Référence mathématique
Apprendre les vecteurs, les matrices, la géométrie affine et spatiale, les réseaux, les systèmes linéaires, les transformations, les décompositions, les moindres carrés et la PCA grâce à des exemples résolus.
Le déplacement point-plan le plus court est parallèle au vecteur normal du plan.
Les combinaisons de nombres entiers de deux vecteurs de base recouvrent le plan avec des parallélogrammes fondamentaux de même aire.
97 termes
Objets et formes
Scalar
aUne valeur numérique unique utilisée pour mettre à l'échelle des vecteurs ou des matrices.
Utilisez des scalaires pour les poids, les coefficients, les taux d'apprentissage, les températures et les amplitudes.
3[2, -1] = [6, -3].Objets et formes
Vector
v ∈ ℝⁿUne liste ordonnée de composants qui peuvent représenter une direction, une position, des caractéristiques ou un état.
Utiliser des vecteurs pour représenter les coordonnées, les signaux, les caractéristiques, les plongements et les paramètres du modèle.
v = [3, 4] has two components.Objets et formes
Matrix
A ∈ ℝᵐˣⁿUn tableau rectangulaire de nombres disposés en lignes et en colonnes.
Utilisez des matrices pour stocker des ensembles de données, des systèmes linéaires, des transformations, des images et des poids.
A = [[1, 2], [3, 4]].Objets et formes
Tensor
T ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏUn tableau multidimensionnel qui généralise les scalaires, les vecteurs et les matrices.
Utilisez des tenseurs pour les lots, les images, les vidéos, les activations de modèles et les données scientifiques multi-axes.
Un lot de 32 images RGB de taille 224×224 a la forme 32×3×224×224.Objets et formes
Shape
m × nLes tailles ordonnées des axes d'un tableau.
Vérifiez les formes avant l'addition, la multiplication, la diffusion, le remodelage et l'entrée du modèle.
La plupart des erreurs de multiplication matricielle proviennent de dimensions internes incompatibles.
Une matrice 3×4 a 3 lignes et 4 colonnes.Opérations vectorielles
Vector addition
u + vAddition composante par composante de vecteurs de la même dimension.
Utilisez-le pour combiner les déplacements, les forces, les signaux, les mises à jour ou les contributions des caractéristiques.
[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].Opérations vectorielles
Scalar multiplication
cvMultiplication de chaque composante d'un vecteur par la même constante.
Utilisez-le pour mettre à l'échelle l'amplitude, inverser la direction ou appliquer une mise à jour pondérée.
-2[3, 1] = [-6, -2].Opérations vectorielles
Dot product
u · vLa somme des produits des composantes vectorielles correspondantes, produisant un scalaire.
Utilisez-le pour la similarité, la projection, le travail, les scores d'attention et la sortie du modèle linéaire.
[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.Opérations vectorielles
Cross product
u × vUn vecteur tridimensionnel perpendiculaire à deux vecteurs d'entrée, avec une magnitude égale à leur aire de parallélogramme.
Utilisez-le pour les normales de surface, le couple, l'orientation et la géométrie 3D.
Le produit vectoriel standard est spécifique à trois dimensions, à l'exception d'un analogue moins courant en sept dimensions.
[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].Opérations vectorielles
Vector norm
‖v‖Une mesure non négative de la taille d'un vecteur qui satisfait les axiomes de la norme.
Utilisez une norme pour mesurer la magnitude, la distance, l'erreur, la régularisation et la convergence.
For v=[3,4], ‖v‖₂=5.Opérations vectorielles
Unit vector
v/‖v‖Un vecteur dont la norme est 1.
Utilisez-le pour préserver la direction tout en supprimant l'amplitude et pour construire des bases orthonormales.
[3,4]/5 = [0.6,0.8].Opérations vectorielles
Euclidean distance
‖u-v‖₂La distance en ligne droite entre deux points représentés comme vecteurs.
Utilisez-le pour la géométrie, la recherche du voisin le plus proche, le regroupement, et la mesure d'erreur lorsque les échelles sont comparables.
La distance entre [1,1] et [4,5] est de 5.Opérations vectorielles
Cosine similarity
u·v/(‖u‖‖v‖)Le cosinus de l'angle entre deux vecteurs non nuls, mesurant la similarité directionnelle.
Utilisez-le pour comparer les plongements de texte ou les caractéristiques de haute dimension lorsque l'amplitude doit être moins importante.
La similarité cosinus n'est pas définie pour un vecteur nul et peut masquer des différences significatives d'amplitude.
[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.Opérations vectorielles
Orthogonal vectors
u·v=0Vecteurs avec produit scalaire nul.
Utilisez l'orthogonalité pour séparer les directions indépendantes, simplifier les projections et construire des bases stables.
[1,2] · [2,-1] = 0, donc les vecteurs sont orthogonaux.Opérations vectorielles
Vector projection
projᵤ(v)La composante d'un vecteur qui se trouve dans la direction d'un autre vecteur ou sous-espace.
Utilisez-le pour la décomposition, les moindres carrés, les ombres et la suppression d'une composante directionnelle.
proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].Opérations matricielles
Matrix addition
A+BAddition composante par composante de matrices de la même forme.
Utilisez-le pour combiner les effets linéaires, les mises à jour des résidus, les images ou les données accumulées.
[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].Opérations matricielles
Matrix multiplication
ABUne opération ligne par colonne qui compose des transformations linéaires lorsque les dimensions intérieures correspondent.
Utilisez-le pour les transformations de coordonnées, les couches de réseaux neuronaux, la propagation de graphes et la résolution de systèmes.
La multiplication matricielle n'est généralement pas commutative : AB peut différer de BA ou un ordre peut être indéfini.
A₂ˣ₃B₃ˣ₄ produit C₂ˣ₄.Opérations matricielles
Transpose
AᵀUne matrice formée en échangeant des lignes et des colonnes.
Utilisez-le pour les produits scalaires, la covariance, les équations normales, les vérifications de symétrie et le changement d'orientation.
If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].Opérations matricielles
Identity matrix
IUne matrice carrée avec des uns sur la diagonale principale et des zéros ailleurs.
Utilisez-le comme élément neutre multiplicatif et pour décrire des coordonnées inchangées.
AI = IA = A.Opérations matricielles
Inverse matrix
A⁻¹Une matrice satisfaisant AA⁻¹=A⁻¹A=I pour une matrice carrée inversible A.
Utilisez-le conceptuellement pour inverser une transformation et résoudre Ax=b.
Le logiciel numérique devrait généralement résoudre Ax=b directement au lieu de calculer explicitement A⁻¹.
For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].Opérations matricielles
Determinant
det(A)Un scalaire pour une matrice carrée qui mesure le facteur d'échelle du volume signé et indique l'inversibilité.
Utilisez-le pour tester la singularité et analyser le changement d'orientation ou de volume sous une transformation.
det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.Opérations matricielles
Trace
tr(A)La somme des entrées de la diagonale principale d'une matrice carrée.
Utilisez-le dans les identités des valeurs propres, l'analyse de la covariance, le calcul matriciel et l'optimisation.
tr([[2,1],[3,4]]) = 6.Opérations matricielles
Matrix rank
rank(A)Le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes dans une matrice.
Utilisez-le pour mesurer la dimension de l'information, déterminer la structure de la solution et détecter les caractéristiques redondantes.
rank([[1,2],[2,4]]) = 1.Opérations matricielles
Symmetric matrix
A=AᵀUne matrice carrée égale à sa transposée.
Utilisez-le pour la covariance, les formes quadratiques, les graphes non orientés et la décomposition orthogonale réelle.
[[2,3],[3,5]] is symmetric.Opérations matricielles
Orthogonal matrix
QᵀQ=IUne matrice carrée réelle dont les colonnes et les lignes forment des ensembles orthonormés.
Utilisez-le pour les rotations, les réflexions, les factorisations stables et les transformations préservant la norme.
Q⁻¹ = Qᵀ pour une matrice orthogonale.Opérations matricielles
Diagonal matrix
DUne matrice dont les éléments en dehors de la diagonale principale sont nuls.
Utilisez-le pour le mise à l'échelle indépendante et les puissances, les inverses et les transformations efficaces.
diag(2,3)^4 = diag(16,81).Systèmes linéaires
System of linear equations
Ax=bUn ensemble d'équations linéaires qui doivent être satisfaites simultanément.
Utilisez-le pour l'équilibrage, l'ajustement, les réseaux, les circuits, les contraintes et la reconstruction.
x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.Systèmes linéaires
Augmented matrix
[A|b]Une représentation matricielle compacte qui ajoute le second membre à la matrice des coefficients du système linéaire.
Utilisez-le pour effectuer une réduction de ligne sans écrire à plusieurs reprises les variables.
x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].Systèmes linéaires
Elementary row operation
Échange des lignes, mise à l'échelle d'une ligne par une valeur non nulle, ou ajout d'un multiple d'une ligne à une autre.
Utilisez ces opérations préservant la solution pour simplifier un système linéaire.
R₂ ← R₂ - 3R₁.Systèmes linéaires
Row echelon form
REFUne forme matricielle avec des pivots se déplaçant vers la droite et des zéros en dessous de chaque pivot.
Utilisez-le pour la substitution arrière, le calcul du rang et l'identification des variables libres.
[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]] est sous forme échelonnée.Systèmes linéaires
Reduced row echelon form
RREFUne forme échelonnée où chaque pivot est 1 et est la seule entrée non nulle de sa colonne.
Utilisez-le pour lire directement les solutions uniques, les variables libres, le rang et les bases de l'espace nul.
RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].Systèmes linéaires
Gaussian elimination
Opérations sur les lignes qui transforment un système en forme échelonnée, suivies d'une substitution arrière.
Utilisez-le comme méthode générale pour résoudre des systèmes linéaires denses de taille modérée, manuellement ou dans un logiciel.
Éliminez x des lignes inférieures, puis résolvez à partir du dernier pivot vers le haut.Systèmes linéaires
Gauss-Jordan elimination
Opérations sur les lignes effectuées jusqu'à ce que la matrice augmentée atteigne la forme échelonnée réduite.
Utilisez-le lorsque la structure de solution complète ou l'inverse est nécessaire explicitement.
Réduire [A|I] à [I|A⁻¹] lorsque A est inversible.Systèmes linéaires
Consistent system
Un système linéaire qui a au moins une solution.
Utilisez le rang ou la réduction de ligne pour distinguer les solutions uniques, infinies et inexistantes.
Une ligne [0 0 | 1] prouve qu'un système est incohérent.Espaces vectoriels
Vector space
VUn ensemble dont les éléments peuvent être additionnés et mis à l'échelle tout en satisfaisant les axiomes de l'espace vectoriel.
Utilisez-le pour traiter les coordonnées, les polynômes, les fonctions, les signaux et les matrices dans un cadre unique.
ℝ³ et l'ensemble des polynômes de degré au plus 2 sont des espaces vectoriels.Espaces vectoriels
Subspace
W ⊆ VUn sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même fermé par rapport à l'addition vectorielle et à la multiplication scalaire.
Utilisez-le pour décrire les directions contraintes, les ensembles de solutions, les espaces de caractéristiques et la structure invariante.
Le plan x+y+z=0 passant par l'origine est un sous-espace de ℝ³.Espaces vectoriels
Span
span{v₁,…,vₖ}L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'un ensemble donné de vecteurs.
Utilisez-le pour décrire toutes les directions ou sorties accessibles à partir des générateurs.
span{[1,0],[0,1]} = ℝ².Espaces vectoriels
Linear independence
Un ensemble de vecteurs est indépendant lorsque seuls les coefficients nuls produisent le vecteur nul.
Utilisez-le pour détecter les directions redondantes et sélectionner une base.
[1,0] et [0,1] sont linéairement indépendants.Espaces vectoriels
Basis
Un ensemble linéairement indépendant qui engendre un espace vectoriel.
Utilisez-le pour attribuer des coordonnées et représenter chaque vecteur de manière unique.
{[1,0],[0,1]} est la base canonique de ℝ².Espaces vectoriels
Dimension
dim(V)Le nombre de vecteurs dans toute base d'un espace vectoriel de dimension finie.
Utilisez-le pour mesurer les degrés de liberté indépendants.
dim(ℝ⁴)=4.Espaces vectoriels
Column space
Col(A)L'enveloppe des colonnes d'une matrice, égale à toutes les sorties Ax.
Utilisez-le pour déterminer si Ax=b est soluble et quelles sorties une transformation peut produire.
Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).Espaces vectoriels
Null space
Null(A)L'ensemble des vecteurs x satisfaisant Ax=0.
Utilisez-le pour décrire les directions invisibles, les solutions homogènes, la redondance des paramètres et les contraintes.
Si A=[1 2], alors Null(A)=span{[-2,1]}.Espaces vectoriels
Rank-nullity theorem
rank(A)+nullity(A)=nPour une matrice avec n colonnes, la dimension de l'espace colonne plus la dimension de l'espace nul est égale à n.
Utilisez-le pour connecter des sorties indépendantes avec des degrés de liberté d'entrée perdus.
Une matrice 3×5 de rang 3 a une nullité de 2.Transformations linéaires
Linear transformation
T(u+v)=T(u)+T(v)Une application qui préserve l'addition vectorielle et la multiplication scalaire.
Utilisez-le pour modéliser la rotation, la mise à l'échelle, la projection, le filtrage et les couches linéaires.
T([x,y])=[2x,y] met à l'échelle la direction x par 2.Transformations linéaires
Kernel
ker(T)L'ensemble des entrées mappées sur le vecteur nul par une transformation linéaire.
Utilisez-le pour détecter les informations perdues par une transformation et tester l'injectivité.
T est bijective si et seulement si ker(T)={0}.Transformations linéaires
Image
im(T)L'ensemble de toutes les sorties produites par une transformation.
Utilisez-le pour décrire les sorties atteignables et tester la surjectivité.
Pour la transformation matricielle T(x)=Ax, im(T)=Col(A).Transformations linéaires
Change of basis
Ré-expression du même vecteur ou de la même transformation en utilisant une base de coordonnées différente.
Utilisez-le pour aligner les coordonnées avec la géométrie, simplifier un opérateur ou passer d'un cadre local à un cadre global.
If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.Géométrie spatiale et affine
Point
PUne position dans un espace affine qui n'a pas, en elle-même, de magnitude ou de direction.
Utilisez des points pour représenter des positions et soustrayez deux points pour obtenir un vecteur de déplacement.
L'addition de deux points n'est pas intrinsèquement définie sans choisir une origine ou une combinaison affine.
Pour P=(1,2) et Q=(4,6), le déplacement Q-P=[3,4].Géométrie spatiale et affine
Position vector
OPUn vecteur d'une origine choisie O à un point P.
Utilisez-le pour représenter des points avec des coordonnées après avoir fixé une origine et une base.
If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].Géométrie spatiale et affine
Affine space
Un espace de points dans lequel les différences de points sont des vecteurs, mais aucune origine n'est privilégiée.
Utilisez-le pour modéliser la géométrie indépendamment d'une origine de coordonnées arbitraire.
Un plan translaté est un espace affine même s'il ne passe pas par l'origine.Géométrie spatiale et affine
Affine combination
ΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1Une combinaison pondérée de points dont les coefficients totalisent 1.
Utilisez-le pour l'interpolation, les centroïdes, les coordonnées barycentriques et les transformations affines.
Le milieu de P et Q est 0,5P+0,5Q.Géométrie spatiale et affine
Parametric equation of a line
x=p+tvUne ligne représentée par un point p et un vecteur directionnel non nul v.
Utilisez-le pour générer des points de ligne et résoudre les intersections avec des plans ou d'autres lignes.
Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).Géométrie spatiale et affine
Equation of a plane
n·(x-p)=0Un plan décrit par un point p et un vecteur normal non nul n.
Utilisez-le pour les limites de classification, le découpage, les tests de collision et les contraintes géométriques.
Avec n=[1,2,3] et p=(1,0,0), le plan est x+2y+3z=1.Géométrie spatiale et affine
Hyperplane
w·x=bUn sous-espace affine de dimension n-1 dans un espace n-dimensionnel.
Utilisez-le comme limite de décision, surface de contrainte ou plan de dimension supérieure.
En ℝ⁴, w·x=b définit un hyperplan tridimensionnel.Géométrie spatiale et affine
Normal vector
nUn vecteur perpendiculaire à une ligne, un plan, une surface tangente ou un hyperplan.
Utilisez-le pour définir des plans, calculer des distances, réfléchir des vecteurs et déterminer l'orientation de la surface.
Pour 2x-y+3z=4, un vecteur normal est [2,-1,3].Géométrie spatiale et affine
Line-plane intersection
Un point trouvé en substituant une ligne paramétrique dans une équation de plan et en résolvant pour son paramètre.
Utilisez-le pour le lancer de rayons, le rendu, la détection des collisions et la construction géométrique.
Si n·v=0, la droite est parallèle au plan ou est entièrement contenue dans celui-ci.
Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).Géométrie spatiale et affine
Distance from a point to a line
La longueur du segment perpendiculaire le plus court d'un point à une ligne.
Utilisez-le pour les requêtes de chemin le plus court, l'ajustement, les marges de collision et les erreurs géométriques.
Pour une droite p+tv, la distance(P,droite)=‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖.Géométrie spatiale et affine
Distance from a point to a plane
|n·P-d|/‖n‖L'équation planaire signée absolue en un point, normalisée par la longueur du vecteur normal.
Utilisez-le pour les marges, le découpage, la détection des collisions et le traitement des nuages de points.
Distance de (1,2,3) à z=0 est 3.Géométrie spatiale et affine
Projection onto a plane
Le point le plus proche sur un plan obtenu en supprimant la composante normale d'un déplacement.
Utilisez-le pour rapprocher les points des surfaces, résoudre les contraintes et décomposer le mouvement.
For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.Géométrie spatiale et affine
Reflection across a plane
Une transformation qui inverse la composante normale tout en préservant les composantes parallèles au plan.
Utilisez-le pour la géométrie des miroirs, les directions de rebond, la symétrie et les graphiques.
Pour un plan passant par l'origine, vrefl=v-2projₙ(v).Géométrie spatiale et affine
Barycentric coordinates
α+β+γ=1Poids qui expriment un point comme une combinaison affine des sommets d'un simplexe.
Utilisez-les pour l'interpolation triangulaire, les tests de point dans un triangle, les maillages et les éléments finis.
P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.Géométrie spatiale et affine
Area from a determinant
|det([u v])|Le déterminant absolu de deux vecteurs de bordure planaire, égal à leur aire de parallélogramme.
Utilisez-le pour l'aire des polygones, les tests d'orientation, les Jacobiens et les changements de coordonnées.
u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.Géométrie spatiale et affine
Scalar triple product
u·(v×w)Une mesure de volume signée pour le parallélépipède formé par trois vecteurs tridimensionnels.
Utilisez-le pour le volume, la coplanarité et les tests d'orientation tridimensionnelle.
Le volume est |u·(v×w)|.Géométrie spatiale et affine
Orientation
sign(det)Un signe indiquant la chiralité ou l'ordre horaire ou antihoraire d'une séquence de bases ou de points.
Utilisez-le pour les algorithmes de polygones, l'enroulement, les normales et la cohérence du système de coordonnées.
En 2D, det([B-A,C-A])>0 signifie que A,B,C sont dans le sens antihoraire.Géométrie spatiale et affine
Homogeneous coordinates
[x,y,z,w]Coordonnées avec une composante d'échelle supplémentaire qui représentent les points affines et les directions projectives de manière uniforme.
Utilisez-les pour combiner la translation, la rotation, l'échelle, la perspective et la projection sous forme matricielle.
Un vecteur homogène doit être normalisé avec soin lorsque son composante finale est non nulle ; une composante finale nulle représente une direction à l'infini.
Le point 2D (x,y) devient [x,y,1], tandis qu'une direction devient [vx,vy,0].Géométrie du réseau
Lattice
L=BℤᵏUn ensemble discret de points formé par toutes les combinaisons entières de vecteurs de base linéairement indépendants.
Utilisez les réseaux en géométrie discrète, en codage, en cryptographie, en optimisation et en cristallographie.
For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.Géométrie du réseau
Integer lattice
ℤⁿLe réseau de tous les vecteurs n-dimensionnels avec des coordonnées entières.
Utilisez-le comme réseau de coordonnées standard et comme référence pour les sous-réseaux et l'optimisation entière.
ℤ² contient chaque point (m,n) avec m,n∈ℤ.Géométrie du réseau
Lattice basis
B=[b₁ … bₖ]Un ensemble linéairement indépendant dont les combinaisons entières génèrent un treillis.
Utilisez-le pour encoder, énumérer, transformer et calculer les propriétés d'un réseau.
Un treillis a un nombre infini de bases possibles, souvent avec des longueurs et des angles de vecteurs très différents.
Les colonnes [2,0] et [1,3] forment une base d'un treillis bidimensionnel.Géométrie du réseau
Lattice rank
rank(L)Le nombre de vecteurs dans une base de réseau, égal à la dimension de son espace vectoriel réel.
Utilisez-le pour distinguer les réseaux de rang maximal et de dimension inférieure dans un espace ambiant.
Le réseau généré par [1,0,0] et [0,1,0] a un rang de 2 dans ℝ³.Géométrie du réseau
Lattice point
BzUn point produit en multipliant une matrice de base de treillis par un vecteur entier.
Utilisez-le comme candidat discret dans les problèmes de point le plus proche, d'emballage, de codage et de contraintes entières.
Avec B=[[2,1],[0,3]] et z=[2,-1], Bz=[3,-3].Géométrie du réseau
Fundamental parallelepiped
P(B)La région semi-ouverte formée par les coefficients de base entre 0 (inclus) et 1 (exclus).
Utilisez-le comme cellule répétitive unique qui contient un représentant de chaque coset modulo le réseau.
P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.Géométrie du réseau
Lattice determinant
det(L)Le volume d'une région fondamentale, également appelé volume du réseau.
Utilisez-le pour mesurer la densité du réseau et comparer l'espacement des réseaux de rang maximal.
For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.Géométrie du réseau
Sublattice
L'⊆LUn sous-groupe d'un treillis qui est lui-même un treillis dans la même étendue réelle ou une étendue dimensionnelle inférieure.
Utilisez-le pour imposer des conditions de congruence supplémentaires ou comparer des structures discrètes imbriquées.
2ℤ² est un sous-treillis de ℤ².Géométrie du réseau
Lattice index
[L:L']Le nombre de cosets d'un sous-réseau L' de rang maximal dans L.
Utilisez-le pour mesurer la densité d'un sous-réseau et relier les déterminants des réseaux imbriqués.
[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).Géométrie du réseau
Unimodular matrix
U∈GLₙ(ℤ)Une matrice carrée entière avec un déterminant de 1 ou -1, dont l'inverse est également entier.
Utilisez-le pour modifier une base de réseau sans modifier le réseau lui-même.
Si B'=BU avec det(U)=±1, alors B et B' génèrent le même réseau.Géométrie du réseau
Equivalent lattice bases
B'=BUDeux bases liées par une matrice entière unimodulaire qui génèrent exactement le même réseau.
Utilisez-le pour remplacer une base longue et inclinée par une base plus courte et plus orthogonale.
B et B'=B[[1,1],[0,1]] sont des bases équivalentes.Géométrie du réseau
Gram matrix of a lattice basis
G=BᵀBUne matrice de tous les produits scalaires par paires des vecteurs de base.
Utilisez-le pour calculer les longueurs, les angles, les volumes et les formes quadratiques dans les coordonnées de la base.
Pour un vecteur entier z, ‖Bz‖²=zᵀGz.Géométrie du réseau
Gram-Schmidt for lattice bases
bᵢ*Une orthogonalisation utilisée pour analyser une base de treillis sans généralement produire une autre base de treillis.
Utilisez-le pour calculer les coefficients de projection, la qualité de la base et les étapes de réduction LLL.
Les vecteurs de Gram-Schmidt sont des auxiliaires analytiques et ne doivent pas nécessairement être des points du réseau.
b₂*=b₂-μ₂₁b₁* avec μ₂₁=⟨b₂,b₁*⟩/‖b₁*‖².Géométrie du réseau
Orthogonality defect
∏‖bᵢ‖/det(L)Une mesure de la distance d'une base de rang maximal par rapport à l'orthogonalité.
Utilisez-le pour comparer la qualité de la base et anticiper les difficultés numériques ou d'énumération.
Le défaut est égal à 1 pour une base orthogonale et est supérieur ou égal à 1 sinon.Géométrie du réseau
Dual lattice
L*L'ensemble des vecteurs ayant des produits scalaires entiers avec chaque vecteur dans L.
Utilisez-le dans l'analyse de Fourier, la théorie du codage, la géométrie réciproque et les bornes de transfert.
Pour une base de rang maximal B, une base duale est B⁻ᵀ.Géométrie du réseau
Shortest vector problem
SVPTrouver le vecteur non nul le plus court dans un treillis selon une norme choisie.
Utilisez-le pour comprendre la géométrie des réseaux, la qualité de la réduction et la robustesse cryptographique basée sur les réseaux.
Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.Géométrie du réseau
Closest vector problem
CVPTrouver le point de treillis le plus proche d'un point cible.
Utilisez-le pour le décodage, la quantification, les moindres carrés entiers et l'analyse de sécurité basée sur les réseaux.
Trouver z minimisant ‖Bz-t‖.Géométrie du réseau
Successive minima
λᵢ(L)Rayons nécessaires pour contenir un nombre croissant de vecteurs de réseau linéairement indépendants.
Utilisez-les pour décrire la forme d'un réseau au-delà du seul vecteur le plus court.
λ₁(L) est la longueur du vecteur le plus court, tandis que λₖ(L) atteint k vecteurs indépendants.Géométrie du réseau
Minkowski's convex body theorem
Une condition de volume garantissant qu'un corps convexe symétrique contient un point de treillis non nul.
Utilisez-le pour prouver des bornes sur les vecteurs de réseau courts et les résultats en théorie des nombres algébriques.
Un corps convexe suffisamment grand et symétrique par rapport à l'origine doit contenir un point non nul de L.Géométrie du réseau
Lattice sphere packing
Placer des sphères égales et non chevauchantes aux points du réseau et mesurer la fraction de l'espace occupé.
Utilisez-le dans la théorie du codage, les communications, la géométrie discrète et l'optimisation de haute dimension.
Le rayon d'emballage est la moitié de la longueur du vecteur de réseau non nul le plus court.Géométrie du réseau
Voronoi cell of a lattice
La région de points qui sont au moins aussi proches d'un point du réseau que de tout autre point du réseau.
Utilisez-le pour comprendre le décodage par point de réseau le plus proche et la forme géométrique des régions CVP.
La cellule de Voronoi autour de 0 recouvre l'espace par des translations de réseau.Géométrie du réseau
Lattice basis reduction
Remplacer une base de réseau par une base équivalente avec des vecteurs plus courts et plus proches de l'orthogonalité.
Utilisez-le pour améliorer l'énumération, la recherche de relations entières, la cryptanalyse et le comportement numérique.
Une base réduite génère le même treillis mais expose sa géométrie de manière plus claire.Géométrie du réseau
LLL algorithm
LLLUn algorithme en temps polynomial qui produit une base satisfaisant les conditions de réduction et de Lovász.
Utilisez-le pour les vecteurs courts approximatifs pratiques, la factorisation polynomiale, la cryptanalyse et les relations entières.
LLL donne une garantie de qualité pour un vecteur court approximatif, et non nécessairement la solution exacte du problème SVP.
LLL réduit de manière répétée les coefficients de Gram-Schmidt et échange les vecteurs de base lorsque la condition de Lovász échoue.Valeurs propres et décompositions
Eigenvalue
Av=λvUn scalaire λ par lequel une transformation linéaire met à l'échelle un vecteur propre non nul sans modifier sa direction.
Utilisez les valeurs propres pour étudier la stabilité, la dynamique à long terme, la covariance, les graphes et les équations différentielles.
Pour A=diag(2,3), les valeurs propres sont 2 et 3.Valeurs propres et décompositions
Eigenvector
Av=λv, v≠0Une direction non nulle préservée par une transformation linéaire jusqu'à un facteur d'échelle.
Utilisez-le pour identifier les axes naturels, les modes dominants, les états stationnaires et les directions principales.
Pour A=diag(2,3), [1,0] est un vecteur propre pour λ=2.Valeurs propres et décompositions
Characteristic polynomial
det(A-λI)Un polynôme dont les racines sont les valeurs propres d'une matrice carrée.
Utilisez-le pour les calculs symboliques de valeurs propres et l'analyse théorique des petites matrices.
Pour A=[[2,0],[0,3]], det(A-λI)=(2-λ)(3-λ).Valeurs propres et décompositions
Diagonalization
A=PDP⁻¹Représentation d'une matrice à l'aide d'une matrice diagonale des valeurs propres et d'une base de vecteurs propres.
Utilisez-le pour simplifier les puissances de matrices, les récurrences et les systèmes dynamiques linéaires.
Toutes les matrices carrées n'ont pas suffisamment de vecteurs propres indépendants pour être diagonalisables.
A^k=PD^kP⁻¹ lorsque A est diagonalisable.Valeurs propres et décompositions
LU decomposition
PA=LUFactorisation d'une matrice en facteurs triangulaires inférieurs et supérieurs, parfois avec permutation de lignes.
Utilisez-le pour résoudre plusieurs systèmes avec la même matrice de coefficients de manière efficace.
Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.Valeurs propres et décompositions
QR decomposition
A=QRFactorisation d'une matrice en une matrice orthogonale Q et une matrice triangulaire supérieure R.
Utilisez-le pour les moindres carrés numériquement stables, les bases orthonormales et les algorithmes de valeurs propres.
Résoudre les moindres carrés par Rx=Qᵀb après A=QR.Valeurs propres et décompositions
Singular value decomposition
A=UΣVᵀUne factorisation de toute matrice en matrices de vecteurs singuliers orthogonaux et en valeurs singulières non négatives.
Utilisez-le pour la compression, le débruitage, les pseudo-inverses, l'approximation de faible rang et la structure latente.
Les petites valeurs singulières peuvent amplifier le bruit lorsqu'elles sont utilisées dans une inverse ou une pseudo-inverse.
Conserver les k plus grandes valeurs singulières donne la meilleure approximation de rang k dans la norme 2 et la norme de Frobenius.Valeurs propres et décompositions
Least squares
min ‖Ax-b‖₂Recherche de paramètres qui minimisent le résidu au carré lorsqu'un système linéaire n'a pas de solution exacte ou est surdéterminé.
Utilisez-le pour la régression, l'étalonnage, la reconstruction et l'ajustement des mesures bruyantes.
Ajustement de y≈mx+c en minimisant la somme des résidus verticaux au carré.Valeurs propres et décompositions
Principal component analysis
X≈UₖΣₖVₖᵀUne méthode de réduction de dimension qui trouve les directions orthogonales de la plus grande variance dans les données centrées.
Utilisez-le pour visualiser, compresser, débruiter ou résumer les caractéristiques numériques corrélées.
La PCA est sensible à l'échelle des caractéristiques, aux valeurs aberrantes et à l'hypothèse selon laquelle une variance élevée est informative.
Centre X, calcule sa SVD, et projette sur les k premiers vecteurs singuliers droits.