकगणित
यूलर का प्रमेय
Euler's theorem
संकेतन
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)अर्थ
यदि a और n सहअभाज्य हैं, तो a को φ(n) तक बढ़ाने पर यह 1 मॉड्यूलो n देता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग घातांकों को कम करने, मॉड्यूलर पहचान साबित करने और RSA को समझाने के लिए करें।
गणना उदाहरण
gcd(3,10)=1 and φ(10)=4, so 3^4 ≡ 1 (mod 10).मॉड्यूलर अंकगणित
फर्मा का छोटा प्रमेय
Fermat's little theorem
संकेतन
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)अर्थ
अभाज्य p और a के लिए जो p से विभाज्य नहीं है, a को p-1 तक बढ़ाने पर यह 1 के समतुल्य होता है मॉड्यूलो p।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग एक अभाज्य मापांक के तहत मॉड्यूलर व्युत्क्रमों और अभाज्यता स्क्रीनिंग के लिए करें।
सावधानी
फर्मा परीक्षण पास करना यह साबित नहीं करता है कि कोई संख्या अभाज्य है क्योंकि छद्म अभाज्य संख्याएँ मौजूद हैं।
गणना उदाहरण
2^6 ≡ 1 (mod 7).चक्रीय समूह और जनरेटर
समूह
Group
संकेतन
(G, *)अर्थ
एक समुच्चय जिसमें एक साहचर्य (associative) ऑपरेशन, एक तत्समक (identity) तत्व और प्रत्येक तत्व के लिए एक व्युत्क्रम (inverse) होता है।
कब उपयोग करें
अंकगणितीय संरचनाओं का वर्णन करने के लिए समूहों का उपयोग करें, जिसमें संचालन को जोड़ा और उलटा किया जा सकता है।
गणना उदाहरण
पूर्णांक, 0 की पहचान और a के लिए -a के व्युत्क्रम के साथ, जोड़ के तहत एक समूह बनाते हैं।चक्रीय समूह और जनरेटर
एबेलियन समूह
Abelian group
संकेतन
a*b=b*aअर्थ
एक समूह जिसका ऑपरेशन क्रमविनिमेय (commutative) है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग मॉड्यूलर जोड़, सदिश जोड़ और कई अंकगणितीय समूहों के लिए करें, जहां संचालन का क्रम मायने नहीं रखता है।
गणना उदाहरण
(ℤ/nℤ, +) एक एबेलियन समूह है।चक्रीय समूह और जनरेटर
मापांक n के अनुसार योगात्मक समूह
Additive group modulo n
संकेतन
(ℤ/nℤ, +)अर्थ
n के मॉड्यूल में अवशिष्ट वर्ग, जिसमें जोड़ modulo n किया जाता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग चक्रीय काउंटर, आवधिक अवस्थाओं और जोड़ के तहत सर्वांगसमता वर्गों को मॉडल करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
In ℤ/5ℤ, 3+4=2.चक्रीय समूह और जनरेटर
इकाइयों का गुणात्मक समूह
Multiplicative group of units
संकेतन
(ℤ/nℤ)×अर्थ
n के सहअभाज्य अवशिष्ट वर्ग, गुणन modulo n के साथ।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग मॉड्यूलर व्युत्क्रम, आदिम मूल, यूलर के प्रमेय और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी का अध्ययन करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
(ℤ/8ℤ)×={1,3,5,7}.चक्रीय समूह और जनरेटर
चक्रीय समूह
Cyclic group
संकेतन
G=⟨g⟩अर्थ
एक समूह जिसके प्रत्येक तत्व एक तत्व की घात या बार-बार योग है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग समूह संचालन को घातांकों या पूर्णांक गुणकों पर अंकगणित में कम करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
योगात्मक समूह ℤ/6ℤ, 1 और 5 द्वारा उत्पन्न होता है।चक्रीय समूह और जनरेटर
जनरेटर
Generator
संकेतन
⟨g⟩=Gअर्थ
एक तत्व जिसका बार-बार समूह ऑपरेशन एक चक्रीय समूह के प्रत्येक तत्व का उत्पादन करता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग चक्रीय समूहों को सूचीबद्ध करने और घातांक-आधारित क्रिप्टोग्राफिक संचालन को परिभाषित करने के लिए करें।
सावधानी
हमेशा समूह और ऑपरेशन बताएं क्योंकि एक तत्व एक संरचना उत्पन्न कर सकता है लेकिन दूसरी नहीं।
गणना उदाहरण
3 की घातें मॉड्यूल 7 में 3, 2, 6, 4, 5, 1 उत्पन्न करती हैं, इसलिए 3 (ℤ/7ℤ)× उत्पन्न करता है।चक्रीय समूह और जनरेटर
एक तत्व का क्रम
Order of an element
संकेतन
ord(g)अर्थ
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक k, जिसके लिए g^k, पहचान तत्व है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग यह परीक्षण करने के लिए करें कि क्या कोई तत्व एक जनरेटर है और चक्र की लंबाई निर्धारित करने के लिए।
गणना उदाहरण
मॉड्यूल 7, ord(2)=3 क्योंकि 2^3≡1 और कोई भी छोटा धनात्मक घातांक काम नहीं करता है।चक्रीय समूह और जनरेटर
आदिम मूल
Primitive root
संकेतन
ordₙ(g)=φ(n)अर्थ
n के मापांक के अनुसार इकाई समूह का एक जनरेटर।
कब उपयोग करें
गैर-शून्य अवशेषों को घातों के रूप में दर्शाने और असतत लघुगणक बनाने के लिए आदिम मूलों का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
3, 7 के मापांक के अनुसार एक आदिम मूल (primitive root) है क्योंकि इसका क्रम φ(7)=6 है।चक्रीय समूह और जनरेटर
आदिम मूल अस्तित्व
Primitive root existence
अर्थ
आदिम मूल n=1, 2, 4, p^k, या 2p^k के लिए बिल्कुल मौजूद होते हैं, जहाँ p एक विषम अभाज्य संख्या है।
कब उपयोग करें
किसी संयुक्त संख्या के सापेक्ष एक आदिम मूल की खोज करने से पहले इस मानदंड का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
8 का कोई आदिम मूल नहीं है क्योंकि 8 में आवश्यक रूप नहीं हैं।चक्रीय समूह और जनरेटर
असतत लघुगणक
Discrete logarithm
संकेतन
g^x=hअर्थ
एक जनरेटर g और समूह तत्व h को देखते हुए, असतत लघुगणक एक ऐसे घातांक x की तलाश करता है जो g^x=h को संतुष्ट करे।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग Diffie-Hellman, ElGamal और अण्डाकार वक्र सुरक्षा मान्यताओं को समझने के लिए करें।
सावधानी
असतत लघुगणक छोटे या खराब ढंग से चुने गए समूहों में आसान हो सकता है, और केवल उपयुक्त मापदंडों के तहत ही कठिन होता है।
गणना उदाहरण
मॉड्यूल 7 के साथ जनरेटर 3, log₃(5)=5 क्योंकि 3^5≡5.चक्रीय समूह और जनरेटर
कारमाइकल फलन
Carmichael function
संकेतन
λ(n)अर्थ
सबसे छोटा धनात्मक घातांक m, जिसके लिए a^m ≡ 1 modulo n, प्रत्येक a के लिए जो n के सहअभाज्य है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग मॉड्यूलर घातों और RSA विश्लेषण के लिए φ(n) से बेहतर सार्वभौमिक घातांक प्राप्त करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
λ(8)=2 क्योंकि प्रत्येक विषम a के लिए, a²≡1 (मॉड्यूलो 8) होता है।द्विघात अवशेष
द्विघात अवशेष
Quadratic residue
संकेतन
x²≡a (mod n)अर्थ
एक अवशेष a जिसके लिए सर्वांगसमता (congruence) x²≡a modulo n का एक हल है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग मॉड्यूलर वर्गमूल, अभाज्यत्व परीक्षण और द्विघात-अवशेष क्रिप्टोग्राफी का विश्लेषण करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
2, 7 के मापांक के अनुसार एक द्विघात अवशेष है क्योंकि 3²≡2.द्विघात अवशेष
द्विघात गैर-अवशेष
Quadratic nonresidue
अर्थ
एक गैर-शून्य अवशेष जिसके लिए x²≡a modulo n का कोई हल नहीं है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग अवशिष्टों को वर्गीकृत करने और ज्ञात द्विघात वर्ण के साथ परीक्षण या क्रिप्टोग्राफिक मापदंडों का निर्माण करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
3, 7 के मापांक के अनुसार एक द्विघात गैर-अवशेष (quadratic nonresidue) है।द्विघात अवशेष
मॉड्यूलर वर्गमूल
Modular square root
संकेतन
x=√a mod nअर्थ
x²≡a modulo n का एक हल x।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग बिंदु विघटन, संख्या-सैद्धांतिक एल्गोरिदम और अवशिष्ट-आधारित क्रिप्टोग्राफी में करें।
गणना उदाहरण
7 modulo 2 के वर्गमूल 3 और 4 हैं।द्विघात अवशेष
लेजेंड्रे प्रतीक
Legendre symbol
संकेतन
(a/p)अर्थ
एक विषम अभाज्य संख्या p के लिए, 0, 1, या -1 का एक मान जो p द्वारा विभाज्यता या p के मापांक के अनुसार द्विघात-अवशेष स्थिति को इंगित करता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग द्विघात वर्ण का परीक्षण करने और यूलर के मानदंड और द्विघात पुनरावृत्ति को संक्षिप्त रूप से बताने के लिए करें।
गणना उदाहरण
(2/7)=1 क्योंकि 2, 7 के मापांक के अनुसार एक द्विघात अवशेष है।द्विघात अवशेष
जैकोबी प्रतीक
Jacobi symbol
संकेतन
(a/n)अर्थ
लेजेंड्रे प्रतीक का धनात्मक विषम संयुक्त भाजकों (denominators) तक एक गुणात्मक विस्तार।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग कुशल वर्ण गणना और एल्गोरिदम के लिए करें जिन्हें पहले n का गुणनखंडन करने की आवश्यकता नहीं होती है।
सावधानी
जैकोबी प्रतीक का 1 होना यह गारंटी नहीं देता कि a, एक संयुक्त संख्या n के मापांक के अनुसार एक द्विघात अवशेष है।
गणना उदाहरण
(5/21)=(5/3)(5/7)=1.द्विघात अवशेष
यूलर का मानदंड
Euler's criterion
संकेतन
a^((p-1)/2)≡(a/p) (mod p)अर्थ
एक मानदंड जो मॉड्यूलर घातांक का उपयोग करके एक विषम अभाज्य संख्या के मापांक के अनुसार द्विघात-अवशेष स्थिति निर्धारित करता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग प्रत्येक वर्ग को सूचीबद्ध किए बिना लेजेंड्र प्रतीक की गणना करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
p=7 के लिए, 3^3≡-1 (mod 7), इसलिए 3 एक द्विघात गैर-अवशेष है।द्विघात अवशेष
द्विघात पुनरावृत्ति
Quadratic reciprocity
संकेतन
(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4)अर्थ
एक प्रमेय जो बताता है कि क्या एक विषम अभाज्य संख्या दूसरे के मापांक के अनुसार एक द्विघात अवशेष है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग बड़े लेजेंड्र-प्रतीक गणनाओं को छोटे में कम करने के लिए करें।
गणना उदाहरण
क्योंकि 3 और 11 दोनों 4 के मापांक में 3 हैं, (3/11)=-(11/3).द्विघात अवशेष
पूरक कानून
Supplementary laws
संकेतन
(-1/p), (2/p)अर्थ
सूत्र जो -1 और 2 के द्विघात वर्ण को एक विषम अभाज्य संख्या के सापेक्ष निर्धारित करते हैं।
कब उपयोग करें
लेजेंड्रे-प्रतीक गणना को पूरा करने के लिए इनका उपयोग द्विघात पारस्परिक संबंध के साथ करें।
गणना उदाहरण
(2/p)=1 जब p≡1 या 7 (mod 8) होता है, और -1 जब p≡3 या 5 (mod 8) होता है।द्विघात अवशेष
Tonelli-Shanks एल्गोरिथ्म
Tonelli-Shanks algorithm
अर्थ
एक विषम अभाज्य संख्या के मापांक के अनुसार एक द्विघात अवशेष का मॉड्यूलर वर्गमूल (square root) खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग तब करें जब मापांक अभाज्य हो और सरल p≡3 (मॉड्यूलो 4) शॉर्टकट लागू न हो।
गणना उदाहरण
p=13 के लिए, टोनेली-शांक्स x=6 या 7 ज्ञात करता है, जहाँ x²≡10 (mod 13).द्विघात अवशेष
एक समग्र संख्या के सापेक्ष वर्गमूल
Square roots modulo a composite
अर्थ
मॉड्यूलर वर्गमूल अभाज्य-घातक कारकों के सापेक्ष पाए जाते हैं और चीनी शेषफल प्रमेय के साथ संयुक्त होते हैं।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग Rabin-प्रकार प्रणालियों और समग्र मॉड्यूल के साथ सर्वांगसमताओं का विश्लेषण करने के लिए करें।
सावधानी
अलग-अलग विषम अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के लिए, एक अवशेष में कई वर्गमूल हो सकते हैं, इसलिए इच्छित मूल का चयन करने के लिए अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होती है।
गणना उदाहरण
x²≡1 को 3 और 5 के सापेक्ष हल करें, फिर 15 के सापेक्ष संकेत विकल्पों को मिलाएं।पूर्णांक समीकरण
डायोफैंटाइन समीकरण
Diophantine equation
अर्थ
एक समीकरण जिसके लिए केवल पूर्णांक समाधानों की तलाश की जाती है।
कब उपयोग करें
पूर्णांक समाधान मौजूद हैं या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए विभाज्यता, GCD, सर्वांगसमता और सीमाओं का उपयोग करें।
गणना उदाहरण
3x + 5y = 17 has the integer solution x = 4, y = 1.पूर्णांक समीकरण
रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण
Linear Diophantine equation
संकेतन
ax + by = cअर्थ
एक रैखिक समीकरण जिसके अज्ञात पूर्णांक होने चाहिए; समाधान केवल तभी मौजूद होते हैं जब gcd(a,b) 30 को विभाजित करता है।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग सटीक आवंटन, सिक्का समस्याओं, अनुसूचियों और जाली बाधाओं के लिए करें।
गणना उदाहरण
6x + 9y = 30 हल करने योग्य है क्योंकि gcd(6,9)=3, 30 को विभाजित करता है।अनुप्रयोग
RSA अंकगणित
RSA arithmetic
संकेतन
c ≡ m^e (mod n)अर्थ
मॉड्यूलर घातांक और बड़ी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को गुणनखंडित करने की कठिनाई पर आधारित सार्वजनिक-कुंजी अंकगणित।
कब उपयोग करें
इसका उपयोग यह समझने के लिए करें कि संख्या सिद्धांत एन्क्रिप्शन और डिजिटल हस्ताक्षर का समर्थन कैसे करता है।
सावधानी
नमूना मान केवल सीखने के लिए हैं; वास्तविक RSA के लिए मानकीकृत पैडिंग, सुरक्षित कुंजी आकार और ऑडिट किए गए पुस्तकालयों की आवश्यकता होती है।
गणना उदाहरण
उदाहरण मानों के साथ: n=55, e=3, और m=7, c=7^3 mod 55=13.