गणित संदर्भ
परिभाषाओं और उदाहरणों के साथ, कार्यों और समूहों से वलयों, क्षेत्रों, परिमित क्षेत्रों, मॉड्यूल और सदिश स्थानों के माध्यम से बीजगणितीय संरचनाओं को सीखें।
प्रत्येक संरचना विशिष्ट स्वयंसिद्ध जोड़ती है; क्षेत्र, प्रत्येक अशून्य अवयव द्वारा विभाजन का समर्थन करते हैं।
ℤ/nℤ, केवल तभी एक क्षेत्र होता है जब n अभाज्य हो; संयुक्त मापांकों में शून्य भाजक हो सकते हैं।
63 शब्द
संचालन और स्वयंसिद्ध
Set
Sअलग-अलग वस्तुओं का एक संग्रह जिसे एक गणितीय वस्तु के रूप में माना जाता है।
बीजगणितीय संक्रियाओं को परिभाषित करने वाले वाहक को निर्दिष्ट करने के लिए एक समुच्चय का उपयोग करें।
ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.संचालन और स्वयंसिद्ध
Binary operation
*:S×S→Sएक नियम जो एक समुच्चय के दो अवयवों को जोड़ता है और समुच्चय के एक अवयव को लौटाता है।
इसका उपयोग मैग्मा, अर्धसमूह, समूह, वलय और क्षेत्रों के अंतर्निहित संक्रिया के रूप में करें।
योग, ℤ पर एक द्वि-संक्रिया है क्योंकि a+b∈ℤ सभी पूर्णांकों a और b के लिए।संचालन और स्वयंसिद्ध
Closure
वह गुणधर्म जिसके अनुसार अनुमत अवयवों पर एक ऑपरेशन लागू करने से हमेशा एक और अनुमत अवयव प्राप्त होता है।
यह दावा करने से पहले कि एक उपसमुच्चय एक बीजगणितीय संरचना को विरासत में लेता है, बंद होने की जाँच करें।
धनात्मक पूर्णांक जोड़ के तहत बंद हैं लेकिन घटाव के तहत नहीं।संचालन और स्वयंसिद्ध
Associativity
(a*b)*c=a*(b*c)वह गुणधर्म जिसके अनुसार तीन ऑपरेंड को पुनर्व्यवस्थित करने से परिणाम नहीं बदलता है।
इसका उपयोग बार-बार उत्पादों या योगों में कोष्ठक छोड़ने और घातों को लगातार परिभाषित करने के लिए करें।
मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है, भले ही यह आमतौर पर क्रमविनिमेय न हो।संचालन और स्वयंसिद्ध
Commutativity
a*b=b*aवह गुणधर्म जिसके अनुसार दो ऑपरेंड के क्रम को बदलने से परिणाम नहीं बदलता है।
इसका उपयोग एबेलियन समूहों और कम्यूटेटिव रिंगों को गैर-कम्यूटेटिव संरचनाओं से अलग करने के लिए करें।
पूर्णांक गुणन क्रमविनिमेय है, जबकि मैट्रिक्स गुणन आमतौर पर नहीं होता है।संचालन और स्वयंसिद्ध
Identity element
eएक अवयव जो संक्रिया में उपयोग किए जाने पर प्रत्येक अवयव को अपरिवर्तित रखता है।
इसका उपयोग व्युत्क्रम, घात, अर्धसमूह, समूह और तत्समक के साथ वलयों को परिभाषित करने के लिए करें।
0, ℤ में योगात्मक तत्समक है और 1, गुणात्मक तत्समक है।संचालन और स्वयंसिद्ध
Inverse element
a⁻¹एक अवयव जो एक दिए गए अवयव के साथ मिलकर तत्समक उत्पन्न करता है।
इसका उपयोग समूह संक्रियाओं को उलटने और यह निर्धारित करने के लिए करें कि कौन से वलय अवयव इकाई हैं।
5 का योगात्मक व्युत्क्रम -5 है; ℚ में 3 का गुणात्मक व्युत्क्रम 1/3 है।संचालन और स्वयंसिद्ध
Magma
(M,*)एक समुच्चय जिस पर एक बंद द्वि-संक्रिया होती है, बिना साहचर्य या तत्समक की आवश्यकता के।
इसका उपयोग एक-संचालन संरचनाओं के पदानुक्रम में शुरुआती बिंदु के रूप में करें।
प्रत्येक अर्धसमूह एक मैग्मा है, लेकिन एक मैग्मा को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है।संचालन और स्वयंसिद्ध
Semigroup
(S,*)एक मैग्मा जिसकी संक्रिया साहचर्य है।
इसका उपयोग समग्र प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए करें जिनमें आवश्यक रूप से कोई तत्समक या व्युत्क्रम नहीं होता है।
सभी गैर-रिक्त स्ट्रिंग (strings) संयोजन (concatenation) के तहत एक अर्धसमूह (semigroup) बनाते हैं।संचालन और स्वयंसिद्ध
Monoid
(M,*,e)एक अर्धसमूह जिसमें एक तत्समक अवयव होता है।
इसका उपयोग अनुक्रमों, परिवर्तनों, एंडोमोर्फिज्म और गणनाओं के लिए करें जो एक तटस्थ मान से बनते हैं।
सभी स्ट्रिंग, जिसमें खाली स्ट्रिंग भी शामिल है, एक मोनोइड बनाते हैं, जो कि संयोजन के तहत।समूह
Group
(G,*)एक मोनोइड जिसमें प्रत्येक अवयव का एक व्युत्क्रम होता है।
समरूपता और प्रतिवर्ती संक्रियाओं का वर्णन करने के लिए समूहों का उपयोग करें।
पूर्णांक जोड़ के तहत एक समूह बनाते हैं।समूह
Abelian group
a*b=b*aएक समूह जिसका ऑपरेशन क्रमविनिमेय (commutative) है।
इसका उपयोग पूर्णांकों, वैक्टर और एक वलय के योगात्मक भाग जैसी योगात्मक संरचनाओं के लिए करें।
प्रत्येक सदिश समष्टि सदिश योग के तहत एक एबेलियन समूह है।समूह
Subgroup
H≤Gएक समूह का उपसमुच्चय जो स्वयं एक समूह है, जो प्रतिबंधित संक्रिया के तहत।
इसका उपयोग समरूपता, उत्पन्न अवयवों, स्थिरीकरण और एक समूह के भीतर समाधान सेट को अलग करने के लिए करें।
2ℤ, (ℤ,+) का एक उपसमूह है।समूह
Cyclic group
G=⟨g⟩एक समूह जो एक अवयव द्वारा उत्पन्न होता है।
इसका उपयोग प्रत्येक समूह अवयव को एक जनरेटर की घात या पूर्णांक गुणज के रूप में दर्शाने के लिए करें।
(ℤ/nℤ,+) चक्रीय है और [1] द्वारा उत्पन्न होता है।समूह
Group generator
⟨g⟩एक अवयव या अवयवों का एक समुच्चय जिसके बार-बार संचालन और व्युत्क्रम पूरे समूह का निर्माण करते हैं।
इसका उपयोग कॉम्पैक्ट प्रस्तुतियों को देने और यह परीक्षण करने के लिए करें कि क्या कोई समूह चक्रीय है।
अवयव [1] योगात्मक समूह ℤ/5ℤ को उत्पन्न करता है।समूह
Order of a group element
ord(g)सबसे छोटा धनात्मक घातांक जो एक अवयव को तत्समक अवयव में बदल देता है।
इसका उपयोग चक्र लंबाई और उत्पन्न उपसमूह आकार निर्धारित करने के लिए करें।
योगात्मक समूह ℤ/6ℤ में, तत्व [2] का तत्व क्रम 3 है।समूह
Order of a group
|G|एक परिमित समूह में अवयवों की संख्या।
इसका उपयोग लैग्रेंज के प्रमेय, गणना तर्कों और परिमित समूहों के वर्गीकरण के साथ करें।
एक समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) का समरूपता समूह (symmetry group) का समूह क्रम 6 है।समूह
Coset
gH or Hgएक उपसमूह का अनुवाद जो प्रत्येक उपसमूह अवयव को एक निश्चित समूह अवयव से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
समूहों को विभाजित करने और भागफल समूहों का निर्माण करने के लिए सहसमुच्चय का उपयोग करें।
ℤ में 3ℤ के सहसमुच्चय 3ℤ, 1+3ℤ और 2+3ℤ हैं।समूह
Lagrange's theorem
|G|=[G:H]|H|किसी परिमित समूह के लिए, प्रत्येक उपसमूह का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है।
इसका उपयोग संभावित उपसमूह और अवयव क्रम को प्रतिबंधित करने के लिए करें।
एक परिमित समूह जिसका समूह क्रम 12 है, उसमें 5 के समूह क्रम वाला उपसमूह नहीं हो सकता।समूह
Normal subgroup
N◁Gएक उपसमूह जिसके बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय, प्रत्येक समूह अवयव के लिए समान होते हैं।
इसका उपयोग उस स्थिति के रूप में करें जो सहसमुच्चयों को एक भागफल समूह बनाने के लिए आवश्यक है।
प्रत्येक समूह समरूपता का कर्नेल एक सामान्य उपसमूह है।समूह
Quotient group
G/Nएक सहसमुच्चय का समूह जो एक समूह और एक सामान्य उपसमूह से बनता है।
इसका उपयोग एक सामान्य उपसमूह को तत्समक में कम करने और एक मोटे पैमाने पर समूह संरचना का अध्ययन करने के लिए करें।
ℤ/nℤ, जोड़ के तहत ℤ/nℤ का भागफल समूह है।समूह
Group homomorphism
φ(ab)=φ(a)φ(b)समूहों के बीच एक मानचित्र जो समूह संक्रिया को संरक्षित करता है।
इसका उपयोग समूहों की तुलना करने के लिए करें जबकि उनकी बीजगणितीय संक्रिया को बनाए रखें।
मानचित्र φ:ℤ→ℤ/nℤ जो φ(k)=[k] जोड़ को संरक्षित करता है।समूह
Group isomorphism
G≅Hएक द्विविभाजक समूह समरूपता जो दर्शाती है कि दो समूहों की समान सार संरचना है।
इसका उपयोग संरचनात्मक रूप से समान के रूप में दर्शाए गए विभिन्न समूहों का इलाज करने के लिए करें।
प्रत्येक अनंत चक्रीय समूह (ℤ,+) के समरूप है।समूह
Kernel of a group homomorphism
ker(φ)अवयवों का उपसमूह जो लक्ष्य समूह की तत्समक पर मैप होते हैं।
इसका उपयोग एक समरूपता द्वारा खोई गई जानकारी को मापने और इंजेक्शन का परीक्षण करने के लिए करें।
एक समूह समरूपता (group homomorphism) एक-एक (injective) होती है यदि और केवल यदि इसका कर्नेल (kernel) पहचान उपसमूह (identity subgroup) हो।समूह
Image of a group homomorphism
im(φ)लक्ष्य अवयवों का उपसमूह जिसे वास्तव में एक समरूपता द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इसका उपयोग प्रभावी आउटपुट संरचना निर्धारित करने और सह-अस्तित्व का परीक्षण करने के लिए करें।
एक समरूपता अति-आच्छादक है, केवल तभी जब इसकी छवि, लक्ष्य समूह के बराबर हो।समूह
First isomorphism theorem for groups
G/ker(φ)≅im(φ)एक प्रमेय जो एक समरूपता के कर्नेल द्वारा भागफल को उसकी छवि के साथ समान करता है।
इसका उपयोग कर्नेल, छवियों और भागफल संरचनाओं को जोड़ने के लिए करें।
φ:ℤ→ℤ/nℤ के लिए, ℤ/nℤ≅im(φ).समूह
Direct product of groups
G×Hएक समूह जो क्रमित युग्मों से बना है और जिसमें घटक-वार संक्रियाएँ होती हैं।
इसका उपयोग स्वतंत्र समूह संरचनाओं को संयोजित करने और परिमित एबेलियन समूहों को विघटित करने के लिए करें।
ℤ/2ℤ×ℤ/3ℤ, ℤ/6ℤ के समरूप है।वलय
Ring
(R,+,×)एक समुच्चय जिसका योग एक एबेलियन समूह बनाता है और जिसका साहचर्य गुणन, योग पर वितरित होता है।
पूर्णांकों, बहुपदों, मैट्रिक्स और मॉड्यूलर अंकगणित का अध्ययन करने के लिए वलयों का उपयोग करें जिसमें जोड़ और गुणन होता है।
ℤ, एक कम्यूटेटिव रिंग है जिसमें तत्समक अवयव है।वलय
Commutative ring
ab=baएक वलय जिसका गुणन क्रमविनिमेय है।
इसका उपयोग संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में करें जहां बहुपद-जैसे गुणन क्रमविनिमेय होता है।
ℤ और F[x], कम्यूटेटिव रिंग हैं जब F एक क्षेत्र है।वलय
Ring with identity
1_Rएक वलय जिसमें एक गुणात्मक तत्समक अवयव होता है।
इसका उपयोग इकाइयों, स्केलर तत्समक वाले मॉड्यूल और 1 को संरक्षित करने वाले समरूपताओं को परिभाषित करते समय करें।
सम पूर्णांक एक वलय बनाते हैं लेकिन उनके पास विरासत में मिले कार्यों के तहत अपना गुणात्मक तत्समक नहीं है।वलय
Subring
S⊆Rएक उपसमुच्चय जो स्वयं एक वलय है, जो एक बड़े वलय से विरासत में मिले संक्रियाओं के तहत।
इसका उपयोग एक वलय के अंदर छोटे अंकगणितीय प्रणालियों की पहचान करने के लिए करें।
पूर्णांक ℤ, परिमेय संख्याओं ℚ का एक उपवलय (subring) बनाते हैं।वलय
Unit of a ring
R×एक अवयव जिसमें वलय के भीतर एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।
प्रतिवर्ती गुणन की पहचान करने और एक वलय के गुणात्मक समूह को बनाने के लिए इकाइयों का उपयोग करें।
ℤ के अवयव 1 और -1 हैं।वलय
Zero divisor
ab=0एक अशून्य वलय अवयव जो किसी अन्य अशून्य अवयव के साथ गुणा करने पर शून्य देता है।
इसका उपयोग रद्दीकरण की विफलता का पता लगाने और अभिन्न डोमेन को सामान्य वलयों से अलग करने के लिए करें।
ℤ/6ℤ में, [2][3]=[0]; इसलिए [2] और [3] शून्य-विभाजक (zero-divisor) तत्व हैं।वलय
Nilpotent element
a^k=0एक अवयव जिसकी धनात्मक घात शून्य के बराबर होती है।
इसका उपयोग गैर-घटाए गए वलयों, मैट्रिक्स संरचना और सूक्ष्म बीजगणितीय व्यवहार का अध्ययन करने के लिए करें।
मैट्रिक्स [[0,1],[0,0]] गैर-शून्य है लेकिन इसका वर्ग शून्य है।वलय
Integral domain
एक अशून्य, क्रमविनिमेय वलय जिसमें तत्समक होता है और जिसमें कोई शून्य भाजक नहीं होता है।
इसका उपयोग उन स्थानों पर करें जहां रद्दीकरण काम करता है और अंशों का लगातार निर्माण किया जा सकता है।
ℤ, एक अभिन्न डोमेन है लेकिन यह एक क्षेत्र नहीं है।वलय
Division ring
एक वलय जिसमें प्रत्येक अशून्य अवयव का एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है, बिना यह आवश्यक किए कि गुणन क्रमविनिमेय हो।
इसका उपयोग क्षेत्रों से गैर-विभाजन संरचनाओं को अलग करने के लिए करें।
चतुर्भुज एक विभाजन वलय बनाते हैं लेकिन एक क्षेत्र नहीं।वलय
Ideal
I◁Rएक योगात्मक उपसमूह जो किसी भी वलय अवयव द्वारा गुणन को आवश्यक पक्ष या पक्षों से अवशोषित करता है।
वलय समरूपताओं के कर्नेल के रूप में आदर्शों का उपयोग करें और भागफल वलयों का निर्माण करें।
nℤ, ℤ का एक आदर्श है।वलय
Principal ideal
(a)एक आदर्श जो एक अवयव द्वारा उत्पन्न होता है।
इसका उपयोग विभाज्यता को व्यक्त करने और मुख्य आदर्श डोमेन की अधिक सामान्य वलयों के साथ तुलना करने के लिए करें।
ℤ में, 6 द्वारा उत्पन्न आदर्श (6) = 6ℤ है।वलय
Quotient ring
R/Iएक सहसमुच्चय का वलय जो प्रत्येक आदर्श अवयव को शून्य के साथ समान करके बनाया जाता है।
इसका उपयोग बीजगणितीय संबंधों को लागू करने और मॉड्यूलर अंकगणित को मॉडल करने के लिए करें।
ℤ/nℤ, ℤ/(n) का भागफल रिंग है।वलय
Polynomial ring
R[x]बहुपदों का वलय जिसके गुणांक एक वलय R में होते हैं।
इसका उपयोग समीकरणों, गुणनखंडन, आदर्शों, क्षेत्र विस्तार और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए करें।
जब F एक क्षेत्र (field) है, तो बहुपद वलय (polynomial ring) F[x] एक यूक्लिडियन डोमेन (Euclidean domain) है।वलय
Matrix ring
Mₙ(R)एक वलय पर वर्ग मैट्रिक्स का वलय, मैट्रिक्स जोड़ और गुणन का उपयोग करके।
इसका उपयोग रैखिक परिवर्तनों और एक गैर-विनिमेय वलय के एक मानक उदाहरण के रूप में करें।
M₂(ℝ) एक वलय है, लेकिन मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है।वलय
Ring homomorphism
φ(a+b), φ(ab)एक मानचित्र जो वलय योग और गुणन दोनों को संरक्षित करता है, जिसमें तत्समक का संरक्षण, परंपरा पर निर्भर करता है।
इसका उपयोग वलयों की तुलना करने और आदर्शों को कर्नेल के रूप में प्राप्त करने के लिए करें।
बताएं कि क्या वलय समरूपताओं को गुणात्मक तत्समक को संरक्षित करने की आवश्यकता है।
मूल्यांकन f(x)↦f(0) एक वलय समरूपता है R[x] से R तक।वलय
Ring isomorphism
R≅Sएक द्विविभाजक वलय समरूपता जो दर्शाती है कि दो वलयों की समान वलय संरचना है।
इसका उपयोग एक वलय को एक आसान लेकिन संरचनात्मक रूप से समतुल्य प्रतिनिधित्व से बदलने के लिए करें।
चीनी शेषफल प्रमेय ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ दे सकता है।क्षेत्र
Field
(F,+,×)एक क्रमविनिमेय वलय जिसमें 1, 0 के बराबर नहीं है और जिसमें प्रत्येक अशून्य अवयव का एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है।
सटीक विभाजन, वेक्टर स्पेस, बहुपदों और रैखिक बीजगणित के लिए स्केलर सिस्टम के रूप में क्षेत्रों का उपयोग करें।
ℚ, ℝ, और ℂ, क्षेत्र हैं, जबकि ℤ नहीं है।क्षेत्र
Subfield
K⊆Fएक क्षेत्र का उपसमुच्चय जो स्वयं एक क्षेत्र है, जो विरासत में मिले संक्रियाओं के तहत।
इसका उपयोग स्केलर सिस्टम की तुलना करने और क्षेत्र विस्तार को परिभाषित करने के लिए करें।
ℚ, ℝ का एक उप-क्षेत्र है, और ℝ, ℂ का एक उप-क्षेत्र है।क्षेत्र
Characteristic of a field
char(F)1 की सबसे छोटी धनात्मक संख्या की प्रतियां जिनका योग शून्य होता है, या 0 यदि ऐसा कोई नहीं है।
इसका उपयोग शून्य-विशेषता वाले क्षेत्रों को परिमित-विशेषता अंकगणित से अलग करने के लिए करें।
परिमेय क्षेत्र का अभिलक्षण (char) char(ℚ)=0 है, जबकि परिमित अभाज्य क्षेत्र (finite prime field) का अभिलक्षण char(𝔽ₚ)=p है।क्षेत्र
Prime field
सबसे छोटा उप-क्षेत्र जो एक क्षेत्र में निहित है, जो ℚ या 𝔽ₚ के समरूप है।
इसका उपयोग गुणात्मक तत्समक द्वारा उत्पन्न अंकगणितीय आधार के रूप में करें।
प्रत्येक विशेषता p वाले क्षेत्र में 𝔽ₚ की एक प्रति होती है।क्षेत्र
Finite field
𝔽_qएक क्षेत्र जिसमें सीमित संख्या में अवयव होते हैं।
इसका उपयोग कोडिंग सिद्धांत, क्रिप्टोग्राफी, चेकसम और परिमित ज्यामिति में करें।
क्षेत्र 𝔽₅={0,1,2,3,4} जोड़ और गुणा दोनों के लिए 5 के सापेक्ष अंकगणित (arithmetic) का उपयोग करता है।क्षेत्र
Prime-power order of a finite field
q=pⁿएक परिमित क्षेत्र मौजूद है जिसमें q अवयव होते हैं, केवल तभी जब q, एक अभाज्य संख्या की घात हो।
इसका उपयोग एक बनाने से पहले मान्य परिमित-क्षेत्र आकारों को निर्धारित करने के लिए करें।
8 अवयवों वाला एक क्षेत्र मौजूद है, लेकिन 6 अवयवों वाला एक क्षेत्र मौजूद नहीं है।क्षेत्र
Galois field
GF(pⁿ)परिमित क्षेत्र के लिए एक और नाम जिसमें pⁿ अवयव होते हैं, जो समरूपता तक अद्वितीय है।
इसका उपयोग त्रुटि-सुधार कोड और क्रिप्टोग्राफिक प्रणालियों में क्षेत्र अंकगणित के लिए करें।
GF(2⁸) का उपयोग बाइट-उन्मुख परिमित-क्षेत्र अंकगणित के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।क्षेत्र
Field extension
L/Kएक क्षेत्र L जिसमें एक उपक्षेत्र के रूप में क्षेत्र K होता है।
इसका उपयोग मूलों को जोड़ने, स्केलर सिस्टम का विस्तार करने और परिमित क्षेत्रों का निर्माण करने के लिए करें।
ℂ/ℝ, एक क्षेत्र विस्तार है जो i को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।क्षेत्र
Degree of a field extension
[L:K]L का वेक्टर-स्पेस आयाम जब इसे K पर एक वेक्टर स्पेस के रूप में माना जाता है।
इसका उपयोग विस्तार आकार को मापने और टॉवर कानून को लागू करने के लिए करें।
विस्तार की डिग्री [ℂ:ℝ]=2 है, जिसका आधार {1,i} ℝ पर है।क्षेत्र
Algebraic element
एक विस्तार-क्षेत्र अवयव जो आधार क्षेत्र पर एक अशून्य बहुपद का मूल है।
इसका उपयोग परिमित-डिग्री विस्तार बनाने और एक क्षेत्र पर संख्याओं को वर्गीकृत करने के लिए करें।
√2, ℚ पर बीजगणितीय है क्योंकि यह समीकरण x²-2=0 को संतुष्ट करता है।क्षेत्र
Transcendental element
एक विस्तार-क्षेत्र अवयव जो आधार क्षेत्र पर कोई अशून्य बहुपद संतुष्ट नहीं करता है।
इसका उपयोग अपरिमेय विस्तार को बीजगणितीय विस्तार से अलग करने के लिए करें।
π और e, ℚ पर अपरिमेय हैं।क्षेत्र
Minimal polynomial
m_α(x)सबसे कम डिग्री वाला अद्वितीय मोनिक अपघटित बहुपद जो आधार क्षेत्र पर है और जिसके मूल में एक बीजगणितीय अवयव है।
इसका उपयोग एक बीजगणितीय अवयव की विस्तार डिग्री और अंकगणितीय संबंधों को निर्धारित करने के लिए करें।
√2 का न्यूनतम बहुपद ℚ पर x²-2 है।क्षेत्र
Splitting field
सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार जिसके ऊपर एक बहुपद पूरी तरह से रैखिक कारकों में विभाजित होता है।
इसका उपयोग सभी बहुपद मूलों को शामिल करने और उनकी समरूपता का अध्ययन करने के लिए करें।
ℝ पर x²+1 का विभाजन क्षेत्र ℂ है।क्षेत्र
Algebraic closure
एक बीजगणितीय विस्तार जो बीजगणितीय रूप से बंद है, इसलिए प्रत्येक अचर बहुपद का एक मूल होता है।
इसका उपयोग उस सेटिंग के रूप में करें जहां बहुपद समीकरण पूरी तरह से विभाजित होते हैं।
ℂ, बीजगणितीय रूप से बंद है, और यह ℝ का एक बीजगणितीय समापन है, लेकिन केवल तभी जब यह ध्यान दिया जाए कि ℂ/ℝ बीजगणितीय है।संबंध और उदाहरण
Module
M over Rएक एबेलियन समूह जिसमें एक वलय के अवयवों द्वारा स्केलर गुणन होता है।
परिमित क्षेत्र से स्केलर आने पर वेक्टर स्पेस को सामान्य बनाने के लिए मॉड्यूल का उपयोग करें।
प्रत्येक अबेलियन (Abelian) समूह स्वाभाविक रूप से पूर्णांक वलय (integer ring) ℤ पर एक मॉड्यूल (module) होता है।संबंध और उदाहरण
Vector space over a field
V over Fएक एबेलियन समूह जिसमें एक क्षेत्र द्वारा स्केलर गुणन होता है और जो सदिश-समष्टि के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।
इसका उपयोग क्षेत्र संरचना को रैखिक बीजगणित, आधारों, आयाम और रैखिक परिवर्तनों से जोड़ने के लिए करें।
ℂ, ℝ पर एक द्वि-आयामी सदिश समष्टि है।संबंध और उदाहरण
Algebra over a field
A over Fएक क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि जिसमें एक संगत द्विरैखिक गुणन होता है।
इसका उपयोग रैखिक बीजगणित को वलय गुणन के साथ संयोजित करने के लिए करें।
Mₙ(F) F पर एक बीजगणित है।संबंध और उदाहरण
When ℤ/nℤ is a field
भागफल वलय ℤ/nℤ एक क्षेत्र है ठीक तभी जब n अभाज्य हो।
इसका उपयोग शून्य विभाजकों के साथ समग्र-मॉड्यूल अंकगणित को अभाज्य-मॉड्यूल अंकगणित से अलग करने के लिए करें।
ℤ/5ℤ एक क्षेत्र है, लेकिन ℤ/6ℤ नहीं है क्योंकि [2][3]=[0].संबंध और उदाहरण
Unit group of a ring
R×एक वलय के सभी गुणात्मक रूप से व्युत्क्रमणीय अवयवों से बना समूह।
इसका उपयोग वलय गुणन को समूह सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित से जोड़ने के लिए करें।
(ℤ/nℤ)× में ठीक वही अवशिष्ट वर्ग होते हैं जो n के सहअभाज्य होते हैं।संबंध और उदाहरण
Scalar field
Fवह क्षेत्र जिससे सदिश-स्थान गुणांक और मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ ली जाती हैं।
इसे बताएं क्योंकि रैंक, आइगेनवैल्यू, गुणनखंडन और घुलनशीलता अदिश क्षेत्र के साथ बदल सकती है।
मैट्रिक्स [[0,-1],[1,0]] में कोई वास्तविक आइगेनवैल्यू नहीं है, लेकिन ℂ पर आइगेनवैल्यू i और -i हैं।