Référence mathématique
Apprenez les structures algébriques à partir des opérations et des groupes, via les anneaux, les corps, les corps finis, les modules et les espaces vectoriels, avec des définitions et des exemples.
Chaque structure ajoute des axiomes spécifiques ; les corps permettent la division par tout élément non nul.
ℤ/nℤ est un corps exactement lorsque n est premier ; les modules composés peuvent contenir des diviseurs nuls.
63 termes
Opérations et axiomes
Set
SUne collection d'objets distincts traités comme un seul objet mathématique.
Utilisez un ensemble pour spécifier le corps sur lequel les opérations algébriques sont définies.
ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.Opérations et axiomes
Binary operation
*:S×S→SUne règle qui combine deux éléments d'un ensemble et renvoie un élément du même ensemble.
Utilisez-le comme l'opération sous-jacente aux magmas, aux semi-groupes, aux groupes, aux anneaux et aux corps.
L'addition est une opération binaire sur ℤ car a+b∈ℤ pour tous les entiers a et b.Opérations et axiomes
Closure
La propriété selon laquelle l'application d'une opération à des éléments autorisés produit toujours un autre élément autorisé.
Vérifiez la fermeture avant de prétendre qu'un sous-ensemble hérite d'une structure algébrique.
Les entiers positifs sont fermés par addition, mais pas par soustraction.Opérations et axiomes
Associativity
(a*b)*c=a*(b*c)La propriété selon laquelle le regroupement de trois opérandes ne modifie pas le résultat.
Utilisez-le pour omettre les parenthèses dans les produits ou les sommes répétés et pour définir les puissances de manière cohérente.
La multiplication matricielle est associative, même si elle n'est généralement pas commutative.Opérations et axiomes
Commutativity
a*b=b*aLa propriété selon laquelle l'échange de l'ordre de deux opérandes ne modifie pas le résultat.
Utilisez-le pour distinguer les groupes abéliens et les anneaux commutatifs des structures non commutatives.
La multiplication des entiers est commutative, tandis que la multiplication matricielle ne l'est généralement pas.Opérations et axiomes
Identity element
eUn élément qui laisse inchangé chaque élément lorsqu'il est utilisé dans l'opération.
Utilisez-le pour définir les inverses, les puissances, les monoïdes, les groupes et les anneaux avec élément neutre.
0 est l'élément neutre pour l'addition et 1 est l'élément neutre pour la multiplication dans ℤ.Opérations et axiomes
Inverse element
a⁻¹Un élément qui, combiné à un élément donné, produit l'élément neutre.
Utilisez-le pour inverser les opérations du groupe et déterminer quels éléments de l'anneau sont des éléments unitaires.
L'inverse additif de 5 est -5 ; l'inverse multiplicatif de 3 dans ℚ est 1/3.Opérations et axiomes
Magma
(M,*)Un ensemble muni d'une opération binaire, sans exiger l'associativité ou un élément neutre.
Utilisez-le comme le point de départ le moins restrictif dans la hiérarchie des structures à une opération.
Tout semi-groupe est un magma, mais un magma n'est pas nécessairement associatif.Opérations et axiomes
Semigroup
(S,*)Un magma dont l'opération est associative.
Utilisez-le pour modéliser les processus composables qui n'ont pas nécessairement d'élément neutre ou d'inverses.
Toutes les chaînes non vides forment un semi-groupe sous l'opération de concaténation.Opérations et axiomes
Monoid
(M,*,e)Un semi-groupe avec un élément neutre.
Utilisez-le pour les séquences, les transformations, les endomorphismes et les calculs qui composent à partir d'une valeur neutre.
Toutes les chaînes de caractères, y compris la chaîne vide, forment un monoïde sous la concaténation.Groupes
Group
(G,*)Un monoïde dans lequel chaque élément a un inverse.
Utilisez les groupes pour décrire les symétries et les opérations réversibles.
Les entiers forment un groupe sous l'addition.Groupes
Abelian group
a*b=b*aUn groupe dont l'opération est commutative.
Utilisez-le pour les structures additives telles que les entiers, les vecteurs et la partie additive d'un anneau.
Tout espace vectoriel est un groupe abélien sous l'addition vectorielle.Groupes
Subgroup
H≤GUn sous-ensemble d'un groupe qui est lui-même un groupe, avec l'opération restreinte.
Utilisez-le pour isoler les symétries, les éléments générés, les stabilisateurs et les ensembles de solutions à l'intérieur d'un groupe.
2ℤ est un sous-groupe de (ℤ,+).Groupes
Cyclic group
G=⟨g⟩Un groupe généré par un seul élément.
Utilisez-le pour représenter chaque élément de groupe comme une puissance ou un multiple entier d'un générateur.
(ℤ/nℤ,+) est cyclique et généré par [1].Groupes
Group generator
⟨g⟩Un élément ou un ensemble d'éléments dont les opérations répétées et les inverses produisent l'ensemble du groupe.
Utilisez-le pour donner des présentations compactes et tester si un groupe est cyclique.
L'élément [1] génère le groupe additif ℤ/5ℤ.Groupes
Order of a group element
ord(g)Le plus petit exposant positif qui envoie un élément sur l'élément neutre.
Utilisez-le pour déterminer la longueur du cycle et la taille du sous-groupe généré.
Dans le groupe additif ℤ/6ℤ, l'élément [2] a un ordre d'élément de 3.Groupes
Order of a group
|G|Le nombre d'éléments dans un groupe fini.
Utilisez-le avec le théorème de Lagrange, les arguments de comptage et la classification des groupes finis.
Le groupe de symétrie d'un triangle équilatéral a un ordre de groupe de 6.Groupes
Coset
gH or HgUne translation d'un sous-groupe obtenue en multipliant chaque élément du sous-groupe par un élément fixe du groupe.
Utilisez les cosets pour partitionner un groupe et construire des groupes quotients.
Les cosets de 3ℤ dans ℤ sont 3ℤ, 1+3ℤ et 2+3ℤ.Groupes
Lagrange's theorem
|G|=[G:H]|H|Pour un groupe fini, l'ordre de tout sous-groupe divise l'ordre du groupe.
Utilisez-le pour restreindre les ordres possibles des sous-groupes et des éléments.
Un groupe fini ayant un ordre de groupe de 12 ne peut pas contenir un sous-groupe ayant un ordre de groupe de 5.Groupes
Normal subgroup
N◁GUn sous-groupe dont les cosets gauche et droit coïncident pour tout élément du groupe.
Utilisez-le comme la condition requise pour que les cosets forment un groupe quotient.
Le noyau de tout homomorphisme de groupe est un sous-groupe normal.Groupes
Quotient group
G/NUn groupe de cosets formé d'un groupe et d'un sous-groupe normal.
Utilisez-le pour réduire un sous-groupe normal à l'élément neutre et étudier la structure du groupe à une échelle plus grossière.
ℤ/nℤ est le groupe quotient ℤ/nℤ par l'addition.Groupes
Group homomorphism
φ(ab)=φ(a)φ(b)Une application entre groupes qui préserve l'opération du groupe.
Utilisez-le pour comparer les groupes tout en conservant leur opération algébrique.
La fonction φ:ℤ→ℤ/nℤ définie par φ(k)=[k] préserve l'addition.Groupes
Group isomorphism
G≅HUn homomorphisme de groupe bijectif montrant que deux groupes ont la même structure abstraite.
Utilisez-le pour traiter les groupes représentés différemment comme structurellement identiques.
Tout groupe cyclique infini est isomorphe à (ℤ,+).Groupes
Kernel of a group homomorphism
ker(φ)Le sous-groupe des éléments qui sont envoyés sur l'élément neutre du groupe cible.
Utilisez-le pour mesurer l'information perdue par un homomorphisme et tester l'injectivité.
Un homomorphisme de groupe est injectif si et seulement si son noyau est le sous-groupe identité.Groupes
Image of a group homomorphism
im(φ)Le sous-groupe des éléments cibles effectivement atteints par un homomorphisme.
Utilisez-le pour déterminer la structure de sortie effective et tester la surjectivité.
Un homomorphisme est surjectif si et seulement si son image est égale au groupe cible.Groupes
First isomorphism theorem for groups
G/ker(φ)≅im(φ)Un théorème identifiant le quotient par le noyau d'un homomorphisme avec son image.
Utilisez-le pour relier les noyaux, les images et les structures quotients.
Pour φ:ℤ→ℤ/nℤ, ℤ/nℤ≅im(φ).Groupes
Direct product of groups
G×HUn groupe formé de paires ordonnées avec des opérations composantes.
Utilisez-le pour combiner des structures de groupe indépendantes et décomposer les groupes abéliens finis.
ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ est isomorphe à ℤ/6ℤ.Anneaux
Ring
(R,+,×)Un ensemble dont l'addition forme un groupe abélien et dont la multiplication associative se distribue sur l'addition.
Utilisez les anneaux pour étudier les entiers, les polynômes, les matrices et l'arithmétique modulaire avec l'addition et la multiplication.
ℤ est un anneau commutatif avec élément neutre.Anneaux
Commutative ring
ab=baUn anneau dont la multiplication est commutative.
Utilisez-le en théorie des nombres et en géométrie algébrique où la multiplication semblable à celle des polynômes est commutative.
ℤ et F[x] sont des anneaux commutatifs lorsque F est un corps.Anneaux
Ring with identity
1_RUn anneau contenant un élément neutre multiplicatif.
Utilisez-le lors de la définition des éléments unitaires, des modules avec élément neutre scalaire et des homomorphismes qui préservent 1.
Les entiers pairs forment un anneau sans son propre élément neutre multiplicatif, en utilisant les opérations héritées.Anneaux
Subring
S⊆RUn sous-ensemble qui est lui-même un anneau, avec les opérations héritées d'un anneau plus grand.
Utilisez-le pour identifier les systèmes arithmétiques plus petits à l'intérieur d'un anneau.
Les entiers ℤ forment un sous-anneau des nombres rationnels ℚ.Anneaux
Unit of a ring
R×Un élément possédant un inverse multiplicatif dans l'anneau.
Utilisez les éléments unitaires pour identifier la multiplication réversible et former le groupe multiplicatif d'un anneau.
Les éléments unitaires de ℤ sont 1 et -1.Anneaux
Zero divisor
ab=0Un élément d'un anneau non nul qui, multiplié par un autre élément non nul, donne zéro.
Utilisez-le pour détecter l'échec de l'annulation et distinguer les domaines d'intégrité des anneaux généraux.
Dans ℤ/6ℤ, [2][3]=[0] ; par conséquent, [2] et [3] sont des éléments diviseurs de zéro.Anneaux
Nilpotent element
a^k=0Un élément dont la puissance positive est égale à zéro.
Utilisez-le pour étudier les anneaux non réduits, la structure matricielle et le comportement algébrique infinitésimal.
La matrice [[0,1],[0,0]] est non nulle, mais son carré est zéro.Anneaux
Integral domain
Un anneau non nul, commutatif, avec élément neutre et sans diviseurs de zéro.
Utilisez-le là où l'annulation fonctionne et où les fractions peuvent être construites de manière cohérente.
ℤ est un domaine intègre, mais pas un corps.Anneaux
Division ring
Un anneau dans lequel chaque élément non nul a un inverse multiplicatif, sans exiger que la multiplication soit commutative.
Utilisez-le pour distinguer les structures de division non commutatives des corps.
Les quaternions forment un anneau de division, mais pas un corps.Anneaux
Ideal
I◁RUn sous-groupe additif qui absorbe la multiplication par des éléments arbitraires de l'anneau, du côté ou des côtés requis.
Utilisez les idéaux comme noyaux des homomorphismes d'anneaux et pour construire des anneaux quotients.
nℤ est un idéal de ℤ.Anneaux
Principal ideal
(a)Un idéal généré par un seul élément.
Utilisez-le pour exprimer la divisibilité et comparer les domaines principaux avec des anneaux plus généraux.
Dans ℤ, l'idéal généré par 6 est (6)=6ℤ.Anneaux
Quotient ring
R/IUn anneau de cosets formé en identifiant chaque élément d'un idéal avec zéro.
Utilisez-le pour imposer des relations algébriques et modéliser l'arithmétique modulaire.
ℤ/nℤ est l'anneau quotient ℤ/(n).Anneaux
Polynomial ring
R[x]L'anneau des polynômes à coefficients dans un anneau R.
Utilisez-le pour les équations, la factorisation, les idéaux, les extensions de corps et la géométrie algébrique.
Lorsque F est un corps, l'anneau polynomial F[x] est un domaine euclidien.Anneaux
Matrix ring
Mₙ(R)L'anneau des matrices carrées sur un anneau, en utilisant l'addition et la multiplication matricielles.
Utilisez-le pour les transformations linéaires et comme exemple standard d'un anneau non commutatif.
M₂(ℝ) est un anneau, mais la multiplication matricielle n'est pas commutative.Anneaux
Ring homomorphism
φ(a+b), φ(ab)Une application préservant l'addition et la multiplication des anneaux, avec la préservation de l'élément neutre dépendant de la convention.
Utilisez-le pour comparer les anneaux et obtenir les idéaux comme noyaux.
Indiquez si les homomorphismes d'anneau doivent préserver l'élément neutre multiplicatif.
L'évaluation f(x)↦f(0) est un homomorphisme d'anneau de R[x] vers R.Anneaux
Ring isomorphism
R≅SUn homomorphisme d'anneau bijectif montrant que deux anneaux ont la même structure d'anneau.
Utilisez-le pour remplacer un anneau par une représentation plus simple mais structurellement équivalente.
Le théorème des restes chinois peut donner ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ.Corps
Field
(F,+,×)Un anneau commutatif avec 1 différent de 0, dans lequel chaque élément non nul a un inverse multiplicatif.
Utilisez les corps comme systèmes scalaires pour la division exacte, les espaces vectoriels, les polynômes et l'algèbre linéaire.
ℚ, ℝ et ℂ sont des corps, tandis que ℤ ne l'est pas.Corps
Subfield
K⊆FUn sous-ensemble d'un corps qui est lui-même un corps, avec les opérations héritées.
Utilisez-le pour comparer les systèmes scalaires et définir les extensions de corps.
ℚ est un sous-corps de ℝ, et ℝ est un sous-corps de ℂ.Corps
Characteristic of a field
char(F)Le plus petit nombre positif de copies de 1 qui, additionnées, donnent zéro, ou 0 si aucune n'existe.
Utilisez-le pour distinguer les corps de caractéristique zéro de l'arithmétique de caractéristique finie.
Le corps des nombres rationnels a char(ℚ)=0, tandis que le corps premier fini a char(𝔽ₚ)=p.Corps
Prime field
Le plus petit sous-corps contenu dans un corps, isomorphe à ℚ ou à 𝔽ₚ.
Utilisez-le comme la base arithmétique générée par l'élément neutre multiplicatif.
Tout corps de caractéristique p contient une copie de 𝔽ₚ.Corps
Finite field
𝔽_qUn corps contenant un nombre fini d'éléments.
Utilisez-le en théorie du codage, en cryptographie, pour les sommes de contrôle et en géométrie finie.
Le corps 𝔽₅={0,1,2,3,4} utilise l'arithmétique modulo 5 pour l'addition et la multiplication.Corps
Prime-power order of a finite field
q=pⁿUn corps fini existe avec q éléments si et seulement si q est une puissance d'un nombre premier.
Utilisez-le pour déterminer les tailles valides des corps finis avant d'en construire un.
Un corps avec 8 éléments existe, mais un corps avec 6 éléments n'existe pas.Corps
Galois field
GF(pⁿ)Un autre nom pour le corps fini avec pⁿ éléments, unique à isomorphisme près.
Utilisez-le pour l'arithmétique des extensions de corps dans les codes de correction d'erreurs et les systèmes cryptographiques.
GF(2⁸) est largement utilisé pour l'arithmétique sur les corps finis orientée octet.Corps
Field extension
L/KUn corps L contenant un corps K comme sous-corps.
Utilisez-le pour ajouter des racines, élargir les systèmes scalaires et construire des corps finis.
ℂ/ℝ est une extension de corps obtenue en ajoutant i.Corps
Degree of a field extension
[L:K]La dimension vectorielle de L lorsqu'il est considéré comme un espace vectoriel sur K.
Utilisez-le pour mesurer la taille de l'extension et appliquer la loi de la tour.
Le degré d'extension est [ℂ:ℝ]=2, avec une base {1,i} sur ℝ.Corps
Algebraic element
Un élément d'un corps de fraction qui est une racine d'un polynôme non nul sur le corps de base.
Utilisez-le pour construire des extensions de degré fini et classer les nombres sur un corps.
√2 est algébrique sur ℚ car il satisfait x²-2=0.Corps
Transcendental element
Un élément d'un corps de fraction qui ne satisfait aucun polynôme non nul sur le corps de base.
Utilisez-le pour distinguer les extensions transcendantes des extensions algébriques.
π et e sont transcendents sur ℚ.Corps
Minimal polynomial
m_α(x)Le polynôme irréductible unique, de plus petit degré, sur le corps de base, ayant un élément algébrique comme racine.
Utilisez-le pour déterminer le degré d'extension et les relations arithmétiques d'un élément algébrique.
Le polynôme minimal de √2 sur ℚ est x²-2.Corps
Splitting field
La plus petite extension de corps dans laquelle un polynôme se factorise complètement en facteurs linéaires.
Utilisez-le pour contenir toutes les racines polynomiales et étudier leurs symétries.
Le corps de décomposition de x²+1 sur ℝ est ℂ.Corps
Algebraic closure
Une extension de corps qui est algébriquement clos, de sorte que tout polynôme non constant a une racine.
Utilisez-le comme un contexte où les équations polynomiales se factorisent complètement.
ℂ est algébriquement clos et est une clôture algébrique de ℝ seulement après avoir noté que ℂ/ℝ est algébrique.Connexions et exemples
Module
M over RUn groupe abélien avec multiplication scalaire par des éléments d'un anneau.
Utilisez les modules pour généraliser les espaces vectoriels lorsque les scalaires proviennent d'un anneau plutôt que d'un corps.
Tout groupe abélien est naturellement un module sur l'anneau des entiers ℤ.Connexions et exemples
Vector space over a field
V over FUn groupe abélien avec multiplication scalaire par un corps, satisfaisant les axiomes de l'espace vectoriel.
Utilisez-le pour relier la structure du corps à l'algèbre linéaire, aux bases, à la dimension et aux transformations linéaires.
ℂ est un espace vectoriel bidimensionnel sur ℝ.Connexions et exemples
Algebra over a field
A over FUn espace vectoriel sur un corps, muni d'une multiplication bilinéaire compatible.
Utilisez-le pour combiner l'algèbre linéaire avec la multiplication d'anneaux.
Mₙ(F) est une algèbre sur F.Connexions et exemples
When ℤ/nℤ is a field
L'anneau quotient ℤ/nℤ est un corps exactement lorsque n est premier.
Utilisez-le pour distinguer l'arithmétique à module premier de l'arithmétique à module composé avec des diviseurs de zéro.
ℤ/5ℤ est un corps, mais ℤ/6ℤ ne l'est pas car [2][3]=[0].Connexions et exemples
Unit group of a ring
R×Le groupe formé de tous les éléments d'un anneau qui sont inversibles par multiplication.
Utilisez-le pour relier la multiplication d'anneaux à la théorie des groupes et à l'arithmétique modulaire.
(ℤ/nℤ)× contient exactement les classes de résidus premiers avec n.Connexions et exemples
Scalar field
FLe corps dont sont tirés les coefficients des espaces vectoriels et les éléments matriciels.
Indiquez-le car le rang, les valeurs propres, la factorisation et la solubilité peuvent changer avec le corps scalaire.
La matrice [[0,-1],[1,0]] n'a pas de valeurs propres réelles, mais a des valeurs propres i et -i sur ℂ.