Mathematik-Referenz
Lernen Sie Mengen, Operationen, Relationen, Funktionen, unendliche Kardinalitäten, axiomatische Grundlagen und praktische Anwendungen mit Notation und Beispielen.
Die Vereinigung enthält entweder die eine oder die andere Menge, während die Schnittmenge nur den gemeinsamen Bereich beibehält.
Pfeile zeigen, ob Eingaben unterschiedlich bleiben und ob jedes Element des Definitionsbereichs erreicht wird.
99 Begriffe
Mengen und Grundlagen.
Set
AEine wohldefinierte Sammlung von verschiedenen Objekten, die als ein einzelnes mathematisches Objekt betrachtet werden.
Verwenden Sie Mengen, um Sammlungen, Domänen, Lösungsräume, Ereignisse und die zugrunde liegenden Objekte mathematischer Strukturen anzugeben.
Die Menge A={2,4,6} enthält drei gerade Zahlen.Mengen und Grundlagen.
Set element
xEin einzelnes Objekt, das in einer Menge enthalten ist.
Verwenden Sie Elemente, wenn Sie Aussagen über Mitglieder einer Sammlung machen.
Die Zahl 4 ist ein Element von A={2,4,6}.Mengen und Grundlagen.
Membership
x∈ADie Relation, die angibt, dass ein Objekt ein Element einer Menge ist.
Verwenden Sie die Mitgliedschaftsnotation, um ein Element von einer Teilmenge zu unterscheiden.
4∈{2,4,6}.Mengen und Grundlagen.
Non-membership
x∉ADie Relation, die angibt, dass ein Objekt kein Element einer Menge ist.
Verwenden Sie es, um Werte aus einer Domäne, einem Ereignis oder einer Lösungsmenge auszuschließen.
5∉{2,4,6}.Mengen und Grundlagen.
Roster notation
A={a,b,c}Eine Notation, die eine Menge definiert, indem sie ihre Elemente zwischen geschweiften Klammern auflistet.
Verwenden Sie sie für endliche Mengen, deren Mitglieder klar aufgelistet werden können.
Die Vokalmeng kann als V={a,e,i,o,u} geschrieben werden.Mengen und Grundlagen.
Set-builder notation
{x∈U:P(x)}Eine Notation, die eine Menge durch eine Eigenschaft definiert, die ihre Elemente erfüllen müssen.
Verwenden Sie es, wenn es unpraktisch oder unmöglich wäre, jedes Element aufzulisten.
Die geraden ganzen Zahlen sind {n∈ℤ:n=2k für ein k∈ℤ}.Mengen und Grundlagen.
Empty set
∅Die eindeutige Menge, die keine Elemente enthält.
Verwenden Sie sie für ein unmögliches Ereignis, eine inkonsistente Lösungsmenge oder eine leere Schnittmenge im Kontext.
Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge, aber sie ist nicht unbedingt ein Element jeder Menge.
Die reelle Lösungsmenge von x²+1=0 ist ∅.Mengen und Grundlagen.
Singleton set
{x}Eine Menge, die genau ein Element enthält.
Verwenden Sie es, wenn eine Sammlung einen möglichen Wert hat oder eine Lösung eindeutig ist.
Die Gleichung x-3=0 hat die Lösungsmenge {3}.Mengen und Grundlagen.
Universal set
UDie Menge aller derzeit betrachteten Objekte.
Geben Sie dies an, bevor Sie Komplemente verwenden oder über ein festes Universum quantifizieren.
Eine universelle Menge hängt vom Kontext ab; sie ist keine absolute Menge von allem.
Wenn U=ℤ, dann ist das Komplement der geraden ganzen Zahlen die Menge der ungeraden ganzen Zahlen.Mengen und Grundlagen.
Set equality
A=BZwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente enthalten.
Verwenden Sie die Erweiterungsgleichheit, ohne Rücksicht auf die Reihenfolge oder Wiederholung der Elemente in einer geschriebenen Liste.
Die Mengen {1,2,2,3} und {3,2,1} sind gleich.Mengen und Grundlagen.
Subset
A⊆BEine Menge A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist.
Verwenden Sie es, um die Enthaltenheit auszudrücken und die Mengen-Gleichheit durch doppelte Enthaltenheit zu beweisen.
{1,3}⊆{1,2,3}.Mengen und Grundlagen.
Proper subset
A⊊BEine Teilmenge, die nicht gleich der enthaltenden Menge ist.
Verwenden Sie es, wenn die Enthaltenheit strikt ist.
Einige Bücher verwenden ⊂ für eine echte Teilmenge, während andere es für jede Teilmenge verwenden; definieren Sie die Konvention.
{1,3}⊊{1,2,3}.Mengen und Grundlagen.
Superset
B⊇AEine Menge, die jedes Element einer anderen Menge enthält.
Verwenden Sie sie als die umgekehrte Form der Teilmengenrelation.
{1,2,3}⊇{1,3}.Mengen und Grundlagen.
Cardinality
|A|Ein Maß für die Anzahl der Elemente in einer Menge.
Verwenden Sie es, um endliche Größen und, durch Bijektionen, die Größen unendlicher Mengen zu vergleichen.
Wenn A={a,b,c}, dann |A|=3.Mengen und Grundlagen.
Finite set
Eine Menge, deren Elemente in eine Bijektion mit {1, ..., n} für eine nichtnegative ganze Zahl n überführt werden können.
Verwenden Sie es, wenn eine Sammlung eine eindeutige ganzzahlige Größe hat.
Die Tage der Woche bilden eine endliche Menge mit der Kardinalität 7.Mengen und Grundlagen.
Infinite set
Eine unendliche Menge.
Verwenden Sie es für unbeschränkte Sammlungen wie ganze Zahlen, Folgen und Punkte auf einer Linie.
Die Menge der ganzen Zahlen ℤ ist unendlich.Mengen und Grundlagen.
Power set
𝒫(A)Die Menge, die jede Teilmenge von A enthält.
Verwenden Sie es, um alle möglichen Auswahlen, Ereignisse und binären Feature-Kombinationen zu beschreiben.
Wenn A={a,b}, dann 𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}.Mengen und Grundlagen.
Indexed family of sets
{Aᵢ}ᵢ∈IEine Sammlung von Mengen, die durch Elemente einer Indexmenge gekennzeichnet sind.
Verwenden Sie es für Folgen von Mengen und Vereinigungen oder Durchschnitten über beliebige Indexmengen.
Die Familie {Aₙ}ₙ∈ℕ kann definiert werden durch Aₙ={1,...,n}.Mengenoperationen.
Union
A∪BDie Menge der Elemente, die zu A, B oder beiden gehören.
Verwenden Sie es, um Alternativen, Ereignisse, Kategorien oder Ergebnis-Sets zu kombinieren.
Wenn A={1,2} und B={2,3}, dann A∪B={1,2,3}.Mengenoperationen.
Intersection
A∩BDie Menge der Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
Verwenden Sie es, um gleichzeitig Bedingungen anzuwenden oder gemeinsame Elemente zu finden.
Wenn A={1,2} und B={2,3}, dann A∩B={2}.Mengenoperationen.
Set difference
A∖BDie Menge der Elemente in A, die nicht in B enthalten sind.
Verwenden Sie es, um Ausschlüsse zu entfernen oder zu vergleichen, was für eine Menge einzigartig ist.
Wenn A={1,2,3} und B={2,4}, dann A∖B={1,3}.Mengenoperationen.
Complement
AᶜDie Menge der Elemente in der Universalmenge, die nicht in A enthalten sind.
Verwenden Sie es für negierte Bedingungen und komplementäre Wahrscheinlichkeitsereignisse.
Wenn U={1,2,3,4} und A={1,3}, dann Aᶜ={2,4}.Mengenoperationen.
Symmetric difference
A△BDie Menge der Elemente, die genau zu einer von A und B gehören.
Verwenden Sie es, um die Diskrepanz zwischen Mengen zu messen oder die Mitgliedschaft umzukehren.
Wenn A={1,2} und B={2,3}, dann A△B={1,3}.Mengenoperationen.
Disjoint sets
A∩B=∅Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben.
Verwenden Sie es für disjunkte Ereignisse und nicht überlappende Partitionen.
Die geraden und ungeraden ganzen Zahlen sind disjunkt.Mengenoperationen.
Partition of a set
Eine Sammlung von nichtleeren, paarweise disjunkten Teilmengen, deren Vereinigung die ursprüngliche Menge ist.
Verwenden Sie es, um jedes Element in genau eine Klasse zu gruppieren.
Die Restklassen modulo 3 partitionieren ℤ.Mengenoperationen.
Cartesian product
A×BDie Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente in A und deren zweite Komponente in B liegt.
Verwenden Sie es, um Koordinaten, Relationen, Tabellen und Produktmengen zu erstellen.
Wenn A={1,2} und B={x,y}, dann A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.Mengenoperationen.
Ordered pair
(a,b)Ein Paar, bei dem die Position jedes Elements wichtig ist.
Verwenden Sie sie für Koordinaten und als das Basiselement eines kartesischen Produkts oder einer Relation.
Ein geordnetes Paar ändert sich normalerweise, wenn seine Komponenten vertauscht werden, also (1,2) ≠ (2,1).Mengenoperationen.
De Morgan's laws for sets
(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩BᶜRegeln, die Vereinigung und Schnitt austauschen, wenn Komplemente gebildet werden.
Verwenden Sie sie, um negierte Mengenbedingungen und Wahrscheinlichkeitsereignisse zu vereinfachen.
Das zweite Gesetz ist (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.Mengenoperationen.
Distributive laws for sets
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)Regeln, die beschreiben, wie Vereinigung und Schnitt sich gegenseitig verteilen.
Verwenden Sie sie, um Mengen-Ausdrücke umzuschreiben und Identitäten zu beweisen.
Auch A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).Mengenoperationen.
Absorption laws
A∪(A∩B)=AIdentitäten, bei denen die Kombination einer Menge mit einem enthaltenen Schnitt oder einer Vereinigung die ursprüngliche Menge zurückgibt.
Verwenden Sie sie, um redundante Teile von Mengen-Ausdrücken zu entfernen.
Das duale Gesetz ist A∩(A∪B)=A.Mengenoperationen.
Generalized union and intersection
⋃ᵢAᵢ, ⋂ᵢAᵢVereinigung oder Schnittmenge über eine indizierte Familie von Mengen.
Verwenden Sie sie für unendlich viele Mengen oder eine variable Sammlung von Bedingungen.
Für Aₙ={n,n+1,...}, ist der Schnitt ⋂ₙ∈ℕAₙ leer.Relationen und Ordnungen.
Binary relation
R⊆A×BEine Menge von geordneten Paaren, die angibt, welche Elemente von A mit welchen Elementen von B in Beziehung stehen.
Verwenden Sie es, um Vergleiche, Verbindungen, Datenbank-Links und Funktionsgraphen zu modellieren.
Die Relation xRy, definiert durch x≤y, ist eine Teilmenge von ℤ×ℤ.Relationen und Ordnungen.
Domain and range of a relation
dom(R), ran(R)Die Domäne enthält die ersten Komponenten, die in einer Relation vorkommen, und der Wertebereich enthält die vorkommenden zweiten Komponenten.
Verwenden Sie sie, um festzustellen, welche Eingaben und Ausgaben tatsächlich an einer Beziehung beteiligt sind.
Wenn R={(1,a),(2,a),(2,b)}, dann dom(R)={1,2} und ran(R)={a,b}.Relationen und Ordnungen.
Inverse relation
R⁻¹Die Relation, die durch Umkehren jedes geordneten Paares in R entsteht.
Verwenden Sie es, um eine gerichtete Beziehung umzukehren.
Wenn R={(1,a),(2,b)}, dann R⁻¹={(a,1),(b,2)}.Relationen und Ordnungen.
Reflexive relation
xRxEine Relation auf A, bei der jedes Element auf sich selbst abgebildet wird.
Verwenden Sie es, wenn der Selbstvergleich immer gelten muss, wie bei Gleichheit und nicht-strikter Ordnung.
Die Relation ≤ ist reflexiv, weil x≤x für jede reelle Zahl x gilt.Relationen und Ordnungen.
Irreflexive relation
Eine Relation auf A, bei der kein Element auf sich selbst abgebildet wird.
Verwenden Sie es für strikte Vergleiche wie "kleiner als".
Die Relation < ist irreflexiv, weil x<x immer falsch ist.Relationen und Ordnungen.
Symmetric relation
xRy⇒yRxEine Relation, deren Richtung für jedes verbundene Paar umgekehrt werden kann.
Verwenden Sie sie für wechselseitige Beziehungen wie Gleichheit oder das Teilen einer Eigenschaft.
Die Relation, die die gleiche Parität hat, ist symmetrisch auf ℤ.Relationen und Ordnungen.
Antisymmetric relation
xRy∧yRx⇒x=yEine Relation, bei der eine zweiseitige Beziehung zwischen verschiedenen Elementen unmöglich ist.
Verwenden Sie sie als ein Axiom für partielle Ordnungen.
Antisymmetrisch bedeutet nicht, dass die Relation keine symmetrischen Paare aufweist; gleiche Elemente können in beide Richtungen in Beziehung stehen.
Die Teilmengenrelation ⊆ ist antisymmetrisch.Relationen und Ordnungen.
Asymmetric relation
xRy⇒¬(yRx)Eine Relation, bei der ein verwandtes Paar niemals auch in umgekehrter Richtung auftreten kann.
Verwenden Sie es für strikte gerichtete Vergleiche.
Die strikte Ordnung < ist asymmetrisch.Relationen und Ordnungen.
Transitive relation
xRy∧yRz⇒xRzEine Relation, die ein zwischengeschaltetes, verwandtes Element durchläuft.
Verwenden Sie es für Ordnungen, Äquivalenzrelationen, Erreichbarkeit und Implikationsketten.
Teilbarkeit ist transitiv: wenn a b teilt und b c teilt, dann teilt a c.Relationen und Ordnungen.
Equivalence relation
∼Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Verwenden Sie es, um Objekte zu gruppieren, die unter einem gewählten Kriterium als gleich behandelt werden sollen.
Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation auf ℤ.Relationen und Ordnungen.
Equivalence class
[x]Die Menge aller Elemente, die zu einem gegebenen Element äquivalent sind.
Verwenden Sie sie als einen Block der Partition, die durch eine Äquivalenzrelation induziert wird.
Für die Kongruenz modulo 3 ist die Äquivalenzklasse von 1: [1] = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}.Relationen und Ordnungen.
Quotient set
A/∼Die Menge aller Äquivalenzklassen von A unter einer Äquivalenzrelation.
Verwenden Sie es, um äquivalente Elemente durch eine einzelne abstrakte Klasse zu ersetzen.
Der Quotient ℤ/3ℤ hat die drei Klassen [0], [1] und [2].Relationen und Ordnungen.
Partial order
≼Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation.
Verwenden Sie es, wenn einige Elemente vergleichbar sind, während andere dies möglicherweise nicht sind.
Die Teilmengen-Inklusion ordnet eine Potenzmenge partiell.Relationen und Ordnungen.
Partially ordered set
(P,≼)Eine Menge zusammen mit einer angegebenen partiellen Ordnung.
Verwenden Sie sie als das Objekt, das von der Ordnungs- und Abhängigkeitsanalyse untersucht wird.
Die Teiler von 12 bilden eine partielle geordnete Menge unter der Teilbarkeit.Relationen und Ordnungen.
Total order
≤Eine partielle Ordnung, bei der jedes Elementpaar vergleichbar ist.
Verwenden Sie es für Sortierung und lineare Rangordnungen.
Die übliche Ordnung ≤ ist eine totale Ordnung auf ℝ.Relationen und Ordnungen.
Hasse diagram
Ein vereinfachter Graph einer endlichen, partiellen Ordnung, der Überdeckungsrelationen zeigt und transitive Kanten weglässt.
Verwenden Sie es, um Hierarchie, Teilbarkeit, Teilmengen-Einschließung und Abhängigkeiten zu visualisieren.
Ein Hasse-Diagramm für die Teiler von 6 zeigt die Zahl 1 unter 2 und 3, wobei 6 über beiden steht.Relationen und Ordnungen.
Well-order
Eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat.
Verwenden Sie sie für Induktion, rekursive Definitionen und die Ordinaltheorie.
Die übliche Ordnung auf ℕ ist eine Wohlordnung.Relationen und Ordnungen.
Minimal and maximal elements
Elemente ohne ein strikt kleineres oder strikt größeres vergleichbares Element in einer Poset.
Verwenden Sie sie, wenn eine partielle Ordnung mehrere lokale Randelemente haben kann.
Eine endliche, partielle Ordnung kann mehrere maximale Elemente haben.Relationen und Ordnungen.
Least and greatest elements
⊥, ⊤Elemente unterhalb oder oberhalb jedes Elements einer Poset.
Verwenden Sie sie für globale Grenzen und Gitterendpunkte.
Minimal bedeutet nicht immer klein, und maximal bedeutet nicht immer größt.
Wenn ein kleinstes Element existiert, ist es eindeutig.Relationen und Ordnungen.
Upper and lower bounds
Elemente, die oberhalb oder unterhalb jedes Elements einer gewählten Teilmenge in einer geordneten Menge liegen.
Verwenden Sie sie, um Suprema, Infima, begrenzte Mengen und Optimierungsgrenzen zu definieren.
Die Zahl 10 ist eine obere Schranke von {1,4,7}.Relationen und Ordnungen.
Supremum and infimum
sup(S), inf(S)Die obere Schranke und die untere Schranke einer Teilmenge, falls sie existieren.
Verwenden Sie sie in der Analysis, Optimierung und der vollständigen Gittertheorie.
Für S=(0,1), sup(S)=1 und inf(S)=0, obwohl weder zu S gehört.Funktionen und Abbildungen
Function
f:A→BEine Relation, die jedes Element von A genau auf ein Element von B abbildet.
Verwenden Sie Funktionen, um deterministische Abbildungen, Transformationen und Berechnungen zu modellieren.
Die Regel f(n)=n² definiert eine Funktion von ℤ nach ℕ.Funktionen und Abbildungen
Domain of a function
dom(f)Die Menge der zulässigen Eingabewerte einer Funktion.
Geben Sie dies an, da dieselbe Formel je nach Definitionsbereich unterschiedliche Funktionen definieren kann.
Für f:ℝ→ℝ mit f(x)=x², ist der Wertebereich ℝ.Funktionen und Abbildungen
Codomain
BDie deklarierte Zielmenge einer Funktion f:A→B.
Verwenden Sie es, um Surjektivität zu definieren und beabsichtigte Ausgaben von tatsächlich erzielten Ausgaben zu unterscheiden.
Für f:ℝ→ℝ mit f(x)=x², ist der Definitionsbereich ℝ.Funktionen und Abbildungen
Range of a function
f(A)Die Menge der tatsächlich von einer Funktion erreichten Ausgabewerte.
Verwenden Sie es, um Surjektivität zu testen und mögliche Ausgaben zu bestimmen.
Der Wertebereich kann kleiner sein als die Definitionsmenge.
Für f:ℝ→ℝ mit f(x)=x², ist die Bildmenge [0,∞).Funktionen und Abbildungen
Image of a subset
f(S)Die Menge der Funktionswerte, die aus Elementen einer Teilmenge S der Definitionsmenge erhalten werden.
Verwenden Sie es, um zu verfolgen, wie eine Abbildung einen ausgewählten Bereich oder eine Sammlung transformiert.
Für f(x)=x² und S={−2,1,3}, ist f(S)={1,4,9}.Funktionen und Abbildungen
Preimage of a subset
f⁻¹(T)Die Menge der Elementdomänen, deren Funktionswerte in einer gewählten Zielteilmenge T liegen.
Verwenden Sie es, um Bedingungen und Ereignisse durch eine Funktion zurückzuziehen.
Für f(x)=x², ist das Urbild von {4} {−2,2}.Funktionen und Abbildungen
Injective function
f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂Eine Funktion, die niemals zwei verschiedene Eingaben auf die gleiche Ausgabe abbildet.
Verwenden Sie es, wenn Eingaben nach der Abbildung unterscheidbar bleiben müssen.
Die Funktion f:ℤ→ℤ, definiert durch f(n)=2n, ist injektiv.Funktionen und Abbildungen
Surjective function
f(A)=BEine Funktion, deren Wertebereich gleich ihrem Definitionsbereich ist.
Verwenden Sie es, wenn jedes angegebene Ziel von mindestens einem Eingabe erreicht werden muss.
Die Funktion f:ℝ→[0,∞), definiert durch f(x)=x², ist surjektiv.Funktionen und Abbildungen
Bijective function
A↔BEine Funktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Verwenden Sie es, um zwei Mengen elementweise zu paaren, Kardinalitäten zu vergleichen und eine inverse Funktion zu definieren.
Die Funktion f:ℤ→ℤ, definiert durch f(n)=n+1, ist bijektiv.Funktionen und Abbildungen
Inverse function
f⁻¹:B→AEine Funktion, die eine Bijektion umkehrt, indem sie jede Ausgabe auf ihre eindeutige Eingabe zurückbildet.
Verwenden Sie es, um eine reversible Abbildung rückgängig zu machen.
Die Notation f⁻¹(T) ist für Teilmengen definiert, auch wenn keine inverse Funktion existiert.
Wenn f(x)=2x+1 auf ℝ, dann ist f⁻¹(y)=(y−1)/2.Funktionen und Abbildungen
Function composition
g∘fEine Funktion, die durch die Anwendung von f und dann g gebildet wird.
Verwenden Sie es, um komplexe Transformationen aus einfacheren Schritten zu erstellen.
Wenn f(x)=x+1 und g(x)=2x, dann ist (g∘f)(x)=2x+2.Funktionen und Abbildungen
Identity function
id_ADie Funktion, die jedes Element einer Menge auf sich selbst abbildet.
Verwenden Sie sie als das neutrale Element für die Funktionskomposition.
Für jede Funktion f:A→B gilt f∘id_A=f und id_B∘f=f.Funktionen und Abbildungen
Restriction of a function
f|_SEine Funktion, die durch Beschränkung des Definitionsbereichs von f auf eine Teilmenge S erhalten wird.
Verwenden Sie es, um das lokale Verhalten zu untersuchen oder eine Funktion auf einer kleineren Domäne injektiv zu machen.
Die Quadratfunktion, eingeschränkt auf [0,∞), ist injektiv.Funktionen und Abbildungen
Indicator function
1_A(x)Eine Funktion, die für Elemente in A den Wert 1 und für Elemente außerhalb von A den Wert 0 zurückgibt.
Verwenden Sie es, um die Mitgliedschaft algebraisch in Wahrscheinlichkeit, Integration und Datenverarbeitung zu kodieren.
Für A={2,4}, 1_A(2)=1 und 1_A(3)=0.Unendliche Mengen und Kardinalität
Equinumerous sets
|A|=|B|Mengen, die durch eine Bijektion verbunden sind, d.h. sie haben die gleiche Kardinalität.
Verwenden Sie Bijektionen, um Größen zu vergleichen, ohne direkt zu zählen, insbesondere für unendliche Mengen.
Die natürlichen Zahlen ℕ und die geraden natürlichen Zahlen sind gleichmächtig über f(n)=2n.Unendliche Mengen und Kardinalität
Countable set
Eine endliche Menge oder eine Menge, die in die natürlichen Zahlen injiziert werden kann.
Verwenden Sie sie für Sammlungen, deren Elemente in einer Sequenz aufgelistet werden können, möglicherweise mit Lücken.
Jede Teilmenge von ℕ ist abzählbar.Unendliche Mengen und Kardinalität
Countably infinite set
|A|=ℵ₀Eine unendliche Menge, die in eine Bijektion mit den natürlichen Zahlen überführt werden kann.
Verwenden Sie es, um unendliche Folgen von der Größe einer Menge von größeren Kardinalitäten zu unterscheiden.
Die Menge der ganzen Zahlen ℤ und die Menge der rationalen Zahlen ℚ sind abzählbar unendlich.Unendliche Mengen und Kardinalität
Uncountable set
Eine Menge, die nicht in eine Bijektion mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen überführt werden kann.
Verwenden Sie sie für größere Unendlichkeiten wie die reellen Zahlen und Funktionsräume.
Das Intervall [0,1] ist nicht abzählbar.Unendliche Mengen und Kardinalität
Aleph-null
ℵ₀Die Kardinalität der natürlichen Zahlen und jeder abzählbar unendlichen Menge.
Verwenden Sie sie als die kleinste unendliche Kardinalzahl.
|ℕ|=|ℤ|=|ℚ|=ℵ₀.Unendliche Mengen und Kardinalität
Cardinality of the continuum
𝔠Die Kardinalität der reellen Zahlen, die gleich der Kardinalität der Potenzmenge von ℕ ist.
Verwenden Sie es für die Größe von Intervallen, reellwertigen Folgen und kontinuierlichen geometrischen Mengen.
|ℝ|=|𝒫(ℕ)|=𝔠=2^ℵ₀.Unendliche Mengen und Kardinalität
Cantor's diagonal argument
Eine Methode, die ein Objekt konstruiert, das sich von dem n-ten aufgeführten Objekt in seiner n-ten Komponente unterscheidet.
Verwenden Sie es, um zu beweisen, dass eine vorgeschlagene Auflistung unvollständig ist, insbesondere für reelle Zahlen oder unendliche Folgen.
Die Diagonalisierung beweist, dass binäre Folgen nicht durch ℕ aufgezählt werden können.Unendliche Mengen und Kardinalität
Cantor's theorem
|A|<|𝒫(A)|Die Potenzmenge jeder Menge hat eine strikt größere Kardinalität als die ursprüngliche Menge.
Verwenden Sie es, um zu zeigen, dass es keine größte Kardinalität gibt und größere Unendlichkeiten zu erzeugen.
Keine Funktion von A nach 𝒫(A) kann surjektiv sein.Unendliche Mengen und Kardinalität
Cardinal arithmetic
κ+λ, κλ, κ^λArithmetische Operationen, die auf Kardinalzahlen durch disjunkte Vereinigungen, kartesische Produkte und Funktionsmengen definiert sind.
Verwenden Sie es, um die Größen von kombinierten unendlichen Sammlungen zu vergleichen.
Für unendlich abzählbare Mengen gilt: ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀ und ℵ₀·ℵ₀=ℵ₀.Unendliche Mengen und Kardinalität
Dedekind-infinite set
Eine Menge, die gleichmächtig zu einer ihrer echten Teilmengen ist.
Verwenden Sie sie als eine strukturelle Charakterisierung der Unendlichkeit in der Standard-Mengenlehre.
Die Abbildung n↦n+1 ist eine Bijektion von ℕ zur echten Teilmenge ℕ∖{0}.Axiome und Grundlagen
Naive set theory
Ein informeller Ansatz, der Mengen als beliebige Sammlungen betrachtet, die durch verständliche Eigenschaften beschrieben werden.
Verwenden Sie es für die normale Mathematik, wenn grundlegende Paradoxien keine Rolle spielen.
Eine unbeschränkte Sammlung durch eine Eigenschaft führt zu Paradoxien, daher verwenden formale Grundlagen Axiome.
Grundlegende Vereinigungs- und Schnittmengenberechnungen erfordern normalerweise nur die naive Mengenlehre.Axiome und Grundlagen
Russell's paradox
R={x:x∉x}Der Widerspruch, der entsteht, wenn gefragt wird, ob die Menge aller Mengen, die nicht Mitglieder von sich selbst sind, ein Mitglied von sich selbst ist.
Verwenden Sie es, um zu verstehen, warum eine unbeschränkte Mengenbildung ungültig ist.
Wenn R ∈ R gilt, dann gilt R ∉ R, während wenn R ∉ R gilt, dann gilt R ∈ R.Axiome und Grundlagen
Axiomatic set theory
Eine formale Theorie, die Mengen und Konstruktionen nur über bestimmte Axiome zulässt.
Verwenden Sie es, um eine konsistente Grundlage für die Mathematik zu schaffen und bekannte Paradoxien zu vermeiden.
ZF und ZFC sind Standard-Axiomensysteme für die Mengenlehre.Axiome und Grundlagen
Axiom of extensionality
Zwei Mengen sind gleich, genau wenn sie die gleichen Elemente haben.
Verwenden Sie es, um sicherzustellen, dass die Mitgliedschaft die Identität einer Menge vollständig bestimmt.
Um A=B zu beweisen, genügt es zu beweisen, dass x∈A genau dann gilt, wenn x∈B für jedes x.Axiome und Grundlagen
Axiom of pairing
Für beliebige Objekte a und b existiert eine Menge {a,b}.
Verwenden Sie es, um Paare und Singleton-Mengen zu konstruieren.
Wenn a=b gesetzt wird, ergibt sich die Singleton-Menge {a}.Axiome und Grundlagen
Axiom of union
⋃AFür jede Menge von Mengen A existiert eine Menge, die genau die Elemente ihrer Elementmengen enthält.
Verwenden Sie es, um eine Ebene verschachtelter Mengen zu vereinfachen und Vereinigungen zu erstellen.
Für die Menge A = {{1,2}, {2,3}}, ergibt die Anwendung des Vereinigungsaxioms: ⋃A = {1, 2, 3}.Axiome und Grundlagen
Axiom of power set
Für jede Menge A existiert eine Menge, die genau alle Teilmengen von A enthält.
Verwenden Sie es, um Funktionsräume, Topologien und größere Kardinalitäten zu konstruieren.
Das Axiom garantiert die Existenz von 𝒫(A).Axiome und Grundlagen
Axiom of infinity
Ein Axiom, das die Existenz einer induktiven Menge postuliert, die die Konstruktion der natürlichen Zahlen unterstützt.
Verwenden Sie es, um sicherzustellen, dass die Mengenlehre mindestens eine unendliche Menge enthält.
Die natürlichen Zahlen können innerhalb einer induktiven Menge konstruiert werden.Axiome und Grundlagen
Axiom schema of separation
Ein Schema, das es ermöglicht, Elemente aus einer bereits existierenden Menge auszuwählen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen.
Verwenden Sie es, um Teilmengen zu definieren, ohne eine unbeschränkte Menge aller Elemente zuzulassen, die eine Eigenschaft erfüllen.
Gegeben A und eine Eigenschaft P, bildet die Separation die Menge {x∈A:P(x)}.Axiome und Grundlagen
Axiom schema of replacement
Ein Schema, das besagt, dass das Bild einer Menge unter einer definierbaren funktionalen Regel ebenfalls eine Menge ist.
Verwenden Sie es für transfinite Konstruktionen und Bilder, die durch große Ordnungszahlen indiziert sind.
Eine definierbare Regel F bildet eine Menge A auf die Menge {F(x): x ∈ A} ab.Axiome und Grundlagen
Axiom of foundation
Jede nichtleere Menge enthält ein Element, das von der Menge verschieden ist, wodurch unendliche absteigende Mitgliedsketten verhindert werden.
Verwenden Sie es, um gewöhnliche Mengen wie x∈x und zyklische Mitgliederketten auszuschließen.
Das Axiom der Fundierung schließt einen Zwei-Mengen-Zyklus mit a∈b und b∈a aus.Axiome und Grundlagen
Axiom of choice
Für jede Familie von nichtleeren Mengen existiert eine Funktion, die ein Element aus jeder Menge auswählt.
Verwenden Sie es in Ergebnissen wie dem Wohlordnungssatz, dem Zorns Lemma und der Existenz von Vektorraum-Basen.
Das Axiom liefert eine Auswahlfunktion, auch wenn keine explizite Auswahlregel bekannt ist.Axiome und Grundlagen
ZF set theory
ZFZermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Axiom der Auswahl.
Verwenden Sie sie als eine standardmäßige formale Grundlage, wenn der Status der Wahl getrennt gehalten wird.
ZF umfasst Extensionalität, Paarung, Vereinigung, Potenzmenge, Unendlichkeit, Separation, Ersetzung und Fundierung.Axiome und Grundlagen
ZFC set theory
ZFCZF-Mengenlehre zusammen mit dem Auswahlaxiom.
Verwenden Sie sie als den häufigsten grundlegenden Rahmen für die Mainstream-Mathematik.
Die meisten üblichen mathematischen Ergebnisse lassen sich in ZFC formalisieren.Axiome und Grundlagen
Transitive set
Eine Menge, deren jedes Element auch eine Teilmenge der Menge selbst ist.
Verwenden Sie es in der Ordinaltheorie, der Mengenhierarchie und in Modellen der Mengenlehre.
Die Menge {∅,{∅}} ist transitiv.Axiome und Grundlagen
Ordinal number
α,β,ωEine kanonische Menge, die den Ordnungstyp einer wohldefinierten Menge darstellt.
Verwenden Sie es, um Positionen, transfinite Induktion und Stufen jenseits endlicher Ordnung zu beschreiben.
Die erste unendliche Ordinalzahl ist ω, die allen endlichen Ordinalzahlen folgt.Axiome und Grundlagen
Cardinal number
κ,λEin kanonischer Repräsentant der Kardinalität, die von gleichmächtigen Mengen gemeinsam genutzt wird.
Verwenden Sie es, um die Größe von Mengen unabhängig von der Ordnung oder der internen Struktur zu vergleichen.
Die endliche Kardinalität 3 repräsentiert jede dreielementige Menge.Anwendungen
Sample space and event
Ω, E⊆ΩIn der Wahrscheinlichkeit ist der Stichprobenraum die Menge aller möglichen Ergebnisse, und ein Ereignis ist eine ihrer Teilmengen.
Verwenden Sie Mengenoperationen, um Ereignisse und Komplemente zu kombinieren, um das Scheitern auszudrücken.
Für einen Würfel ist Ω={1,2,3,4,5,6} und das Ereignis "gerade" ist E={2,4,6}.Anwendungen
Solution set
Die Menge aller Werte, die eine Gleichung, Ungleichung oder ein System von Nebenbedingungen erfüllen.
Verwenden Sie es, um null, eins, mehrere oder unendlich viele Lösungen einheitlich auszudrücken.
Die reelle Lösungsmenge von x²=4 ist {−2,2}.Anwendungen
Carrier set
Die zugrunde liegende Menge von Elementen, auf der eine algebraische oder logische Struktur definiert ist.
Verwenden Sie es, um Roh-Elemente von den Operationen und Relationen zu trennen, die zu ihnen hinzugefügt werden.
Eine Gruppe (G, *) hat die Trägermenge G und die Operation *.Anwendungen
Database set operations
Operationen wie UNION, INTERSECT und EXCEPT, die kompatible Abfrageergebnisse unter Verwendung von mengenähnlicher Semantik kombinieren.
Verwenden Sie sie, um Ergebniszeilen zusammenzuführen, zu vergleichen oder zu subtrahieren.
Datenbanktabellen können Duplikate und Nullwerte enthalten, daher sind die Semantik von SQL nicht identisch mit der reinen Mengenlehre.
UNION entfernt doppelte Zeilen, es sei denn, UNION ALL wird verwendet.Anwendungen
Set data structure
Eine Sammlung von Daten, die eindeutige Werte speichert und normalerweise schnelle Mitgliedschaftstests unterstützt.
Verwenden Sie sie für die Deduplizierung, die Verfolgung besuchter Zustände und die Mitgliedschaftsprüfung.
Eine Menge kann die Liste [3, 1, 3, 2] auf die eindeutigen Werte {1, 2, 3} reduzieren.Anwendungen
Type interpreted as a set
Eine Sichtweise, bei der ein Typ als die Menge der Werte behandelt wird, die von diesem Typ zulässig sind.
Verwenden Sie es, um über Validierung, Vereinigungen, Durchschnitte, Teiltypen und erschöpfende Fälle nachzudenken.
Ein Boolescher Typ kann durch die Menge {true, false} modelliert werden.