Mathematik-Referenz
Lernen Sie algebraische Strukturen von Operationen und Gruppen durch Ringe, Körper, endliche Körper, Module und Vektorräume mit Definitionen und Beispielen.
Jede Struktur fügt spezifische Axiome hinzu; Körper ermöglichen die Division durch jedes nicht-Null-Element.
ℤ/nℤ ist ein Körper genau dann, wenn n eine Primzahl ist; zusammengesetzte Moduli können Nullteiler enthalten.
63 Begriffe
Operationen und Axiome
Set
SEine Menge von verschiedenen Objekten, die als ein mathematisches Objekt behandelt werden.
Verwenden Sie eine Menge, um die Trägermenge anzugeben, auf der algebraische Operationen definiert sind.
ℤ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.Operationen und Axiome
Binary operation
*:S×S→SEine Regel, die zwei Elemente einer Menge kombiniert und ein Element derselben Menge zurückgibt.
Verwenden Sie es als die Operation, die Magmen, Semigruppen, Gruppen, Ringe und Körper zugrunde liegt.
Die Addition ist eine binäre Operation auf ℤ, weil a+b∈ℤ für alle ganzen Zahlen a und b.Operationen und Axiome
Closure
Die Eigenschaft, dass die Anwendung einer Operation auf zulässige Elemente immer ein anderes zulässiges Element erzeugt.
Überprüfen Sie den Abschluss, bevor Sie behaupten, dass eine Teilmenge eine algebraische Struktur erbt.
Die positiven ganzen Zahlen sind abgeschlossen unter Addition, aber nicht unter Subtraktion.Operationen und Axiome
Associativity
(a*b)*c=a*(b*c)Die Eigenschaft, dass die Umgruppierung von drei Operanden das Ergebnis nicht ändert.
Verwenden Sie es, um Klammern bei wiederholten Produkten oder Summen wegzulassen und Potenzen konsistent zu definieren.
Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, obwohl sie im Allgemeinen nicht kommutativ ist.Operationen und Axiome
Commutativity
a*b=b*aDie Eigenschaft, dass das Vertauschen der Reihenfolge von zwei Operanden das Ergebnis nicht ändert.
Verwenden Sie es, um abelsche Gruppen und kommutative Ringe von nicht-kommutativen Strukturen zu unterscheiden.
Die Integer-Multiplikation ist kommutativ, während die Matrixmultiplikation dies normalerweise nicht ist.Operationen und Axiome
Identity element
eEin Element, das jedes Element unverändert lässt, wenn es in der Operation verwendet wird.
Verwenden Sie es, um Inverse, Potenzen, Monoide, Gruppen und Ringe mit Identität zu definieren.
0 ist das additive neutrale Element und 1 ist das multiplikative neutrale Element in ℤ.Operationen und Axiome
Inverse element
a⁻¹Ein Element, das mit einem gegebenen Element kombiniert wird, um das neutrale Element zu erzeugen.
Verwenden Sie es, um Gruppenoperationen umzukehren und zu bestimmen, welche Ringelemente Einheiten sind.
Die additive Inverse von 5 ist -5; die multiplikative Inverse von 3 in ℚ ist 1/3.Operationen und Axiome
Magma
(M,*)Eine Menge, die mit einer einzigen, geschlossenen binären Operation versehen ist, ohne dass Assoziativität oder ein neutrales Element erforderlich sind.
Verwenden Sie es als den am wenigsten restriktiven Ausgangspunkt in der Hierarchie von Ein-Operation-Strukturen.
Jedes Semigroup ist eine Magma, aber eine Magma muss nicht assoziativ sein.Operationen und Axiome
Semigroup
(S,*)Eine Magma, deren Operation assoziativ ist.
Verwenden Sie es, um kombinierbare Prozesse zu modellieren, die nicht unbedingt eine Identität oder Inverse haben.
Alle nichtleeren Zeichenketten bilden ein Halbgruppe unter der Verkettung.Operationen und Axiome
Monoid
(M,*,e)Ein Semigroup mit einem neutralen Element.
Verwenden Sie es für Sequenzen, Transformationen, Endomorphismen und Berechnungen, die aus einem neutralen Wert zusammengesetzt werden.
Alle Zeichenketten, einschließlich der leeren Zeichenkette, bilden ein Monoid unter Verkettung.Gruppen
Group
(G,*)Ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat.
Verwenden Sie Gruppen, um Symmetrien und reversible Operationen zu beschreiben.
Die ganzen Zahlen bilden eine Gruppe unter Addition.Gruppen
Abelian group
a*b=b*aEine Gruppe, deren Operation kommutativ ist.
Verwenden Sie es für additive Strukturen wie ganze Zahlen, Vektoren und den additiven Teil eines Rings.
Jeder Vektorraum ist eine abelsche Gruppe unter Vektoraddition.Gruppen
Subgroup
H≤GEine Teilmenge einer Gruppe, die selbst eine Gruppe unter der eingeschränkten Operation ist.
Verwenden Sie es, um Symmetrien, generierte Elemente, Stabilisatoren und Lösungsmenge innerhalb einer Gruppe zu isolieren.
2ℤ ist eine Untergruppe von (ℤ,+).Gruppen
Cyclic group
G=⟨g⟩Eine Gruppe, die von einem Element erzeugt wird.
Verwenden Sie es, um jedes Gruppenelement als Potenz oder ganzzahlige Vielfache eines Generators darzustellen.
(ℤ/nℤ,+) ist zyklisch und wird von [1] erzeugt.Gruppen
Group generator
⟨g⟩Ein Element oder eine Menge von Elementen, deren wiederholte Operationen und Inverse die gesamte Gruppe erzeugen.
Verwenden Sie es, um kompakte Darstellungen zu erstellen und zu prüfen, ob eine Gruppe zyklisch ist.
Das Element [1] erzeugt die additive Gruppe ℤ/5ℤ.Gruppen
Order of a group element
ord(g)Der kleinste positive Exponent, der ein Element in das neutrale Element überführt.
Verwenden Sie es, um die Zykluslänge und die Größe der generierten Untergruppe zu bestimmen.
In der additiven Gruppe ℤ/6ℤ hat das Element [2] die Elementordnung 3.Gruppen
Order of a group
|G|Die Anzahl der Elemente in einer endlichen Gruppe.
Verwenden Sie es mit dem Satz von Lagrange, Zählargumenten und der Klassifizierung endlicher Gruppen.
Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks hat die Gruppenordnung 6.Gruppen
Coset
gH or HgEine Verschiebung einer Untergruppe, die durch Multiplizieren jedes Elements der Untergruppe mit einem festen Gruppenelement erhalten wird.
Verwenden Sie Nebenklassen, um eine Gruppe zu partitionieren und Quotienten-Gruppen zu konstruieren.
Die Nebengruppen von 3ℤ in ℤ sind 3ℤ, 1+3ℤ und 2+3ℤ.Gruppen
Lagrange's theorem
|G|=[G:H]|H|Für eine endliche Gruppe gilt: Die Ordnung jeder Untergruppe teilt die Ordnung der Gruppe.
Verwenden Sie es, um mögliche Ordnungen von Untergruppen und Elementen einzuschränken.
Eine endliche Gruppe mit der Gruppenordnung 12 kann keine Untergruppe mit der Gruppenordnung 5 enthalten.Gruppen
Normal subgroup
N◁GEine Untergruppe, deren linke und rechte Nebenklassen für jedes Gruppenelement zusammenfallen.
Verwenden Sie es als die Bedingung, die erforderlich ist, damit Nebenklassen eine Quotienten-Gruppe bilden.
Der Kern jedes Gruppen-Homomorphismus ist eine normale Untergruppe.Gruppen
Quotient group
G/NEine Gruppe von Nebenklassen, die aus einer Gruppe und einer Normaluntergruppe gebildet wird.
Verwenden Sie es, um eine normale Untergruppe in das neutrale Element zu "entfalten" und die Gruppenstruktur auf einer gröberen Ebene zu untersuchen.
ℤ/nℤ ist die Quotientengruppe ℤ/nℤ bezüglich der Addition.Gruppen
Group homomorphism
φ(ab)=φ(a)φ(b)Eine Abbildung zwischen Gruppen, die die Gruppenoperation erhält.
Verwenden Sie es, um Gruppen zu vergleichen und gleichzeitig ihre algebraische Operation beizubehalten.
Die Abbildung φ:ℤ→ℤ/nℤ, gegeben durch φ(k)=[k], erhält die Addition.Gruppen
Group isomorphism
G≅HEin bijektiver Gruppenhomomorphismus, der zeigt, dass zwei Gruppen die gleiche abstrakte Struktur haben.
Verwenden Sie es, um unterschiedlich dargestellte Gruppen als strukturell identisch zu behandeln.
Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu (ℤ,+).Gruppen
Kernel of a group homomorphism
ker(φ)Die Untergruppe der Elemente, die auf das neutrale Element der Zielgruppe abgebildet werden.
Verwenden Sie es, um den Informationsverlust durch einen Homomorphismus zu messen und die Injektivität zu testen.
Ein Gruppenhomomorphismus ist injektiv, wenn und nur wenn sein Kern die Identitätsuntergruppe ist.Gruppen
Image of a group homomorphism
im(φ)Die Untergruppe der Ziel-Elemente, die tatsächlich durch einen Homomorphismus erreicht werden.
Verwenden Sie es, um die effektive Ausgabestruktur zu bestimmen und die Surjektivität zu testen.
Ein Homomorphismus ist surjektiv genau dann, wenn sein Bild gleich der Zielgruppe ist.Gruppen
First isomorphism theorem for groups
G/ker(φ)≅im(φ)Ein Satz, der den Quotienten durch den Kern eines Homomorphismus mit seinem Bild identifiziert.
Verwenden Sie es, um Kerne, Bilder und Quotientenstrukturen zu verbinden.
Für φ:ℤ→ℤ/nℤ, gilt: ℤ/nℤ ≅ im(φ).Gruppen
Direct product of groups
G×HEine Gruppe, die aus geordneten Paaren mit komponentenweisen Operationen besteht.
Verwenden Sie es, um unabhängige Gruppenstrukturen zu kombinieren und endliche abelsche Gruppen zu zerlegen.
ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ ist isomorph zu ℤ/6ℤ.Ringe
Ring
(R,+,×)Eine Menge, deren Addition eine abelsche Gruppe bildet und deren assoziative Multiplikation über die Addition verteilt.
Verwenden Sie Ringe, um ganze Zahlen, Polynome, Matrizen und modulare Arithmetik mit Addition und Multiplikation zu untersuchen.
ℤ ist ein kommutativer Ring mit Einselement.Ringe
Commutative ring
ab=baEin Ring, dessen Multiplikation kommutativ ist.
Verwenden Sie es in der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie, wo die Multiplikation, die der polynomialen Multiplikation ähnelt, kommutativ ist.
ℤ und F[x] sind kommutative Ringe, wenn F ein Körper ist.Ringe
Ring with identity
1_REin Ring, der ein multiplikatives neutrales Element enthält.
Verwenden Sie es bei der Definition von Einheiten, Modulen mit Skalaridentität und Homomorphismen, die 1 erhalten.
Die geraden ganzen Zahlen bilden einen Ring ohne ihre eigene multiplikative Identität unter den vererbten Operationen.Ringe
Subring
S⊆REine Teilmenge, die selbst ein Ring unter den von einem größeren Ring übernommenen Operationen ist.
Verwenden Sie es, um kleinere arithmetische Systeme innerhalb eines Rings zu identifizieren.
Die ganzen Zahlen ℤ bilden einen Unterring der rationalen Zahlen ℚ.Ringe
Unit of a ring
R×Ein Element, das ein multiplikatives Inverses innerhalb des Rings besitzt.
Verwenden Sie Einheiten, um reversible Multiplikation zu identifizieren und die multiplikative Gruppe eines Rings zu bilden.
Die Einheiten von ℤ sind 1 und -1.Ringe
Zero divisor
ab=0Ein nicht-Null-Ringelement, das mit einem anderen nicht-Null-Element multipliziert wird und Null ergibt.
Verwenden Sie es, um das Versagen der Auflösung zu erkennen und Integralbereiche von allgemeinen Ringen zu unterscheiden.
In ℤ/6ℤ gilt: [2][3]=[0]; daher sind [2] und [3] Nullteiler.Ringe
Nilpotent element
a^k=0Ein Element, dessen positive Potenz gleich Null ist.
Verwenden Sie es, um nicht-reduzierte Ringe, Matrixstrukturen und infinitesimales algebraisches Verhalten zu untersuchen.
Die Matrix [[0,1],[0,0]] ist ungleich Null, aber ihr Quadrat ist Null.Ringe
Integral domain
Ein nicht-Null-kommutativer Ring mit einem neutralen Element und ohne Nullteiler.
Verwenden Sie es, wo die Auflösung funktioniert und Brüche konsistent konstruiert werden können.
ℤ ist ein Integritätsbereich, aber kein Körper.Ringe
Division ring
Ein Ring, in dem jedes nicht-Null-Element ein multiplikatives Inverses hat, ohne dass die Multiplikation kommutativ sein muss.
Verwenden Sie es, um nicht-kommutative Divisionsstrukturen von Körpern zu unterscheiden.
Die Quaternionen bilden einen Divisionsring, aber keinen Körper.Ringe
Ideal
I◁REine additive Untergruppe, die die Multiplikation mit beliebigen Ringelementen von der erforderlichen Seite oder Seiten absorbiert.
Verwenden Sie Ideale als Kerne von Ringhomomorphismen und zur Konstruktion von Quotientenringen.
nℤ ist ein Ideal von ℤ.Ringe
Principal ideal
(a)Ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.
Verwenden Sie es, um Teilbarkeit auszudrücken und Hauptidealbereiche mit allgemeineren Ringen zu vergleichen.
In ℤ erzeugt das Ideal, das durch 6 gegeben ist, (6)=6ℤ.Ringe
Quotient ring
R/IEin Ring von Nebenklassen, der durch Identifizieren jedes Elements eines Ideals mit Null gebildet wird.
Verwenden Sie es, um algebraische Beziehungen zu erzwingen und modulare Arithmetik zu modellieren.
ℤ/nℤ ist der Quotientening ℤ/(n).Ringe
Polynomial ring
R[x]Der Ring der Polynome mit Koeffizienten in einem Ring R.
Verwenden Sie es für Gleichungen, Faktorisierung, Ideale, Körpererweiterungen und algebraische Geometrie.
Wenn F ein Körper ist, dann ist der Polynomring F[x] ein euklidischer Bereich.Ringe
Matrix ring
Mₙ(R)Der Ring der quadratischen Matrizen über einem Ring, unter Verwendung der Matrixaddition und -multiplikation.
Verwenden Sie es für lineare Transformationen und als ein Standardbeispiel für einen nicht-kommutativen Ring.
M₂(ℝ) ist ein Ring, aber die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.Ringe
Ring homomorphism
φ(a+b), φ(ab)Eine Abbildung, die Ringaddition und Multiplikation erhält, wobei die Erhaltung des neutralen Elements von der Konvention abhängt.
Verwenden Sie es, um Ringe zu vergleichen und Ideale als Kerne zu erhalten.
Geben Sie an, ob Ring-Homomorphismen erforderlich sind, um die multiplikative Identität zu erhalten.
Die Auswertung f(x)↦f(0) ist ein Ringhomomorphismus von R[x] nach R.Ringe
Ring isomorphism
R≅SEin bijektiver Ringhomomorphismus, der zeigt, dass zwei Ringe die gleiche Ringstruktur haben.
Verwenden Sie es, um einen Ring durch eine einfachere, aber strukturell äquivalente Darstellung zu ersetzen.
Der chinesische Restsatz kann ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ×ℤ/5ℤ ergeben.Körper
Field
(F,+,×)Ein kommutativer Ring mit 1, wobei 1 nicht gleich 0 ist, und in dem jedes nicht-Null-Element ein multiplikatives Inverses hat.
Verwenden Sie Körper als Skalarsysteme für exakte Division, Vektorräume, Polynome und lineare Algebra.
ℚ, ℝ und ℂ sind Körper, während ℤ dies nicht ist.Körper
Subfield
K⊆FEine Teilmenge eines Körpers, die selbst ein Körper unter den vererbten Operationen ist.
Verwenden Sie es, um Skalarsysteme zu vergleichen und Körpererweiterungen zu definieren.
ℚ ist ein Unterkörper von ℝ, und ℝ ist ein Unterkörper von ℂ.Körper
Characteristic of a field
char(F)Die kleinste positive Anzahl von Kopien der Zahl 1, deren Summe Null ergibt, oder 0, falls keine solche Anzahl existiert.
Verwenden Sie es, um Körper mit Nullcharakteristik von arithmetischen Operationen mit endlicher Charakteristik zu unterscheiden.
Das rationale Feld hat char(ℚ)=0, während das endliche Primfeld char(𝔽ₚ)=p hat.Körper
Prime field
Der kleinste Unterkörper, der in einem Körper enthalten ist und isomorph zu ℚ oder zu 𝔽ₚ ist.
Verwenden Sie es als die arithmetische Grundlage, die durch die multiplikative Identität erzeugt wird.
Jeder Körper mit der Charakteristik p enthält eine Kopie von 𝔽ₚ.Körper
Finite field
𝔽_qEin Körper, der nur endlich viele Elemente enthält.
Verwenden Sie es in der Codierungstheorie, Kryptographie, Prüfsummen und endlichen Geometrie.
Das Feld 𝔽₅={0,1,2,3,4} verwendet Arithmetik modulo 5 sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.Körper
Prime-power order of a finite field
q=pⁿEin endlicher Körper existiert mit q Elementen genau dann, wenn q eine Potenz einer Primzahl ist.
Verwenden Sie es, um gültige endliche Körpergrößen zu bestimmen, bevor ein solcher konstruiert wird.
Ein Körper mit 8 Elementen existiert, aber ein Körper mit 6 Elementen existiert nicht.Körper
Galois field
GF(pⁿ)Ein anderer Name für den endlichen Körper mit pⁿ Elementen, der bis zur Isomorphie eindeutig ist.
Verwenden Sie es für arithmetische Operationen in Fehlerkorrekturcodes und kryptografischen Systemen.
GF(2⁸) wird häufig für arithmetische Operationen mit endlichen Körpern verwendet, die auf Bytes ausgerichtet sind.Körper
Field extension
L/KEin Körper L, der einen Körper K als Teilkörper enthält.
Verwenden Sie es, um Wurzeln hinzuzufügen, Skalarsysteme zu erweitern und endliche Körper zu konstruieren.
ℂ/ℝ ist eine Körpererweiterung, die durch das Anhängen von i entsteht.Körper
Degree of a field extension
[L:K]Die Vektorraumdimension von L, wenn L als Vektorraum über K betrachtet wird.
Verwenden Sie es, um die Größe einer Erweiterung zu messen und das Turmgesetz anzuwenden.
Der Erweiterungsgrad ist [ℂ:ℝ]=2, mit der Basis {1,i} über ℝ.Körper
Algebraic element
Ein Erweiterungskörperelement, das eine Wurzel eines nicht-Null-Polynoms über dem Basiskörper ist.
Verwenden Sie es, um Erweiterungen mit endlichem Grad zu konstruieren und Zahlen über einem Körper zu klassifizieren.
√2 ist algebraisch über ℚ, weil es x²-2=0 erfüllt.Körper
Transcendental element
Ein Erweiterungskörperelement, das kein nicht-Null-Polynom über dem Basiskörper erfüllt.
Verwenden Sie es, um transzendente Erweiterungen von algebraischen zu unterscheiden.
π und e sind transzendent über ℚ.Körper
Minimal polynomial
m_α(x)Das eindeutige irreduzible Monom mit dem kleinsten Grad über dem Basiskörper, dessen Wurzel ein algebraisches Element ist.
Verwenden Sie es, um den Erweiterungsgrad und die arithmetischen Beziehungen eines algebraischen Elements zu bestimmen.
Das minimale Polynom von √2 über ℚ ist x²-2.Körper
Splitting field
Die kleinste Körpererweiterung, über der ein Polynom vollständig in lineare Faktoren zerlegt.
Verwenden Sie es, um alle polynomialen Wurzeln zu enthalten und ihre Symmetrien zu untersuchen.
Der Zerlegungskörper von x²+1 über ℝ ist ℂ.Körper
Algebraic closure
Eine algebraische Erweiterung, die algebraisch abgeschlossen ist, sodass jedes nicht-konstante Polynom eine Wurzel hat.
Verwenden Sie es als einen Rahmen, in dem polynomiale Gleichungen vollständig zerlegt werden.
ℂ ist algebraisch abgeschlossen und ist eine algebraische Erweiterung von ℝ, jedoch nur unter der Voraussetzung, dass ℂ/ℝ algebraisch ist.Verbindungen und Beispiele
Module
M over REine abelsche Gruppe mit Skalarmultiplikation durch Elemente eines Rings.
Verwenden Sie Module, um Vektorräume zu verallgemeinern, wenn die Skalare aus einem Ring und nicht aus einem Körper stammen.
Jede abelsche Gruppe ist von Natur aus ein Modul über dem Integer-Ring ℤ.Verbindungen und Beispiele
Vector space over a field
V over FEine abelsche Gruppe mit Skalarmultiplikation durch einen Körper, die die Axiome eines Vektorraums erfüllt.
Verwenden Sie es, um die Körperstruktur mit linearer Algebra, Basen, Dimension und linearen Transformationen zu verbinden.
ℂ ist ein zweidimensionaler Vektorraum über ℝ.Verbindungen und Beispiele
Algebra over a field
A over FEin Vektorraum über einem Körper, der mit einer kompatiblen bilinearen Multiplikation versehen ist.
Verwenden Sie es, um lineare Algebra mit Ringmultiplikation zu kombinieren.
Mₙ(F) ist eine Algebra über F.Verbindungen und Beispiele
When ℤ/nℤ is a field
Der Quotientenring ℤ/nℤ ist ein Körper genau dann, wenn n eine Primzahl ist.
Verwenden Sie es, um arithmetische Operationen mit Primmodul von arithmetischen Operationen mit zusammengesetztem Modul mit Nullteilern zu unterscheiden.
ℤ/5ℤ ist ein Körper, aber ℤ/6ℤ ist es nicht, weil [2][3]=[0].Verbindungen und Beispiele
Unit group of a ring
R×Die Gruppe, die aus allen multiplikativ invertierbaren Elementen eines Rings besteht.
Verwenden Sie es, um Ringmultiplikation mit Gruppentheorie und modularer Arithmetik zu verbinden.
(ℤ/nℤ)× enthält genau die Restklassen, die zu n teilerfremd sind.Verbindungen und Beispiele
Scalar field
FDer Körper, aus dem die Koeffizienten des Vektorraums und die Einträge der Matrizen entnommen werden.
Geben Sie dies an, da Rang, Eigenwerte, Faktorisierung und Lösbarkeit sich mit dem Skalarkörper ändern können.
Die Matrix [[0,-1],[1,0]] hat keine reellen Eigenwerte, aber Eigenwerte i und -i über ℂ.