गणित संदर्भ
काम किए गए उदाहरणों के माध्यम से सदिश, मैट्रिक्स, अफ़ाइन और स्थानिक ज्यामिति, जाली, रैखिक प्रणालियों, रूपांतरणों, अपघटन, न्यूनतम वर्ग और PCA सीखें।
बिंदु से समतल तक का सबसे छोटा विस्थापन, समतल के सामान्य सदिश के समानांतर होता है।
दो आधार सदिशों के पूर्णांक संयोजन समतल को समान-क्षेत्रीय मौलिक समानांतर चतुर्भुजों के साथ टाइल करते हैं।
97 शब्द
वस्तुएँ और आकार
Scalar
aएक एकल संख्यात्मक मान जिसका उपयोग सदिशों या मैट्रिक्स को स्केल करने के लिए किया जाता है।
भार, गुणांक, शिक्षण दरों, तापमान और परिमाण के लिए स्केलर का उपयोग करें।
3[2, -1] = [6, -3].वस्तुएँ और आकार
Vector
v ∈ ℝⁿघटकों की एक क्रमित सूची जो दिशा, स्थिति, विशेषताओं या स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकती है।
निर्देशांकों, संकेतों, विशेषताओं, एम्बेडिंग और मॉडल मापदंडों को दर्शाने के लिए वैक्टर का उपयोग करें।
v = [3, 4] has two components.वस्तुएँ और आकार
Matrix
A ∈ ℝᵐˣⁿसंख्याओं की एक आयताकार सरणी जो पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित है।
डेटासेट, रैखिक प्रणालियों, परिवर्तनों, छवियों और भार को संग्रहीत करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करें।
A = [[1, 2], [3, 4]].वस्तुएँ और आकार
Tensor
T ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏएक बहुआयामी सरणी जो स्केलर, वेक्टर और मैट्रिक्स को सामान्य बनाती है।
बैचों, छवियों, वीडियो, मॉडल सक्रियण और बहु-अक्ष वैज्ञानिक डेटा के लिए टेंसर का उपयोग करें।
32 RGB छवियों का एक बैच, जिसका आकार 224×224 है, का आकार 32×3×224×224 है।वस्तुएँ और आकार
Shape
m × nएक सरणी के अक्षों के क्रमित आकार।
जोड़, गुणन, प्रसारण, आकार बदलने और मॉडल इनपुट से पहले आकृतियों की जाँच करें।
अधिकांश आव्यूह गुणन त्रुटियाँ असंगत आंतरिक आयामों से उत्पन्न होती हैं।
एक 3×4 मैट्रिक्स में 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ होते हैं।वेक्टर ऑपरेशन
Vector addition
u + vसमान आयाम वाले सदिशों का घटकवार जोड़।
इसका उपयोग विस्थापन, बल, सिग्नल, अपडेट या सुविधा योगदान को संयोजित करने के लिए करें।
[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].वेक्टर ऑपरेशन
Scalar multiplication
cvप्रत्येक सदिश घटक को समान स्केलर से गुणा करना।
इसका उपयोग परिमाण को स्केल करने, दिशा को उलटने या एक भारित अपडेट लागू करने के लिए करें।
-2[3, 1] = [-6, -2].वेक्टर ऑपरेशन
Dot product
u · vसंबंधित सदिश घटकों के गुणनफल का योग, जो एक अदिश उत्पन्न करता है।
इसका उपयोग समानता, प्रक्षेपण, कार्य, ध्यान स्कोर और रैखिक मॉडल आउटपुट के लिए करें।
[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.वेक्टर ऑपरेशन
Cross product
u × vदो इनपुट सदिशों के लंबवत सदिश, जिसका परिमाण उनके समानांतर चतुर्भुज क्षेत्र के बराबर होता है।
इसका उपयोग सतह सामान्य, टॉर्क, अभिविन्यास और 3D ज्यामिति के लिए करें।
मानक क्रॉस उत्पाद विशेष रूप से तीन आयामों के लिए है, सात-आयामी अनुरूप के अलावा।
[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].वेक्टर ऑपरेशन
Vector norm
‖v‖वेक्टर आकार का एक गैर-ऋणात्मक माप जो मानदंड अभिधारणाओं को संतुष्ट करता है।
परिमाण, दूरी, त्रुटि, नियमितीकरण और अभिसरण को मापने के लिए एक मानदंड का उपयोग करें।
For v=[3,4], ‖v‖₂=5.वेक्टर ऑपरेशन
Unit vector
v/‖v‖एक सदिश जिसका मानदंड 1 है।
इसका उपयोग दिशा को संरक्षित करते हुए परिमाण को हटाने और ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाने के लिए करें।
[3,4]/5 = [0.6,0.8].वेक्टर ऑपरेशन
Euclidean distance
‖u-v‖₂दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी जो सदिशों के रूप में दर्शाई गई है।
इसका उपयोग ज्यामिति, निकटतम-पड़ोसी खोज, क्लस्टरिंग और त्रुटि माप के लिए करें जब पैमाने तुलनीय हों।
[1,1] से [4,5] तक की दूरी 5 है।वेक्टर ऑपरेशन
Cosine similarity
u·v/(‖u‖‖v‖)दो गैर-शून्य सदिशों के बीच के कोण का कोसाइन, जो दिशात्मक समानता को मापता है।
इसका उपयोग पाठ एम्बेडिंग या उच्च-आयामी सुविधाओं की तुलना करने के लिए करें जब परिमाण का कम महत्व होना चाहिए।
कोसाइन समानता शून्य सदिश के लिए अपरिभाषित है और यह सार्थक परिमाण अंतरों को छिपा सकती है।
[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.वेक्टर ऑपरेशन
Orthogonal vectors
u·v=0शून्य डॉट उत्पाद वाले वेक्टर।
स्वतंत्र दिशाओं को अलग करने, प्रक्षेपण को सरल बनाने और स्थिर आधार बनाने के लिए ऑर्थोगोनैलिटी का उपयोग करें।
[1,2] · [2,-1] = 0, इसलिए वेक्टर लंबवत हैं।वेक्टर ऑपरेशन
Vector projection
projᵤ(v)एक सदिश का वह घटक जो किसी अन्य सदिश या उपस्थान की दिशा में स्थित होता है।
इसका उपयोग अपघटन, न्यूनतम वर्ग, छाया और एक दिशात्मक घटक को हटाने के लिए करें।
proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].आव्यूह संक्रियाएँ
Matrix addition
A+Bसमान आकार वाले मैट्रिक्स का घटकवार जोड़।
इसका उपयोग रैखिक प्रभावों, अवशिष्ट अपडेट, छवियों या संचित डेटा को संयोजित करने के लिए करें।
[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].आव्यूह संक्रियाएँ
Matrix multiplication
ABएक पंक्ति-द्वारा-स्तंभ ऑपरेशन जो रैखिक परिवर्तनों को जोड़ता है जब आंतरिक आयाम मेल खाते हैं।
इसका उपयोग निर्देशांक परिवर्तनों, तंत्रिका-नेटवर्क परतों, ग्राफ प्रसार और प्रणालियों को हल करने के लिए करें।
आव्यूह गुणन आमतौर पर क्रमविनिमेय नहीं होता है: AB, BA से भिन्न हो सकता है, या एक क्रम अपरिभाषित हो सकता है।
A₂ˣ₃B₃ˣ₄ C₂ˣ₄ उत्पन्न करता है।आव्यूह संक्रियाएँ
Transpose
Aᵀएक मैट्रिक्स जो पंक्तियों और स्तंभों को बदलकर बनाया जाता है।
इसका उपयोग डॉट उत्पादों, सहप्रसरण, सामान्य समीकरणों, समरूपता जांच और अभिविन्यास बदलने के लिए करें।
If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].आव्यूह संक्रियाएँ
Identity matrix
Iएक वर्ग मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण पर 1 और बाकी जगह 0 होते हैं।
इसका उपयोग गुणात्मक पहचान के रूप में और अपरिवर्तित निर्देशांक का वर्णन करने के लिए करें।
AI = IA = A.आव्यूह संक्रियाएँ
Inverse matrix
A⁻¹एक मैट्रिक्स जो AA⁻¹=A⁻¹A=I को संतुष्ट करता है, जहाँ A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स है।
इसका उपयोग वैचारिक रूप से एक परिवर्तन को उलटने और Ax=b को हल करने के लिए करें।
संख्यात्मक सॉफ़्टवेयर को आमतौर पर Ax=b को सीधे हल करना चाहिए, न कि A⁻¹ की स्पष्ट रूप से गणना करना।
For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].आव्यूह संक्रियाएँ
Determinant
det(A)एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक स्केलर जो हस्ताक्षरित आयतन स्केलिंग को मापता है और व्युत्क्रमणीयता को इंगित करता है।
इसका उपयोग विलक्षणता का परीक्षण करने और एक परिवर्तन के तहत अभिविन्यास या आयतन परिवर्तन का विश्लेषण करने के लिए करें।
det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.आव्यूह संक्रियाएँ
Trace
tr(A)एक वर्ग आव्यूह की मुख्य विकर्ण प्रविष्टियों का योग।
इसका उपयोग आइगेनवैल्यू पहचान, सहप्रसरण विश्लेषण, मैट्रिक्स कैलकुलस और अनुकूलन के लिए करें।
tr([[2,1],[3,4]]) = 6.आव्यूह संक्रियाएँ
Matrix rank
rank(A)एक आव्यूह में रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या।
इसका उपयोग सूचना आयाम को मापने, समाधान संरचना निर्धारित करने और अनावश्यक सुविधाओं का पता लगाने के लिए करें।
rank([[1,2],[2,4]]) = 1.आव्यूह संक्रियाएँ
Symmetric matrix
A=Aᵀएक वर्ग मैट्रिक्स जो अपने स्थानान्तरण के बराबर है।
इसका उपयोग सहप्रसरण, द्विघात रूपों, अनियंत्रित ग्राफ और वास्तविक ऑर्थोगोनल आइगेनडिकम्पोजिशन के लिए करें।
[[2,3],[3,5]] is symmetric.आव्यूह संक्रियाएँ
Orthogonal matrix
QᵀQ=Iएक वास्तविक वर्ग मैट्रिक्स जिसके स्तंभ और पंक्तियाँ लंबवत सेट बनाती हैं।
इसका उपयोग घूर्णन, प्रतिबिंब, स्थिर गुणनखंडन और मानदंड-संरक्षण परिवर्तनों के लिए करें।
किसी लंबवत आव्यूह के लिए, Q⁻¹ = Qᵀ।आव्यूह संक्रियाएँ
Diagonal matrix
Dएक मैट्रिक्स जिसके मुख्य विकर्ण के बाहर के तत्व शून्य होते हैं।
इसका उपयोग स्वतंत्र स्केलिंग और कुशल घातों, व्युत्क्रमों और परिवर्तनों के लिए करें।
diag(2,3)^4 = diag(16,81).रैखिक प्रणालियाँ
System of linear equations
Ax=bरैखिक समीकरणों का एक संग्रह जिसे एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए।
इसका उपयोग संतुलन, फिटिंग, नेटवर्क, सर्किट, बाधाओं और पुनर्निर्माण के लिए करें।
x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.रैखिक प्रणालियाँ
Augmented matrix
[A|b]एक कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व जो एक रैखिक प्रणाली के गुणांक मैट्रिक्स में दाहिने हाथ की ओर को जोड़ता है।
इसका उपयोग बार-बार चर लिखने के बिना पंक्ति कमी करने के लिए करें।
x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].रैखिक प्रणालियाँ
Elementary row operation
पंक्तियों को बदलना, एक पंक्ति को एक अशून्य मान से गुणा करना, या एक पंक्ति का एक गुणज दूसरी पंक्ति में जोड़ना।
एक रैखिक प्रणाली को सरल बनाने के लिए इन समाधान-संरक्षण संचालन का उपयोग करें।
R₂ ← R₂ - 3R₁.रैखिक प्रणालियाँ
Row echelon form
REFएक मैट्रिक्स रूप जिसमें पिवट दाईं ओर बढ़ते हैं और प्रत्येक पिवट के नीचे शून्य होते हैं।
इसका उपयोग बैक प्रतिस्थापन, रैंक गणना और स्वतंत्र चरों की पहचान के लिए करें।
[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]] पंक्ति सोपान रूप में है।रैखिक प्रणालियाँ
Reduced row echelon form
RREFएक पंक्ति श्रेणी रूप जिसमें प्रत्येक पिवट 1 होता है और यह अपने कॉलम में एकमात्र गैर-शून्य प्रविष्टि है।
इसका उपयोग अद्वितीय समाधान, स्वतंत्र चर, रैंक और शून्य-स्थान आधारों को सीधे पढ़ने के लिए करें।
RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].रैखिक प्रणालियाँ
Gaussian elimination
पंक्ति संक्रियाएँ जो एक प्रणाली को पंक्ति क्रम में बदलती हैं, जिसके बाद पीछे प्रतिस्थापन किया जाता है।
इसका उपयोग मध्यम घनत्व वाले रैखिक समीकरणों को हाथ से या सॉफ़्टवेयर में हल करने के लिए एक सामान्य विधि के रूप में करें।
निचले पंक्तियों से x को हटा दें, फिर अंतिम पिवट से ऊपर की ओर हल करें।रैखिक प्रणालियाँ
Gauss-Jordan elimination
संवर्धित मैट्रिक्स कम पंक्ति क्रम में आने तक पंक्ति संक्रियाएँ जारी रखें।
इसका उपयोग तब करें जब संपूर्ण समाधान संरचना या व्युत्क्रम की स्पष्ट रूप से आवश्यकता हो।
यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो [A|I] को [I|A⁻¹] में कम करें।रैखिक प्रणालियाँ
Consistent system
एक रैखिक प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान है।
अद्वितीय, अनंत और गैर-मौजूद समाधानों को अलग करने के लिए रैंक या पंक्ति कमी का उपयोग करें।
एक पंक्ति [0 0 | 1] यह साबित करती है कि एक प्रणाली असंगत है।वेक्टर स्पेस
Vector space
Vएक समुच्चय जिसके तत्वों को जोड़ा और स्केल किया जा सकता है जबकि वेक्टर-स्पेस अभिधारणाओं को संतुष्ट किया जाता है।
इसका उपयोग निर्देशांक, बहुपद, कार्यों, सिग्नल और मैट्रिक्स को एक ही ढांचे के भीतर मानने के लिए करें।
ℝ³ और घात 2 या उससे कम के बहुपदों का समुच्चय वेक्टर स्पेस हैं।वेक्टर स्पेस
Subspace
W ⊆ Vएक वेक्टर स्पेस का एक उपसमुच्चय जो स्वयं वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणन के तहत बंद है।
इसका उपयोग प्रतिबंधित दिशाओं, समाधान सेट, सुविधा स्थानों और अपरिवर्तनीय संरचना का वर्णन करने के लिए करें।
x+y+z=0 वाला समतल जो मूल से होकर गुजरता है, ℝ³ का एक उपस्थान है।वेक्टर स्पेस
Span
span{v₁,…,vₖ}सदिशों के दिए गए संग्रह के सभी रैखिक संयोजनों का समुच्चय।
इसका उपयोग जनरेटर से प्राप्त सभी दिशाओं या आउटपुट का वर्णन करने के लिए करें।
span{[1,0],[0,1]} = ℝ².वेक्टर स्पेस
Linear independence
सदिशों का एक समुच्चय स्वतंत्र होता है जब केवल सभी-शून्य गुणांक शून्य वेक्टर का उत्पादन करते हैं।
इसका उपयोग अनावश्यक दिशाओं का पता लगाने और एक आधार का चयन करने के लिए करें।
[1,0] और [0,1] रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।वेक्टर स्पेस
Basis
स्वतंत्र सदिशों का एक समुच्चय जो एक वेक्टर स्पेस को फैलाता है।
इसका उपयोग निर्देशांक असाइन करने और प्रत्येक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए करें।
{[1,0],[0,1]} ℝ² का मानक आधार है।वेक्टर स्पेस
Dimension
dim(V)परिमित-आयामी सदिश स्थान के किसी भी आधार में सदिशों की संख्या।
इसका उपयोग स्वतंत्र डिग्री स्वतंत्रता को मापने के लिए करें।
dim(ℝ⁴)=4.वेक्टर स्पेस
Column space
Col(A)एक आव्यूह के स्तंभों का विस्तार, जो सभी आउटपुट Ax के बराबर है।
इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए करें कि क्या Ax=b हल करने योग्य है और एक परिवर्तन कौन से आउटपुट उत्पन्न कर सकता है।
Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).वेक्टर स्पेस
Null space
Null(A)सदिशों का समुच्चय x जो Ax=0 को संतुष्ट करते हैं।
इसका उपयोग अदृश्य दिशाओं, सजातीय समाधानों, पैरामीटर अतिरेक और बाधाओं का वर्णन करने के लिए करें।
यदि A=[1 2], तो Null(A)=span{[-2,1]}।वेक्टर स्पेस
Rank-nullity theorem
rank(A)+nullity(A)=nn स्तंभों वाले आव्यूह के लिए, स्तंभ-स्थान आयाम प्लस शून्य-स्थान आयाम n के बराबर होता है।
इसका उपयोग खोए हुए इनपुट डिग्री स्वतंत्रता के साथ स्वतंत्र आउटपुट को जोड़ने के लिए करें।
एक 3×5 मैट्रिक्स जिसका रैंक 3 है, उसकी शून्यता 2 है।रैखिक परिवर्तन
Linear transformation
T(u+v)=T(u)+T(v)एक मैपिंग जो वेक्टर जोड़ और अदिश गुणन को संरक्षित करती है।
इसका उपयोग घूर्णन, स्केलिंग, प्रक्षेपण, फ़िल्टरिंग और रैखिक परतों को मॉडल करने के लिए करें।
T([x,y])=[2x,y] x दिशा को 2 से गुणा करता है।रैखिक परिवर्तन
Kernel
ker(T)इनपुट का समुच्चय जिसे एक रैखिक रूपांतरण द्वारा शून्य सदिश पर मैप किया जाता है।
इसका उपयोग एक परिवर्तन द्वारा खोई गई जानकारी का पता लगाने और इंजेक्टिविटी का परीक्षण करने के लिए करें।
T केवल तभी एक-से-एक होता है जब ker(T)={0} हो।रैखिक परिवर्तन
Image
im(T)एक रूपांतरण द्वारा उत्पादित सभी आउटपुट का समुच्चय।
इसका उपयोग प्राप्त आउटपुट का वर्णन करने और इंजेक्टिविटी का परीक्षण करने के लिए करें।
आव्यूह परिवर्तन T(x)=Ax के लिए, im(T)=Col(A)।रैखिक परिवर्तन
Change of basis
एक अलग निर्देशांक आधार का उपयोग करके समान सदिश या रूपांतरण को फिर से व्यक्त करना।
इसका उपयोग ज्यामिति के साथ निर्देशांक को संरेखित करने, एक ऑपरेटर को सरल बनाने या स्थानीय और वैश्विक फ्रेम के बीच जाने के लिए करें।
If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Point
Pएक अफ़ाइन स्थान में एक स्थान जिसका स्वयं कोई परिमाण या दिशा नहीं है।
बिंदुओं का उपयोग स्थितियों के लिए करें और एक विस्थापन वेक्टर प्राप्त करने के लिए दो बिंदुओं को घटाएं।
दो बिंदुओं को जोड़ना स्वाभाविक रूप से परिभाषित नहीं है बिना एक मूल या एक अफ़ाइन संयोजन चुने।
P=(1,2) और Q=(4,6) के लिए, विस्थापन Q-P=[3,4] है।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Position vector
OPएक चुने हुए मूल O से एक बिंदु P तक का वेक्टर।
इसका उपयोग एक मूल और आधार को ठीक करने के बाद निर्देशांक के साथ बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए करें।
If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Affine space
बिंदुओं का एक स्थान जिसमें बिंदुओं के अंतर वेक्टर होते हैं लेकिन कोई भी मूल (origin) पसंदीदा नहीं होता है।
इसका उपयोग ज्यामिति को किसी मनमाना समन्वय मूल से स्वतंत्र रूप से मॉडल करने के लिए करें।
एक अनुवादित समतल एक अफ़ाइन स्थान है, भले ही वह मूल से न गुजरे।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Affine combination
ΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1बिंदुओं का एक भारित संयोजन जिसके गुणांकों का योग 1 होता है।
इसका उपयोग इंटरपोलेशन, सेंट्रोइड्स, बैरसेंट्रिक निर्देशांक और अफ़िन परिवर्तनों के लिए करें।
P और Q का मध्यबिंदु 0.5P+0.5Q है।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Parametric equation of a line
x=p+tvएक रेखा जो एक बिंदु p और एक गैर-शून्य दिशा वेक्टर v द्वारा दर्शाई जाती है।
इसका उपयोग रेखा बिंदुओं को उत्पन्न करने और समतलों या अन्य रेखाओं के साथ प्रतिच्छेदन को हल करने के लिए करें।
Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Equation of a plane
n·(x-p)=0एक समतल जिसे एक बिंदु p और एक गैर-शून्य सामान्य वेक्टर n द्वारा वर्णित किया गया है।
इसका उपयोग वर्गीकरण सीमाओं, क्लिपिंग, टक्कर परीक्षण और ज्यामितीय बाधाओं के लिए करें।
n=[1,2,3] और p=(1,0,0) के साथ, समतल x+2y+3z=1 है।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Hyperplane
w·x=bn-आयामी स्थान में आयाम n-1 का एक अफ़ाइन उपस्थान।
इसका उपयोग एक निर्णय सीमा, बाधा सतह या उच्च-आयामी समतल के रूप में करें।
ℝ⁴ में, w·x=b एक त्रि-आयामी अतिसमतल को परिभाषित करता है।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Normal vector
nएक रेखा, समतल, सतह स्पर्शरेखा स्थान (surface tangent space) या हाइपरप्लेन के लंबवत एक वेक्टर।
इसका उपयोग समतलों को परिभाषित करने, दूरी की गणना करने, सदिशों को प्रतिबिंबित करने और सतह अभिविन्यास निर्धारित करने के लिए करें।
2x-y+3z=4 के लिए, एक सामान्य वेक्टर [2,-1,3] है।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Line-plane intersection
एक बिंदु जो एक पैरामीट्रिक रेखा को एक समतल समीकरण में प्रतिस्थापित करके और इसके पैरामीटर के लिए हल करके पाया जाता है।
इसका उपयोग किरण कास्टिंग, रेंडरिंग, टक्कर का पता लगाने और ज्यामितीय निर्माण के लिए करें।
यदि n·v=0 है, तो रेखा या तो समतल के समानांतर होती है या पूरी तरह से उसके अंदर स्थित होती है।
Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Distance from a point to a line
एक बिंदु से एक रेखा तक सबसे छोटी लंबवत खंड की लंबाई।
इसका उपयोग निकटतम-पथ प्रश्नों, फिटिंग, टक्कर मार्जिन और ज्यामितीय त्रुटि के लिए करें।
रेखा p+tv के लिए, दूरी(P,रेखा)=‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖.स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Distance from a point to a plane
|n·P-d|/‖n‖एक बिंदु पर निरपेक्ष हस्ताक्षरित समतल समीकरण, जिसे सामान्य सदिश की लंबाई से सामान्यीकृत किया गया है।
इसका उपयोग मार्जिन, क्लिपिंग, टक्कर का पता लगाने और बिंदु-क्लाउड प्रसंस्करण के लिए करें।
(1,2,3) से z=0 तक की दूरी 3 है।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Projection onto a plane
एक समतल पर निकटतम बिंदु, जो एक विस्थापन के सामान्य घटक को हटाकर प्राप्त किया जाता है।
इसका उपयोग बिंदुओं को सतहों पर स्नैप करने, बाधाओं को हल करने और गति को विघटित करने के लिए करें।
For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Reflection across a plane
एक परिवर्तन जो सामान्य घटक को उलट देता है जबकि समतल के समानांतर घटकों को संरक्षित करता है।
इसका उपयोग दर्पण ज्यामिति, उछाल दिशाओं, समरूपता और ग्राफिक्स के लिए करें।
मूल से गुजरने वाले समतल के लिए,vrefl=v-2projₙ(v).स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Barycentric coordinates
α+β+γ=1भार जो एक बिंदु को एक समरूप संयोजन के रूप में शीर्षों के संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं।
इनका उपयोग त्रिकोण अंतर्वेशन, त्रिकोण के भीतर परीक्षण, जाल और परिमित तत्वों के लिए करें।
P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Area from a determinant
|det([u v])|दो समतल किनारे सदिशों का निरपेक्ष निर्धारक, जो उनके समानांतर चतुर्भुज क्षेत्र के बराबर होता है।
इसका उपयोग बहुभुज क्षेत्र, अभिविन्यास परीक्षण, जैकोबियन और समन्वय परिवर्तनों के लिए करें।
u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Scalar triple product
u·(v×w)तीन त्रि-आयामी वैक्टर द्वारा निर्मित समानांतर षट्फलक (parallelepiped) के लिए एक हस्ताक्षरित आयतन माप।
इसका उपयोग आयतन, कोप्लानरिटी और त्रि-आयामी अभिविन्यास परीक्षणों के लिए करें।
आयतन |u·(v×w)| है।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Orientation
sign(det)एक संकेत जो एक आधार या बिंदु अनुक्रम का handedness या दक्षिणावर्त (clockwise) बनाम वामावर्त (counterclockwise) क्रम दर्शाता है।
इसका उपयोग बहुभुज एल्गोरिदम, घुमाव, सामान्य और समन्वय-सिस्टम स्थिरता के लिए करें।
2D में, det([B-A,C-A])>0 का अर्थ है कि A, B, C वामावर्त दिशा में हैं।स्थानिक और अफ़ाइन ज्यामिति
Homogeneous coordinates
[x,y,z,w]निर्देशांक जिसमें एक अतिरिक्त स्केल घटक होता है जो अफ़ाइन बिंदुओं और प्रक्षेपी दिशाओं का समान रूप से प्रतिनिधित्व करता है।
इनका उपयोग मैट्रिक्स रूप में अनुवाद, घूर्णन, स्केलिंग, परिप्रेक्ष्य और प्रक्षेपण को संयोजित करने के लिए करें।
एक सजातीय वेक्टर को सावधानीपूर्वक सामान्यीकृत (normalized) किया जाना चाहिए जब इसका अंतिम घटक गैर-शून्य हो; एक शून्य अंतिम घटक अनंत पर एक दिशा का प्रतिनिधित्व करता है।
2D बिंदु (x,y) [x,y,1] बन जाता है, जबकि एक दिशा [vx,vy,0] बन जाती है।जाली ज्यामिति
Lattice
L=Bℤᵏबिंदुओं का एक असतत समुच्चय जो रैखिक रूप से स्वतंत्र आधार वैक्टर के सभी पूर्णांक संयोजनों से बनता है।
असतत ज्यामिति, कोडिंग, क्रिप्टोग्राफी, अनुकूलन और क्रिस्टलोग्राफी में जाली का उपयोग करें।
For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.जाली ज्यामिति
Integer lattice
ℤⁿसभी n-आयामी सदिशों की जाली, जिनके निर्देशांक पूर्णांक हैं।
इसका उपयोग मानक समन्वय जाली के रूप में और उपजाली और पूर्णांक अनुकूलन के लिए एक संदर्भ के रूप में करें।
ℤ² में प्रत्येक बिंदु (m,n) होता है जहाँ m,n∈ℤ।जाली ज्यामिति
Lattice basis
B=[b₁ … bₖ]स्वतंत्र सेट जिसके पूर्णांक संयोजन एक जाली उत्पन्न करते हैं।
इसका उपयोग एक जाली को एन्कोड, सूचीबद्ध, रूपांतरित और गणना करने के लिए करें।
एक जाली (lattice) में अनगिनत संभावित आधार होते हैं, अक्सर बहुत अलग वेक्टर लंबाई और कोणों के साथ।
कॉलम [2,0] और [1,3] दो-आयामी जाली का एक आधार बनाते हैं।जाली ज्यामिति
Lattice rank
rank(L)एक जाली आधार में सदिशों की संख्या, जो इसके वास्तविक विस्तार के आयाम के बराबर होती है।
इसका उपयोग एक परिवेश स्थान के भीतर पूर्ण-रैंक और निम्न-आयामी जाली को अलग करने के लिए करें।
[1,0,0] और [0,1,0] द्वारा उत्पन्न जाली का रैंक ℝ³ में 2 है।जाली ज्यामिति
Lattice point
Bzएक बिंदु जो एक जाली आधार मैट्रिक्स को एक पूर्णांक वेक्टर से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
इसका उपयोग निकटतम-बिंदु, पैकिंग, कोडिंग और पूर्णांक-बाधा समस्याओं में एक असतत उम्मीदवार के रूप में करें।
B=[[2,1],[0,3]] और z=[2,-1] के साथ, Bz=[3,-3]।जाली ज्यामिति
Fundamental parallelepiped
P(B)आधार गुणांकों द्वारा निर्मित अर्ध-खुला क्षेत्र, जो 0 सहित और 1 से कम तक होता है।
इसका उपयोग एक दोहराव वाले सेल के रूप में करें जिसमें जाली के प्रत्येक सहसमुच्चय का एक प्रतिनिधि होता है।
P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.जाली ज्यामिति
Lattice determinant
det(L)एक मौलिक क्षेत्र का आयतन, जिसे जाली सह-आयतन भी कहा जाता है।
इसका उपयोग जाली घनत्व को मापने और पूर्ण-रैंक जाली के बीच की दूरी की तुलना करने के लिए करें।
For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.जाली ज्यामिति
Sublattice
L'⊆Lएक जाली का एक उपसमूह जो स्वयं उसी वास्तविक स्पैन (real span) या एक निचले-आयामी स्पैन में एक जाली है।
इसका उपयोग अतिरिक्त सर्वांगसमता स्थितियों को लागू करने या नेस्टेड असतत संरचनाओं की तुलना करने के लिए करें।
2ℤ² एक उपजाली (sublattice) है ℤ² का।जाली ज्यामिति
Lattice index
[L:L']L में एक पूर्ण-रैंक उपजाली L' के सहसमुच्चय की संख्या।
इसका उपयोग मापने के लिए करें कि एक उपजाली कितनी कम घनी है और नेस्टेड जाली के निर्धारकों को संबंधित करें।
[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).जाली ज्यामिति
Unimodular matrix
U∈GLₙ(ℤ)एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स जिसका निर्धारक 1 या -1 है, जिसका व्युत्क्रम भी पूर्णांक है।
इसका उपयोग जाली को बदले बिना एक जाली आधार को बदलने के लिए करें।
यदि B'=BU है, जहाँ det(U)=±1, तो B और B' समान जाली उत्पन्न करते हैं।जाली ज्यामिति
Equivalent lattice bases
B'=BUदो आधार जो एक unimodular पूर्णांक मैट्रिक्स द्वारा संबंधित हैं, जो बिल्कुल एक ही जाली उत्पन्न करते हैं।
इसका उपयोग एक लंबे, तिरछे आधार को एक छोटे और अधिक लंबवत आधार से बदलने के लिए करें।
B और B'=B[[1,1],[0,1]] समतुल्य आधार हैं।जाली ज्यामिति
Gram matrix of a lattice basis
G=BᵀBआधार वैक्टर के सभी युग्म आंतरिक उत्पादों का एक मैट्रिक्स।
इसका उपयोग आधार निर्देशांक में लंबाई, कोण, आयतन और द्विघात रूपों की गणना करने के लिए करें।
पूर्णांक सदिश z के लिए, ‖Bz‖²=zᵀGz.जाली ज्यामिति
Gram-Schmidt for lattice bases
bᵢ*एक ऑर्थोगोनलाइजेशन जिसका उपयोग आमतौर पर एक जाली आधार उत्पन्न किए बिना एक जाली आधार का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।
इसका उपयोग प्रक्षेपण गुणांक, आधार गुणवत्ता और LLL कमी चरणों की गणना करने के लिए करें।
ग्राम-श्मिट सदिश विश्लेषणात्मक सहायक होते हैं और उन्हें जाली बिंदु होने की आवश्यकता नहीं है।
b₂*=b₂-μ₂₁b₁* जहाँ μ₂₁=⟨b₂,b₁*⟩/‖b₁*‖².जाली ज्यामिति
Orthogonality defect
∏‖bᵢ‖/det(L)यह मापने का एक तरीका कि एक पूर्ण-रैंक आधार ऑर्थोगोनल (orthogonal) होने से कितना दूर है।
इसका उपयोग आधार गुणवत्ता की तुलना करने और संख्यात्मक या गणना कठिनाई का अनुमान लगाने के लिए करें।
एक लंबवत आधार के लिए, त्रुटि 1 के बराबर होती है, और अन्यथा यह 1 से अधिक या उसके बराबर होती है।जाली ज्यामिति
Dual lattice
L*सदिशों का समुच्चय, जिनका L में प्रत्येक सदिश के साथ पूर्णांक आंतरिक उत्पाद होता है।
इसका उपयोग फूरियर विश्लेषण, कोडिंग सिद्धांत, पारस्परिक ज्यामिति और हस्तांतरण सीमाओं में करें।
पूर्ण-रैंक आधार B के लिए, एक द्वैत आधार B⁻ᵀ है।जाली ज्यामिति
Shortest vector problem
SVPचुने हुए मानदंड के तहत एक जाली में सबसे छोटा गैर-शून्य वेक्टर खोजना।
इसका उपयोग जाली ज्यामिति, कमी गुणवत्ता और जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफिक कठोरता को समझने के लिए करें।
Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.जाली ज्यामिति
Closest vector problem
CVPलक्ष्य बिंदु के निकटतम जाली बिंदु खोजना।
इसका उपयोग डिकोडिंग, क्वांटाइजेशन, पूर्णांक न्यूनतम वर्ग और जाली-आधारित सुरक्षा विश्लेषण के लिए करें।
z को इस प्रकार खोजें कि ‖Bz-t‖ न्यूनतम हो।जाली ज्यामिति
Successive minima
λᵢ(L)त्रिज्या की आवश्यकता होती है ताकि रैखिक रूप से स्वतंत्र जाली सदिशों की बढ़ती संख्या को समाहित किया जा सके।
इनका उपयोग जाली के आकार का वर्णन करने के लिए करें, जो केवल सबसे छोटे वेक्टर से परे है।
λ₁(L) सबसे छोटे वेक्टर की लंबाई है, जबकि λₖ(L) k स्वतंत्र वैक्टर तक पहुँचता है।जाली ज्यामिति
Minkowski's convex body theorem
एक आयतन शर्त जो सुनिश्चित करती है कि एक सममित उत्तल निकाय में एक गैर-शून्य जाली बिंदु है।
इसका उपयोग लघु जाली सदिशों पर सीमाओं और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में परिणामों को साबित करने के लिए करें।
एक पर्याप्त रूप से बड़ा, मूल-सममित उत्तल (convex) निकाय में L का एक गैर-शून्य बिंदु होना चाहिए।जाली ज्यामिति
Lattice sphere packing
जाली बिंदुओं पर समान, अतिव्यापी न होने वाले गोले रखना और अधिग्रहित-स्थान अंश को मापना।
इसका उपयोग कोडिंग सिद्धांत, संचार, असतत ज्यामिति और उच्च-आयामी अनुकूलन में करें।
पैकिंग त्रिज्या, सबसे छोटे गैर-शून्य जाली-सदिश लंबाई का आधा है।जाली ज्यामिति
Voronoi cell of a lattice
बिंदुओं का क्षेत्र जो किसी अन्य जाली बिंदु की तुलना में एक जाली बिंदु के करीब है।
इसका उपयोग निकटतम-जाली-बिंदु डिकोडिंग और CVP क्षेत्रों के ज्यामितीय आकार को समझने के लिए करें।
0 के आसपास का वोरोनोई सेल जाली अनुवादों द्वारा स्थान को टाइल करता है।जाली ज्यामिति
Lattice basis reduction
एक जाली आधार को छोटे और अधिक लगभग लंबवत सदिशों के साथ एक समतुल्य आधार से बदलना।
इसका उपयोग सूची, पूर्णांक-संबंध खोज, क्रिप्ट विश्लेषण और संख्यात्मक व्यवहार में सुधार करने के लिए करें।
एक कम किया गया आधार (reduced basis) समान जाली उत्पन्न करता है लेकिन इसकी ज्यामिति को अधिक स्पष्ट रूप से दर्शाता है।जाली ज्यामिति
LLL algorithm
LLLएक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म जो एक ऐसा आधार उत्पन्न करता है जो आकार-घटाव (size-reduction) और लोवाज़ (Lovász) शर्तों को पूरा करता है।
इसका उपयोग व्यावहारिक अनुमानित लघु सदिशों, बहुपद गुणनखंडन, क्रिप्ट विश्लेषण और पूर्णांक संबंधों के लिए करें।
LLL एक अनुमानित छोटे सदिश के लिए एक गुणवत्ता गारंटी प्रदान करता है, जरूरी नहीं कि यह सटीक SVP समाधान हो।
LLL बार-बार ग्राम-श्मिट गुणांकों को आकार-घटाता है और जब लवश की स्थिति विफल होती है तो आधार सदिशों को स्वैप करता है।आइगेनमान और अपघटन
Eigenvalue
Av=λvएक स्केलर λ जिसके द्वारा एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-शून्य आइगेनवेक्टर को स्केल करता है बिना उसकी दिशा बदले।
स्थिरता, दीर्घकालिक गतिशीलता, सहप्रसरण, ग्राफ और विभेदक समीकरणों का अध्ययन करने के लिए आइगेनमानों का उपयोग करें।
A=diag(2,3) के लिए, आइगेनमान 2 और 3 हैं।आइगेनमान और अपघटन
Eigenvector
Av=λv, v≠0एक गैर-शून्य दिशा जिसे एक रैखिक परिवर्तन द्वारा स्केलर स्केलिंग तक संरक्षित किया जाता है।
इसका उपयोग प्राकृतिक अक्ष, प्रमुख मोड, स्थिर अवस्थाओं और प्रमुख दिशाओं की पहचान करने के लिए करें।
A=diag(2,3) के लिए, [1,0] λ=2 के लिए एक आइगेनवेक्टर है।आइगेनमान और अपघटन
Characteristic polynomial
det(A-λI)एक बहुपद जिसके मूल एक वर्ग मैट्रिक्स के आइगेनमान होते हैं।
इसका उपयोग प्रतीकात्मक आइगेनवैल्यू गणना और छोटे मैट्रिक्स के सैद्धांतिक विश्लेषण के लिए करें।
A=[[2,0],[0,3]] के लिए, det(A-λI)=(2-λ)(3-λ)।आइगेनमान और अपघटन
Diagonalization
A=PDP⁻¹एक मैट्रिक्स को आइगेनमानों के एक विकर्ण मैट्रिक्स और आइगेनसदिशों के एक आधार का उपयोग करके निरूपित करना।
इसका उपयोग मैट्रिक्स घातों, पुनरावृत्तियों और रैखिक गतिशील प्रणालियों को सरल बनाने के लिए करें।
प्रत्येक वर्ग आव्यूह में विकर्णीकरण के लिए पर्याप्त स्वतंत्र आइगेनवेक्टर नहीं होते हैं।
A^k=PD^kP⁻¹ जब A विकर्णीय हो।आइगेनमान और अपघटन
LU decomposition
PA=LUएक आव्यूह को निचले और ऊपरी-त्रिकोणीय कारकों में गुणनखंडित करना, कभी-कभी पंक्ति क्रमपरिवर्तन के साथ।
इसका उपयोग समान गुणांक मैट्रिक्स वाले कई प्रणालियों को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए करें।
Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.आइगेनमान और अपघटन
QR decomposition
A=QRएक आव्यूह को एक लंबवत आव्यूह Q और एक ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह R में गुणनखंडित करना।
इसका उपयोग संख्यात्मक रूप से स्थिर न्यूनतम वर्ग, ऑर्थोनॉर्मल आधारों और आइगेनवैल्यू एल्गोरिदम के लिए करें।
A=QR के बाद, Rx=Qᵀb का उपयोग करके न्यूनतम वर्ग का समाधान करें।आइगेनमान और अपघटन
Singular value decomposition
A=UΣVᵀकिसी भी मैट्रिक्स का एक गुणनखंडन, जो लंबवत सिंगुलर-वेक्टर मैट्रिक्स और गैर-ऋणात्मक सिंगुलर मानों में होता है।
इसका उपयोग संपीड़न, शोर हटाने, छद्म व्युत्क्रम, निम्न-रैंक सन्निकटन और अंतर्निहित संरचना के लिए करें।
छोटे सिंगुलर मान व्युत्क्रम या छद्म व्युत्क्रम में उपयोग किए जाने पर शोर को बढ़ा सकते हैं।
सबसे बड़े k विलक्षण मानों को बनाए रखने से 2-नॉर्म और Frobenius नॉर्म में सर्वोत्तम रैंक-k सन्निकटन प्राप्त होता है।आइगेनमान और अपघटन
Least squares
min ‖Ax-b‖₂ऐसे मापदंडों को खोजना जो वर्ग अवशिष्टों के योग को कम करते हैं जब एक रैखिक प्रणाली का कोई सटीक समाधान नहीं होता है या यह अति-निर्धारित है।
इसका उपयोग प्रतिगमन, अंशांकन, पुनर्निर्माण और शोर माप को फिट करने के लिए करें।
y≈mx+c को लंबवत अवशिष्टों के वर्ग के योग को कम करके फिट करें।आइगेनमान और अपघटन
Principal component analysis
X≈UₖΣₖVₖᵀएक आयामीता-घटाने की विधि जो केंद्रित डेटा में सबसे बड़ी भिन्नता की लंबवत दिशाओं को ढूंढती है।
इसका उपयोग सहसंबद्ध संख्यात्मक विशेषताओं को देखने, संपीड़ित करने, शोर हटाने या सारांशित करने के लिए करें।
PCA, विशेषता पैमाने, बाहरी मानों और इस धारणा के प्रति संवेदनशील है कि उच्च विचरण जानकारीपूर्ण है।
केंद्र X, इसका SVD गणना करें, और पहले k दाएं सिंगुलर वेक्टरों पर प्रोजेक्ट करें।