Mathematik-Referenz
Lernen Sie Vektoren, Matrizen, affine und räumliche Geometrie, Gitter, lineare Systeme, Transformationen, Zerlegungen, kleinste Quadrate und PCA anhand von Beispielen.
Die kürzeste Punkt-zu-Ebenen-Verschiebung ist parallel zum Normalenvektor der Ebene.
Integer-Kombinationen von zwei Basisvektoren bedecken die Ebene mit gleich großen Fundamentalparalellogrammen.
97 Begriffe
Objekte und Formen
Scalar
aEin einzelner numerische Wert, der verwendet wird, um Vektoren oder Matrizen zu skalieren.
Verwenden Sie Skalare für Gewichte, Koeffizienten, Lernraten, Temperaturen und Magnituden.
3[2, -1] = [6, -3].Objekte und Formen
Vector
v ∈ ℝⁿEine geordnete Liste von Komponenten, die eine Richtung, Position, Merkmale oder einen Zustand darstellen können.
Verwenden Sie Vektoren, um Koordinaten, Signale, Merkmale, Einbettungen und Modellparameter darzustellen.
v = [3, 4] has two components.Objekte und Formen
Matrix
A ∈ ℝᵐˣⁿEine rechteckige Anordnung von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.
Verwenden Sie Matrizen, um Datensätze, lineare Gleichungssysteme, Transformationen, Bilder und Gewichte zu speichern.
A = [[1, 2], [3, 4]].Objekte und Formen
Tensor
T ∈ ℝᵈ¹ˣ⋯ˣᵈᵏEin mehrdimensionales Array, das Skalare, Vektoren und Matrizen verallgemeinert.
Verwenden Sie Tensoren für Batches, Bilder, Videos, Modellaktivierungen und mehrachsige wissenschaftliche Daten.
Eine Charge von 32 RGB-Bildern mit der Größe 224×224 hat die Form 32×3×224×224.Objekte und Formen
Shape
m × nDie geordneten Größen der Achsen eines Arrays.
Überprüfe die Formen vor Addition, Multiplikation, Broadcasting, Reshaping und Modell-Eingabe.
Die meisten Fehler bei der Matrixmultiplikation entstehen durch inkompatible innere Dimensionen.
Eine 3×4-Matrix hat 3 Zeilen und 4 Spalten.Vektoroperationen
Vector addition
u + vKomponentweise Addition von Vektoren mit der gleichen Dimension.
Verwenden Sie es, um Verschiebungen, Kräfte, Signale, Aktualisierungen oder Feature-Beiträge zu kombinieren.
[1, 2] + [3, -1] = [4, 1].Vektoroperationen
Scalar multiplication
cvMultiplizieren jeder VektorKomponente mit dem gleichen Skalar.
Verwenden Sie es, um die Magnitude zu skalieren, die Richtung umzukehren oder eine gewichtete Aktualisierung anzuwenden.
-2[3, 1] = [-6, -2].Vektoroperationen
Dot product
u · vDie Summe der Produkte der entsprechenden Vektor-Komponenten, was einen Skalar ergibt.
Verwenden Sie es für Ähnlichkeit, Projektion, Arbeit, Aufmerksamkeitswerte und die Ausgabe linearer Modelle.
[1, 2, 3] · [4, 0, -1] = 1.Vektoroperationen
Cross product
u × vEin dreidimensionaler Vektor, der senkrecht zu zwei Eingangsvektoren steht und eine Magnitude hat, die ihrer Parallelogrammfläche entspricht.
Verwenden Sie es für Oberflächennormalen, Drehmoment, Orientierung und 3D-Geometrie.
Das Standard-Kreuzprodukt ist spezifisch für drei Dimensionen, abgesehen von einer weniger verbreiteten sieben-dimensionalen Analogie.
[1,0,0] × [0,1,0] = [0,0,1].Vektoroperationen
Vector norm
‖v‖Ein nichtnegatives Maß für die Größe eines Vektors, das die Normaxiome erfüllt.
Verwenden Sie eine Norm, um Größe, Abstand, Fehler, Regularisierung und Konvergenz zu messen.
For v=[3,4], ‖v‖₂=5.Vektoroperationen
Unit vector
v/‖v‖Ein Vektor, dessen Norm 1 ist.
Verwenden Sie es, um die Richtung beizubehalten, während die Magnitude entfernt wird, und um orthonormale Basen aufzubauen.
[3,4]/5 = [0.6,0.8].Vektoroperationen
Euclidean distance
‖u-v‖₂Der geradlinige Abstand zwischen zwei Punkten, die als Vektoren dargestellt werden.
Verwenden Sie es für die Geometrie, die Suche nach dem nächsten Nachbarn, das Clustering und die Fehlerberechnung, wenn die Skalen vergleichbar sind.
Der Abstand von [1,1] zu [4,5] beträgt 5.Vektoroperationen
Cosine similarity
u·v/(‖u‖‖v‖)Der Kosinus des Winkels zwischen zwei nicht-Null-Vektoren, der die Richtungsähnlichkeit misst.
Verwenden Sie es, um Texteinbettungen oder hochdimensionale Features zu vergleichen, wenn die Magnitude weniger wichtig sein sollte.
Die Cosinus-Ähnlichkeit ist für Nullvektoren nicht definiert und kann bedeutsame Unterschiede in der Magnitude verdecken.
[1,0] and [2,0] have cosine similarity 1.Vektoroperationen
Orthogonal vectors
u·v=0Vektoren mit Null-Skalarprodukt.
Verwenden Sie Orthogonalität, um unabhängige Richtungen zu trennen, Projektionen zu vereinfachen und stabile Basen zu konstruieren.
[1,2] · [2,-1] = 0, daher sind die Vektoren orthogonal.Vektoroperationen
Vector projection
projᵤ(v)Die Komponente eines Vektors, die in die Richtung eines anderen Vektors oder Unterraums liegt.
Verwenden Sie es für die Zerlegung, die Methode der kleinsten Quadrate, Schatten und die Entfernung einer Richtungsabhängigen Komponente.
proj_[1,0]([3,4]) = [3,0].Matrixoperationen
Matrix addition
A+BKomponentweise Addition von Matrizen mit der gleichen Form.
Verwenden Sie es, um lineare Effekte, Restaktualisierungen, Bilder oder akkumulierte Daten zu kombinieren.
[[1,2],[3,4]] + [[5,6],[7,8]] = [[6,8],[10,12]].Matrixoperationen
Matrix multiplication
ABEine zeilenweise-spaltenweise Operation, die lineare Transformationen kombiniert, wenn die inneren Dimensionen übereinstimmen.
Verwenden Sie es für Koordinatentransformationen, neuronale Netzwerkschichten, die Graphenausbreitung und die Lösung von Gleichungssystemen.
Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: AB kann sich von BA unterscheiden, oder eine der Operationen kann undefiniert sein.
A₂ˣ₃B₃ˣ₄ erzeugt C₂ˣ₄.Matrixoperationen
Transpose
AᵀEine Matrix, die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht.
Verwenden Sie es für Skalarprodukte, Kovarianz, Normalgleichungen, Symmetrieüberprüfungen und die Änderung der Orientierung.
If A=[[1,2,3],[4,5,6]], then Aᵀ=[[1,4],[2,5],[3,6]].Matrixoperationen
Identity matrix
IEine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen ansonsten.
Verwenden Sie es als multiplikatives neutrales Element und zur Beschreibung unveränderter Koordinaten.
AI = IA = A.Matrixoperationen
Inverse matrix
A⁻¹Eine Matrix, die AA⁻¹=A⁻¹A=I für eine invertierbare quadratische Matrix A erfüllt.
Verwenden Sie es konzeptionell, um eine Transformation umzukehren und Ax=b zu lösen.
Numerische Software sollte in der Regel Ax=b direkt lösen, anstatt A⁻¹ explizit zu berechnen.
For A=[[2,0],[0,4]], A⁻¹=[[1/2,0],[0,1/4]].Matrixoperationen
Determinant
det(A)Ein Skalar für eine quadratische Matrix, der die Skalierung des Vorzeichens des Volumens misst und die Invertierbarkeit angibt.
Verwenden Sie es, um die Singularität zu testen und die Orientierung oder die Volumenänderung unter einer Transformation zu analysieren.
det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.Matrixoperationen
Trace
tr(A)Die Summe der Haupteinträge einer quadratischen Matrix.
Verwenden Sie es für Eigenwertidentitäten, Kovarianzanalyse, Matrixrechnung und Optimierung.
tr([[2,1],[3,4]]) = 6.Matrixoperationen
Matrix rank
rank(A)Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten in einer Matrix.
Verwenden Sie es, um die Informationsdimension zu messen, die Lösungsstruktur zu bestimmen und redundante Features zu erkennen.
rank([[1,2],[2,4]]) = 1.Matrixoperationen
Symmetric matrix
A=AᵀEine quadratische Matrix, die gleich ihrer Transponierten ist.
Verwenden Sie es für Kovarianz, quadratische Formen, ungerichtete Graphen und die reelle orthogonale Eigenzerlegung.
[[2,3],[3,5]] is symmetric.Matrixoperationen
Orthogonal matrix
QᵀQ=IEine reelle, quadratische Matrix, deren Spalten und Zeilen orthogonale Mengen bilden.
Verwenden Sie es für Rotationen, Spiegelungen, stabile Faktorisierungen und Transformationen, die die Norm erhalten.
Q⁻¹ = Qᵀ für eine orthogonale Matrix.Matrixoperationen
Diagonal matrix
DEine Matrix, deren Einträge außerhalb der Hauptdiagonale Null sind.
Verwenden Sie es für die unabhängige Skalierung und effiziente Potenzen, Inverse und Transformationen.
diag(2,3)^4 = diag(16,81).Lineare Systeme
System of linear equations
Ax=bEine Sammlung von linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen.
Verwenden Sie es für die Ausgleichung, Anpassung, Netzwerke, Schaltungen, Nebenbedingungen und die Rekonstruktion.
x+y=5 and 2x-y=1 give x=2, y=3.Lineare Systeme
Augmented matrix
[A|b]Eine kompakte Matrixdarstellung, die die rechte Seite an die Koeffizientenmatrix des linearen Systems anhängt.
Verwenden Sie es, um die Zeilenreduktion durchzuführen, ohne wiederholt Variablen zu schreiben.
x+2y=5, 3x-y=4 becomes [[1,2|5],[3,-1|4]].Lineare Systeme
Elementary row operation
Vertauschen von Zeilen, Skalieren einer Zeile mit einem Nicht-Null-Wert oder Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
Verwenden Sie diese Operationen, die die Lösung erhalten, um ein lineares System zu vereinfachen.
R₂ ← R₂ - 3R₁.Lineare Systeme
Row echelon form
REFEine Matrixform mit Pivots, die sich nach rechts bewegen, und Nullen unter jedem Pivot.
Verwenden Sie es für die Rücksubstitution, die Rangberechnung und die Identifizierung von Freiheitsgraden.
[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,0]] befindet sich in Zeilenstufenform.Lineare Systeme
Reduced row echelon form
RREFEine Zeilenstufenform, in der jeder Pivot 1 ist und der einzige Nicht-Null-Eintrag in seiner Spalte ist.
Verwenden Sie es, um eindeutige Lösungen, Freiheitsgrade, den Rang und Nullraum-Basen direkt zu lesen.
RREF([[1,2],[2,4]]) = [[1,2],[0,0]].Lineare Systeme
Gaussian elimination
Zeilenoperationen, die ein System in die Zeilenstufenform transformieren, gefolgt von Rücksubstitution.
Verwenden Sie es als allgemeine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit moderater Dichte, entweder manuell oder in Software.
Eliminieren Sie x aus den unteren Zeilen und lösen Sie dann von der letzten Pivotspalte aufwärts.Lineare Systeme
Gauss-Jordan elimination
Zeilenoperationen werden fortgesetzt, bis die erweiterte Matrix die reduzierte Zeilenstufenform erreicht.
Verwenden Sie es, wenn die vollständige Lösungsstruktur oder die Inverse explizit benötigt werden.
Reduzieren Sie [A|I] auf [I|A⁻¹], wenn A invertierbar ist.Lineare Systeme
Consistent system
Ein lineares System, das mindestens eine Lösung hat.
Verwenden Sie Rang oder Zeilenreduktion, um eindeutige, unendliche und nicht existierende Lösungen zu unterscheiden.
Eine Zeile [0 0 | 1] beweist, dass ein System inkonsistent ist.Vektorräume
Vector space
VEine Menge, deren Elemente addiert und skaliert werden können, während die Vektorraumaxiome erfüllt sind.
Verwenden Sie es, um Koordinaten, Polynome, Funktionen, Signale und Matrizen innerhalb eines einzigen Frameworks zu behandeln.
ℝ³ und die Menge der Polynome vom Grad höchstens 2 sind Vektorräume.Vektorräume
Subspace
W ⊆ VEine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
Verwenden Sie es, um beschränkte Richtungen, Lösungsräume, Feature-Räume und invariante Strukturen zu beschreiben.
Die Ebene x+y+z=0 durch den Ursprung ist ein Unterraum von ℝ³.Vektorräume
Span
span{v₁,…,vₖ}Die Menge aller linearen Kombinationen einer gegebenen Sammlung von Vektoren.
Verwenden Sie es, um alle Richtungen oder Ausgaben zu beschreiben, die von Generatoren erreichbar sind.
span{[1,0],[0,1]} = ℝ².Vektorräume
Linear independence
Eine Menge von Vektoren ist unabhängig, wenn nur die Nullkoeffizienten den Nullvektor erzeugen.
Verwenden Sie es, um redundante Richtungen zu erkennen und eine Basis auszuwählen.
[1,0] und [0,1] sind linear unabhängig.Vektorräume
Basis
Eine linear unabhängige Menge, die einen Vektorraum aufspannt.
Verwenden Sie es, um Koordinaten zuzuweisen und jeden Vektor eindeutig darzustellen.
{[1,0],[0,1]} ist die Standardbasis von ℝ².Vektorräume
Dimension
dim(V)Die Anzahl der Vektoren in jeder Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums.
Verwenden Sie es, um unabhängige Freiheitsgrade zu messen.
dim(ℝ⁴)=4.Vektorräume
Column space
Col(A)Der Span der Spalten einer Matrix, gleich allen Ausgaben Ax.
Verwenden Sie es, um zu bestimmen, ob Ax=b lösbar ist und welche Ausgaben eine Transformation erzeugen kann.
Ax=b is solvable exactly when b belongs to Col(A).Vektorräume
Null space
Null(A)Die Menge der Vektoren x, die Ax=0 erfüllen.
Verwenden Sie es, um unsichtbare Richtungen, homogene Lösungen, Parameterredundanz und Beschränkungen zu beschreiben.
Wenn A=[1 2], dann Null(A)=span{[-2,1]}.Vektorräume
Rank-nullity theorem
rank(A)+nullity(A)=nFür eine Matrix mit n Spalten ist die Dimension des Spaltenraums plus die Dimension des Nullraums gleich n.
Verwenden Sie es, um unabhängige Ausgaben mit verlorenen Freiheitsgraden der Eingabe zu verbinden.
Eine 3×5-Matrix mit Rang 3 hat Nullität 2.Lineare Transformationen
Linear transformation
T(u+v)=T(u)+T(v)Eine Abbildung, die die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation erhält.
Verwenden Sie es, um Rotation, Skalierung, Projektion, Filterung und lineare Schichten zu modellieren.
T([x,y])=[2x,y] skaliert die x-Richtung mit dem Faktor 2.Lineare Transformationen
Kernel
ker(T)Die Menge der Eingaben, die durch eine lineare Transformation in den Nullvektor abgebildet werden.
Verwenden Sie es, um Informationen zu erkennen, die durch eine Transformation verloren gehen, und die Injektivität zu testen.
T ist genau dann bijektiv, wenn ker(T)={0}.Lineare Transformationen
Image
im(T)Die Menge aller Ausgaben, die durch eine Transformation erzeugt werden.
Verwenden Sie es, um erreichbare Ausgaben zu beschreiben und die Surjektivität zu testen.
Für die Matrixtransformation T(x)=Ax ist im(T)=Col(A).Lineare Transformationen
Change of basis
Neuformulierung desselben Vektors oder derselben Transformation unter Verwendung einer anderen Koordinatenbasis.
Verwenden Sie es, um Koordinaten mit der Geometrie in Einklang zu bringen, einen Operator zu vereinfachen oder zwischen lokalen und globalen Bezugssystemen zu wechseln.
If P contains new basis vectors as columns, then [v]new=P⁻¹v.Räumliche und affine Geometrie
Point
PEin Ort in einem affinen Raum, der an sich weder eine Größe noch eine Richtung hat.
Verwenden Sie Punkte für Positionen und subtrahieren Sie zwei Punkte, um einen Verschiebungsvektor zu erhalten.
Das Addieren von zwei Punkten ist nicht inhärent definiert, ohne einen Ursprung oder eine affine Kombination zu wählen.
Für P=(1,2) und Q=(4,6) ist die Verschiebung Q-P=[3,4].Räumliche und affine Geometrie
Position vector
OPEin Vektor von einem gewählten Ursprung O zu einem Punkt P.
Verwenden Sie es, um Punkte mit Koordinaten darzustellen, nachdem ein Ursprung und eine Basis festgelegt wurden.
If O=(0,0,0) and P=(2,-1,3), then OP=[2,-1,3].Räumliche und affine Geometrie
Affine space
Ein Raum von Punkten, in dem Differenzen von Punkten Vektoren sind, aber kein Ursprung bevorzugt wird.
Verwenden Sie es, um die Geometrie unabhängig von einem beliebigen Koordinatenursprung zu modellieren.
Eine verschobene Ebene ist ein affiner Raum, auch wenn sie nicht durch den Ursprung verläuft.Räumliche und affine Geometrie
Affine combination
ΣαᵢPᵢ, Σαᵢ=1Eine gewichtete Kombination von Punkten, deren Koeffizienten sich zu 1 summieren.
Verwenden Sie es für Interpolation, Zentroiden, baryzentrische Koordinaten und affine Transformationen.
Der Mittelpunkt von P und Q ist 0,5P + 0,5Q.Räumliche und affine Geometrie
Parametric equation of a line
x=p+tvEine Linie, die durch einen Punkt p und einen von Null verschiedenen Richtungsvektor v dargestellt wird.
Verwenden Sie es, um Linienpunkte zu erzeugen und Schnittpunkte mit Ebenen oder anderen Linien zu lösen.
Through p=(1,2) with v=[3,-1]: x(t)=(1+3t,2-t).Räumliche und affine Geometrie
Equation of a plane
n·(x-p)=0Eine Ebene, die durch einen Punkt p und einen von Null verschiedenen Normalenvektor n beschrieben wird.
Verwenden Sie es für Klassifikationsgrenzen, Beschneiden, Kollisionsprüfungen und geometrische Constraints.
Mit n=[1,2,3] und p=(1,0,0), ist die Ebene x+2y+3z=1.Räumliche und affine Geometrie
Hyperplane
w·x=bEin affiner Unterraum der Dimension n-1 in einem n-dimensionalen Raum.
Verwenden Sie es als Entscheidungsgrenze, als Nebenflächen oder als Ebene höherer Dimension.
In ℝ⁴ definiert w·x=b eine dreidimensionale Hyperebene.Räumliche und affine Geometrie
Normal vector
nEin Vektor, der senkrecht zu einer Linie, Ebene, Oberfläche, Tangentialraum oder Hyperebene steht.
Verwenden Sie es, um Ebenen zu definieren, Abstände zu berechnen, Vektoren zu reflektieren und die Oberflächenorientierung zu bestimmen.
Für 2x-y+3z=4 ist ein Normalenvektor [2,-1,3].Räumliche und affine Geometrie
Line-plane intersection
Ein Punkt, der durch Einsetzen einer parametrischen Linie in eine Ebenengleichung und Lösen nach ihrem Parameter gefunden wird.
Verwenden Sie es für Ray Casting, Rendering, Kollisionserkennung und geometrische Konstruktion.
Wenn n·v=0, dann ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt vollständig in ihr.
Substitute x=p+tv into n·x=d, then solve t=(d-n·p)/(n·v).Räumliche und affine Geometrie
Distance from a point to a line
Die Länge des kürzesten senkrechten Segments von einem Punkt zu einer Linie.
Verwenden Sie es für Abfragen nach dem nächsten Pfad, Anpassung, Kollisionsränder und geometrische Fehler.
Für eine Gerade p+tv ist der Abstand von einem Punkt P zur Geraden: ‖(P-p)-projᵥ(P-p)‖.Räumliche und affine Geometrie
Distance from a point to a plane
|n·P-d|/‖n‖Die absolute, vorzeichenbehaftete Ebenengleichung an einem Punkt, normalisiert durch die Länge des Normalenvektors.
Verwenden Sie es für Ränder, Beschneiden, Kollisionserkennung und Verarbeitung von Punktwolken.
Abstand von (1,2,3) zu z=0 ist 3.Räumliche und affine Geometrie
Projection onto a plane
Der nächste Punkt auf einer Ebene, der durch Entfernen der Normalenkomponente einer Verschiebung erhalten wird.
Verwenden Sie es, um Punkte auf Oberflächen zu legen, Constraints zu lösen und Bewegungen zu zerlegen.
For plane n·x=d, Pproj=P-((n·P-d)/‖n‖²)n.Räumliche und affine Geometrie
Reflection across a plane
Eine Transformation, die die normale Komponente umkehrt, während Komponenten parallel zur Ebene erhalten bleiben.
Verwenden Sie es für die Geometrie von Spiegeln, Richtungen von Reflexionen, Symmetrie und Grafik.
Für eine Ebene durch den Ursprung gilt: vrefl=v-2projₙ(v).Räumliche und affine Geometrie
Barycentric coordinates
α+β+γ=1Gewichte, die einen Punkt als affine Kombination von Scheitelpunkten eines Simplex darstellen.
Verwenden Sie sie für Dreiecksinterpolation, Punkt-in-Dreiecks-Tests, Netze und endliche Elemente.
P=αA+βB+γC with α+β+γ=1.Räumliche und affine Geometrie
Area from a determinant
|det([u v])|Die absolute Determinante von zwei planaren Kantenvektoren, gleich ihrer Parallelogrammfläche.
Verwenden Sie es für die Fläche von Polygonen, Orientierungstests, Jakobi-Matrizen und Koordinatentransformationen.
u=[3,0], v=[1,2] give area |3×2-0×1|=6.Räumliche und affine Geometrie
Scalar triple product
u·(v×w)Ein signiertes Volumenmaß für das Parallelepiped, das von drei dreidimensionalen Vektoren gebildet wird.
Verwenden Sie es für Volumen, Koplanarität und dreidimensionale Orientierungstests.
Das Volumen ist |u·(v×w)|.Räumliche und affine Geometrie
Orientation
sign(det)Ein Vorzeichen, das die Händigkeit oder die Uhr- bzw. Gegen-Uhrzeiger-Reihenfolge einer Basis oder einer Punktfolge angibt.
Verwenden Sie es für Polygon-Algorithmen, Windung, Normalen und Konsistenz des Koordinatensystems.
In ℝ², ist det([B-A,C-A])>0, dann sind A, B, C gegen den Uhrzeigersinn angeordnet.Räumliche und affine Geometrie
Homogeneous coordinates
[x,y,z,w]Koordinaten mit einer zusätzlichen Skalenkomponente, die affine Punkte und projektive Richtungen einheitlich darstellen.
Verwenden Sie sie, um Translation, Rotation, Skalierung, Perspektive und Projektion in Matrixform zu kombinieren.
Ein homogener Vektor muss sorgfältig normalisiert werden, wenn seine letzte Komponente ungleich Null ist; eine Null-Komponente am Ende stellt eine Richtung im Unendlichen dar.
Der 2D-Punkt (x,y) wird zu [x,y,1], während eine Richtung zu [vx,vy,0] wird.Gittergeometrie
Lattice
L=BℤᵏEine diskrete Menge von Punkten, die durch alle ganzzahligen Kombinationen von linear unabhängigen Basisvektoren gebildet wird.
Verwenden Sie Gitter in der diskreten Geometrie, Codierung, Kryptographie, Optimierung und Kristallographie.
For b₁=[2,0], b₂=[1,3], L={z₁b₁+z₂b₂ | z₁,z₂∈ℤ}.Gittergeometrie
Integer lattice
ℤⁿDas Gitter aller n-dimensionalen Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten.
Verwenden Sie es als das Standard-Koordinatengitter und als Referenz für Teilgitter und Integer-Optimierung.
ℤ² enthält jeden Punkt (m,n) mit m,n∈ℤ.Gittergeometrie
Lattice basis
B=[b₁ … bₖ]Eine linear unabhängige Menge, deren ganzzahlige Kombinationen ein Gitter erzeugen.
Verwenden Sie es, um ein Gitter zu kodieren, aufzulisten, zu transformieren und Eigenschaften zu berechnen.
Ein Gitter hat unendlich viele mögliche Basen, oft mit sehr unterschiedlichen Vektorlängen und -winkeln.
Die Spalten [2,0] und [1,3] bilden eine Basis eines zweidimensionalen Gitters.Gittergeometrie
Lattice rank
rank(L)Die Anzahl der Vektoren in einer Gitterbasis, gleich der Dimension ihres reellen Spanns.
Verwenden Sie es, um vollrängige und niedrigdimensionale Gitter innerhalb eines umgebenden Raums zu unterscheiden.
Das durch [1,0,0] und [0,1,0] erzeugte Gitter hat den Rang 2 in ℝ³.Gittergeometrie
Lattice point
BzEin Punkt, der durch Multiplizieren einer Gitter-Basis-Matrix mit einem ganzzahligen Vektor erzeugt wird.
Verwenden Sie es als diskreten Kandidaten in Problemen der nächsten Punkte, des Packens, der Kodierung und der Integer-Constraints.
Mit B=[[2,1],[0,3]] und z=[2,-1], ist Bz=[3,-3].Gittergeometrie
Fundamental parallelepiped
P(B)Der halb-offene Bereich, der durch Basiskoeffizienten zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich) gebildet wird.
Verwenden Sie es als eine sich wiederholende Zelle, die einen Vertreter jeder Nebenklasse modulo dem Gitter enthält.
P(B)={Bt | 0≤tᵢ<1}.Gittergeometrie
Lattice determinant
det(L)Das Volumen einer fundamentalen Region, auch als Gitter-Volumen bezeichnet.
Verwenden Sie es, um die Gitterdichte zu messen und den Abstand von vollrängigen Gittern zu vergleichen.
For square basis B, det(L)=|det(B)|; B=[[2,1],[0,3]] gives 6.Gittergeometrie
Sublattice
L'⊆LEine Untergruppe eines Gitters, die selbst ein Gitter im gleichen reellen Spann oder einem niederdimensionaleren Spann ist.
Verwenden Sie es, um zusätzliche Kongruenzbedingungen zu erzwingen oder verschachtelte diskrete Strukturen zu vergleichen.
2ℤ² ist ein Untergitter von ℤ².Gittergeometrie
Lattice index
[L:L']Die Anzahl der Nebenklassen eines vollrängigen Teilgitters L' in L.
Verwenden Sie es, um zu messen, wie spärlich ein Teilgitter ist und Determinanten von verschachtelten Gittern in Beziehung zu setzen.
[ℤ²:2ℤ²]=4 and det(2ℤ²)=4det(ℤ²).Gittergeometrie
Unimodular matrix
U∈GLₙ(ℤ)Eine orthogonale Matrix mit Determinante 1 oder -1, deren Inverse ebenfalls ganzzahlig ist.
Verwenden Sie es, um eine Gitterbasis zu ändern, ohne das Gitter selbst zu ändern.
Wenn B'=BU mit det(U)=±1, dann erzeugen B und B' das gleiche Gitter.Gittergeometrie
Equivalent lattice bases
B'=BUZwei Basen, die durch eine unimodulare Integer-Matrix miteinander verbunden sind, erzeugen genau das gleiche Gitter.
Verwenden Sie es, um eine lange, verzerrte Basis durch eine kürzere und orthogonalere zu ersetzen.
B und B'=B[[1,1],[0,1]] sind äquivalente Basen.Gittergeometrie
Gram matrix of a lattice basis
G=BᵀBEine Matrix aller paarweisen inneren Produkte von Basisvektoren.
Verwenden Sie es, um Längen, Winkel, Volumina und quadratische Formen in Basiskoordinaten zu berechnen.
Für einen Integer-Vektor z gilt: ‖Bz‖²=zᵀGz.Gittergeometrie
Gram-Schmidt for lattice bases
bᵢ*Eine Orthogonalisierung, die verwendet wird, um eine Gitterbasis zu analysieren, ohne im Allgemeinen eine andere Gitterbasis zu erzeugen.
Verwenden Sie es, um Projektionskoeffizienten, die Qualität einer Basis und LLL-Reduktionsschritte zu berechnen.
Die Gram-Schmidt-Vektoren sind analytische Hilfsmittel und müssen nicht Gitterpunkte sein.
b₂*=b₂-μ₂₁b₁* mit μ₂₁=⟨b₂,b₁*⟩/‖b₁*‖².Gittergeometrie
Orthogonality defect
∏‖bᵢ‖/det(L)Ein Maß dafür, wie weit eine Basis mit vollem Rang von der Orthogonalität entfernt ist.
Verwenden Sie es, um die Qualität einer Basis zu vergleichen und numerische oder Enumerationsschwierigkeiten vorherzusagen.
Der Defekt ist 1 für eine orthogonale Basis und größer oder gleich 1, andernfalls.Gittergeometrie
Dual lattice
L*Die Menge der Vektoren, die ganzzahlige innere Produkte mit jedem Vektor in L haben.
Verwenden Sie es in der Fourier-Analyse, der Codierungstheorie, der reziproken Geometrie und den Übertragungsgrenzen.
Für eine Basis mit vollem Rang ist eine duale Basis B⁻ᵀ.Gittergeometrie
Shortest vector problem
SVPFinden eines kürzesten von Null verschiedenen Vektors in einem Gitter unter einer gewählten Norm.
Verwenden Sie es, um die Gittergeometrie, die Reduktionsqualität und die gitterbasierte kryptografische Härte zu verstehen.
Find z≠0 minimizing ‖Bz‖.Gittergeometrie
Closest vector problem
CVPFinden des Gitterpunkts, der am nächsten zu einem Zielpunkt liegt.
Verwenden Sie es für Dekodierung, Quantisierung, Integer-Kleinste-Quadrate und gitterbasierte Sicherheitsanalyse.
Finden Sie z, das ‖Bz-t‖ minimiert.Gittergeometrie
Successive minima
λᵢ(L)Radien, die benötigt werden, um zunehmende Zahlen linear unabhängiger Gittervektoren zu enthalten.
Verwenden Sie sie, um die Form eines Gitters über den einzelnen kürzesten Vektor hinaus zu beschreiben.
λ₁(L) ist die Länge des kürzesten Vektors, während λₖ(L) k unabhängige Vektoren erreicht.Gittergeometrie
Minkowski's convex body theorem
Eine Volumenbedingung, die sicherstellt, dass ein symmetrischer konvexer Körper einen von Null verschiedenen Gitterpunkt enthält.
Verwenden Sie es, um Grenzen für kurze Gittervektoren und Ergebnisse in der algebraischen Zahlentheorie zu beweisen.
Ein ausreichend großes, ursprungssymmetrisches konvexe Körper muss einen von Null verschiedenen Punkt von L enthalten.Gittergeometrie
Lattice sphere packing
Platzierung gleicher, nicht überlappender Kugeln an Gitterpunkten und Messung des besetzten Raumanteils.
Verwenden Sie es in der Codierungstheorie, der Kommunikation, der diskreten Geometrie und der Optimierung hochdimensionaler Probleme.
Der Packradius ist die halbe Länge des kürzesten, nicht-null Vektors im Gitter.Gittergeometrie
Voronoi cell of a lattice
Der Bereich der Punkte, die mindestens so nah an einem Gitterpunkt sind wie an jedem anderen Gitterpunkt.
Verwenden Sie es, um die Nearest-Lattice-Point-Dekodierung und die geometrische Form von CVP-Regionen zu verstehen.
Die Voronoizelle um 0 teilt den Raum durch Gittertranslationen auf.Gittergeometrie
Lattice basis reduction
Ersetzen einer Gitterbasis durch eine äquivalente Basis mit kürzeren und nahezu orthogonalen Vektoren.
Verwenden Sie es, um die Enumeration, die Suche nach Integer-Relationen, die Kryptanalyse und das numerische Verhalten zu verbessern.
Eine reduzierte Basis erzeugt das gleiche Gitter, macht aber seine Geometrie deutlicher sichtbar.Gittergeometrie
LLL algorithm
LLLEin Algorithmus, der in polynomialer Zeit eine Basis erzeugt, die die Größenreduktions- und Lovász-Bedingungen erfüllt.
Verwenden Sie es für praktische, approximative kurze Vektoren, Polynomfaktorisierung, Kryptanalyse und Integer-Relationen.
LLL gibt eine Qualitätsgarantie für einen approximierten kurzen Vektor, aber nicht unbedingt die exakte SVP-Lösung.
LLL reduziert wiederholt die Größen von Gram-Schmidt-Koeffizienten und tauscht Basisvektoren, wenn die Lovász-Bedingung nicht erfüllt ist.Eigenwerte und Zerlegungen
Eigenvalue
Av=λvEin Skalar λ, mit dem eine lineare Transformation einen nicht-null-Eigenvektor skaliert, ohne seine Richtung zu ändern.
Verwenden Sie Eigenwerte, um Stabilität, langfristige Dynamik, Kovarianz, Graphen und Differentialgleichungen zu untersuchen.
Für A=diag(2,3) sind die Eigenwerte 2 und 3.Eigenwerte und Zerlegungen
Eigenvector
Av=λv, v≠0Eine nicht-Null-Richtung, die durch eine lineare Transformation bis zu einer Skalierung erhalten bleibt.
Verwenden Sie es, um natürliche Achsen, dominante Modi, stationäre Zustände und Hauptrichtungen zu identifizieren.
Für A=diag(2,3), [1,0] ist ein Eigenvektor für λ=2.Eigenwerte und Zerlegungen
Characteristic polynomial
det(A-λI)Ein Polynom, dessen Wurzeln die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind.
Verwenden Sie es für symbolische Eigenwertberechnungen und die theoretische Analyse kleiner Matrizen.
Für A=[[2,0],[0,3]], det(A-λI)=(2-λ)(3-λ).Eigenwerte und Zerlegungen
Diagonalization
A=PDP⁻¹Darstellung einer Matrix mithilfe einer Diagonalmatrix von Eigenwerten und einer Basis von Eigenvektoren.
Verwenden Sie es, um Matrixpotenzen, Rekurrenzen und lineare dynamische Systeme zu vereinfachen.
Nicht jede quadratische Matrix hat genügend unabhängige Eigenvektoren, um diagonalisierbar zu sein.
A^k=PD^kP⁻¹ wenn A diagonalisierbar ist.Eigenwerte und Zerlegungen
LU decomposition
PA=LUFaktorisierung einer Matrix in untere und obere Dreiecksfaktoren, manchmal mit Zeilenpermutation.
Verwenden Sie es, um mehrere Systeme mit derselben Koeffizientenmatrix effizient zu lösen.
Factor PA=LU, then solve Ly=Pb and Ux=y.Eigenwerte und Zerlegungen
QR decomposition
A=QRFaktorisierung einer Matrix in eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreiecksmatrix R.
Verwenden Sie es für numerisch stabile Methoden der kleinsten Quadrate, orthonormale Basen und Eigenwertalgorithmen.
Lösen Sie die Methode der kleinsten Quadrate mit Rx=Qᵀb nach A=QR.Eigenwerte und Zerlegungen
Singular value decomposition
A=UΣVᵀEine Faktorisierung jeder Matrix in orthogonale Singelvektormatrizen und nichtnegative Singulärwerte.
Verwenden Sie es für die Komprimierung, Rauschunterdrückung, Pseudoinverse, die Approximation mit niedrigem Rang und die latente Struktur.
Kleine Singulärwerte können Rauschen verstärken, wenn sie in einer Inversen oder Pseudoinversen verwendet werden.
Das Beibehalten der größten k singulären Werte ergibt die beste Rang-k-Approximation in der 2-Norm und Frobenius-Norm.Eigenwerte und Zerlegungen
Least squares
min ‖Ax-b‖₂Finden von Parametern, die die Summe der quadrierten Residuen minimieren, wenn ein lineares System keine exakte Lösung hat oder überbestimmt ist.
Verwenden Sie es für Regression, Kalibrierung, Rekonstruktion und die Anpassung an verrauschte Messwerte.
Anpassung von y≈mx+c durch Minimierung der Summe der quadrierten vertikalen Residuen.Eigenwerte und Zerlegungen
Principal component analysis
X≈UₖΣₖVₖᵀEine Methode zur Dimensionsreduktion, die orthogonale Richtungen mit der größten Varianz in zentrierten Daten findet.
Verwenden Sie es, um korrelierte numerische Features zu visualisieren, zu komprimieren, zu entrauschen oder zusammenzufassen.
PCA ist empfindlich gegenüber der Skalierung von Merkmalen, Ausreißern und der Annahme, dass eine hohe Varianz informativ ist.
Berechne das Zentrum X, seine SVD und projiziere es auf die ersten k rechten Singelvektoren.