Référence mathématique
Apprenez les ensembles, les opérations, les relations, les fonctions, les cardinalités infinies, les fondements axiomatiques et les applications pratiques, avec notation et exemples résolus.
L'union inclut l'un ou l'autre ensemble, tandis que l'intersection ne conserve que la région partagée.
Les flèches indiquent si les entrées restent distinctes et si chaque élément du codomaine est atteint.
99 termes
Ensembles et fondements.
Set
AUne collection bien définie d'objets distincts considérés comme un seul objet mathématique.
Utilisez les ensembles pour spécifier les collections, les domaines, les espaces de solutions, les événements et les objets sous-jacents des structures mathématiques.
L'ensemble A={2,4,6} contient trois nombres pairs.Ensembles et fondements.
Set element
xUn objet individuel contenu dans un ensemble.
Utilisez des éléments lorsque vous faites des déclarations sur les membres d'une collection.
Le nombre 4 est un élément de A={2,4,6}.Ensembles et fondements.
Membership
x∈ALa relation indiquant qu'un objet est un élément d'un ensemble.
Utilisez la notation d'appartenance pour distinguer un élément d'un sous-ensemble.
4∈{2,4,6}.Ensembles et fondements.
Non-membership
x∉ALa relation indiquant qu'un objet n'est pas un élément d'un ensemble.
Utilisez-le pour exclure des valeurs d'un domaine, d'un événement ou d'un ensemble de solutions.
5∉{2,4,6}.Ensembles et fondements.
Roster notation
A={a,b,c}Une notation qui définit un ensemble en listant ses éléments entre accolades.
Utilisez-le pour les ensembles finis dont les membres peuvent être clairement listés.
L'ensemble des voyelles peut être écrit comme V={a,e,i,o,u}.Ensembles et fondements.
Set-builder notation
{x∈U:P(x)}Une notation qui définit un ensemble par une propriété que ses éléments doivent satisfaire.
Utilisez-le lorsque l'énumération de chaque élément serait impraticable ou impossible.
Les entiers pairs sont {n∈ℤ:n=2k pour un certain k∈ℤ}.Ensembles et fondements.
Empty set
∅L'ensemble unique ne contenant aucun élément.
Utilisez-le pour un événement impossible, un ensemble de solutions incohérent ou une intersection vide dans un contexte.
L'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble, mais il n'est pas nécessairement un élément de tout ensemble.
L'ensemble des solutions réelles de x²+1=0 est ∅.Ensembles et fondements.
Singleton set
{x}Un ensemble contenant exactement un élément.
Utilisez-le lorsque la collection a une seule valeur possible ou qu'une solution est unique.
L'équation x-3=0 a l'ensemble de solutions {3}.Ensembles et fondements.
Universal set
UL'ensemble de tous les objets actuellement en cours de considération.
Indiquez-le avant d'utiliser des compléments ou de quantifier sur un univers fixe.
Un ensemble universel dépend du contexte ; ce n'est pas un ensemble absolu de tout.
Si U=ℤ, alors le complément des entiers pairs est l'ensemble des entiers impairs.Ensembles et fondements.
Set equality
A=BDeux ensembles sont égaux lorsqu'ils contiennent exactement les mêmes éléments.
Utilisez l'égalité extensive sans tenir compte de l'ordre des éléments ou de la répétition dans une liste écrite.
Les ensembles {1,2,2,3} et {3,2,1} sont égaux.Ensembles et fondements.
Subset
A⊆BUn ensemble A est un sous-ensemble de B lorsque chaque élément de A est également un élément de B.
Utilisez-le pour exprimer l'inclusion et prouver l'égalité des ensembles par double inclusion.
{1,3}⊆{1,2,3}.Ensembles et fondements.
Proper subset
A⊊BUn sous-ensemble qui n'est pas égal à l'ensemble contenant.
Utilisez-le lorsque l'inclusion est stricte.
Certains livres utilisent ⊂ pour sous-ensemble propre, tandis que d'autres l'utilisent pour tout sous-ensemble ; définissez la convention.
{1,3}⊊{1,2,3}.Ensembles et fondements.
Superset
B⊇AUn ensemble qui contient tous les éléments d'un autre ensemble.
Utilisez-le comme la forme inversée de la relation de sous-ensemble.
{1,2,3}⊇{1,3}.Ensembles et fondements.
Cardinality
|A|Une mesure du nombre d'éléments dans un ensemble.
Utilisez-le pour comparer les tailles finies et, par le biais de bijections, les tailles des ensembles infinis.
Si A={a,b,c}, alors |A|=3.Ensembles et fondements.
Finite set
Un ensemble dont les éléments peuvent être mis en bijection avec {1,...,n} pour un entier non négatif n.
Utilisez-le lorsque la collection a une taille entière définie.
Les jours de la semaine forment un ensemble fini de cardinalité 7.Ensembles et fondements.
Infinite set
Un ensemble qui n'est pas fini.
Utilisez-le pour les collections non bornées telles que les entiers, les séquences et les points sur une ligne.
L'ensemble des entiers ℤ est infini.Ensembles et fondements.
Power set
𝒫(A)L'ensemble contenant tous les sous-ensembles de A.
Utilisez-le pour décrire toutes les sélections possibles, les événements et les combinaisons binaires de caractéristiques.
Si A={a,b}, alors 𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}.Ensembles et fondements.
Indexed family of sets
{Aᵢ}ᵢ∈IUne collection d'ensembles étiquetés par des éléments d'un ensemble d'indices.
Utilisez-le pour les séquences d'ensembles et les unions ou les intersections sur des ensembles d'indices arbitraires.
La famille {Aₙ}ₙ∈ℕ peut être définie par Aₙ={1,...,n}.Opérations sur les ensembles.
Union
A∪BL'ensemble des éléments qui appartiennent à A, B ou aux deux.
Utilisez-le pour combiner des alternatives, des événements, des catégories ou des ensembles de résultats.
Si A={1,2} et B={2,3}, alors A∪B={1,2,3}.Opérations sur les ensembles.
Intersection
A∩BL'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
Utilisez-le pour appliquer des conditions simultanées ou pour trouver des membres communs.
Si A={1,2} et B={2,3}, alors A∩B={2}.Opérations sur les ensembles.
Set difference
A∖BL'ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B.
Utilisez-le pour supprimer les exclusions ou comparer ce qui reste unique à un ensemble.
Si A={1,2,3} et B={2,4}, alors A∖B={1,3}.Opérations sur les ensembles.
Complement
AᶜL'ensemble des éléments de l'ensemble universel qui ne sont pas dans A.
Utilisez-le pour les conditions négées et les événements de probabilité complémentaires.
Si U={1,2,3,4} et A={1,3}, alors Aᶜ={2,4}.Opérations sur les ensembles.
Symmetric difference
A△BL'ensemble des éléments appartenant exactement à l'un de A et B.
Utilisez-le pour mesurer le désaccord entre les ensembles ou pour inverser l'appartenance.
Si A={1,2} et B={2,3}, alors A△B={1,3}.Opérations sur les ensembles.
Disjoint sets
A∩B=∅Ensembles qui n'ont aucun élément en commun.
Utilisez-le pour les événements mutuellement exclusifs et les partitions non chevauchantes.
Les entiers pairs et impairs sont disjoints.Opérations sur les ensembles.
Partition of a set
Une collection de sous-ensembles non vides, disjoints deux à deux, dont l'union est l'ensemble original.
Utilisez-le pour regrouper chaque élément dans exactement une classe.
Les classes de résidus modulo 3 partitionnent ℤ.Opérations sur les ensembles.
Cartesian product
A×BL'ensemble de toutes les paires ordonnées dont le premier composant est dans A et le deuxième composant est dans B.
Utilisez-le pour construire des coordonnées, des relations, des tableaux et des espaces de produits.
Si A={1,2} et B={x,y}, alors A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.Opérations sur les ensembles.
Ordered pair
(a,b)Une paire dans laquelle la position de chaque composante est importante.
Utilisez-le pour les coordonnées et comme élément de base d'un produit cartésien ou d'une relation.
Une paire ordonnée change généralement lorsque ses éléments sont intervertis, donc (1,2) ≠ (2,1).Opérations sur les ensembles.
De Morgan's laws for sets
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩BᶜRègles qui échangent les unions et les intersections lors de la prise de compléments.
Utilisez-les pour simplifier les conditions d'ensemble négées et les événements de probabilité.
La deuxième loi est (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.Opérations sur les ensembles.
Distributive laws for sets
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)Règles décrivant comment l'union et l'intersection se distribuent l'une sur l'autre.
Utilisez-les pour réécrire les expressions d'ensemble et prouver les identités.
Aussi A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).Opérations sur les ensembles.
Absorption laws
A∪(A∩B)=AIdentités dans lesquelles la combinaison d'un ensemble avec une intersection ou une union contenue renvoie l'ensemble d'origine.
Utilisez-les pour supprimer les parties redondantes des expressions d'ensemble.
La loi duale est A∩(A∪B)=A.Opérations sur les ensembles.
Generalized union and intersection
⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢUnion ou intersection prise sur une famille indexée d'ensembles.
Utilisez-le pour un nombre infini d'ensembles ou une collection variable de conditions.
Pour Aₙ={n,n+1,...}, l'intersection ⋂ₙ∈ℕAₙ est vide.Relations et ordres.
Binary relation
R⊆A×BUn ensemble de paires ordonnées qui spécifie quels éléments de A sont liés à quels éléments de B.
Utilisez-le pour modéliser les comparaisons, les connexions, les liens de base de données et les graphes de fonctions.
La relation xRy définie par x≤y est un sous-ensemble de ℤ×ℤ.Relations et ordres.
Domain and range of a relation
dom(R), ran(R)Le domaine contient les premières composantes apparaissant dans une relation, et l'image contient les deuxièmes composantes.
Utilisez-les pour déterminer quelles entrées et sorties participent réellement à une relation.
Si R={(1,a),(2,a),(2,b)}, alors dom(R)={1,2} et ran(R)={a,b}.Relations et ordres.
Inverse relation
R⁻¹La relation obtenue en inversant chaque paire ordonnée dans R.
Utilisez-le pour inverser une relation directionnelle.
Si R={(1,a),(2,b)}, alors R⁻¹={(a,1),(b,2)}.Relations et ordres.
Reflexive relation
xRxUne relation sur A dans laquelle chaque élément est lié à lui-même.
Utilisez-le lorsque la comparaison de soi doit toujours être vraie, comme dans l'égalité et l'ordre non strict.
La relation ≤ est réflexive car x≤x pour tout nombre réel x.Relations et ordres.
Irreflexive relation
Une relation sur A dans laquelle aucun élément n'est lié à lui-même.
Utilisez-le pour les comparaisons strictes telles que "inférieur à".
La relation < est irréflexive car x<x est toujours faux.Relations et ordres.
Symmetric relation
xRy⇒yRxUne relation dont la direction peut être inversée pour chaque paire liée.
Utilisez-le pour les relations mutuelles telles que l'égalité ou le partage d'une propriété.
La relation de parité est symétrique sur ℤ.Relations et ordres.
Antisymmetric relation
xRy∧yRx⇒x=yUne relation où la relation bidirectionnelle entre des éléments distincts est impossible.
Utilisez-le comme axiome des ordres partiels.
Antisymétrique ne signifie pas que la relation manque de paires symétriques ; les éléments égaux peuvent être liés dans les deux sens.
La relation de sous-ensemble ⊆ est antisymétrique.Relations et ordres.
Asymmetric relation
xRy⇒¬(yRx)Une relation où une paire liée ne peut jamais également se produire dans la direction inverse.
Utilisez-le pour les comparaisons dirigées strictes.
L'ordre strict < est asymétrique.Relations et ordres.
Transitive relation
xRy∧yRz⇒xRzUne relation qui passe par un élément lié intermédiaire.
Utilisez-le pour les ordres, les relations d'équivalence, la reachability et les chaînes d'implication.
La divisibilité est transitive : si a divise b et b divise c, alors a divise c.Relations et ordres.
Equivalence relation
∼Une relation qui est réflexive, symétrique et transitive.
Utilisez-le pour regrouper les objets qui doivent être traités comme identiques selon un critère choisi.
La congruence modulo n est une relation d'équivalence sur ℤ.Relations et ordres.
Equivalence class
[x]L'ensemble de tous les éléments équivalents à un élément donné.
Utilisez-le comme un bloc de la partition induite par une relation d'équivalence.
Pour la congruence modulo 3, la classe d'équivalence de 1 est [1]={...,−5,−2,1,4,7,...}.Relations et ordres.
Quotient set
A/∼L'ensemble de toutes les classes d'équivalence de A selon une relation d'équivalence.
Utilisez-le pour remplacer les éléments équivalents par une seule classe abstraite.
Le quotient ℤ/3ℤ a les trois classes [0], [1] et [2].Relations et ordres.
Partial order
≼Une relation réflexive, antisymétrique et transitive.
Utilisez-le lorsque certains éléments sont comparables tandis que d'autres peuvent ne pas l'être.
L'inclusion de sous-ensemble ordonne partiellement un ensemble des parties.Relations et ordres.
Partially ordered set
(P,≼)Un ensemble avec un ordre partiel spécifié.
Utilisez-le comme l'objet étudié par la théorie de l'ordre et l'analyse de la dépendance.
Les diviseurs de 12 forment un ensemble partiellement ordonné selon la divisibilité.Relations et ordres.
Total order
≤Un ordre partiel dans lequel chaque paire d'éléments est comparable.
Utilisez-le pour le tri et les classements linéaires.
L'ordre habituel ≤ est un ordre total sur ℝ.Relations et ordres.
Hasse diagram
Un graphe simplifié d'un treillis fini qui montre les relations de couverture et omet les arêtes transitives.
Utilisez-le pour visualiser la hiérarchie, la divisibilité, l'inclusion de sous-ensembles et les dépendances.
Un diagramme de Hasse des diviseurs de 6 place 1 en dessous de 2 et 3, avec 6 au-dessus des deux.Relations et ordres.
Well-order
Un ordre total dans lequel tout sous-ensemble non vide a un élément minimal.
Utilisez-le pour l'induction, les définitions récursives et la théorie ordinale.
L'ordre habituel sur ℕ est un ordre total.Relations et ordres.
Minimal and maximal elements
Éléments qui n'ont pas d'élément comparable strictement plus petit ou strictement plus grand dans un ensemble partiellement ordonné.
Utilisez-les lorsqu'un ordre partiel peut avoir plusieurs éléments limites locaux.
Un treillis fini peut avoir plusieurs éléments maximaux.Relations et ordres.
Least and greatest elements
⊥, ⊤Éléments situés en dessous ou au-dessus de chaque élément d'un ensemble partiellement ordonné.
Utilisez-les pour les bornes globales et les extrémités des réseaux.
Minimal ne signifie pas toujours le plus petit, et maximal ne signifie pas toujours le plus grand.
S'il existe un élément minimal, il est unique.Relations et ordres.
Upper and lower bounds
Éléments qui se trouvent au-dessus ou en dessous de chaque élément d'un sous-ensemble choisi dans un ensemble ordonné.
Utilisez-les pour définir les suprêmes, les infimes, les ensembles bornés et les limites d'optimisation.
Le nombre 10 est une borne supérieure de {1,4,7}.Relations et ordres.
Supremum and infimum
sup(S), inf(S)La borne supérieure et la borne inférieure d'un sous-ensemble lorsqu'ils existent.
Utilisez-les en analyse, en optimisation et en théorie des réseaux complets.
Pour S=(0,1), sup(S)=1 et inf(S)=0, même si ni l'un ni l'autre n'appartiennent à S.Fonctions et applications
Function
f:A→BUne relation qui attribue chaque élément de A à exactement un élément de B.
Utilisez des fonctions pour modéliser des mappages, des transformations et des calculs déterministes.
La règle f(n)=n² définit une fonction de ℤ à ℕ.Fonctions et applications
Domain of a function
dom(f)L'ensemble des valeurs d'entrée autorisées d'une fonction.
Indiquez-le car la même formule peut définir différentes fonctions sur différents domaines.
Pour f:ℝ→ℝ avec f(x)=x², le domaine est ℝ.Fonctions et applications
Codomain
BL'ensemble cible déclaré d'une fonction f:A→B.
Utilisez-le pour définir la surjectivité et distinguer les sorties attendues des sorties réellement obtenues.
Pour f:ℝ→ℝ avec f(x)=x², le codomaine est ℝ.Fonctions et applications
Range of a function
f(A)L'ensemble des valeurs de sortie effectivement atteintes par une fonction.
Utilisez-le pour tester la surjectivité et déterminer les sorties possibles.
L'étendue peut être inférieure au codomaine.
Pour f:ℝ→ℝ avec f(x)=x², l'image est [0,∞).Fonctions et applications
Image of a subset
f(S)L'ensemble des valeurs de fonction obtenues à partir des éléments d'un sous-ensemble S du domaine.
Utilisez-le pour suivre la manière dont une application transforme une région ou une collection sélectionnée.
Pour f(x)=x² et S={−2,1,3}, f(S)={1,4,9}.Fonctions et applications
Preimage of a subset
f⁻¹(T)L'ensemble des éléments de domaine dont les valeurs de fonction se situent dans un sous-ensemble cible T choisi.
Utilisez-le pour renvoyer des conditions et des événements à travers une fonction.
Pour f(x)=x², l'ensemble des antécédents de {4} est {−2,2}.Fonctions et applications
Injective function
f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂Une fonction qui ne fait jamais correspondre deux entrées distinctes à la même sortie.
Utilisez-le lorsque les entrées doivent rester distinctes après la cartographie.
La fonction f:ℤ→ℤ définie par f(n)=2n est injective.Fonctions et applications
Surjective function
f(A)=BUne fonction dont l'image est égale à son codomaine.
Utilisez-le lorsque chaque cible déclarée doit être atteinte par au moins une entrée.
La fonction f:ℝ→[0,∞) définie par f(x)=x² est surjective.Fonctions et applications
Bijective function
A↔BUne fonction qui est à la fois injective et surjective.
Utilisez-le pour associer deux ensembles élément par élément, comparer les cardinalités et définir une fonction inverse.
La fonction f:ℤ→ℤ définie par f(n)=n+1 est bijective.Fonctions et applications
Inverse function
f⁻¹:B→AUne fonction qui inverse une bijection en renvoyant chaque sortie vers son entrée unique.
Utilisez-le pour annuler une application réversible.
La notation de l'image réciproque f⁻¹(T) est définie pour les sous-ensembles, même lorsqu'une fonction inverse n'existe pas.
Si f(x)=2x+1 sur ℝ, alors f⁻¹(y)=(y−1)/2.Fonctions et applications
Function composition
g∘fUne fonction formée en appliquant d'abord f, puis g.
Utilisez-le pour construire des transformations complexes à partir d'étapes plus simples.
Si f(x)=x+1 et g(x)=2x, alors (g∘f)(x)=2x+2.Fonctions et applications
Identity function
id_ALa fonction qui mappe chaque élément d'un ensemble sur lui-même.
Utilisez-le comme l'élément neutre pour la composition de fonctions.
Pour toute fonction f:A→B, f∘id_A=f et id_B∘f=f.Fonctions et applications
Restriction of a function
f|_SUne fonction obtenue en limitant le domaine de f à un sous-ensemble S.
Utilisez-le pour étudier le comportement local ou pour rendre une fonction injective sur un domaine plus petit.
La fonction carré restreinte à [0,∞) est injective.Fonctions et applications
Indicator function
1_A(x)Une fonction qui renvoie 1 pour les éléments de A et 0 pour les éléments en dehors de A.
Utilisez-le pour encoder l'appartenance algébriquement en probabilité, en intégration et dans le traitement des données.
Pour A={2,4}, 1_A(2)=1 et 1_A(3)=0.Ensembles infinis et cardinalité
Equinumerous sets
|A|=|B|Ensembles reliés par une bijection, ce qui signifie qu'ils ont la même cardinalité.
Utilisez les bijections pour comparer les tailles sans compter directement, en particulier pour les ensembles infinis.
Les nombres naturels ℕ et les nombres naturels pairs sont équipotents via f(n)=2n.Ensembles infinis et cardinalité
Countable set
Un ensemble fini ou un ensemble qui peut être injecté dans les nombres naturels.
Utilisez-le pour les collections dont les éléments peuvent être listés dans une séquence, éventuellement avec des lacunes.
Tout sous-ensemble de ℕ est dénombrable.Ensembles infinis et cardinalité
Countably infinite set
|A|=ℵ₀Un ensemble infini qui peut être mis en bijection avec les nombres naturels.
Utilisez-le pour distinguer l'infini de la taille d'une séquence des cardinalités plus grandes.
L'ensemble des entiers ℤ et l'ensemble des nombres rationnels ℚ sont infiniment dénombrables.Ensembles infinis et cardinalité
Uncountable set
Un ensemble qui ne peut être mis en bijection avec aucun sous-ensemble des nombres naturels.
Utilisez-le pour des infinis plus grands tels que les nombres réels et les espaces de fonctions.
L'intervalle [0,1] est indénombrable.Ensembles infinis et cardinalité
Aleph-null
ℵ₀La cardinalité des nombres naturels et de tout ensemble infini dénombrable.
Utilisez-le comme le cardinal infini le plus petit.
|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.Ensembles infinis et cardinalité
Cardinality of the continuum
𝔠La cardinalité des nombres réels, égale à la cardinalité de l'ensemble des parties de ℕ.
Utilisez-le pour la taille des intervalles, des séquences de valeurs réelles et des ensembles géométriques continus.
|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.Ensembles infinis et cardinalité
Cantor's diagonal argument
Une méthode qui construit un objet qui diffère de la nième objet listée à sa nième composante.
Utilisez-le pour prouver qu'une liste proposée est incomplète, en particulier pour les nombres réels ou les séquences infinies.
La diagonalisation prouve que les séquences binaires ne peuvent pas être listées par ℕ.Ensembles infinis et cardinalité
Cantor's theorem
|A|<|𝒫(A)|L'ensemble des parties de tout ensemble a une cardinalité strictement supérieure à l'ensemble original.
Utilisez-le pour montrer qu'il n'existe pas de cardinal le plus grand et pour générer des infinis plus grands.
Aucune fonction de A vers 𝒫(A) ne peut être surjective.Ensembles infinis et cardinalité
Cardinal arithmetic
κ+λ, κλ, κ^λOpérations arithmétiques définies sur les nombres cardinaux par le biais d'unions disjointes, de produits cartésiens et d'ensembles de fonctions.
Utilisez-le pour comparer les tailles des collections infinies combinées.
Pour les ensembles infinis dénombrables, ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ et ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀.Ensembles infinis et cardinalité
Dedekind-infinite set
Un ensemble qui est équipotent avec l'un de ses sous-ensembles propres.
Utilisez-le comme caractérisation structurelle de l'infini dans la théorie des ensembles standard.
La fonction n↦n+1 est une bijection de ℕ vers le sous-ensemble propre ℕ∖{0}.Axiomes et fondements
Naive set theory
Une approche informelle qui traite les ensembles comme des collections arbitraires décrites par des propriétés compréhensibles.
Utilisez-le pour les mathématiques ordinaires lorsque les paradoxes fondamentaux ne sont pas en cause.
La collecte non restreinte par une propriété conduit à des paradoxes, donc les fondations formelles utilisent des axiomes.
Les calculs de base de l'union et de l'intersection nécessitent généralement uniquement la théorie des ensembles naïve.Axiomes et fondements
Russell's paradox
R={x:x∉x}La contradiction produite en demandant si l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes est un membre de lui-même.
Utilisez-le pour comprendre pourquoi la compréhension non restreinte des ensembles est invalide.
En supposant R∈R, on obtient R∉R, tandis que si on suppose R∉R, on obtient R∈R.Axiomes et fondements
Axiomatic set theory
Une théorie formelle qui ne permet les ensembles et les constructions que par le biais d'axiomes spécifiés.
Utilisez-le pour fournir une base cohérente pour les mathématiques et éviter les paradoxes connus.
ZF et ZFC sont des systèmes axiomatiques standard pour la théorie des ensembles.Axiomes et fondements
Axiom of extensionality
Deux ensembles sont égaux exactement lorsque他们具有相同的元素。
Utilisez-le pour que l'appartenance détermine complètement l'identité d'un ensemble.
Pour prouver A=B, il suffit de prouver x∈A si et seulement si x∈B pour tout x.Axiomes et fondements
Axiom of pairing
Pour tout objet a et b, un ensemble {a,b} existe.
Utilisez-le pour construire des paires et des ensembles singleton.
Prendre a=b donne l'ensemble singleton {a}.Axiomes et fondements
Axiom of union
⋃APour tout ensemble d'ensembles A, un ensemble contenant exactement les éléments de ses ensembles membres existe.
Utilisez-le pour aplatir un niveau d'ensembles imbriqués et construire des unions.
Pour l'ensemble A={{1,2},{2,3}}, l'application de l'axiome de l'union donne ⋃A={1,2,3}.Axiomes et fondements
Axiom of power set
Pour tout ensemble A, un ensemble contenant exactement tous les sous-ensembles de A existe.
Utilisez-le pour construire des espaces de fonctions, des topologies et des cardinalités plus grandes.
L'axiome garantit l'existence de 𝒫(A).Axiomes et fondements
Axiom of infinity
Un axiome affirmant l'existence d'un ensemble inductif qui permet la construction des nombres naturels.
Utilisez-le pour garantir qu'une théorie des ensembles contient au moins un ensemble infini.
Les nombres naturels peuvent être construits à l'intérieur d'un ensemble inductif.Axiomes et fondements
Axiom schema of separation
Un schéma permettant de sélectionner des éléments satisfaisant une propriété à partir d'un ensemble existant.
Utilisez-le pour définir des sous-ensembles sans autoriser un ensemble non restreint de tout ce qui satisfait une propriété.
Étant donné A et une propriété P, la séparation forme {x∈A:P(x)}.Axiomes et fondements
Axiom schema of replacement
Un schéma indiquant que l'image d'un ensemble sous une règle fonctionnelle définissable est également un ensemble.
Utilisez-le pour les constructions transfinies et les images indexées par de grands ordinaux.
Une règle définissable F envoie un ensemble A vers l'ensemble {F(x) : x ∈ A}.Axiomes et fondements
Axiom of foundation
Tout ensemble non vide contient un élément disjoint de l'ensemble, ce qui empêche les chaînes d'inclusion infinies.
Utilisez-le pour éliminer les ensembles ordinaires tels que x∈x et les chaînes d'appartenance circulaires.
L'axiome de fondation exclut un cycle à deux ensembles avec a∈b et b∈a.Axiomes et fondements
Axiom of choice
Pour toute famille d'ensembles non vides, une fonction existe qui choisit un élément de chaque ensemble.
Utilisez-le dans des résultats tels que le théorème de bien-ordonnement, le lemme de Zorn et l'existence de bases d'espaces vectoriels.
L'axiome fournit une fonction de choix même lorsqu'aucune règle de sélection explicite n'est connue.Axiomes et fondements
ZF set theory
ZFThéorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans ajouter l'axiome du choix.
Utilisez-le comme fondation formelle standard lorsque le statut du choix est maintenu séparé.
ZF inclut l'extensionnalité, le pairo, l'union, l'ensemble des parties, l'infini, la séparation, le remplacement et la fondation.Axiomes et fondements
ZFC set theory
ZFCLa théorie des ensembles ZF, ainsi que l'axiome du choix.
Utilisez-le comme le cadre fondamental le plus courant pour les mathématiques modernes.
La plupart des résultats mathématiques courants peuvent être formalisés dans ZFC.Axiomes et fondements
Transitive set
Un ensemble dont chaque élément est également un sous-ensemble de l'ensemble.
Utilisez-le en théorie des ordinaux, en hiérarchies d'ensembles et en modèles de la théorie des ensembles.
L'ensemble {∅,{∅}} est transitif.Axiomes et fondements
Ordinal number
α,β,ωUn ensemble canonique représentant le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné.
Utilisez-le pour décrire les positions, l'induction transfinie et les étapes au-delà de l'ordre fini.
Le premier ordinal infini est ω, qui suit tous les ordinaux finis.Axiomes et fondements
Cardinal number
κ,λUn représentant canonique de la taille partagée par des ensembles équipotents.
Utilisez-le pour comparer les tailles des ensembles indépendamment de l'ordre ou de la structure interne.
La cardinalité finie 3 représente tout ensemble à trois éléments.Applications
Sample space and event
Ω, E⊆ΩEn probabilité, l'espace échantillon est l'ensemble des résultats possibles et un événement est l'un de ses sous-ensembles.
Utilisez les opérations d'ensemble pour combiner les événements et les compléments afin d'exprimer l'échec.
Pour un dé, Ω={1,2,3,4,5,6} et l'événement "pair" est E={2,4,6}.Applications
Solution set
L'ensemble de toutes les valeurs satisfaisant une équation, une inégalité ou un système de contraintes.
Utilisez-le pour exprimer zéro, un, plusieurs ou une infinité de solutions de manière uniforme.
L'ensemble des solutions réelles de x²=4 est {−2,2}.Applications
Carrier set
L'ensemble sous-jacent des éléments sur lequel une structure algébrique ou logique est définie.
Utilisez-le pour séparer les éléments bruts des opérations et des relations qui leur sont ajoutées.
Un groupe (G,*) a un ensemble de support G et une opération *.Applications
Database set operations
Opérations telles que UNION, INTERSECT et EXCEPT qui combinent les résultats de requêtes compatibles en utilisant une sémantique de type ensemble.
Utilisez-les pour fusionner, comparer ou soustraire les lignes de résultats.
Les tables de bases de données peuvent contenir des doublons et des valeurs nulles, donc la sémantique de SQL n'est pas identique à la théorie des ensembles pure.
UNION supprime les lignes en double, sauf si UNION ALL est utilisé.Applications
Set data structure
Une collection de programmation qui stocke des valeurs uniques et prend généralement en charge des tests d'appartenance rapides.
Utilisez-le pour la déduplication, le suivi des états visités et la recherche d'appartenance.
Un ensemble peut réduire la liste [3,1,3,2] aux valeurs uniques {1,2,3}.Applications
Type interpreted as a set
Une perspective dans laquelle un type est traité comme l'ensemble des valeurs autorisées par ce type.
Utilisez-le pour raisonner sur la validation, les unions, les intersections, les sous-types et les cas exhaustifs.
Un type booléen peut être modélisé par l'ensemble {vrai, faux}.